第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年江蘇省淮安市高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.直線3x+y=0的傾斜角為(

)A.π3 B.π6 C.5π62.在等差數(shù)列{an}中，若a2=5，a1A.?2 B.?1 C.1 D.23.已知雙曲線C：x2a2?y2=1(a>0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若雙曲線C上存在點(diǎn)A.x+4y=0 B.4x+y=0 C.2x+y=0 D.x+2y=04.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，⊙C的方程為(x?1)2+(y?1)2=1，射線OP繞O點(diǎn)從x軸正半軸逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正半軸，所掃過的內(nèi)部圖形(圖中陰影部分)面積S可表示為時(shí)間t的函數(shù)y=S(t)，則下列圖象中與

A. B. C. D.5.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，A.14 B.12 C.36.“勾股數(shù)”，也被稱為畢達(dá)哥拉斯樹，是根據(jù)勾股定理所畫出來的一個(gè)可以無限重復(fù)的樹形圖形.如圖所示，以邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個(gè)等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長(zhǎng)向外作兩個(gè)正方形，如此繼續(xù)，若得到的“勾股樹”上所存正方形的面積為96，則“勾股樹”上所有正方形的個(gè)數(shù)為(

)A.63 B.64 C.127 D.1287.已知函數(shù)f(x)=ex+1+e?x(e為自然常數(shù))，記a=f(?2.1)，b=f(1)，c=f(1.2)，則a，bA.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.b<c<a8.已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線AB，AC是圓(x?2)2+yA.82 B.12 C.649.已知曲線C：mx2+ny2=1A.若m=n>0，則曲線C是圓

B.若m>n>0，則曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓

C.若m>0>n，則曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

D.曲線C可能是拋物線10.已知⊙M：x2+y2?4x+2y+1=0，直線l：A.直線l和⊙M可能相切

B.直線l過定點(diǎn)(3,0)

C.直線l被⊙M截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，直線l的方程為x?y?3=0

D.直線l被⊙M截得的弦長(zhǎng)最小值為211.設(shè)函數(shù)y=f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為y=f′(x)，且函數(shù)g(x)=(x?4)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有(

)A.y=f(x)僅有兩個(gè)極值點(diǎn)

B.y=f(x)有兩個(gè)極大值點(diǎn)

C.x=1是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)

D.x=2是函數(shù)y=f(x)的極大值點(diǎn)12.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3>0A.a2>0 B.a3>0 C.二、非選擇題13.直線l過點(diǎn)(?2,2)且與直線x+2y=0平行，則直線l與x，y軸圍成的三角形面積為______．14.已知函數(shù)f(x)=tanx，則曲線y=f(x)在x=π處的切線方程為______．15.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a2=2，2(16.已知函數(shù)f(x)=lnxx(0<x≤m)，曲線y=f(x)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱的曲線為Γ，若曲線Γ是某函數(shù)的圖象，則實(shí)數(shù)m17.已知A(2,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OM?AM=3．

(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程E；

(2)若圓C：x2+y218.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S3=7，a1，a3，a2+5成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；19.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+(a?1)x+1)(e為自然常數(shù))，a為實(shí)數(shù)．

(1)若y=f(x)在(0,+∞)上存在極值，求a的取值范圍；

(2)若對(duì)任意x∈[0,+∞)，20.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均大于1，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}滿足，4Sn=an2+4n?1，n∈N?，數(shù)列{bn}滿足b1=?21.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,F1,F2分別為C的左、右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，且△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為22.已知函數(shù)f(x)=x2?2mlnx?4x，m為實(shí)數(shù)．

(1)若y=f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)若?1<m≤?34．

①證明：y=f(x)既有極大值又有極小值；

②若a，b分別為函數(shù)y=f(x)的極大值和極小值，求答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因?yàn)橹本€3x+y=0的斜率k=?3，

故傾斜角為2π3．

故選：D2.【答案】A

【解析】解：設(shè)公差為d，

∵等差數(shù)列{an}中，a2=5，a1+a4=8，

∴5?d+5+2d=8，解得3.【答案】D

【解析】解：由題意可得，2a=4，則a=2，

∴雙曲線的漸近線方程為y=±12x，即x±2y=0．

結(jié)合選項(xiàng)可得，雙曲線C的一條漸近線方程為x+2y=0．

故選：D．

由已知結(jié)合雙曲線的定義求解a4.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)OP與x軸的夾角為θ，則0≤θ≤π2，

當(dāng)0≤θ≤π4時(shí)，陰影部分的面積逐漸變大，并且變化得越來越快，即切線的斜率為正值且越來越大，

當(dāng)π4<θ≤π2時(shí)，陰影部分的面積逐漸變大，并且變化得越來越慢，即切線的斜率為正值且越來越小，

分析選項(xiàng)：A符合題意．

故選：A．

根據(jù)題意，設(shè)OP與x軸的夾角為θ，則5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得B2M垂直平分線段B1F，

∴|B1B2|=|B2F|，∴2b=a，

∴橢圓C的離心率為ca=a26.【答案】A

【解析】解：設(shè)第n次向外作的正方形的個(gè)數(shù)為an，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，

由題意可得第n次向外作的正方形面積和與第n?1次向外作的正方形面積和相等，

即每次向外作的正方形面積和為16，而96?1616=5，

故向外作了5次正方形又an+1=2an，a1=2，

所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則an=2n，則S5=2(1?25)1?27.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閒(x)=ex+1+e?x，所以a=f(?2.1)=e?1.1+e2.1=f(1.1)，f′(x)=ex+1?e?x，

因?yàn)閒′(x)是增函數(shù)，且f′(?12)=0，所以當(dāng)x∈(?12,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

又8.【答案】C

【解析】解：將點(diǎn)A(2,2)代入y2=2px，可得4=4p，所以p=1，

所以拋物線方程為y2=2x，明顯直線AB，AC的斜率均存在，且不為零，

設(shè)直線AB，AC的斜率分別為k1，k2，

設(shè)過點(diǎn)A并與已知圓相切的直線方程為y=k(x?2)+2，k≠0，即x?y?2k+2=0，

則|2k?2k+2|1+k2=r，整理得k2=4r2?1，

聯(lián)立y2=2xx?y?2k+2=0，整理可得ky2?2y+4?4k=0，

Δ=4?4k(4?4k)>0，解得k≠12，所以k2=4r2?1≠14，

因?yàn)?<r<455，

故k1=4r2?1，k2=?4r2?1，k1+k2=0，

將直線AB的方程y=k1(x?2)+2代入y2=2x中，可得：k1y2?2y+4?4k1=0，得2+yB=2k1，

則yB=2k1?2，則yB2=(2k1?2)2=2xB，解得xB=2(1k1?1)2，

即B(2(1k1?1)2,2k1?2)，

同理可得C(2(1k2?1)2,2k2?2)，

則直線BC的方程為9.【答案】AC

【解析】解：曲線C：mx2+ny2=1(m,n∈R)，m=n>0，曲線C是圓，所以A正確；

若m>n>0，則曲線mx2+ny2=1化為x21m+y21n=1，1n>1m>0，是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故10.【答案】BCD

【解析】解：⊙M：x2+y2?4x+2y+1=0，圓的圓心(2,1)，半徑為2，直線l：kx?y?3k=0，恒過(3,0)，所以B正確；

因?yàn)?3,0)到圓心的距離為：2<2，所以直線l和⊙M相交，所以A不正確；

直線l被⊙M截得的弦最長(zhǎng)時(shí)，直線l的斜率為：?3?20?1=1，所以直線l的方程為y=x?3，即x?y?3=0，所以C正確；

直線l被⊙M截得的弦長(zhǎng)最小值為：211.【答案】C

【解析】解：由g(x)=(x?4)f′(x)的圖象知，

當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)1<x<4或x>4時(shí)，f′(x)<0，

則f(x)在(?∞,1)上是增函數(shù)，在(1,+∞)上是減函數(shù)，

f(x)僅有一個(gè)極大值點(diǎn)1．

故選：C．

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系逐個(gè)分析g(x)=(x?4)f′(x)的正負(fù)，進(jìn)而得到f′(x)的正負(fù)，結(jié)合極值點(diǎn)與零點(diǎn)的定義判斷即可．

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．12.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

由S3=a1(1+q+q2)>0，又由1+q+q2=(q+12)2+34>0，所以a1>0．

又由S4>0，即S4=a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+q)(1+q2)>0，必有q>?1，

依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A13.【答案】1

【解析】解：設(shè)直線l方程為x+2y+C=0(C≠0)，

因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(?2,2)，所以?2+2×2+C=0，解得C=?2，直線l方程為x+2y?2=0．

因此，直線l交x軸于點(diǎn)A(2,0)，交y軸于點(diǎn)B(0,1)，可得S△AOB=12|OA|?|OB|=12×2×1=1．

故答案為：1．

先根據(jù)兩條直線平行，算出直線14.【答案】x?y?π=0

【解析】解：∵f(x)=tanx，

∴f′(x)=1cos2x，

則f′(π)=1.又f(π)=0，

∴曲線y=f(x)在x=π處的切線方程為y?0=x?π，即x?y?π=0．

故答案為：x?y?π=0．

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=π處的導(dǎo)數(shù)值，再求出15.【答案】4

【解析】解：設(shè)公差為d，則d>0，

因?yàn)閍2=2，2(a3+a6)=a3?a6，

可得2(2+d+2+4d)=(2+d)(2+4d)，解得d=1(d=?1舍)16.【答案】(0,e]

【解析】解：根據(jù)題意，曲線Γ是某函數(shù)的圖象，則在定義域內(nèi)，曲線Γ與直線x=a有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，

由于曲線y=f(x)關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱的曲線為Γ，設(shè)直線m與直線x=a關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，

直線y=x+1與直線x=a的夾角為45°，故直線m與直線y=x+1的夾角也為45°，故直線m與x軸平行，

涉及直線m的方程為y=m，

則函數(shù)f(x)=lnxx與直線y=m在(0,m]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

f(x)=lnxx，

易得在區(qū)間(0,1)上，lnx<0，f(x)<0，

在區(qū)間(1,+∞)上，lnx>0，f(x)>0，

又由f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=1?lnxx2，

易得在區(qū)間(0,e]上，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，

在區(qū)間(e,+∞)上，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)，

故f(x)的圖象大致如圖：

若函數(shù)f(x)=lnxx與直線y=m在(0,m]上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

必有0<m≤e，即m的取值范圍為(0,e]．

故答案為：(0,e]．

根據(jù)題意，分析可得：“曲線Γ是某函數(shù)的圖象”等價(jià)于函數(shù)f(x)=lnxx與直線17.【答案】解：(1)設(shè)M(x,y)，可得OM=(x,y)，AM=(x?2,y)，

所以O(shè)M?AM=x(x?2)+y2=3，整理得(x?1)2+y2=4；

(2)由(1)的結(jié)論可知M的軌跡E是以C1(1,0)為圓心，半徑R=2的圓，

若圓C：x2+y2=r2(r>0)與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)，則圓C與圓C【解析】(1)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，列式并化簡(jiǎn)，可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)由(1)的結(jié)論可知兩圓內(nèi)切，由此列式算出r的值．

本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、圓與圓的位置關(guān)系、軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．18.【答案】解：(1)因?yàn)閍1，a3，a2+5成等差數(shù)列，

所以2a3=a1+a2+5，又{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為q，

則2a1q2=a1+a1q+5a1(1+q+q2)=7，解得q=2或q=?23(舍)，故a1=1，

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n?1；

(2)當(dāng)n=1時(shí)，a1?b1=?3，

當(dāng)n≥2【解析】(1)由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的求和公式即可求解；

(2)由已知結(jié)合數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系先求出an?bn=2n?519.【答案】解：(1)∵f(x)=ex(x2+(a?1)x+1)，f′(x)=ex(x2+(a+1)x+a)，

令f′(x)=0，解得x=?1或x=?a，y=f(x)在(0,+∞)上有極值，

∴?a>?1?a<1，

故a的取值范圍為(?∞,1)．

(2)由(1)可得f′(x)=ex(x2+(a+1)x+a)，令f′(x)=0解得x=?1或x=?a，

當(dāng)?a≤0即a≥0時(shí)，y=f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)=1符合題意；

當(dāng)?a>0即a<0【解析】(1)由f′(x)=0的根及(x)在(0,+∞)上有極值，即可求解；

(2)由f(x)的單調(diào)性求f(x)的最小值，即可求解．

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，函數(shù)不等式恒成立，屬于中檔題．20.【答案】解：(1)證明：由4Sn=an2+4n?1，n∈N?，an>1，可得4a1=4S1=a12+3，解得a1=3，

當(dāng)n≥2時(shí)，4an=4Sn?4Sn?1=an2+4n?1?an?12?4(n?1)+1【解析】(1)由數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義，可得證明；

(2)由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．

本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．21.【答案】(1)解：因?yàn)镃的離心率為22，所以ca=22a2=b2+c2，所以a=2b①，

設(shè)△BF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，面積為S，

則S=12(BF1+BF2+F1F2)r=(a+c)r，又S=12F1F2?yB=bc，

所以(a+c)(2?1)=bc②，

由①②解得a=2,b=1，

所以C的方程為x22+y2=1；

(2)證明：顯然直線BM斜率存在，設(shè)其方程為y=k1x+1，則點(diǎn)F2到直線BM的距離d1=|k1【解析】(1)已知內(nèi)