2022-2023學年四川省成都市天府新區(qū)高一（下）期末數(shù)學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.cosl35°cosl50—sinl350sinl50=（）

A.?B.—?C.1D.

2.已知i為虛數(shù)單位，2=等，則復數(shù)z的虛部為（）

A.—iB.iC.1D.—1

3.已知tan（a+$=3,則比uia=（）

A.-gB.；C.-2D.2

4.已知向量方=（2,-1）,E=（k,2），且0+3）〃五，則實數(shù)k等于（）

A.-4B.4C.0D.

5.若一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為a,則這個球的表面積是（）

A.3rta2B.y/~3na2C.4y/~3na2D.12na2

6.為了得到函數(shù)y=sin（2x—》的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象（）

A.向左平移5個單位長度B.向右平移方個單位長度

C.向左平移*個單位長度D.向右平移，個單位長度

7.2023年7月28日、第31屆世界大學生夏季運動會將在成都東安湖體育公園開幕.公園十二

景中的第一景東安閣，閣樓整體采用唐代風格、萃取太陽神烏形象、蜀錦與寶相花紋（芙蓉花

）元素，嚴謹?shù)匕凑仗剖礁唛w的建筑形制設計建造，已成為成都市文化新地標，面向世界展現(xiàn)

千年巴蜀風韻.某數(shù)學興趣小組在探測東安閣高度的實踐活動中，選取與閣底A在同一水平面

的B,C兩處作為觀測點，測得BC=36m,/.ABC=45°,^ACB=105°,在C處測得閣頂P的

仰角為45。，則他們測得東安閣的高度4P為（精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：，至"1.41,

1.73）（）

p

B

A.72.0mB.51.0mC.50.8mD.62.3m

8.如圖1,在以BC為底邊的等腰△ABC中，分別是AC,AB上的點,AD=2CD,AE=2BE,

將^ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐4一BCCE.若。為BC的中點，40_L平面BCDE,

則二面角4一DE-。的余弦值等于()

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列結論正確的是()

A.等底面積、等高的兩個柱體，體積相等

B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐

C.有一個面是正方形的長方體是正四棱柱

D.用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時，正方形的直觀圖可能還是正方形

10.已知函數(shù)/(%)=—2cos2x+1，xER,則()

A.-2</(%)<2B.x=褪函數(shù)/(x)的零點

C.函數(shù)/(x)是非奇非偶函數(shù)D.x為/(x)圖象的一條對稱軸

11.在△ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列結論正確的是()

A.若。2+力2<。2,則△ABC是鈍角三角形

B.若△/BC為銳角三角形，貝必譏4>cosB

C.若二=一1，則△ABC為等腰三角形

cosBcosA

D.若A=45。，a=C，b=C，則△ABC有兩解

12.如圖，在長方體4BCD-aB1GD1中,441=AB=2AD,

M，N分別為棱G5,CCi的中點，則下列說法正確的是()

A.M,N,A,B四點共面

B,直線BN與平面ADM相交

C.直線BN和所成的角為*

D.平面4DM和平面4/iGDi所成銳二面角的余弦值為?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若復數(shù)z是方程產(chǎn)+2x+2=0的根，則復數(shù)z的模為.

14.若向量3=(4,0),3=(1,，豆)，則向量五在向量石上的投影向量坐標為.

15.圓錐SO的底面圓半徑04=1,側(cè)面的平面展開圖的面積為27r.則此圓錐的體積為

16.己知函數(shù)/(?=sin(3x-；)(?>0)在區(qū)間%兀)上有且僅有一個零點，則3的取值范圍

為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

設4、B、C、D為平面內(nèi)的四點，且4(-1,2),B(l,-1),C(0,l).

(1)若荏=而.求。點的坐標；

(2)設向量方=荏，石=前,若向量k五一行與五+2方垂直，求實數(shù)k的值.

18.(本小題12.0分)

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是4B的中點，點F是BC的中點，將△4E。、△DCF分

別沿OE、OF折起，使4、C兩點重合于點4,連接EF,A'B.

(1)求證：A'D1EF；

(2)求三棱錐4-DEF的體積.

19.(本小題12.0分)

如圖、在四邊形48co中，E,F分別為4B,CO的中點.

(1)求證：2請=而+就;

(2)若荏=2覺，|而|=2|而|=2，向量荏，而的夾角為［EG=(EF,求|

JJ

20.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-ABC。中，底面4BCD是邊長為2的正方形，P4_L平面4BCD,PA=3,點E,

F分別在線段PB,P。上，且滿足PE=#B,PF=”.

⑴求證：EF〃平面力BCD；

(2)求直線BF與平面ABCD所成角的正切值.

P

21.(本小題12.0分)

蜀繡又名“川繡”，與蘇繡，湘繡，粵繡齊名，為中國四大名繡之一，蜀繡以其明麗清秀的

色彩和精湛細膩的針法形成了自身的獨特的韻味，豐富程度居四大名繡之首.1915年，蜀繡在

國際巴拿馬賽中榮獲巴拿馬國際金獎，在繡品中有一類具有特殊比例的手巾呈如圖所示的三

角形狀，點。為邊BC上靠近B點的三等分點，Z.ADC=60°,AD=2.

(1)若N4C。=45。，求三角形手巾的面積;

(2)當需取最小值時，請幫設計師計算BD的長.

AD

22.(本小題12.0分)

已知。為坐標原點，對于函數(shù)/(X)=asinx+bcosx,稱向量麗=(a,b)為函數(shù)f(x)的聯(lián)合向

量，同時稱函數(shù)f(x)為向量而的聯(lián)合函數(shù).

(1)設函數(shù)g(x)=sin(x+y)+cos(y+x).試求函數(shù)g(x)的聯(lián)合向量的坐標；

(2)記向量麗=(1,/?)的聯(lián)合函數(shù)為/"(X),當/'(X)=|且xG(一:3)時，求sinx的值；

(3)設向量麗=(24,-2/1)，4eR的聯(lián)合函數(shù)為a(x),麗=(1,1)的聯(lián)合函數(shù)為u(x),記函數(shù)

/l(x)=u(x)+v2(x),求九。)在［0,7r］上的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：cosl35°cosl5°—sml35°sinl50=cos(135°+15°)=cosl500=—cos30°=—芋?

故選：B.

利用兩角和的余弦公式，誘導公式化簡即可求解.

本題主要考查了兩角和的余弦公式，誘導公式在三角函數(shù)化筒求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，

屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：2=告=湍占=l-i,

則復數(shù)z的虛部為-1.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結合復數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，即可求解.

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及虛部的定義，屬于基礎題.

3.【答案】B

【解析】解：因為tan(a+[)=3=齊等%，所以t^a=

4lTmata92

故選:B.

直接利用兩角和的正切公式展開，再解方程，即可.

本題考查三角函數(shù)的求值，熟練掌握兩角和的正切公式是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于

基礎題.

4.【答案】a

【解析】解：a=(2,—1),b=(fc,2))

則蒼+1=(2+k,l)，

???(a+b)//a.

.?.2x1=-(2+k),解得k=-4.

故選:A.

根據(jù)已知條件，結合向量共線的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎題.

5.【答案】A

【解析】解：正方體的體對角線就是正方體的外接球的直徑，

設正方體的外接球半徑為R,貝U2R=V?2+a2+a2,解得R=，

所以外接球的表面積為47r(?a)2=37m2.

故選：A.

由己知得正方體的體對角線就是正方體的外接球的直徑，求得外接球的半徑，再由球的表面積公

式可得選項.

本題考查了正方體外接球的表面積計算，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用函數(shù)的圖象的平移變換的應用求出結果.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)圖象的平移變換的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能

力，屬于基礎題.

【解答】

解：為了得到函數(shù)y=sin(2x_1)=sin[2(x-/的圖象，

只需把函數(shù)y=s出2x的圖象向右平移7個單位即可，

故選：D.

7.【答案】C

【解析】解：在A4BC中，Z.ABC=45°,Z.ACB=105°,則4B4C=30°,

由正弦定理得二磊=r*，即4C=包包第=滔殳=36，至6，

smwBACsmz?lBCs\nz.BAC1

在MPC中，則"4C=90。，乙4cp=45。，

.??△4PC是等腰直角三角形，

:.AP=AC=36y/-2?50.8m，

他們測得東安閣的高度4P為50.8m.

故選：C.

利用正弦定理可得4C,結合AAPC是等腰直角三角形，即可得出答案.

本題考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：如圖1,連接。4交DE于點F,

圖1圖2

:0為BC的中點，AC=AB,OA1BC,

vAD=2CD,AE=2BE,：.BC//DE,

OA1DE,AF=2OF,

將△ADE沿DE折起，則。F-LDE,A'F1DE,

NOFA即為二面角A-DE-O的平面角，

???4'。_L平面BCOE,OFA'O1OF,

cos9%=黑，

故選：A.

如圖1,連接。4,交DE于尸，推導出04_LDE,AF=2OF,則OF1DE,AF1DE,則z■。兄4即為

二面角A-DE-。的平面角，由此能求出二面角A—DE-。的余弦值.

本題考查二面角的定義及余弦值的求法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】AC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于力，由棱柱、圓柱的體積公式，等底面積、等高的兩個柱體，體積相等，A正確;

對于氏底面是正多邊形且頂點在底面射影為底面中心的棱錐是正棱錐，8錯誤；

對于C,有一個面是正方形的長方體是正四棱柱，C正確；

對于D,用斜二測畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時，正方形的直觀圖是平行四邊形，。錯

誤.

故選：AC.

根據(jù)題意，由正方體的幾何結構和平面圖形的直觀圖，依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

本題考查棱柱的幾何結構，涉及直觀圖的作法，屬于基礎題.

10.【答案】ACD

［解析］解：因為/'(x)=y/~3sin2x—2cos2x+1=y/~3sin2x-cos2x=2sin(2x—看),

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，—2Wf(x)W2,A正確；

由于/管)=2si唯=1r0,故x建不是函數(shù)的零點，B錯誤；

/(-x)=2sin(-2x-J)*±/(x),故f(x)為非奇非偶函數(shù)，C正確；

令2x-*=3可得x=?為函數(shù)的一條對稱軸，O正確.

oL3

故選：ACD.

先利用二倍角及輔助角公式進行化簡，然后結合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗各選項即可判斷.

本題主要考查了二倍角公式，輔助角公式的應用，還考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的應用，屬于基礎題.

11.【答案】ABD

【解析】解：對于4因為。2+爐<。2,所以c°sC=E直至<0，

2ab

因為CW(0,71),所以C為鈍角，所以△4BC是鈍角三角形，故A正確；

對于8,因為△ABC是銳角三角形，所以4+8冶，所以0<>8<4<看

因為y=在(0,鄉(xiāng)上單調(diào)遞增，所以sin(］-8)<sinA,所以s譏4>s譏8,故3正確;

對于C,由——=-得bcosB,

cosBcosAQCOS/4=

由余弦定理得a?廬+。2-。2=b.a2+c2f2,

2bc2ac

2224224

所以@2(/_|_c2_@2)=爐(小+_fo),ac-a=bc-b,

所以一b2)=(a2-62)(a2+b2),所以(M-h2)(a2+b2-c2)=0,

所以a?—b2=0或a?+b2—c2=0,

所以△力BC為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤;

對于D,在△ABC,A=45°,a=q,b=73.

則由正弦定理得三=—%,鼻=口，

sinAsinBstn450stnB

得sbiB=?，因為0。<8<135。，所以B=60?；駼=120。，所以△ABC有兩解，故。正確.

故選：ABD.

對于4,利用余弦定理分析判斷；對于B,利用誘導公式分析判斷；對于C,利用余弦定理統(tǒng)一成

邊形式化簡判斷；對于O,利用正弦定理計算判斷.

本題主要考查解三角形，正余弦定理的應用，三角形形狀的判斷，考查邏輯推理能力，屬于中檔

題.

12.【答案】BD

【解析】解：對于4連接A%,BQ,如圖,

AMu面4BGD1，而Be面ABCiDi，NC面4BGD],

??.M,N,4B四點不共面，故A錯誤；

對于B,若尸為中點，連接4F,N為棱CCi的中點,

由長方體性質(zhì)得AF〃8N,BN仁平面ADM,

若BN〃平面ADM,而4尸（1平面4。"=4,矛盾,

??.直線BN與平面ADM相交，故8正確；

對于C,若H,G分別是441，4/1中點，連接HD】，GDi，

由長方體性質(zhì)知”。i〃4F，GD[〃B\M,

-AF//BN,.-.HDJ/BN,直線BN與所成角為/GDi”,

設AB=2a,由已知&G==&Di=a,^\HD1=GDr=HG=/7a，

.?.△HDiG為等邊三角形，NGD"為60。，

???直線BN與所成角為半故C錯誤；

對于D,若G是4%中點，貝IJMG〃&BJ/AD,二4、D、M、G共面，

平面ADM和平面的夾角即是面ADMG和面4祖（71。1的夾角，

???面4DMGn面4$心。1=MG,長方體中初1&G,AAt1MG,

■■乙4GAi為面40MG和面&Bi&A的夾角，如圖，

cos乙4GAi=故。正確.

故選：BD.

對于A,連接ZDi，BG，根據(jù)AM、B、N與面ABCi。1位置關系即可判斷；對于8,尸為。久中點，

連接”，推導出4F〃BN,根據(jù)它們與面4CM的位置關系即可判斷；對于C,若H,G分別是

中點，連接GD1,推導出直線BN和BiM所成角為NG/，，再證明△H/G為等邊三角形

即可得大??；對于。，若G是必當中點，求面40MG和面的夾角即可，根據(jù)面面角的定義

找到其平面角即可.

本題考查四點共面的判斷、線面垂直的判定與性質(zhì)、異面直線所成角、二面角的定義及余弦值的

求法等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

13.【答案】?

【解析】解：復數(shù)z是方程/+2尤+2=0的根，

則復數(shù)￡是方程/+2尤+2=0的根，

故z-z=\z\2=2,解得|z|=y/~2-

故答案為：＜1.

根據(jù)已知條件，推得復數(shù)5是方程/+2x+2=0的根，再結合韋達定理，以及復數(shù)模公式，即可

求解.

本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎題.

14.【答案】(1,「)

【解析】解：a=(4,0)5=(1,7~3)?

二五在另上的投影向量坐標為：=

故答案為：(LV~3).

根據(jù)投影向量的計算公式求出答案即可.

本題考查了投影向量的計算公式，向量坐標的數(shù)量積運算，考查了計算能力，屬于基礎題.

15.【答案】曹

【解析】解：根據(jù)題意，設圓錐的高為八，母線長為，，

圓錐S。的底面圓半徑。4=1,側(cè)面的平面展開圖的面積為2兀，則有27r=7TXO4X/,

則，=2,

故該圓錐的高九=V4—1=

故此圓錐的體積V=之答h=穿.

故答案為：號.

根據(jù)題意，設圓錐的高為九，母線長為I,由圓錐的側(cè)面積公式求出I,進而可得圓錐的高，由圓錐

體積公式計算可得答案.

本題考查圓錐的體積計算，關鍵求出圓錐的高，屬于基礎題.

16.【答案】G，l)u(言

【解析】解：因為函數(shù)/(尤)=sinQx-軟3>0)在區(qū)間第兀)上有且僅有一個零點,

所以7=22兀Y=

0)44

所以?巖，

由X6G，zr),

可得3X_：€?3_:，九3―力,

由0<3登，得一^〈注一并駕，

344412

15

解得<3<

當一/<0,即OV3Vl時，則0VTTO)—/W7T,4--4-

所以;V3<1,

4

5859

苑

當

小

解得

O<則<3<2<<

<-3-7T--7T---7T一---

441237T7T47T,44

綜上所述：3的取值范圍為G，i)uGt].

故答案為：G，I)UQ3].

根據(jù)題意可得r=穿之兀一六手從而可求得3的一個大范圍，根據(jù)xe/m可得蛇一色

(^3—1兀3-令，再由/3—%的范圍分類討論，結合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

本題考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應用，考查了函數(shù)思想和分類討論思想的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴設O(x,y),???4(-1,2),B(l,-1),C(0,l),且同=亦

(2,-3)=(x,y-l),

.?普=一3,解得「：［2,

???D(2,—2)；

(2)a=AB=(2,-3)5=BC=(-1,2).

??ka-b=(2k4-1,-3k—2)>a+2b=(0,1)，且kG一方與3+29垂直，

(ka-b)-(a+2b)=-3k-2=0.解得k=-|.

【解析】⑴設。(無,y),根據(jù)點4B,C的坐標及荏=方可得出(2,-3)=(x,y—l),然后解出*,

y即可；

(2)可求出k日一坂和方+23的坐標，然后根據(jù)ka-石與W4-2石垂直得出(ka-K)?(a+2b)=0)

然后進行向量坐標的數(shù)量積運算即可求出k的值.

本題考查了根據(jù)點的坐標求向量的坐標的方法，向量坐標的加法、減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運算,

向量垂直的充要條件，考查了計算能力，屬于基礎題.

18.【答案】(1)證明：在正方形4BCD中，有力D1AE,CD1CF

則ADJ.4E,A'D1A'F,

又4EnA'F=A'

A'D_L平面4'EF

而EFu平面4EF,A'D1EF....6'

(2)由等體積可知％-DEF=^D-AiEF=3^A'EF，4。=g12'

【解析】(1)根據(jù)平面圖形折疊后的不變量可得4。A'DA'F,然后利用線面垂直的判定

得到線面垂直，從而得到線線垂直；

(2)利用等體積法，轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判斷定理的應用，考查空間想象能力以及計算

能力.

19.【答案】證明：（1）』E,尸分別為4B,CD的中點,

~DF=-CF,~EA=-麗，

"IF=EA+AD+~DF>①

EF=~EB+BC+CF，②

①+②得：2^麗+而+就+前+帚

.-.2EF=AD+BC.

解：（2），.?荏=2配，EG=|EF,

???AG=AE+EG=^AB+^EF=^AB++AD+OF）

=^AB+^-^AB+AD+^AB）

=^AB-^AB+^AD+^AB

2336

=^AB+IAD,

■.■\AB\=2\AD\=2r向量荏，力的夾角為全

：.AB-AD=\AB\\AD\cos^=2xlx；=l,

.?.|宿=J（逆+|硒2

I1>24，>45

=+98T0+。。

\999

=J”+”+”=l,

【解析】（1）由平面向量的線性運算計算即可證明；

（2）由平面向量的線性運算得而=lAB+|而，再由平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)計算即可.

本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算，屬于基礎題.

20.【答案】證明：（1）如圖，連接BD,

所以EF〃BD,

因為EF仁平面4BCD,BDu平面ABC。，

所以EF〃平面ZBCD；

解：（2）如圖，在線段4。上取點G,使AG="AD,連接FG,BG,

-1o

因PF=、P。,則FG//PA,且FG=（P4=2,

因PA_L平面ZBCD,

所以FGJL平面ABC。，F(xiàn)G1BG,

故"BG即為直線BF與平面/BCD所成角，

因/BCD是邊長為2的正方形，

1?

所以4G=-/ID=AB=2,

BG=VAB2+AG2=J22+））2=￡￡12,

所以tan/FBG=恁=&=噂，

3

故直線BF與平面ABCD所成角的正切值為甯.

【解析】（1）證明EF〃B。，結合線面平行的判定定理即得；

（2）作FG〃P4則直線BF與平面ABCO所成角為NFBG,根據(jù)題中線段長度，求tan"BG即可.

本題主要考查線面平行的判定定理和直線與平面所成的角，屬于中檔題.

21.【答案】解:(1)在△ACD中，440)=45。，AADC=60°,

故4。4c=75°,Z.ADB=120°,

由正弦定理得DCAD

sinz.DACsin乙4CD'

即”=也富，

s2n45

而sin75。=sin(30°+45°)=1？+?*浮=口嚴,

故DC=-常=1+C，

V2—

故80=卬=；(l+/3),

故三角形手巾的面積為

1

SXADC+S&ADB=54。xDCxsinz.ADC+—ADxDBxsin/-ADB=5x2x(1.+V~3)2-

?、,1+C、,V-39+3口

224

(2)設80=m(m>0),貝iJC。=2m,

則在△ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcos^ADB=m2+4+2m,

在4AC。中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADCOSLADC=4m24-4—4m,

故4(?2_4m2+4_4m_4(m2+4+2m)-12(l+m)

AB2m2+4+2mm2+4+2m

=4_12(l+m)=4_12(l+m)=4_12

m2+4+2m(m+l)2+3(m+l)+島?'

由于(m+1)+122J(m+1).上=2「，當且僅當加+1=—］，即m=-1時取等

、'm+1Y、,m+1m+l

號，

故4------——>4-=4—2y/~3

6+1)+高2口，

即紇取到最小值即騎取最小值時，m=「一1,

AB1