專題05五類圓錐曲線題型-2023年高考數(shù)學(xué)大題秒

殺技巧及專項(xiàng)練習(xí)(解析版)

圓錐曲線問(wèn)題一般分為五類：

類型1：圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題；

類型2：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題；

類型3：圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問(wèn)題；

類型4：圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題；

類型5：圓錐曲線中的向量問(wèn)題；

下面給大家對(duì)每一個(gè)類型進(jìn)行秒殺處理.

類型1：圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題；

1、曲線方程的定義

一般地，如果曲線C與方程F(X,y)=0之間有以下兩個(gè)關(guān)系：

①曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解；

②以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線C上的點(diǎn).

此時(shí)，把方程尸(x,y)=O叫做曲線C的方程，曲線C叫做方程尸(x,y)=O的曲線.

2、求曲線方程的一般步驟：

(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系(如果已給出，本步驟省略)；

(2)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)；

(3)根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫(xiě)出等式；

(4)用坐標(biāo)X、丁表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；

(5)確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍.

上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍.

3,求軌跡方程的方法：

3.1定義法：

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義，

則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。

3.2直接法：

如果動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)P滿足的等量

關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)尸所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)尸的坐標(biāo)(x,y)表

示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。

3.3代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：

如果動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)P'的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，(該點(diǎn)坐標(biāo)

滿足某已知曲線方程),則可以設(shè)出尸(x,y),用(x,y)表示出相關(guān)點(diǎn)p的坐標(biāo)，然后把P

的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

3.4點(diǎn)差法：

圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問(wèn)題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)

Aa,%),3(%,%)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得占+%，

%+%，X]—&,%等關(guān)系式，由于弦AB的中點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足2x=%+々，

2丁=%+%且直線AB的斜率為五』，由此可求得弦AB中點(diǎn)的軌跡方程.

—玉

圓錐曲線中的軌跡方程問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

1.在平面直角坐標(biāo)系尤Qy中，點(diǎn)AB分別在X軸，y軸上運(yùn)動(dòng)，且|鉆|=3,動(dòng)點(diǎn)尸滿足

也OP=&OA+OB.

⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵設(shè)圓o-.x2+y2=2上任意一點(diǎn)Q處的切線交軌跡C于點(diǎn)M,N兩點(diǎn)、,試判斷以為直徑

的圓是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴!+!=1

63

⑵以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(0,0).

【詳解】(1)設(shè)尸(x,y),A(Xo,O),B(O,%)

由|A5|=3得尤;+y；=9①

由后OP=yl20A+0B得(瓜上y)=(瓜,0)+(0,%)

x=生r

所以X。一正"代入①式得埠燈+(島)2=9

)0=島，

整理得5+《=1，所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程為5+!=1.

6363

(2)①當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為尤=應(yīng),尤=-四

⑴當(dāng)切線方程為片夜時(shí)，M(0,0),N(&,-0)

以肱V為直徑的圓的方程為(尤-應(yīng)了+必=2②

(ii)當(dāng)切線方程為x=-夜時(shí)，(-也，-版)

以MN為直徑的圓的方程為(x+g?+y2=2,③

由②③聯(lián)立，可解得交點(diǎn)為(0,0).

②當(dāng)過(guò)點(diǎn)。且與圓。相切的切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y=kx+m,

y=kx+m,

2

由＜%2y聯(lián)立并消去》整理得(1+2左2)%2+4而u+2病-6=0

——+—=1,

163

因?yàn)锳=16外加之_蟲(chóng)1+2f)(2m2-6)=-8(m2-6k2-3)

=-8(2女2+2-6*-3)=8(4*+1)>0

所以切線與橢圓C恒有兩個(gè)交點(diǎn)，

A.0—6

設(shè),%),N?,%),貝！j占+%=一；。尸,不羽=--

1+2K1+2化

所以O(shè)M-ON=+%%=芭9+(依+m)(4+m)

12

=(1+k)xlx2+km&+々)+/=(1+F)—~"+km-(一一+m

1+2左21+2打

_3/6-642_3x2(F+l)—6-6左2_0

--l+2k2--1+2F―

所以O(shè)MLON,即以MV為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)(0,0)

綜上所述，以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(。，0).

2.已知雙曲線)(=1(。>0,6>0)與直線4：>=依+機(jī)卜±￡|有唯一的公共點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)

M且與《垂直的直線4分別交x軸，y軸于A(x,0),8(0?)兩點(diǎn)，點(diǎn)「坐標(biāo)為。/),當(dāng)M點(diǎn)

坐標(biāo)為(2,3)時(shí)，尸點(diǎn)坐標(biāo)為(8,4).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)當(dāng)點(diǎn)"運(yùn)動(dòng)時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.

2

【答案】⑴f一二=1

3

（2）上一上=1且ywO,軌跡是去掉頂點(diǎn)的雙曲線.

1616

1?

【詳解】（1）由題設(shè)，4：＞一3=—7（九一2）,令y=。，貝ijx=3k+2,令x=0,貝!Jy=：+3,

kk

22

所以A（3左+2,0）,5（0,：+3）,故尸（3左+2,：+3）,

kk

'3左+2=8

所以bC,可得左=2,即4:y=2%+加且過(guò)（2,3）,貝

—+3=4

、k

22

所以4:y=2x-1,代入二-與=1并整理得（戶一44）/+4/尤一"一/廿=0,

ab

Q

貝！JA=16〃4+4（〃一4Q2）（〃2+。2b2）=。，即1+62=412,又二4一二］,

Iy=kx+m.c

由（1）聯(lián)立雙曲線與直線：22°，貝|3/_（丘+刈2=3,

\3x-y=3

所以（3-產(chǎn)優(yōu)-2加質(zhì)—病—3=0,貝ljA=4療％2+%3—左2）（加2+3）=o,

mkkk23

整理得濟(jì)+3=公，故為=獲‘％=----1-m=----

3-甘mm

而，2：y+-3=—\：(%+k一),令y=o,則x=—4竺"，令］=0,貝|y=_42,

mkmmm

二匚I、Inr4k4曰4/4k、216k24842

所以尸(---,)，顯然(----)=-—=16-\--=16+3-()，

mmmmmm

故P點(diǎn)的軌跡方程為-=16+3/,即看一支=1且y*。(注意：乙的斜率存在),

1616

所以軌跡是去掉頂點(diǎn)的雙曲線.

3.在平面直角坐標(biāo)系尤沖中，動(dòng)點(diǎn)P到加卜上,0）,N（g,0）的距離之和為4.

⑴求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵已知點(diǎn)A（-2,0）,B（0,-l）,若點(diǎn)。（4%）,E（W，%）是曲線C上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn),

且AD//8E,記OOE的面積為S,問(wèn)S是否定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

【答案】⑴“1

（2）是定值，定值為1

【詳解】（1）由題意易知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以“卜石,0）,N（g,0）為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4

，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：—+/=1.

4

（2）顯然直線AD的斜率存在，設(shè)AD的方程為：y=k（x+2）

X22

~4+y=得：（4/+1）/+16左2%+4（4左2-1）=0,

聯(lián)立

y=k（x+2）

4G/一1）得:4k

設(shè)。（五%）,則一2玉=%=%（&+2）=

4k2+14/+14^+1

’2（1-4陰4k、

:.D

4k2+1'4k2+l'

7

由AD!/BE可設(shè)BE的方程為y=kx-l,E（x2,y2）,

看2=1

22

聯(lián)立,1十丫T得：（4^+l）x-8fcr=0,

y=kx-l

8k8k4k2-I

-1=

4^2+l4青+1'

C8k4/一1

:.E

、4/+I'4%2+Iy

法1：

\2

DOE=^\OD\.\OE\-smZDOE=J1。葉|。斗1一ODOE

S1^|or>I2-|OE|2-（OD-O￡）2

2|MT網(wǎng)

+才）（考+式）一（無(wú)也+%必丫=；1%）；+考捕一2%尤2%%=；k跖一々％|

2。-4二）4/一18k4k2（4二一1『+32左2

24k2+14k2+14k2+14k2+12（4F+1）2（4F+1）2

=1,故為定值1,

V—y

法2：DE的方程為：yf=；,即（%-%）%-（占一W）y+玉%-9％=0,

%當(dāng)一馬乂|

。到￡>E的距離為d=

，（%-%）2+（菁-*2）2\DE\

:.S=~d-\DE\=^\xiy2-x2yl\,后同解法1.

/B

4.已知A（-1,O）,3（1,0）,直線AM,2"相交于V,且直線AM,的斜率之積為2.

⑴求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；

⑵設(shè)P,Q是點(diǎn)、M軌跡上不同的兩點(diǎn)且都在y軸的右側(cè),直線AP,8。在y軸上的截距之比為

1:2,求證：直線PQ經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

2

【答案】⑴龍2一三=1（尤片±1）;

（2）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)（3,0）.

【詳解】（1）設(shè)M（x,y）（x豐±1）,則直線AM的斜率是勺=上；，直線的斜率是網(wǎng)=—,

x+1x-1

2

所以匕"=上?上=2,化簡(jiǎn)整理得：尤2一匕=1（尤二±1）,

x+1x-12

2

所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是犬-;=1（於±1）.

（2）設(shè)直線AP在y軸上的截距為乙則直線8。在y軸上的截距為2f,顯然?o,

直線”的方程為三+2=1,即y=f（尤+1）,直線的方程為:+三=1,即>=-2?-1）,

-1t12t

2_

又雙曲線犬-三=1的漸近線方程為y=±J5x,顯然直線AP與雙曲線兩支各交于一點(diǎn)，

直線8Q與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，則有且2|4>0,于是忘，

2

y=，（x+l）

由2y2消去y化簡(jiǎn)整理得：（--2）x2+2產(chǎn)尤+d+2）=。，設(shè)點(diǎn)尸（辱,處）,

x.......-1

I2

22、4t

則號(hào).(-])=*/7，解得/=_/-/|0，有y'=r/_?/++2”=_『，

t-2t-2Ii一乙)t一/

y=-2/(x—1),

由V2消去y化簡(jiǎn)整理得：(2產(chǎn)-1)*2-4』》+(2產(chǎn)+1)=0,設(shè)點(diǎn)P(a,%),

x-----=1

I2

則演?1=源土解得勺=絲蟲(chóng)，有坨=2

Q2/一102r-l

2產(chǎn)+1?+24(？-1)4t4r4r(/2+l)

22/2-1r-2(2r2-l)(r2-2)62產(chǎn)-1產(chǎn)-2(2產(chǎn)-1)(產(chǎn)-2)

于是史（遙.一設(shè)直線尸。上任意一點(diǎn)gy），則

nn/?+24%、

i—乙i一乙

顯然PR〃PQ,因此皿治）=（產(chǎn)一即為）,即—,

整理得x=±ly+3,顯然直線x=tzly+3恒過(guò)定點(diǎn)(3,0),

tt

所以直線P。經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（3,0）.

5.在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，已知點(diǎn)川-6,0）、瑪（6,0）,四耳|+|崢|=4,點(diǎn)加的軌跡為

C.

（1）求C的方程;

⑵設(shè)點(diǎn)P在直線x=s（卜|>2）上，A、B為C的左右頂點(diǎn)，直線P4交C于點(diǎn)E（異于A3）,

直線總交C于點(diǎn)尸（異于A3）,E尸交A3于G,過(guò)G作X軸的垂線分別交叢、PB于R、T,

問(wèn)是否存在常數(shù)4,使得|RG|=HTG|.

【答案】⑴”』

⑵存在常數(shù)2=1,使得|尺@=川7兄

【詳解】（1）因?yàn)镋（-6,0）、月（6,0）,|岫|+|4|=4萬(wàn)耳耳1=2百,

所以點(diǎn)M的軌跡以片、B為焦點(diǎn)的橢圓,

這里c=sfi,2a=4,<2=2,所以從=1—c?=4—3=1,

所以橢圓0的方程為*"L

（2）^PA:x=my-2,—+y2=1,得（沖一2）2+4/=4,

4

2

gp（m+4）/-4my=0,得：yE=xE=myE-2=

m+4m+4

^PB:x=ny+2,代入土+>2=],得+2>+4/=4,

4

即W+4W+4町）=0,得：%==,4=*+2=考粵,

n+4n+4

GE=（x￡-%，%）,EF=（XF-XE,yF-yE）,

由EG//￡F得（%一%）（y尸-%）=（8-4）>E，得4-x0=J，

2m2-8-4n-In1+84m

7曰丫_r_九（馬-x.）_/力一左與_加2+4-2+4-2+4/+4

布％「%一/=…=H4m

/+4m2+4

（2m2-8）（-n）-^-2n2+8）m2mn（m-H）+8（m-n）2（m-n）

一〃2+4）一m（〃2+4）mn（m+n）+4（m+n）m+n

4-4

代入尸4:%=的一2,得力=----,代入M:%=〃y+2,得為=-----,

m+nm+n

因?yàn)閨RG|=*G|,所以人愕^^=1.

I，。IIJTI

所以存在常數(shù)4=1,使得源q=川74

類型2：圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題

1、相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）

直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根

據(jù)實(shí)際情況處理該式子。

主要有以下幾種問(wèn)題：

（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線;

中點(diǎn)M（x。，%）,x°="^，五廣"21

2、點(diǎn)差法

22

設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A（X],%）,B（x2,y2）,代入橢圓方程，得冬+）=1；

ab

22

將兩式相減，可得立W+與=上=0；（X]+X2），「X2）=—（%+%），「%）；

a2b2a2b-

最后整理得：「一學(xué)33=l=-^4-A

b（石+%2）（%一工2）bx0

同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：]=：。+%）（乂-%）01=k.^_.y（L

（%1+x）（xx

b21-x2）b0

設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A（x「%）,3（%,為），代入拋物線方程，得力2=2內(nèi)；

=2M；

y,-y,2p

將兩式相減，可得（%—%）（%+為）=2，（七一工,）；整理得：=——

七一%X+%

圓錐曲線中的中點(diǎn)弦問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

6.已知橢圓。:乂+==1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為"、F2,離心率為型，其短軸

的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)Fi的距離為出.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若尸為。片的中點(diǎn)，〃為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)尸且平行于的直線/與橢圓C相交于A,B兩

點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)4,使得如OAf『=|叫dPH?若存在，求出2的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】⑴曰+丁=1

4

⑵存在；A=-

【詳解】（1）由題意，得&=后==8

又e，=2,所以c=2,

a5

22

所以/?=y/a—c=1,

丫2

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+y2=1；

5

（2）（-2,0）,尸（一1,0）,

若直線/的斜率不存在，則QM=1,|尸川=|尸同=寺,

由九|0河|2=|斜.戶到，得力=：,

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y=Mx+l）,

y=（+1）,

由，X22,消去y,得（5〃+1）爐+1。/尤+5左2-5=。，

——+y=1

[5J

A=（10Jt2）2-4（5F+l）（5F-5）＞0,

設(shè)3（孫yj,

10k25k2-5

貝!]+x2=—再飛=目

5k2+1

由題意1PH=A//+I|XI+I|，|PB|=7F+I|X2+I|,

所以照H即=。2+1）|（占+1）優(yōu)+1）|

4,2+1）

—（左~+1）.X?+（不+%2）+1|=

5左2+1

由題意知，直線。M的方程為丫=人:,

y=kx,

由，g2_消去y,得（5公+1）尤2-5=0,

.T+y-

設(shè)〃（知為），則看=工工，

DK十i

所以|OM』；+y；=裝?,

l\fI1

由㈤。知?dú)w到，得力=：,

尸困成立.

7.已知斜率為近的直線/與拋物線C：V=4x相交于P,。兩點(diǎn).

（1）求線段尸。中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值;

⑵已知點(diǎn)T（g,O）,直線TP,T。分別與拋物線相交于M,N兩點(diǎn)（異于尸，Q）.則在y軸

上是否存在一定點(diǎn)S,使得直線MN恒過(guò)該點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)S的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】⑴空

3

⑵存在，S的坐標(biāo)為（0,-3）

【詳解】（1）設(shè)「（再,y）,Q（x2,y2）,其中玉片々.

，2A

由得￥-貨=4芯-4%-化簡(jiǎn)得

［貨=4%2%-尤2乂+%

??.A/3=——,即%+%=型.

y+%23

，線段PQ中點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為竽.

（2）設(shè)y軸上存在定點(diǎn)S（O,s）,由題意，直線MN斜率存在且不為0,設(shè)直線MN：y=kx+s,

由卜=4尤‘消去得—+4s=0.

△=16-16依>0,:.ks<l.

44s

二?%+%=%，

P，T,M三點(diǎn)共線，

y3-°.y.-o

yL_jj?解得斗為二-46.

4-4-

同理，可得

k__4_4_1乂_r-

又…一*+*一與E"

44%”

%%45T

4

%+%

一

女

???直線MN恒過(guò)定點(diǎn)（0,-3）.

22

8.已知斜率為/的直線/與橢圓C:二+乙=1交于A,2兩點(diǎn)，線段A8的中點(diǎn)為M(”,根).

63

(1)若〃=1,m=-l,求％的值；

⑵若線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)尸,且=求直線’的方程.

【答案】⑴]

(2)y=±%+l

/y\1

—+—=i

【詳解】(1)由題設(shè)?3,作差可得

xByR1

工十2=l

、63

Xyi-y}_(x+xxx-x)(%+%)(%—%)_八

--A----4----1,-----A------B-----A------B---(1-u,

6363

^xA+xB=2n=2,yA+yB=2m=-2,故%；-=2(%；-),

所以勺T

2,

(2)由題意，直線/斜率一定存在，令直線/為y=/%-〃)+加，

若上=0時(shí)/：>=加且M(o,機(jī))，-73<m<y/3,此時(shí)中垂線PM與y軸重合,

與題設(shè)中，垂直平分線與y軸交于尸[。，-,矛盾，不合要求；

若七。，由⑴知：/a-"(…),則^叢二九一白，

33XA-XB2m

1

則中垂線為y+-=—x,^\i6mx-3ny-n=Q,又在該直線上，

3n

所以3加一〃=0,得〃=0或加=；,當(dāng)〃=0時(shí)左=0不滿足要求，故相=；,

故左=,BPZ:y=———n(x—n),聯(lián)立橢圓得：x123+2[———n(x—n)]2=6,

X2

整理得9(2+9/)——18〃(2+9〃2)+81〃4+36n-104=0,

ULI、Ic81幾4+36孔2—104rI/T/9

所以4=2〃，-]—，貝!][45|=4+左2々(4+%)2一44乙

9(Z+9AZ)Y

由網(wǎng)=4阿,則解得一|,

9.已知?jiǎng)狱c(diǎn)T為平面內(nèi)一點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn),T到點(diǎn)尸(1,0)的距離比點(diǎn)T到y(tǒng)軸的距離大1.設(shè)

點(diǎn)T的軌跡為C.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)直線/：x=-l,過(guò)P的直線與C交于A,B兩點(diǎn),線段A8的中點(diǎn)為M,過(guò)M且與y

軸垂直的直線依次交直線OA,OB,/于點(diǎn)N,P,Q,直線OB與1交于點(diǎn)E.記一AMN的

面積為S-aEP。的面積為邑，判斷岳，邑的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

［答案］⑴y2=4x

(2)3=邑，證明見(jiàn)解析

【詳解】(1)設(shè)T(x,y),由題意得J(Aiy+y2=x+l,化簡(jiǎn)得y2=4x,

故所求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡方程Cy2=4x.

(2)S],邑的大小相同，證明如下：

設(shè)直線AB:x=my+l,4腎,％],“卷,％；

\x=my+1_

由<2、得：y—4mx—4=0,A=16m2+16>0,則%+%=4相，=-4.

[y=4x

線段AB的中點(diǎn)為M,貝。1-1,"21),

又直線OA:y=^x,令y=2l土①，則尤="+%%=上4,故N[咚嗎&

^28882

式-4巖］,則|MN1=中-個(gè)=個(gè)，附1=T一㈠

同理p

8ZJOOOOO

所以|AW卜|PQ|.

又直線02:y=Wx,令尸―1,則>=心=址=%，即石（一1,%），

必為為'7

綜上，s.=s2.

10.已知橢圓C的下頂點(diǎn)M,右焦點(diǎn)為EN為線段Mf■的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，\ON\=^-,

點(diǎn)廠與橢圓C上任意一點(diǎn)的距離的最小值為73-A/2.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵直線/：丁=辰+加（左片0）與橢圓C交于AB兩點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)〃的直線使得點(diǎn)A與點(diǎn)

8關(guān)于直線/'對(duì)稱，求機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴￡+9=1

3

（2）；（根<2

【詳解】（1）根據(jù)題意得：|尸M|=，=2|ON|二指,

a—c=y/3—yf2，

b2=a2—c2=19

根據(jù)題意得:AB的中垂線過(guò)點(diǎn)M（O,-D,

y=kx+m

由2，化簡(jiǎn)得：（1+3左2卜2+6物a+3療-3=0,

丁,=

2/：2,

A>0n36左療_4（1+3/）（3帆2_3）>0n/<1+3

設(shè)A（占,%）,3（%2，%），

-6km3療一3

_2m

yl+y2=k（xl+x2）+2m=+2m=------7

1十3K1+3/

—3kmm

「.AB的中點(diǎn)

1+3Z?'1+3妤

女wO,

m13km

???AB的中垂線方程為:y-丁Rx+--------

1+3Kk1+3左2

m3m

代入點(diǎn)M的坐標(biāo)得:T-

1+3左21+3/

/.2m=l+3k2,故加>1,

代入病<1+3左2且/<2m,

2

類型3：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題

1、弦長(zhǎng)公式

\AB1=J（l+k2）（匹―％）2

=J1+32|X]-%21

=J（l+k2）［（石+工2）2-旬/］（最常用公式，使用頻率最高）

%+城-

2、三角形面積問(wèn)題

人即|一設(shè)。二空同

直線方程：y=kx+m

11^/^TF

?=3碼d」標(biāo)落回了。+同=>氏。「”時(shí)

2112HI7I7F2⑷

3、焦點(diǎn)三角形的面積

直線AB過(guò)焦點(diǎn)g,AABK的面積為

SMBG=3閨周.|%一必|=。E一叼=譚

74a2Z?2(a2A2+Z?2B2-C2)|C|

SMOB=-I^ld-+5

?2A2+Z72B2VTTF

_雙dA2+b?B?-C2)C?

a2A2+/B2

注意：A，為聯(lián)立消去x后關(guān)于y的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)

4、平行四邊形的面積

直線AB為、=履+町，直線8為丫=履+?%

2

\AB\=71+k|x,-x2|=Jl+12J(再+%)2-4%尤2=J(T)2-4-=Jl+/

VAA

Ss=|A四八標(biāo)洽."1:叫：叫

注意：A1為直線與橢圓聯(lián)立后消去y后的一元二次方程的系數(shù).

5、范圍問(wèn)題

首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式a?+b222ab(a,beR)

變式：a+b>2\[ab(a,beR+);ab<(a+^)2(a,beR+)

2

作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值;

當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值

注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”

圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉:

。2t2

、=-----=-----

(1)r2+64—64(注意分/=0,/>0,/<0三種情況討論)

IH---

|A砰=3+=I2'—=3+----——<3+12

9,+6Z+19公+9+62x3+6

當(dāng)且僅當(dāng)9產(chǎn)=」時(shí)，等號(hào)成立

k

(3)閘「=34+25.生學(xué)+9.2^上34+2125.”孕x9.%r=64

119第25北V9第25蘇

當(dāng)且僅當(dāng)25?著=9?碧時(shí)等號(hào)成立.

9%25%

(4)S=-jn--m2111\1h2c、1n.-病+8

于她22/+8冷l-x-----=72

2V222

當(dāng)且僅當(dāng)蘇=_1+8時(shí)，等號(hào)成立

(5)

2%~—+1+

在r一町2+1.”=《逝J(2.-癡+1)〃?；

5=2應(yīng)11+北<40------J-----=20

1+2后271+F1+2嚴(yán)1+2%2

當(dāng)且僅當(dāng)2/+1=2〃?；時(shí)等號(hào)成立.

圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練

22

11.已知雙曲線T：.-卓=1（。＞0力＞0）的離心率為g,且過(guò)點(diǎn)（四』）.若拋物線C：

丫2=2/（。＞0）的焦點(diǎn)廠與雙曲線T的右焦點(diǎn)相同.

（1）求拋物線C的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)M（-2,0）且斜率為正的直線/與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)（A在跖2之間），點(diǎn)N

滿足：NA=6AF，求△ABR與.AMN面積之和的最小值，并求此時(shí)直線/的方程.

【答案】（l）y2=8x

（2）16y/5,y/5x-3y+2石=0.

kA

【詳解】（1）由題意得：；）］，解之得c?=2/=2〃=4,即雙曲線的右焦點(diǎn)為（2,0）,

g=2,所以/=8x；

△=64卜2-1)>0

M%=16

NA=6AF，,功=7%,

又SABF=SBMF-SA*/=]X(2-(-2))xQ%|-|x|)=2y2-2%,

=

同理SAMNSNMF-SAWF=2"/T%|)=12%,

--*^AABF+5AAMV=1OJ1+2y2N2jl0y「2%=16A/5,

當(dāng)且僅當(dāng)必=警，％=4柄時(shí)，"=”成立，

即X+%=&=+4出=t=~~，

此時(shí)，直線/的方程為&-3y+2行=0.

12.雙曲線，最早由門(mén)奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來(lái)阿波羅尼茲進(jìn)行了總結(jié)和完善.在他的著作中，

22

雙曲線也被稱作“超曲線已知雙曲線C:=-1=l(a,6>0)的實(shí)半軸長(zhǎng)為2,左、右頂點(diǎn)

ab

分別為A，4,經(jīng)過(guò)點(diǎn)3(4,0)的直線/與c的右支分別交于M,N兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在無(wú)軸上

方.

k

(1)若軸時(shí)，|MN|=2?,設(shè)直線MA，N4的斜率分別為跖k2,求W的值；

Q)若/B%N=2NBAM,求4削的面積.

【答案】⑴-：3

⑵逆

【詳解】(1)如圖所示,

法一：因?yàn)?。=4,所以。=2,令x=4得y2=3/,所以|AW|=2辰=2",解得6=0,

22

所以C的方程為L(zhǎng)-匕=1,顯然直線MN與y軸不垂直，設(shè)其方程為x="+4,

42

x=ty+4

聯(lián)立直線MV與C的方程尤2/，消去工得(產(chǎn)一2b2+8"+12=0,當(dāng)產(chǎn)力2時(shí),

142

8,12

△=16產(chǎn)+96>0,設(shè)M（%，M），N（孫%）,則%+為=—1二?因?yàn)?/p>

t—2

X%_1馬+2

區(qū)='%2=

石+29-22%

k_（%+2）（無(wú)2+2）_+6）（與+6）

所以良2=

4%%4%為

12產(chǎn)48產(chǎn)

+363

/3%+6（乂+%）+36干-2一『-2

2

4=2元2丫2

法二:解得/行,雙曲線C的方程為?-與=L

x=my+4

設(shè)MN方程為x=7盯+4,M（AJ,%）,N[X,%），4（一2,0）,A,（2,0）,聯(lián)立

2X2-2/=4,

可得(〃2Z—2）y2+8〃9+12=0,相2/2,A=64m2—4（?z2—2^x12=m2+6>0,

8m12

%+%=一一’2

m2

%斗+2=%（沖i+6）=沖］%+6%

k,=———,k2=———

%+2%—22klX2-22M2（m%+2）乂2孫%+4（%+為）-4%

1212m

m-

2+6%+6%

m—2機(jī)2—23

24-32m-8m2

m-+一4y2一4%

m2-2m2-2m2-2

2tan

(2)法一:因?yàn)镹%N=2ZBA.M,所以tan/B&N=tan2ZBA.M=又

l-tan^BAjM

,2k、,2kl

因?yàn)樯?tan/BA^M,k2=-tanBA^N所以的二匚分即網(wǎng)=k二1，

將七=一3七代入得-3kl=1,

K1]

因?yàn)镸在X軸上方，所以左=1,所以直線MA方程為y=[（x+2）,

y=—（x+2）

3

聯(lián)立。與直線河4方程99，消去丁得，/一8%—20=0,解得％=10或%=—2（舍）,

土-匕=1

[42

所以M（10,4右），

得仁也,所以直線MN方程為x=3y+4,聯(lián)立C與直線MN方程

代入%=3+4,

22'

%=冬+4

消去x得，5/-16^y-48=0,解得＞=4/或＞=一￥，

fLi

42

所以*AW的面積為34斗回一%|=96'16=胃6.

法二：設(shè)/網(wǎng)=由4=-3,可得色畔=3,,23,解得

htan9l-tan26＞

tan0=,

3

二.AM方程：％=6,—2,聯(lián)立12，可得n2一4百丁=0,解得乂=4百，

x=~4y+2,解得％=-拽

同理聯(lián)立＜

x2-2y2=45

I224A72^/3

SA,MN=]6,一^|=3-^—=

5

13.設(shè)拋物線方程為^=2x,過(guò)點(diǎn)尸的直線PA,尸8分別與拋物線相切于A,2兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在

x軸下方，點(diǎn)3在x軸上方.

（1）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（T-2）時(shí),求|明；

⑵點(diǎn)C在拋物線上，且在x軸下方，直線8C交