2023屆高考復(fù)習(xí)系列模擬數(shù)學(xué)試卷1(新高考I卷)

第I卷選擇題部分(共60分)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=*|犬<0或x..2},B-{x\-\<x<2],則Ac8=()

A.[-1,0]B.(-1,0)C.(-l,+°o)D.0

K答案XB

R解析2：A={x|x<0或"2},B={x\-l<x<2}

AnB={x|-l<x<0}

故選：B.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)—SeR)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,+8)B.(-8,0)C.(2,+8)D.(-60⑵

R答案2A

a+2i(?+2i)(-i)

K解析U丁=./\=2-m,

11x(-1)

又復(fù)數(shù)一(aeR)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2,-。)位于第四象限，

，一。<0,即a>0.

故選：A

3.設(shè)。為乙ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足CD=33。，則()

31314141

A.AD=-AB--ACB.AD=-AB+-ACC.AD=-AB——ACD.AD=-AB+-AC

22223333

K答案UA

K解析XCO=38O,所以C￡)=38￡>三點(diǎn)共線且叫.如圖所示：

CB=2BD,EPBD=^CB.

AD=AB+BD

=AB+-CB

2

=AB+；（AB-AC）

31

=-AB--AC

22

故選：A.

4.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，

它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有

八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長為1,則經(jīng)過

該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為（）

A.87tB.4兀C.37rD.2兀

R答案WB

K解析W將該多面體補(bǔ)形為正方體,則由OR=1,AO=AR,AO±AR,

所以由勾股定理得：AO=AR』,所以正方體的邊長為立？2近,

22

所以經(jīng)過該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球?yàn)檎襟wA88-E尸G”的棱切球,

所以棱切球的直徑為該正方體的面對(duì)角線，長度為夜x夜=2，

故過該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的半徑為1,球的表面積為4兀=4兀.

故選：B

5.在某種信息傳輸過程中，用6個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同

排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1,例如001100就是一個(gè)信息.在所有信息中隨

機(jī)取一信息，則該信息恰有2個(gè)1的概率是（）

,5?II-15

A.—B.—C.—,D.~~

16323264

R答案HD

K解析』每個(gè)位置可排0或1,故有2種排法，因此用6個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列的總個(gè)數(shù)為

26=64，恰好有2個(gè)I的排列的個(gè)數(shù)共有C：=15,

故概率為：善，

64

故選：D

6.已知函數(shù)/（x）=sin（3x+*）（<y>l,一萬萬）是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)

用（華，。）對(duì)稱，且在區(qū)間0,|上是單調(diào)遞減函數(shù)，則。和夕的值分別為（）

入兀k10%「入九一10萬

A.2,B.—,C.2,—D.—,一

232232

K答案』c

K解析》由/（x）是偶函數(shù)，（p=kn+R,keZ,

TTJT

-7t<（p<71,???當(dāng)Z=o時(shí)，（p=3,當(dāng)左二一1時(shí)，夕二一萬，

又/（X）在區(qū)間0,兀-上是單調(diào)遞減函數(shù)，故8=71，

/(x)=sin=cos(wx,

?；圖象上的點(diǎn)關(guān)于M對(duì)稱,

3兀

cos—co=0,故一co=k7r+—,ZeZ,

442

2,、

即3=§（22+1）,%eZ.

???/（X）在區(qū)間10,弓］上是單調(diào)遞減函數(shù)，可得?生=巴，即0V2.

_2」22coco

又丁3=：（2Z+1）,2CZ,CD>\,

.??當(dāng)時(shí)可得G=2.

故0=2,q>=:.

故選：C.

7.已知。=1口百)=?-1。=111(?+1)-1,則()

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

R答案》B

K解析Ua=lnV^=^^,/2=ei,

3ee

令f(x)=@^(x>o),則八x)=i-m-,

XX

當(dāng)x>e時(shí)，r(x)<0,所以F(x)在(e,+8)上遞減,

因?yàn)?>e,所以/(3)</(e),所以乎<如￡,

3e

所以"b,

因?yàn)閇+1]Cid=2.744<3,

所以1+,<明，

e

因?yàn)閥=lnx在(0,+8)上遞增，所以ln(l+

所以=ln(e+l)-1<In6，所以。<。，

e

所以，

故選：B.

8.已知直三棱柱ABC-A4￡中，AB=AAf=2,BC=y/3AC,當(dāng)該三棱柱體積最大時(shí)，其

外接球的體積為()

A28⑨R3220亞n28將

27339

R答案』C

K解析U因?yàn)槿庵鵄8C-A4G為直三棱柱,

所以，例_1_平面ABC

所以，要使三棱柱的體積最大，則.ABC面積最大,

因?yàn)镾AABC=-^BC-ACsmZACB,

令A(yù)C=x

因?yàn)锽C=Ji4C,所以SABc=*x2-sinN4C8,

AC2+BC2-AB24x2-4

在「ABC中,cosZACB=

2ACBC2氐2

后二I、I?2/人i16*2—1）2—4x"+32x~—16

明■以，sinZACB-1-----------——=-----------j---------,

12x412/

所以，（）242二二

5ABC=-x-sinZACB=--F+8『4=二），）?3,

“sc4434

所以，當(dāng)爐=4,即AC=2時(shí)，（SABC）?取得最大值3,

所以，當(dāng)AC=2時(shí)，5ABC取得最大值白，此時(shí)ABC為等腰三角形，

AB=AC=2,BC=2也,

川+AC?-8c24+4-12

所以,cos/BAC=-pZBACe(O,^),

2W2x2x2

所以/孫C=《-,

25/3n

所以，由正弦定理得」A3C外接圓的半徑，滿足一^三一4一〃，BPr=2,

sm——

3

所以，直三棱柱A8C-A用G外接球的半徑代=產(chǎn)+［等J=5,即/?=石,

所以，直三棱柱A8C-ASG外接球的體積為生肥=型且-

33

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得。分.

9.如圖，在棱長為1的正方體A8CD-4由G"中（）

A.AC與BR的夾角為60。

B.二面角4-AC-4,的正弦值為:

C.A與與平面4cA所成角的正切值為友

D.點(diǎn)用到平面ACDt的距離為辿

3

K答案HCD

R解析1AC±BD.,ACrDDt,且BOQR=外8￡>,。。u平面，所以AC,平面

HDD,,又8。u平面B。2，.^.AC，B。，故A錯(cuò)誤；

過R作AC垂線，垂足為H,連接片”，易知，為AC中點(diǎn)，在等邊三角形中,

B口±AC,所以NRHBi為二面角D「AC-B，的平面角,

D】H?+BE?_B、D；

cosNRHB]=故B錯(cuò)誤;

200xq”

易知平面ACA，設(shè)直線AB|與平面AC"所成角為e,直線A4與直線。片所成角為

a,則tan0=―-—=立故C正確;

tana

sin八返V220

由C知h所以用到ACQ的距離為友X-7="----------.故D正確.

3M3

故選：CD.

10.已知函數(shù)〃x）=#-#+?x的導(dǎo)函數(shù)為f（x）,若/'（占）=八%）=0（工產(chǎn)々），經(jīng)過

點(diǎn)（Xj（xj）和點(diǎn)（孫/伍））的直線/與曲線y=〃x）的另一個(gè)交點(diǎn)為（m0）,則實(shí)數(shù)〃的

取值可能為（）

R答案1ACD

R解析》由已知得，f(x)=x~-x+a,

?；/(%,)=八%)=0(石*9)，即，(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

A=l-4a>0,解得，a<-,且x：=X1-a,x；=x,-a,

4

故f(%)=:玉3-；片+3=：七(玉一.)一；(%_")+叼■玉+\a,

同理J(X2)=4：1不+：a,

66

從而直線/：y_/a)=/a)_/?(f),化簡得，y=^zlx+La)

W-X]66

因?yàn)橹本€/與曲線y=的另一個(gè)交點(diǎn)為(〃?,0),

廣)t、I4a-11&力ci

所以一--m+-a=0,^m=-——①，

661-4〃

又f(m)=g'"3~~m2+am=啾；/-^m+a)=0(2),

13

或

aoa=或=-

聯(lián)立①②可得,=6-

16

故選：ACD.

H.拋物線。：)2=22X5>0),點(diǎn)例(-3,0)在其準(zhǔn)線/上，過焦點(diǎn)廠的直線”與拋物線C

交于AB兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，則下列說法正確的是()

A.p=6

B.NAM8有可能是鈍角

C.當(dāng)直線機(jī)的斜率為白時(shí)，△AEW與.BFM面積之比為3

D.當(dāng)直線40與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，\AB\=}2

K答案HACD

K解析』對(duì)于A,由拋物線C:y2=2px(p>0)可得準(zhǔn)線方程為x=-5，

又點(diǎn)M(-3,0)在其準(zhǔn)線/上，所以苫=一3,解得。=6,故A正確；

對(duì)于B,由A選項(xiàng)可得V=12x,且焦點(diǎn)尸(3,0),

當(dāng)直線用的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m：y=%(x-3),4(王,乂),8(々,%)，

則3)整理得人2_觸+⑵》+9公=0,

fy=\2x

所以％+%=竺產(chǎn)，占々=9,

因?yàn)镸A=(%+3,yJ,MB=(%+3,%)

2

所以MA?MB(耳+3)Q?+3)+y,y2=Qi+3)(X2+3)+k(x(-3)(x,-3)

3(6公+12)36

=x[x2+3(X[)+9—36=9+-----p------+9-36=^->0>

所以cos?AMB1^1Ii>0,因?yàn)樾贡厝?,所以NAA仍為銳角；

M峭MB

當(dāng)直線機(jī)的斜率不存在時(shí)，直線〃?:x=3,

所以將x=3代入拋物線可得丫=±6,則A(3,6),8(3,-6),

則加4=(6,6),仞?=(6,-6),所以M4MB=0,此時(shí)為直角，故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,S"M=；x|MF|xy(y>0),S哂=<0),

S白|煙X*

所以?紋=產(chǎn)----------=_).,

BFM-x|A/F|x(-y^)%

所以當(dāng)％=G時(shí)，%+%=攵(％?3)+攵(％?3)=4A/5,

y%=k63)?k53)=-36,解得y=&^,y?=?20,

所以2,=-2=3,故C正確；

對(duì)于D,易得直線AM的斜率存在，設(shè)直線AM的方程為y=，〃G+3),

所以由I。：；+”得到病彳2+(6〃『-12)X+9,/=0①,

因?yàn)橹本€AM與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，

2

所以D=(6/〃2-]2)~-4醋9加機(jī)2=0,解得初=±1,

又因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以機(jī)＞0,則m=l,

①可變成/_6x+9=0,解得占=3,故A(3,6),

由B選項(xiàng)可得此時(shí)8(3,-6),所以|他|=12,故D正確;

故選：ACD

12.已知函數(shù)“X）及其導(dǎo)函數(shù)r（x）的定義域均為R,若/（2-x）,/'g-2x）均為奇函

數(shù)，則（）

A./（2）=0B.（⑴=尸（。）

C./（3）=/（2）D.（（2022）=-"-1）

R答案』ACD

K解析U因?yàn)槿簟?-X）,《|-2,為奇函數(shù)，

所以〃2-耳=一〃2+力，/（|-2x）=-/（|+2x）

令x=0得f（2）=寸（2）,廣圖=-《|［，即"2）=0,廣圖=0,A選項(xiàng)正確；

所以，—_f（2—x）=-f（2+x）,即f'（2—x）=F（2+x）,

所以，函數(shù)/"）關(guān)于x=2對(duì)稱，||,。）對(duì)稱，

所以,修x）=-4|-x）,即《|_'=_娛-，

所以，r（x+i）f（x）,

所以，r（x+2）=—r（x+i）=r（x）,即函數(shù)制萬）為周期函數(shù)，周期為2,

所以，r（2O22）=r（o）=_r（T）,尸⑴=—r（。），故D選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng),由?/"（|?-2x）=-rG+2x］可得-；/（|■-2x）+G=-；/（g+2x）+G,其

中G，G為常數(shù)，

所以f（|）-2G=《0-2C2,所以C|=C2，

故令X=；得〃2）-2￡=〃3）—2G，即/⑵=〃3）,故C選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

第II卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（x2-3）fx+-1的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.

K答案D-45

K解析』（X+力展開式通項(xiàng)公式為J=C"6rdy=C"6-2，，

XX

6—2r=0,r=3,6-2r=-2,r=4,

所以所求常數(shù)項(xiàng)為-3x或+C：=-45,

故K答案H為：-45.

14.寫出與圓f+y2=\和圓（x-4）2+（y+3）2=16都相切的一條切線方程___________.

K答案Hy=l或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0

K解析》圓V+）2=i的圓心為。（0,0）,半徑為1；圓（x-4>+（y+3『=16的圓心為

。（4,一3）,半徑為4,

圓心距為|。。=5,所以兩圓外切，如圖，有三條切線人給上

易得切線人的方程為>=1,

因?yàn)間JLOC,且左改=_：3,所以4設(shè)=4+即4x_3y+38=0,

則。（0,0）到4的距離^=1，解得b=g（舍去）或-g，所以4：4x-3y-5=0,

可知人和4關(guān)于。。:廣丁3對(duì)稱，聯(lián)立V〉=—4x

在4上任取一點(diǎn)（0,1）,設(shè)其關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)為（M，%）,

2424(4、

―,所以直線/2：了一1=一亍[1+]}即24x+7y+25=0,

綜上，切線方程為y=l或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0.

故K答案》為：y=l或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0.

15.（2022.重慶.高三階段練習(xí)）已知4，4是曲線〃x）=xlnx-5的兩條傾斜角互補(bǔ)的切

線，且4，&分別交y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|。4|+|03|>4,則實(shí)數(shù)“的最小

值是.

K答案》ln2+l

K解析』設(shè)切線乙，4的切點(diǎn)坐標(biāo)為（為，/），（巧，丹），

由函數(shù)/（x）=xlnx-or,求導(dǎo)可得了'（x）=l+lnx-a,

由題意可知，ra）+f'（&）=0,即卜（占々）=2°-2,

可得4：y—y=/'（芭）（x-x,）,l1-.y-y2^f\x1）｛x-x^,

令x=0,y=（l+lnx,-a）（一苦）+不Inx,一叫=一演，

故A（O，F(xiàn)）,同理可得B（O,f）,

則|OA|+|O5|=X|+x222M'=2e"T,由于xk&,則等號(hào)不能取，

即2e"T",解得aNln2+l,即。的最小值為ln2+l.

故K答案U為：In2+1.

16.（2022.全國?高三專題練習(xí)（文））已知橢圓E的中心為原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上

一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為血-1，離心率為日，若A,B,C為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，且

OA+OB+OC=0，則1148c的面積為.

K答案》延

4

K解析》由題意，橢圓E上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為血-1，離心率為日，

a-c=\[l-\

1=正則"八,』,所以橢圓為J+y』，

可得＜c_夜，解得，

c=\

a-V

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí);設(shè)直線A3：x=t,

不妨令A(yù)卜Ji-?,8Tg

，由O4+OB+OC=0，得Z=-2/，％=°，

故C（-2f,0）,將（-2r,0）代入橢圓方程，可得產(chǎn)=；,所以”=也,

22

所以.c=gx2x6^x3'=乎

當(dāng)直線A8的斜率存在時(shí)，設(shè)直線A8:y=kx+m,

y=kx+m

聯(lián)立方程組整理得(1+2k2)x2+4爪+2(療-1)=0,

/+2y2=2'

設(shè)A&M，5（孫％）,則…"哉，中『坐，

設(shè)。（七,%），由OA+OB+OC=0，

可得犬3=一（±+々）=7^^'%=_（X+%）=_[%（西+當(dāng)）+2機(jī)]=_7^7，

1I乙K1I乙K

代入丁+2/=2,可得2+2/=4/，

所以|43|=5/1工運(yùn)|為一司，且。到直線AB的距離1=1^,

所以Sxdx|孫綱x/蔑）14x洛”二今必用小手,

所以S.ABC=3SOAB=坐~,

綜上可得，則一4?C的面積為婭.

4

故K答案U為：亞.

4

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知正項(xiàng)數(shù)列｛叫，q=I,%=2,｛心小。；｝是公差為2的等差數(shù)列.

（1）求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

，、1111

（2）設(shè)a=。〃+4〃+1，記數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為S〃，求三+三十7++不.

解：（1）由題意，〃；一〃；=3,

因?yàn)榻ā笔鞘醉?xiàng)為3公差為2的等差數(shù)列，

所以-%；=2"+1,

當(dāng)“22時(shí)，a：=（a：-。3）+（乙一。3）+…+（W-"；）+。；

=（2〃-1）+（2〃-3）+…+5+3+1=〃?，

又因?yàn)椤ǎ?1滿足，所以結(jié)合。“>0,所以4=".

（2）由（1）和2=a，，+a，，M得勿=2〃+1,所以4=3,

「（3+2〃+1），/、

又5〃=^一11=（〃+2）〃，

心111（11）

—1+-------------

2v2〃+1〃+2

_一_q

2(2〃+1n+2)

18.在AABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,。為邊8c上一點(diǎn)，若

ABDB

7c-DC

（1）證明:

①AO平分N84C,

@AD2=ABAC-DBDC；

(2)(1+sinB)sinABAC=cosB(1+cosZS4C),求竺^的最大值.

(1)證明：①設(shè)NBA￡)=a,Z.CAD—P，

BD_ABABsinz^BDA

在△A3。中，由正弦定理得:即nn——=--------

sinasin^BDABDsina

CDACaACsinZCDA

在AACZ）中，由正弦定理得:即

sin尸sin/CDA7C^D;=----s-inp

由題意可得：器AR=怒AC，則sin/BZM_sin/CZM

sinasin尸

?.?ZBDA+ZCDA=n，貝I」sin/3。-CZM

sina=sin6,

7T

又因?yàn)?<a、/?<p

所以《=夕，即/BAD=/CAD

所以A￡)平分NBAC

AD^-AB[A^-AC\

②由題意可得：cos/ADB+cosNADC=Q,即+DQ

2ADBD2ADDC

2BD

整理得：AD2=AB+--AC'-BD-DC

BD+DCBD+DC

ABDB

ACDC

.AZA。AnA8

..AD=----------AB-+--------AC2-BDDC=ABAC-DBDC即證

AB+ACAB+AC

sin/BACcosB

(2)解：因?yàn)?l+sin^)sin/B4C=cosB(l+cos/84C),即不^7^=兩百

sin^BACsin2a2sincrcoscr

又???二tana

1+cos/BAC1+cos2al+2cos2a-l

cosBsinBB.B,B

cos^-sin^+cos----sin1-tan—

cosB222271B_

22.22_2=tan

1+sinB,「BBcos%汨cosfisin^ltanB4

l+2sincos—++

2222222

所以a=；-3，即2a+8=?所以/BAC+/B=/,則/+。2=。2

:?"等=族*’瑞7=2,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以一的最大值為血.

2

19.四棱錐。一ABC。底面為平行四邊形，且NA8C=60，AB=2,4)=3,P4L平面

ABCD,BM=-BC.

3

PN1

⑴點(diǎn)N在棱PD上，且麗=屋求證：心，平面AW；

(2)若異面直線A8與所成角的余弦值為迫，求平面與平面PC。所成銳二面

4

角的余弦值.

(1)證明：作出點(diǎn)N,并連接AN,MN,AM,BD,且8。交AM于點(diǎn)O,連接QV,

在平行四邊形A3CO中，BC//AD,則變=跑=,，

ODAD3

又因?yàn)镻黑N=：1,所以PN黑=B多O，則有ON〃尸8,

ND3NDOD

ONu平面AMN,平面AWN,

所以尸B平面AAW.

(2)解：在-旗M中，AB^2,BM=1,ZAHM=60,

則AM=yjAB2+BM--2AB-BMcosZABM=拒,

WBM2+AM2=4=AB2,于是得NAMB=90，

即AM_LBC,AM1.AD,

又PA_L平面A8C￡),

則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AM,AD,AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

則4(0,0,0),網(wǎng)點(diǎn)-1,0),0(0,3,0),設(shè)尸(0,0,。),?>0,

有48=(6,—1,0),￡>P=(O,-3,a),

因異面直線48與尸。所成角的余弦值為立，則

4

松〈A3"〉卜古邛

，解得a=6，

￡>p=(0,_3,百)，QC=A8=(G,-1,O),

r/、n-DP——3y+\/3z=0

設(shè)平面PCO的法向量〃=(x,y,z),則/

nDC=V3x-y=0

令x=l,得〃=(1,6,3),取平面Q4M的法向量〃2=(0,1,0),

設(shè)平面PAM與平面PCO所成銳二面角為巴

則8S*|8SS〉上晶=而=后，

所以平面PAM與平面P8所成銳二面角的余弦值為叵.

13

20.伴隨經(jīng)濟(jì)的飛速發(fā)展，中國全民健身賽事活動(dòng)日益豐富，公共服務(wù)體系日趨完善.據(jù)相

關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為37.2%,城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國民體質(zhì)

測定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到90%以上.健身之于個(gè)人是一種自然而然的習(xí)慣，之于

國家與民族，則是全民健康的基礎(chǔ)柱石之一，某市一健身連鎖機(jī)構(gòu)對(duì)去年的參與了該連鎖

機(jī)構(gòu)健身的會(huì)員進(jìn)行「統(tǒng)計(jì)，制作成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，圖1為該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員年齡等

若將會(huì)員按年齡分為“年輕人”(20歲-39歲)和“非年輕人”(19歲及以下或40歲及以上)

兩類，將--月內(nèi)來健身房鍛煉16次及以上的會(huì)員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會(huì)員稱

為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人''中有'是“年輕人

6

(1)現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100人的樣本，根據(jù)上圖的數(shù)據(jù)，補(bǔ)

全下方2?列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否為“健身達(dá)

人”與年齡有關(guān)：

類別年輕人非年輕人合計(jì)

健身達(dá)人

健身愛好者

合計(jì)100

臨界值表:

2

P（K<k0）0.400.250.050.005

k。0.7081.3233.8417.879

n(ad-bc)2

(a+h)(c+d)(a+c)(/7+d)

(2)將(1)中的頻率作為概率，連鎖機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取會(huì)員進(jìn)行回訪，抽取3人回訪.

①若選到的3人中2人為“年輕人”，1人為“非年輕人”，再從這3人中隨機(jī)選取的1人，了

解到該會(huì)員是“健身達(dá)人”，求該人為非年輕人的概率；

②設(shè)3人中既是“年輕人”又是“健身達(dá)人”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和期望值.

解：Q)根據(jù)年輕人標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合圖1可得年輕人占比為80%,則年輕人人數(shù)為

100?80%=80,則非年輕人為20人，根據(jù)圖2表格得健身達(dá)人所占比60%,所以其人數(shù)

-60--=50

為100?60%=60,根據(jù)其中年輕人占比6,所以健身達(dá)人中年輕人人數(shù)為6,則非

年輕人為10人：

健身愛好者人數(shù)為100-60=40,再通過總共年輕人合計(jì)為80人，則健身愛好者中年輕人

人數(shù)為8()-5()=3(),3根據(jù)非年輕人總共為20人，則健身愛好者中非年輕人人數(shù)為

20-10=10,具體表格填寫如下.

列聯(lián)表為

類別年輕人非年輕人合計(jì)

健身達(dá)人501060

健身愛好者301()40

合計(jì)8020100

零假設(shè)是否為“健身達(dá)人”與年齡無關(guān).

100x(50x10-30x10)2

=1.0416<3.841

80x20x60x40

所以，依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān);

（2）①設(shè)事件A為：該人為年輕人，事件3為:該人為健身達(dá)人，故此人為“非年輕人”的

隔I8)-尸(小小尸(__5-_2

P(B|A)-P(A)+P(B|A)-P(A)lJ_+527

概率為則2-38-3

②由（1）知，既是年輕人又是健身達(dá)人的概率為;,

X=0,1,2,3,

P(x=°)=c%-

3

尸(X=l)=C；

8

加3）=咱/

故X的分布列:

X0123

33]_

P

8888

X的數(shù)學(xué)期望值

3313

E（x）=lx—+2x-+3x-=—.

\）8882

21.平面直角坐標(biāo)系xOx中，已知點(diǎn)M（—2,0）,N（2,0）.點(diǎn)A滿足|A"|-|AN|=26,記點(diǎn)

A的軌跡C.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)T與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，NM7N的角平分線為直線/,過點(diǎn)A作/的垂線，垂

AH

足為H，交C于另一點(diǎn)8,求=7的最大值.

DH

解：⑴由題意得：河=4,|四一|圳=26<|網(wǎng)，

所以點(diǎn)A的軌跡為以用（-2,0）,N（2,0）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

^\ic=2,a=-j3,b2=c2-a2=4-3=],

所以C的方程為1-y2=i（x>o）；

（2）由對(duì)稱性，不妨設(shè)A在第一象限，設(shè)A（x。，%）,則7（一不，一%）,

設(shè)直線/的斜率為Z,記。=（1次），由/為NM7N的角平分線，

TMaTNa2

則,M-其中r號(hào)f-=l，/2百，

2

所以|網(wǎng)=J(-2+Xo『+為2=^(-2+X0)+^--1=%-5

同理得：W卜孚與+G，

加二小-2,%),77V=(x0+2,%),

TMaTNa=(一+2,%>(1,\)

代入西二網(wǎng)中‘*M一冬+0'

化簡得：%=3攸)，

X2I-3kl

將飛=3機(jī)代入寸-%Ji,為26中，解得：*=J3/_i'%=J37-1

所以I—，焉7(一后‘一看I，

設(shè)直線/的方程為y="+"代入，解得:n-^3k2—1,

，3公-1,

所以直線/的方程為3=依+，3公-1

由點(diǎn)到直線距離公式得：

AH

\\J%」+1

由直線A8的斜率為-工,設(shè)直線A8的方程為'=-外+，，'

3k11AL

將A點(diǎn)代入，解得：機(jī)=饋、

、，3如-1，43k27,

4k,將其與］一＞2=1（光＞0）聯(lián)立得：

所以直線"的方程為x=-6+

3k2

弘,7k+3八

儼-3)y2_y+—5—=0,

，3人—