專題強化十二動量和能量的綜合問題

舊標(biāo)要求】1.掌握解決力學(xué)綜合問題常用的三個觀點2會靈活選用三個觀點解決力學(xué)綜合

問題.

1.解動力學(xué)問題的三個基本觀點

(1)動力學(xué)觀點：運用牛頓運動定律結(jié)合運動學(xué)知識解題，可處理勻變速運動問題.

(2)能量觀點：用動能定理和能量守恒觀點解題，可處理非勻變速運動問題.

(3)動量觀點：用動量守恒觀點解題，可處理非勻變速運動問題.用動量定理可簡化問題的求

解過程.

2.力學(xué)規(guī)律的選用原則

(1)如果要列出各物理量在某一時刻的關(guān)系式，可用牛頓第二定律.

(2)研究某一物體受到力的持續(xù)作用發(fā)生運動狀態(tài)改變時，一般用動量定理(涉及時間的問題)

或動能定理(涉及位移的問題)去解決問題.

(3)若研究的對象為一物體系統(tǒng)，且它們之間有相互作用，一般用動量守恒定律和機械能守恒

定律去解決問題，但需注意所研究的問題是否滿足守恒的條件.

(4)在涉及相對位移問題時則優(yōu)先考慮能量守恒定律，系統(tǒng)克服摩擦力所做的總功等于系統(tǒng)機

械能的減少量，即轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)內(nèi)能的量.

(5)在涉及碰撞、爆炸、打擊、繩繃緊等物理現(xiàn)象時，需注意到這些過程一般均隱含有系統(tǒng)機

械能與其他形式能量之間的轉(zhuǎn)化，作用時間都極短，因此用動量守恒定律去解決.

題型一動量與能量觀點的綜合應(yīng)用

【例1】(2022?廣東卷43)某同學(xué)受自動雨傘開傘過程的啟發(fā)，設(shè)計了如圖所示的物理模型.豎

直放置在水平桌面上的滑桿上套有一個滑塊，初始時它們處于靜止?fàn)顟B(tài).當(dāng)滑塊從A處以初

速度如為10m/s向上滑動時，受到滑桿的摩擦力Ff為1N,滑塊滑到B處與滑桿發(fā)生完全

非彈性碰撞，帶動滑桿離開桌面一起豎直向上運動.已知滑塊的質(zhì)量〃?=0.2kg,滑桿的質(zhì)量

M=0.6kg,A、B間的距離/=1.2m,重力加速度g取10m/s2,不計空氣阻力.求：

(1)滑塊在靜止時和向上滑動的過程中，桌面對滑桿支持力的大小尺1和尺2；

⑵滑塊碰撞前瞬間的速度大小

(3)滑桿向上運動的最大高度h.

答案(1)8N5N(2)8m/s(3)0.2m

解析⑴當(dāng)滑塊處于靜止時桌面對滑桿的支持力等于滑塊和滑桿的重力，即FNi=(，〃+M)g

=8N

當(dāng)滑塊向上滑動時受到滑桿的摩擦力為1N,根據(jù)牛頓第三定律可知滑塊對滑桿的摩擦力也

為1N,方向豎直向上，則此時桌面對滑桿的支持力為網(wǎng)2=姓-6'=5N.

⑵滑塊開始向上運動到碰前瞬間根據(jù)動能定理有一孫2—57。()2

代入數(shù)據(jù)解得0=8m/s.

(3)由于滑塊和滑桿發(fā)生完全非彈性碰撞，即碰后兩者共速，取豎直向上為正方向，碰撞過程

根據(jù)動量守恒定律有mv\=(m+M)v

碰后滑塊和滑桿以速度。整體向上做豎直上拋運動，根據(jù)動能定理有

—(/w+Af)^/j=0—2(w+Af)v2

代入數(shù)據(jù)聯(lián)立解得〃=0.2m.

【例2】(2023?山東濟(jì)寧市模擬：)如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量M=1.98kg的小車，8點右

側(cè)為水平軌道，其中BC段粗糙，C。段光滑.B點的左側(cè)為一半徑R=1.3m的光滑四分之

一圓弧軌道，圓弧軌道與水平軌道在8點相切，車的最右端。點固定一輕質(zhì)彈簧，彈簧處于

自然長度時左端恰好位于小車的C點，8與C之間距離乙=0.7m.一質(zhì)量，”=1kg的小物塊

(可視為質(zhì)點)，置于小車的B點，開始時小車與小物塊均處于靜止?fàn)顟B(tài).一質(zhì)量mo=2Og的

子彈以速度%=600m/s向右擊中小車并停留在車中，假設(shè)子彈擊中小車的過程時間極短，

已知小物塊與BC間的動摩擦因數(shù)〃=0.5,取g=10m/s2.求：

(1)小物塊沿圓弧軌道上升的最大高度h；

(2)小物塊第一次返回到B點時速度。的大??；

(3)彈簧的彈性勢能的最大值Epm；

(4)小物塊最終與小車保持相對靜止時到B的距離X.

答案(1)1.2m(2)8m/s(3)8.5J(4)0.4m

解析(1)對子彈與小車組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有〃?oo()=Q”o+M)0i

當(dāng)小物塊運動到圓弧軌道的最高點時三者共速，對三者由水平方向動量守恒有

(/no+M)vi=+M+m)V2

由機械能守恒定律有

/(〃?()+M)v\1=+M+in)vr+mgh

聯(lián)立解得力=1.2m

即小物塊沿圓弧軌道上升的最大高度/?=1.2m.

(2)當(dāng)小物塊第一次回到B點時，設(shè)車和子彈的速度為。3,取水平向右為正方向，由水平方向

動量守恒有Oo+M)v?=(旗)+M)V3+mv

由能量守恒定律有

2=；("?o+

聯(lián)立解得。3=2m/s,v=8m/s

即小物塊第一次返回到B點時速度大小為0=8m/s.

(3)當(dāng)彈簧具有最大彈性勢能￡pm時，三者速度相同.由動量守恒定律有(mo+M)s+nw=(mo

+M+，")04

由能量守恒定律有2(^wo+M)vy+，能

=；(，如+M+Mo/+Epm

聯(lián)立解得￡pm=8.5J.

(4)小物塊最終與小車保持相對靜止時，三者共速，設(shè)小物塊在BC部分總共運動了s的路程，

由水平方向動量守恒有(jno+M)s=(〃?O+M+/%)05

由能量守恒定律有

；(相0+12=；(團(tuán)0+加+加Rs?+^itngs

聯(lián)立解得s=2.4m=4L—x

則小物塊與小車保持相對靜止時到B的距離x=0.4m.

題型二力學(xué)三大觀點的綜合應(yīng)用

【例3】如圖所示，水平桌面左端有一頂端高為/?的光滑圓弧形軌道，圓弧的底端與桌面在同

一水平面上.桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑圓軌道MNP,其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪

去了左上角135。后剩余的部分，為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也為R.一質(zhì)量m

=0.4kg的物塊A自圓弧形軌道的頂端釋放，到達(dá)圓弧形軌道底端恰與一停在圓弧底端水平

桌面上質(zhì)量也為m的物塊B發(fā)生彈性正碰(碰撞過程沒有機械能的損失)，碰后物塊B的位移

隨時間變化的關(guān)系式為犬=6，一2尸(關(guān)系式中所有物理量的單位均為國際單位)，物塊B飛離桌

面后恰由尸點沿切線落入圓軌道.A、8均可視為質(zhì)點，重力加速度g取lOmtf,求：

(1)3尸間的水平距離S3P；

(2)判斷物塊B能否沿圓軌道到達(dá)M點；

(3)物塊A由靜止釋放的高度h.

答案(1)4.1m(2)不能(3)1.8m

解析(1)設(shè)碰撞后物塊8由。點以速度而做平拋運動，落到P點時藥?=2gR①

其中?=lan450②

聯(lián)立①②解得0°=4m/s③

設(shè)平拋用時為r,水平位移為X2,則有R=^gP?

X2=VDt?

聯(lián)立④⑤解得X2=1.6m⑥

由無=61-2尸可知，物塊3碰后以速度研)=6m/s、加速度Q=-4m/s2減速到劭，則BD過

程由運動學(xué)公式如2一幫=23⑦

解得xi=2.5m⑧

故8尸之間的水平距離SBP=X2+XI=4.1m⑨

⑵假設(shè)物塊3能沿軌道到達(dá)M點，在M點時其速度為0M,由。到M的運動過程，根據(jù)動

能定理，

則有一坐mgR=gmvM2sW⑩

設(shè)在M點軌道對物塊的壓力大小為FN,

如］入+"^="畏■?

由⑩?解得入=(1一也)〃?g<0,假設(shè)不成立，即物塊B不能到達(dá)M點.

⑶物塊A、8的碰撞為彈性正碰且質(zhì)量相等，碰撞后速度交換，則％=io=6m/s?

設(shè)物塊A釋放的高度為兒對下落過程，根據(jù)動能定理有機g/7=%m/,?

由??解得人=1.8m.

【例41(2023?浙江紹興市諸暨市高三檢測)如圖所示，水平桌面上放置一端有擋板的長平板A,

平板上放著物塊B和C,B和C之間有一被壓縮且勁度系數(shù)足夠大的輕彈簧，8與擋板間的

距離L=1.25m,C位于桌面邊緣，離地面高"=0.8m.由靜止釋放壓縮彈簧，8和C瞬間

分離，C向右水平拋出后的落地點與拋出點的水平距離x=0.8m,3向左運動與A的擋板發(fā)

生彈性碰撞，碰撞時間極短.已知平板4的質(zhì)量mA=\kg,物塊B的質(zhì)量mR=\kg,物塊C

的質(zhì)量〃?c=1.5kg,B、C均可看為質(zhì)點，A與8、A與杲面間的動摩擦因數(shù)均為〃=0.2,重

力加速度取g=10m/s2.

(1)求釋放前壓縮彈簧的彈性勢能；

(2)求B與A的擋板碰撞后瞬間平板A的動能；

(3)求平板A在桌面上滑行的距離.

答案(1)7.5J(2)2J(3)|m

解析(1)設(shè)8、C分離瞬間8、C的速度大小分別為。B和。c,B、C組成的系統(tǒng)動量守恒，

則有加8功?一團(tuán)。。=0

2

由能量守恒定律得Ep=1m/^+5?ec2

分離后，物塊C做平拋運動，則有〃=%?，x=vct

聯(lián)立解得oc=2m/s,VB=3m/s,fp=7.5J.

(2)5、C分離后，3向左做勺減速直線運動，A靜止不動，設(shè)A、8碰撞前瞬間3的速度為加］,

對物塊B,由動能定理得一〃加BgL=J沏gJ—；，班班2

A、B發(fā)生彈性碰撞，取水平向左為正方向，碰撞過程中系統(tǒng)動量守恒、機械能守恒，則有

mBVB\=mBVB2+fnAVA,

+；〃辦。A2

且

聯(lián)立解得081=2m/s,g2=0,VA=2m/s,EM=2J.

(3)A、B碰撞后,A向左做勻減速直線運動，3向左做勻加速直線運動，

則對B有"機8g=

對A有〃機咫+〃(m8+蟆4)且="八。八

解得〃A=6m/s2,as=2m/s2

設(shè)經(jīng)過時間f,兩者共速，則有4/4

11

--

2-m/S4S

此過程中4向左運動距離

2+1

VA+V2^1_5

Xi—2t一,Xm一］6m

此后，A、3相對靜止一起減速到零，有一"(恤?+如)8%2=0-1(加⑶+期)"

解得必=諱m,

整個過程中A在桌面上滑行的距離為

,5,13

x=xi+足=(正+正)m=gm.

課時精練

1.(2023?山東威海市檢測)質(zhì)量均為m的木塊A和B,并排放在光滑水平面上，A上固定一豎

直輕桿，輕桿上端的。點系一條不可拉伸的長為/的細(xì)線，細(xì)線另一端系一個可以看作質(zhì)點

的球C,質(zhì)量也為利現(xiàn)將C球拉起使細(xì)線水平自然伸直，并由靜止釋放C球，重力加速度為

g.求：

Oft-------QC

(1)C球第一次擺到最低點時的速度大?。?/p>

(2)從C球由靜止釋放到第一次擺到最低點的過程中，B移動的距離；

(3)C球向左擺動的最高點距O點的豎直高度.

答案⑴2騁(2)1(3){

解析(1)對A、B、C組成的系統(tǒng)，由水平方向動量守恒及系統(tǒng)機械能守恒可得加0c=2加辦8

mgl=^niVci+^'X2imAB1

聯(lián)立解得C球第一次擺到最低點時的速度大小為vc=2、l手.

(2)對A、B、C組成的系統(tǒng)，由人船模型規(guī)律可得加9=2的8

XC+XAB=I

聯(lián)立解得從C球由靜止釋放到第一次擺到最低點的過程中，B移動的距離為XAB=g.

(3)C球向左擺動到最高點時A、C有共同速度a

對A、C組成的系統(tǒng)，取向左為正方向，由水平方向動量守恒可得團(tuán)”:一根0AB=2〃m

由機械能守恒定律可得

+2mv^=2+mgh,則C球向左擺動的最高點距。點的豎直高度為△/?=/—//

聯(lián)立解得△/?=].

2.(2023?云南省高三月考)如圖所示，半徑R=1.0m的粗糙圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道

的上端點B和圓心O的連線與水平方向間的夾角0=37。，下端點C為軌道的最低點.C點

右側(cè)的粗糙水平面上，緊挨C點靜止放置一質(zhì)量M=1kg的木板，木板上表面與C點等高，

木板左端放置一個質(zhì)量為，吸=1kg的物塊，另一質(zhì)量為如=1kg的物塊從A點以某一速度

水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道，到達(dá)C點時對軌道的壓力大小為46N,

之后與質(zhì)量為，"2的物塊發(fā)生彈性碰撞(碰撞時間極短)，最終質(zhì)量為加2的物塊剛好未從木板

上滑下.已知AO的豎直高度”=1.4m,質(zhì)量為m的物塊與木板間的動摩擦因數(shù)川=0.4,

木板與地面間的動摩擦因數(shù)為〃2=0」，兩物塊相同且均可視為質(zhì)點，sin37。=0.6,cos37°

=0.8,取g=10m/s2.求：

⑴質(zhì)量為如的物塊到達(dá)B點時的速度大小VB；

(2)質(zhì)量為如的物塊通過圓弧軌道克服摩擦力做的功W克f；

(3)木板的長度L

答案(1)5m/s(2)10.5J(3)3m

解析(1)質(zhì)量為如的物塊水平拋出后做平拋運動，到達(dá)B點時，下落高度為/?="一Rsin。

=0.8m

豎直方向上有v『=2gh

根據(jù)幾何關(guān)系可知Vy=VnCOS0

聯(lián)立解得VB=5m/s

2

(2)質(zhì)量為的物塊到達(dá)C點時，由牛頓第二定律有尺一根吟=也含-

解得0c=6m/s

質(zhì)量為如的物塊從3運動到C過程中，由動能定理得

g(R+Rsin0)-Wf=ipc2-2miu2

解得W克f=10.5J

(3)質(zhì)量為m\的物塊運動到C點時與質(zhì)量為"?2的物塊發(fā)生彈性碰撞且質(zhì)量相等，碰撞后速度

交換，則V2—vc=6m/s

經(jīng)受力分析，由牛頓第二定律，

對質(zhì)量為m2的物塊有〃阿2g=〃22〃]

對木板有//1m2g-//2(^2+=Ma^

根據(jù)公式0=次)+”，設(shè)經(jīng)過時間1后二者共速有a2t=V2~a\t

對質(zhì)量為〃?2的物塊有X\=V2t—^Cl\t1

因為質(zhì)量為旗的物塊剛好未從木板上滑下，所以質(zhì)量為加2的物塊相對木板的位移即為木板

長度，則有L=X\—X2

聯(lián)立解得L=3m.

3.如圖所示，水平面上有A、8兩個小物塊（均視為質(zhì)點），質(zhì)量均為⑶兩者之間有一被壓縮

的輕質(zhì)彈簧（未與A、B連接）.距離物塊A為L處有一半徑為L的固定光滑豎直半圓形軌道,

半圓形軌道與水平面相切于C點，物塊B的左邊靜置著一個三面均光滑的斜面體（底部與水

平面平滑連接）.某一時刻將壓縮的彈簧釋放，物塊4、B瞬間分離，A向右運動恰好能過半

圓形軌道的最高點Q（過D點后立即撤去物塊A）,B向左平滑地滑上斜面體，在斜面體上上

升的最大高度為L億小于斜面體的高度）.已知A與右側(cè)水平面間的動摩擦因數(shù)“=0.5,8左

側(cè)水平面光滑，重力加速度為g,求：

（1）物塊A通過C點時對半圓形軌道的壓力大?。?/p>

（2）斜面體的質(zhì)量；

（3）物塊B與斜面體分離時，物塊B與斜面體各自的速度大小.

答案⑴譴⑶軍呼

解析（1）設(shè)A恰好通過。點時的速度大小為近），根據(jù)牛頓第二定律有器①

設(shè)4通過。點時的速度大小為。0則對A從。到。的運動過程，根據(jù)動能定理有

設(shè)物塊A通過C點時所受軌道支持力大小為F,根據(jù)牛頓第二定律有F—mg=nr^?

聯(lián)立①②③解得F=6mg?

根據(jù)牛頓第三定律可知，物塊A通過C點時對半圓形軌道的壓力大小為尸=b=6機g⑤

（2）設(shè)彈簧釋放瞬間A、8的速度大小分別為以、OR,由動量守恒定律有團(tuán)。4=機如⑥

對物塊A從彈簧釋放到運動到C點的過程，由動能定理有一〃加gL=%wc2—⑦

設(shè)斜面體的質(zhì)量為M,8滑上斜面體最高點時，8和斜面體有共同速度0,對8和斜面體,

由動量守恒定律有機物=（m⑧

由機械能守恒定律有

亍nv/=2（M+fn）v2+mgL⑨

聯(lián)立①②⑥⑦⑧⑨解得例=夕⑩

（3）物塊B與斜面體分離時，設(shè)物塊8與斜面體各自的速度分別為o/和蘇，以水平向左為

正方向，由動量守恒定律有機為="?。/+Mvf?

由機械能守恒定律有

^inv^=^ntVB，2+^MV'2?

聯(lián)立⑩??解得oj="警，V1=史嬖.

4.（2022?浙江6月選考20）如圖所示，在豎直面內(nèi)，一質(zhì)量根的物塊〃靜置于懸點。正下方

的A點，以速度。逆時針轉(zhuǎn)動的傳送帶與直軌道AB、CD、尸G處于同一水平面上，AB.

MN、CD的長度均為/.圓弧形細(xì)管道DE半徑為R,E尸在豎直直徑上，E點高度為”.開始時，

與物塊。相同的物塊6懸掛于。點，并向左拉開一定的高度力由靜止下擺，細(xì)線始終張緊，

擺到最低點時恰好與。發(fā)生彈性正碰.己知m=2g,/=1m,R=0.4m,H=0.2m,v=2m/s,

物塊與MN、CO之間的動摩擦因數(shù)"=0.5,軌道AB和管道。E均光滑，物塊。落到FG時

不反彈且靜止.忽略M、8和N、。之間的空隙，CO與。E平滑連接，物塊可視為質(zhì)點，取

g=10m/s2.

O

〃/￡〃〃

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hramA/XNCD^^'FG

A*r8*<（?\）（?），），，〃〃/〃〃，〃〃，〃，

⑴若，7=1.25m,求a、/?碰撞后瞬時物塊a的速度砌的大??；

⑵物塊〃在。E最高點時，求管道對物塊的作用力FN與人間滿足的關(guān)系；

⑶若物塊b釋放高度0.9mf<l.65m,求物塊a最終靜止的位置x值的范圍（以A點為坐標(biāo)原

點，水平向右為正，建立x軸）.

答案（1）5m/s

（2）內(nèi)N=0.l〃一0.14N（4L2m）

⑶當(dāng)0.9mv/zvl.2m時，2.6m<xW