工程數學積分變換(第四版)引言:

所謂積分變換,就是通過積分運算,把一個函數變成另一個函數的變換.Fourier變換Laplace變換第一章傅里葉變換1.1傅里葉積分1.2傅里葉變換1.3傅里葉變換的性質1.4卷積與相關函數1.5傅里葉變換的應用傅里葉生平1、1768年生于法國2、1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數級數表示”3、拉格朗日反對發(fā)表4、1822年首次發(fā)表在“熱的分析理論”一書中5、1829年狄里赫利第一個給出收斂條件2、非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示

傅里葉的兩個最主要的貢獻1、周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和1.1傅里葉積分1.1傅里葉積分傅里葉分析的工程意義②各種頻率的正弦信號的產生、傳輸、分離和變換容易工程實現。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系統的輸入和輸出的差別只有兩要素，即系統的作用只改變信號的振幅和相位。①是LTI系統的特征函數，響應易求且簡單。1、傅里葉分析的基本信號單元1.1傅里葉積分2、適用于廣泛的信號

由虛指數或正弦信號的線性組合可以組成工程中各種信號，使得對任意信號作用下的LTI系統進行頻域分析成為一件容易的事情。利于濾波、壓縮處理。1.1傅里葉積分3、頻域分析的優(yōu)勢①任意信號分解成不同頻率虛指數（正弦）信號的線性組合，分析LTI系統對這些不同頻率單元信號作用的響應特性的過程就是頻域分析。②頻率分析可以方便求解系統響應。例如相量法。③頻域分析的結果具有明顯的物理意義，例如抽樣定理和無失真?zhèn)鬏敻拍疃际穷l域分析的結果。④可直接在頻域內設計可實現的系統，例如濾波器的設計。在工程計算中,無論是電學還是力學,經常要和隨時間而變的周期函數fT(t)打交道.例如:具有性質fT(t+T)=fT(t),其中T稱作周期,而1/T代表單位時間振動的次數,單位時間通常取秒,即每秒重復多少次,單位是赫茲(Hz).

一、周期函數的傅里葉級數t最常用的一種周期函數是三角函數

fT(t)=Asin(wt+j)

其中w=2p/T而Asin(wt+j)又可以看作是兩個周期函數

sinwt和coswt的線性組合

Asin(wt+j)=asinwt+bcoswtt人們發(fā)現,所有的工程中使用的周期函數都可以用一系列的三角函數的線性組合來逼近.方波4個正弦波的逼近100個正弦波的逼近狄利赫利條件1.1傅里葉積分研究周期函數實際上只須研究其中的一個周期內的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內函數變化的情況.并非理論上的所有周期函數都可以用傅里葉級數逼近,而是要滿足狄利赫利(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上1,連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2,只有有限個極值點這兩個條件實際上就是要保證函數是可積函數.第一類間斷點和第二類間斷點的區(qū)別:第二類間斷點第一類間斷點是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/ω)上的完備正交函數集。完備正交函數集（1）三角函數集{1，cos(nωt)，sin(nω

t)，n=1,2,…}將任一函數f(t)用這n個正交函數的線性組合來近似。1.1傅里葉積分（2）虛指數函數集{ejnωt，n=0，±1，±2，…}將任一函數f(t)用這n個正交函數的線性組合來近似。ejnωt＝cos(nωt）+jsin(nωt）e-jnωt＝cos(nωt）-jsin(nωt）是在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2π/ω)上的完備正交函數集。因為1、傅里葉級數的三角形式設周期信號f(t)，其周期為T，角頻率ω=2

/T，當滿足狄里赫利(Dirichlet)條件時，它可分解為如下三角級數——稱為f(t)的傅里葉級數

系數an,bn稱為傅里葉系數

可見，an

是n的偶函數，bn是n的奇函數。式中，A0=a0上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。其中，A0/2為直流分量；

A1cos(ωt+

1)稱為基波或一次諧波，它的角頻率與原周期信號相同；

A2cos(2ωt+

2)稱為二次諧波，它的頻率是基波的2倍；一般而言，Ancos(nωt+

n)稱為n次諧波?？梢夾n是n的偶函數，

n是n的奇函數。an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,…將上式同頻率項合并，可寫為2、傅里葉級數的指數形式三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用指數形式的傅里葉級數。如令wn=nw(n=0,1,2,...)給定fT(t),cn的計算如下:3、三角形式與指數形式的比較三角形式便于電路計算，便于對稱性分析③可推出傅里葉變換②代表頻譜①表達最簡練n=0,±1,±2，…指數形式的優(yōu)勢Ann=0,1,2，…cnn=0,±1,±2，…4、周期函數的頻譜及特點傅里葉系數周期信號的傅里葉級數幅度關系n次正弦諧波分量的振幅cnn次指數諧波分量的模相位關系正弦諧波初相指數諧波輻角（1）信號頻譜的概念

從廣義上說，信號的某種特征量隨信號頻率變化的關系，稱為信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信號的頻譜圖。周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即將An~ω和

n~ω的關系分別畫在以ω為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖和相位頻譜圖。因為n≥0，所以稱這種頻譜為單邊譜。也可畫|cn|~ω和

n~ω的關系，稱為雙邊譜。若cn為實數，也可直接畫cn

。指數形式的頻譜圖三角函數形式的頻譜圖例（2）周期信號頻譜的特點舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為

的周期矩形脈沖，其周期為T，如圖所示。求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數）,n=0,±1，±2，…cn為實數，可直接畫成一個頻譜圖。設T=4τ畫圖。零點為所以，m為整數。特點：(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻ω的整數倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。(3)主要能量在第一過零點內。主頻帶寬度為：譜線的結構與波形參數的關系：(a)T一定，

變小，此時ω（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數目：

1/ω=（2

/

）/(2

/T)=T/

增多。如果周期T無限增長（這時就成為非周期信號），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號的離散頻譜就過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。

(b)

一定，T增大，間隔ω減小，頻譜變密。幅度減小。

二、傅里葉積分

對任何一個非周期函數f(t)都可以看成是由某個周期函數fT(t)當T

時轉化而來的。

作周期為T的函數fT(t)，使其在[-T/2,T/2]之內等于f(t)，在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數軸上，則T越大，fT(t)與f(t)相等的范圍也越大，這就說明當T

時，周期函數fT(t)便可轉化為f(t)，即有Otf(t)OtfT1(t)OtfT2(t){O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w由周期函數傅里葉級數的指數形式可知如圖當T→+∞時，有△ωn→0，所以此公式稱為函數f(t)的傅里葉積分公式，簡稱傅氏積分公式。上式為傅里葉積分公式的復指數形式傅氏積分定理

若f(t)在(-,+)上滿足條件:1.f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;2.f(t)在無限區(qū)間(-,+)