專題12.2.5三角形全等的判定5（HL）目標導航目標導航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用“HL”條件判定兩個三角形全等；2.使學生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗操作、歸納得出數(shù)學結(jié)論的方法.3.通過探究三角形全等的條件的活動，培養(yǎng)學生觀察分析圖形的能力及運算能力，培養(yǎng)學生樂于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.知識精講知識精講知識點01三角形全等的判定5（HL）知識點直角三角形全等的判定：HL文字：在兩個直角三角形中，如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：HL）圖形：符號：在Rt與Rt中，【微點撥】證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．在直角三角形中，只須找除直角外的兩個條件即可（兩個條件中至少有一個條件是一對對應(yīng)邊相等）【知識拓展1】HL判定三角形全等的條件例1．（2022·湖南懷化·八年級期中）如圖，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”證明△ABC≌△ABD，則需要加條件_____.【即學即練】1．（2022·河南周口·八年級期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根據(jù)“HL”判定，還需要加條件_____．【知識拓展2】利用HL證明三角形全等（求線段的長度）例2．（2022·山東青島·一模）如圖，在中，，，為邊上一點，于點．若，，則的長為（）A． B．2 C． D．4【即學即練】2．（2022?西城區(qū)八年級期中）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點F．若CD＝3，則求CE的長．3.（2022?承德八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一點，且BE＝BC，過E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，則AD+DE等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【知識拓展3】利用HL證明三角形全等（求角的度數(shù)）例3．（2022·山東東營·七年級期末）如圖，ABC中，，，點E在BC上，點F為AB延長線上一點，且，，則（

）A．58° B．60° C．65° D．70°【即學即練3】3．（2022·湖北孝感·八年級階段練習）如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，則∠CEF＝_____°．4．（2022·陜西·紫陽縣師訓教研中心八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，，，D為AB延長線上一點，點E在BC上，且．(1)求證：；(2)過點B作，且，求∠FBA度數(shù)．【知識拓展4】利用HL證明三角形全等（證明類）例4．（2022·湖南常德·八年級期中）如圖，∠A=∠B=90°，E是AB上的一點，且AE=BC，∠1=∠2．(1)求證：Rt△ADE≌Rt△BEC；(2)△CDE是不是直角三角形？并說明理由．【即學即練4】4．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E，BF∥AC交ED的延長線于點F，若BC恰好平分∠ABF．則下列結(jié)論中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中線；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正確的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個5．（2022?萬柏林區(qū)八年級月考）如圖，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求證：DE⊥AB．能力拓展能力拓展考法01利用HL判定三角形全等（動態(tài)全等問題）【典例1】（2021·北京市師達中學八年級期中）如圖，，cm，cm，點P在線段AC上，以每秒2cm的速度從點A出發(fā)向C運動，到點C停止運動，點Q在射線AM上運動，且，當點P的運動時間為_________秒時，△ABC才能和△PQA全等．變式1．（2021·湖南·長沙市八年級階段練習）如圖，在Rt△中，，，，一條線段，，兩點分別在和過點且垂直于的射線上運動，要使△和△全等，則_____．變式2.（2021?蘭山區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q兩點分別在邊AC和射線AX上移動．當PQ＝AB，AP＝時，△ABC和△APQ全等．02利用HL證明三角形全等（探究類）【典例2】（2021?西湖區(qū)校級月考）如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE與Rt△BEC全等嗎？并說明理由；（2）試判斷CE和DE的關(guān)系，并說明理由．變式1.（2021?城北區(qū)校級月考）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一點，E在BC的延長線上，且AE＝BD，BD的延長線與AE交于點F．試通過觀察、測量、猜想等方法來探索BF與AE有何特殊的位置關(guān)系，并說明你猜想的正確性．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期中）如圖，已知，，．則的理由是（

）A．HL B．SAS C．AAS D．ASA2．（2022·湖南·長沙市南雅中學八年級期末）如圖，在Rt△ABC的斜邊AB上截取AD＝AC，過點D作DE⊥AB交BC于E，則有（

）A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD3.（2022?寶安區(qū)八年級期中）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．34.（2021?秦淮區(qū)期末）結(jié)合圖，用符號語言表達定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．5．（2022·浙江紹興·八年級期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AD與BE相交于點F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=15°，則∠DBF的度數(shù)為_____．6．（2022·全國·八年級課時練習）如圖，四邊形ABCD，連接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，則BE＝________．7．（2022·廣西北?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF過點C，BE⊥EF于點E，DF⊥EF于點F，BE＝DF．求證：EC＝CF．8．（2022·遼寧錦州·八年級期中）如圖，已知D是△ABC的BC邊的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且DE＝DF，求證：AB＝AC．9．（2022·陜西渭南·八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，，AC平分，，交AD的延長線于點E．(1)求證：是等腰三角形；(2)連接BE，求證：AC垂直平分BE．10．（2021·湖北咸寧·八年級期中）如圖，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于點O．(1)求證：Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)求證：AO＝DO．題組B能力提升練1．（2022·陜西·咸陽市秦都區(qū)電建學校八年級期中）已知：如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，DB＝DC，，，垂足分別為E，F(xiàn)，DE＝DF．求證：．以下是排亂的證明過程：①∴∠BED＝∠CFD＝90°，②∴．③∵DE⊥AB，DF⊥AC，④∵在和中，，證明步驟正確的順序是（

）A．③→②→①→④ B．③→①→④→②C．①→②→④→③ D．①→④→③→②2．（2022·廣東·普寧市紅領(lǐng)巾實驗學校八年級期中）如圖所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③3．（2022·山東青島·八年級期中）如圖，在△ABC中，，，D為BC延長線上一點，點E在AC上，．若，則∠BAD的度數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2021春?金水區(qū)校級月考）下列說法正確的有（）①兩個銳角分別相等的的兩個直角三角形全等；②一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等；③兩邊分別相等的兩個直角三角形全等；④一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·江蘇泰州·八年級期中）如圖，正方形中，是上一點，給出下列三條信息：①，②，③，請從上述三條信息中選擇兩個作為已知條件，選擇另外一個作為結(jié)論，并寫出結(jié)論成立的證明過程．你選擇的條件是______，結(jié)論是______（填序號）．6．（2021·湖北·八年級期中）如圖，在中，，，，線段，，兩點分別在和過點且垂直于的射線上運動，當__________時，和全等．7．（2022·湖南·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校七年級階段練習）如圖，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．(1)求證：∠1＝∠3；(2)試判斷線段BN與CM的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．8．（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖，為外一點，為的垂直平分線，分別過點作，，垂足分別為點，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)探究，，之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明9．（2021·河北承德·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，點D為邊BC上的點，連接AD，∠BAD=α，過點D作DE⊥AB于E．(1)∠B=°；(2)若線段AB=8cm，則BC=；(3)若DE=DC，求α的度數(shù)．10．（2021·湖北宜昌·八年級期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一點，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度數(shù)；(2)求證：BC＝2AB．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2021·北京市海淀外國語實驗學校八年級期中）如圖，，分別是，上的點，過點作于點，作于點，若，，則下面三個結(jié)論：①；②；③，正確的是（

）A．①③B．②③C．①②D．①②③2．（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，已知△ABC中高AD恰好平分邊BC，∠B=30°，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點且OP=OC，下面的結(jié)論：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等邊三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四邊形AOCP．其中正確的為（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④3．（2021·廣東·珠海市文園中學八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知，延長BC交EF于點D，若BD＝5，BC＝4，則DE長是（

）A．2 B．5 C．4 D．34．（2022·河南洛陽·八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F(xiàn)為AB延長線上一點，點E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，則∠ACF的度數(shù)為________°．5．（2022·河南駐馬店·八年級期末）如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為_____．6．（2022·全國·九年級課時練習）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點A，C的坐標分別為，，將矩形繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，點A，C，O的對應(yīng)點分別為．當點落在x軸的正半軸上時，點的坐標為________．7．（2021·遼寧沈陽·八年級期末）如圖，四邊形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于點M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，則四邊形ABCD的周長為_____cm．8．（2020·湖北荊門·八年級期中）如圖，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一點，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延長線交AC于點F．(1)求證：△BDE≌△ADC；(2)求證：BE⊥