專題12.2.4三角形全等的判定4（AAS）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用“AAS”條件判定兩個三角形全等；2.使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.3.通過探究三角形全等的條件的活動，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運算能力，培養(yǎng)學(xué)生樂于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.知識精講知識精講知識點01三角形全等的判定4：（AAS）知識點三角形全等的判定4：角角邊（AAS）文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；圖形：符號：在與中，【微點撥】1.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進行線段之間的轉(zhuǎn)化．2.全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等.【知識拓展1】角角邊判定三角形全等的條件例1．（2021?覃塘區(qū)八年級期末）如圖，點A，B，C，D在同一直線上，∠AEC＝∠DFB，AB＝DC，請補充一個條件：，能使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理添加條件，答案不唯一．【解答】解：∵AB＝DC，∴AB+BC＝DC+BC，即AC＝DB．在△ACE與△DBF中，∠AEC＝∠DFB、AC＝DB，所以添加∠A＝∠D可以使用“AAS”的方法得△ACE≌△DBF．故答案是：∠A＝∠D．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．【即學(xué)即練】1．（2021?句容市八年級月考）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，若添加條件，則可由AAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由SAS證明△ABC≌△DCB；若添加條件，則可由ASA證明△ABC≌△DCB．【分析】由于∠ABC＝∠DCB，再加上公共邊，當(dāng)利用“AAS”進行判斷時可加∠A＝∠D；當(dāng)利用“SAS”進行判斷時可加AB＝DC；當(dāng)利用“ASA”進行判斷時可加∠ACB＝∠DBC．【解答】解：當(dāng)∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，當(dāng)AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，當(dāng)∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB；故答案為：∠A＝∠D，AB＝DC，∠ACB＝∠DBC．【點評】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．【知識拓展2】利用AAS判定三角形全等（實際應(yīng)用）例2．（2021?南關(guān)區(qū)八年級期末）如圖，是小朋友蕩秋千的側(cè)面示意圖，靜止時秋千位于鉛垂線BD上，轉(zhuǎn)軸B到地面的距離BD＝2.5m．小亮在蕩秋千過程中，當(dāng)秋千擺動到最高點A時，測得點A到BD的距離AC＝1.5m．點A到地面的距離AE＝1.5m，當(dāng)他從A處擺動到A′時，有A′B⊥AB．（1）求A'到BD的距離；（2）求A'到地面的距離．【分析】（1）作A'F⊥BD，垂足為F，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：（1）如圖2，作A'F⊥BD，垂足為F．∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；又∵A'B⊥AB，∴∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠3；在△ACB和△BFA'中，，∴△ACB≌△BFA'（AAS）；∴A'F＝BC∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，∴CD＝AE＝1.5；∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），∴A'F＝1（m），即A'到BD的距離是1m．（2）由（1）知：△ACB≌△BFA'∴BF＝AC＝1.5m，作A'H⊥DE，垂足為H．∵A'F∥DE，∴A'H＝FD，∴A'H＝BD﹣BF＝2.5﹣1.5＝1（m），【點評】本題考查全等三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形全等的條件，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．【即學(xué)即練】2.（2022?嘉定區(qū)八年級期末）如圖，兩車從路段MN的兩端同時出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時間后分別到達A，B兩地，兩車行進的路線平行．那么A，B兩地到路段MN的距離相等嗎？為什么？【分析】要判斷A，B兩地到路段MN的距離是否相等，可以由條件證明△AEM≌△BFN，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以的得出結(jié)論．【解答】解：A，B兩地到路段MN的距離相等．理由：∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴∠AFN＝∠AEM＝90°．∵AM∥BN，∴∠M＝∠N．在△AEM和△BFN中，，∴△AEM≌△BFN（AAS），∴AE＝BF．∴A，B兩地到路段MN的距離相等．【點評】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，點到直線的距離的理解，在解答時弄清判斷三角形全等的條件是關(guān)鍵．【知識拓展3】利用AAS證明三角形全等（求線段的長度）例3．（2022·黑龍江黑河·八年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，則DE=________cm．【答案】12【分析】用AAS證明△ABD≌△CAE，得AD=CE，BD=AE，得到DE=BD+CE=7+5=12cm．【詳解】∵∠BAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠EAC＝∠ABD，∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝12cm．故答案為：12．【點睛】本題主要考查了三角形全等，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)．【即學(xué)即練1】3．（2022·陜西·武功縣教育局教育教學(xué)研究室七年級期末）如圖，E是的邊的中點，過點C作，過點E作直線交于D，交于F，若，則的長為__________．【答案】2.5【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，求出AE=EC，根據(jù)AAS證△ADE≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．【詳解】證明：∵CF//AB，∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A，∵點E為AC的中點，∴AE=EC，在△ADE和?CFE中，∴△ADE≌?CFE(AAS)，∴AD=CF=6.5，∵AB=9，∴BD=AB-AD=9-6.5=2.5，故答案為：2.5．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．【知識拓展4】利用AAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）例4．（2022·山東·八年級期末）如圖，點D在邊AC上，BC與DE交于點P，，，∠CDE＝∠ABD．(1)與全等嗎？為什么？(2)已知，，求的度數(shù)．【答案】(1)，見解析；(2)【分析】（1）通過三角形內(nèi)角和為，可以得到∠CDE＝∠CBE，通過找角的關(guān)系可以得到∠ABC＝∠DBE，又因為，即可證明．（2）在（1）問的證明中我們可以證得∠ABD＝∠CBE=∠CDE，即可解題．(1)．理由：∵∠C＝∠E，∠CPD＝∠EPB，∴，∴∠CDE＝∠CBE，∵∠CDE＝∠ABD，∴∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE＋∠CBD＝∠ABD＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，又∵∠C＝∠E，AB＝DB，∴．(2)∵∠ABE＝157°，∠DBC＝27°，∴，∴∠CDE＝∠CBE＝65°．【點睛】本題考查了全等三角形的證明，熟記對頂角相等，熟練掌握運用全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2021?遷安市期中）如圖，在△ABC中，∠A＝62°，∠ABC＝90°，點D在AC上，連接BD，過點D作ED⊥BD，垂足為D，使DE＝BC，連接BE，若∠C＝∠E．（1）求證：AB＝BD；（2）若∠DBC＝34°，求∠BFE的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠A＝∠DBE，再根據(jù)AAS證出△ABC≌△BDE，即可得出AB＝BD；（2）根據(jù)已知條件和△ABC≌△BDE，得出∠DBE＝62°，再根據(jù)∠DBC＝34°，求出∠FBE的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵∠C＝∠E，∴∠A＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AB＝BD；（2）∵∠A＝62°，∠ABC＝90°，∴∠C＝∠E＝28°，∵ED⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBE＝62°，∵∠DBC＝34°，∴∠FBE＝28°，∴∠BFE＝180°﹣∠E﹣∠FBE＝180°﹣28°﹣28°＝124°．【點評】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證出△ABC≌△BDE．【知識拓展5】利用AAS證明三角形全等（證明類）例5．（2021?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，BD是△ABC中AC邊上的中線，過點C作CE∥AB，交BD的延長線于點E，F(xiàn)為△ABC外一點，連接CF、DF，且DE＝DF、∠ADF＝∠CDE．求證：（1）△ABD≌△CED；（2）CA平分∠BCF．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，根據(jù)AAS可證明△ABD≌△CED；（2）證明△BDC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠FCD．【解答】證明：（1）∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠CED，∠BAD＝∠DCE，∵BD是△ABC中AC邊上的中線，∴AD＝CD，在△ABD和△CED中，，∴△ABD≌△CED（AAS）；（2）∵△ABD≌△CED，∴BD＝DE，又∵DE＝DF，∴BD＝DF，∵∠ADF＝∠CDE，∠CDE＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ADF，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠ADF，∴∠BDC＝∠FDC，在△BDC和△FDC中，，∴△BDC≌△FDC（SAS），∴∠BCD＝∠FCD，∴CA平分∠BCF．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角分線的判定，中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練5】5．（2022·浙江·瑞安市八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，，垂足為點E，和的延長線交于點F．（1）求證：．（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先根據(jù)同角的余角相等得到，然后根據(jù)AAS證明即可；（2）首先根據(jù)ASA證明，然后得到FE=AE，結(jié)合（1）問結(jié)論根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）∵∴∴∵∴∴在和中∴（AAS）（2）∵∴∵平分∴在和中∴（ASA）∴FE=AE∴∵∴CD=AF∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是先證明兩個三角形全等，然后利用全等的性質(zhì)證明．6．（2021?西城區(qū)八年級期末）如圖，AB∥CD，點E在CB的延長線上，∠A＝∠E，AC＝ED．（1）求證：BC＝CD；（2）連接BD，求證：∠ABD＝∠EBD．【分析】（1）由“AAS”可證△ABC≌△ECD，可得BC＝CD；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠CBD＝∠CDB，由平行線的性質(zhì)和平角的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（AAS），∴BC＝CD；（2）如圖，連接BD，∵BC＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB＝180°，又∵∠CBD+∠EBD＝180°，∴∠ABD＝∠EBD．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．能力拓展能力拓展考法01利用AAS證明三角形全等（探究類）【典例1】（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖1，已知中，，，、分別與過點的直線垂直，且垂足分別為E，D．(1)猜想線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．(2)如圖2，當(dāng)過點C的直線繞點旋轉(zhuǎn)到的內(nèi)部，其他條件不變，如圖2所示，①線段AD、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變？若改變，請直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系，若不改變，請說明理由；②若，時，求的長．【答案】(1)，證明見解析(2)①發(fā)生改變，；②1.3【分析】（1）證明，可得，CD＝BE，即可求解；（2）①證明，可得，CD＝BE，即可求解；②由①可得，從而得到，即可求解．（1）解：，

理由如下：∵、分別與過點的直線垂直，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，，CD＝BE，∵DE＝EC＋CD，

；（2）解：①發(fā)生改變．∵、分別與過點的直線垂直，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，，，CD＝BE，∵DE＝CE-CD，

∴；②由①知：，∴，∴BE的長為1.3.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022?呼蘭區(qū)八年級期中）如圖，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD，連接AC，過點D作DE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F．（1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度數(shù)；（2）請直接寫出線段BF、EF、DE三者間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）證明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度數(shù)；（2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，則可得結(jié)論BF+EF＝DE．【解答】（1）證明：∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠BFA＝∠AED＝90°，∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴∠ABF＝∠DAE，∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°；（2）解：BF+EF＝DE．∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，DE＝AF，∴AF＝DE＝AE+EF＝BF+EF．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．變式2．（2021?華容縣八年級期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點P為BC邊上一動點（BP＜CP），分別過B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F．（1）求證：EF＝CF﹣BE．（2）若點P為BC延長線上一點，其它條件不變，則線段BE、CF、EF是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系？畫圖并直接寫出你的結(jié)論．【分析】（1）由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根據(jù)∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出結(jié)論；（2）如圖2，同樣由BE⊥AP，CF⊥AP可以得出∠AEB＝∠AFC＝90°，根據(jù)∠BAC＝90°就可以求出∠BAE＝∠ACF，就可以得出△ABE≌△CAF，而得出AE＝CF，BE＝AF得出結(jié)論EF＝BE+CF．【解答】解：（1）證明：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE﹣AF，∴EF＝CF﹣BE；（2）EF＝BE+CF理由：∵BE⊥AP，CF⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90°．∴∠FAC+∠ACF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠BAE＝∠ACF．在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AE＝CF，BE＝AF．∵EF＝AE+AF，∴EF＝BE+CF．【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用．解答時證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．考法02全等中的坐標(biāo)問題【典例2】（2022·黑龍江牡丹江·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中A（0，2），B（﹣1，0），以點A為直角頂點，AB為直角邊在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC．(1)設(shè)點C的坐標(biāo)為（a，b），求a+b的值．(2)求四邊形OACB的面積．(3)在（1）的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點P（不與點C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，直接寫出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)1(2)(3)存在，P的坐標(biāo)是或或【分析】（1）如圖1，作CE垂直于y軸，垂足為E，可知△ECA≌△OAB，知的長，得到的坐標(biāo)，進而得到的值，進而得到的值；（2）如圖2，作CE垂直于y軸，垂足為E，連接OC，，代線段值求解即可；（3）分為三種情況：①如圖3，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，△PEB≌△BOA，得的值，進而表示的點坐標(biāo)即可；②如圖4，過C作CM垂直于x軸，垂足為M，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠CMB＝∠PEB＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，進而表示的點坐標(biāo)即可；③如圖5，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠BEP＝∠BOA＝90°，△CMB≌△BEP，得的值，進而表示的點坐標(biāo)即可．(1)解：如圖1，作CE垂直于y軸，垂足為E，∴∠CEA＝90°∵A，B∴OA＝2，OB＝1∵∠BAC＝90°∴∠BAO+∠CAE＝90°∵∠ECA+∠CAE＝90°∴∠ECA＝∠BAO在△ECA和△OAB中∴△ECA≌△OAB（AAS）∴CE＝AO＝2，AE＝BO＝1即OE＝EA+OA＝3∴C點坐標(biāo)為∴∴．(2)解：如圖2，作CE垂直于y軸，垂足為E，連接OC，．(3)解：存在點P，使△PAB與△ABC全等；分為三種情況：①如圖3，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠PBA＝∠AOB＝∠PEB＝90°，∴∠EPB+∠PBE＝90°，∠PBE+∠ABO＝90°∴∠EPB＝∠ABO在△PEB和△BOA∴△PEB≌△BOA（AAS）∴PE＝BO＝1，EB＝AO＝2∴，即P的坐標(biāo)是；②如圖4，過C作CM垂直于x軸，垂足為M，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠CMB＝∠PEB＝90°，∵△CAB≌△PAB∴∠PBA＝∠CBA＝45°，BC＝BP∴∠CBP＝90°∴∠MCB+∠CBM＝90°，∠CBM+∠PBE＝90°∴∠MCB＝∠PBE在△CMB和△BEP中∴△CMB≌△BEP（AAS）∴PE＝BM，CM＝BE∵∴PE＝1，OE＝BE﹣BO＝3﹣1＝2即P的坐標(biāo)是；③如圖5，過P作PE垂直于x軸，垂足為E，則∠BEP＝∠BOA＝90°，∵△CAB≌△PBA∴AB＝BP，∠CAB＝∠ABP＝90°∴∠ABO+∠PBE＝90°，∠PBE+∠BPE＝90°∴∠ABO＝∠BPE在△BOA和△PEB中∴△BOA≌△PEB（AAS）∴PE＝BO＝1，BE＝OA＝2，∴OE＝BE+BO＝2+1＝3，即P的坐標(biāo)是；綜合上述，符合條件的P的坐標(biāo)是或或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角坐標(biāo)系中的點坐標(biāo)．解題的關(guān)鍵在于全面考慮三角形全等的可能情況．變式1．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），點B的坐標(biāo)為（1，5），則A點的坐標(biāo)是_____．【答案】（-7，3）【分析】先作輔助線、，通過導(dǎo)角證明，再證明，得到AD的長度(A的縱坐標(biāo)長度)、DC長度(加上OC得到A橫坐標(biāo)長度)，根據(jù)A點所在象限的符號，確定A點坐標(biāo)．【詳解】如圖，過點A作于點D，過點B作于點E點C的坐標(biāo)為(-2，0)，點B的坐標(biāo)為(1，5)OC=2，OE=1，BE=5在和中，A點的坐標(biāo)是(-7，3)．【點睛】本題考查了全等三角形的證明(在兩個三角形中，如果有兩組對應(yīng)角，和其中一組對應(yīng)角的對邊分別相等，那么這兩個三角形全等)．變式2.（2022·福建寧德·八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角頂點、分別在軸、軸上，且，．(1)如圖1，當(dāng)，，點在第四象限時，直接寫出點的坐標(biāo)．(2)如圖2，當(dāng)點在軸正半軸上運動，點在軸正半軸上運動，點在第四象限時，作軸于點，求，，之間的關(guān)系．【答案】(1)（3，-1）(2)a＋m＋n=0，理由見解析【分析】（1）作BD⊥x軸于D，證明△AOC≌△CDB（AAS），可得AO=CD=2，OC=BD=1，根據(jù)點在第四象限，即可求解．（2）作BE⊥x軸于E，證明△CEB≌△AOC（AAS），可得AO=CE=a，BE=CO，根據(jù)點在第四象限時，即可求解．（1）解：點B的坐標(biāo)為（3，-1）．理由如下：作BD⊥x軸于D，∴∠AOC=90°=∠BDC，∴∠OAC＋∠ACO=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠ACO＋∠BCD=90°，∴∠OAC=∠BCD，在△AOC和△CDB中，，∴△AOC≌△CDB（AAS），∴AO=CD，OC=BD，∵A（0，-2），C（1，0），∴AO=CD=2，OC=BD=1，∴OD=3，∵B在第四象限，∴點B的坐標(biāo)為（3，-1）；（2）解：a＋m＋n=0．證明：作BE⊥x軸于E，∴∠BEC=∠AOC=90°，∴∠1＋∠2=90°，∵∠ACB=90°，∴∠1＋∠3=90°，∴∠2=∠3，在△CEB和△AOC中，，∴△CEB≌△AOC（AAS），∴AO=CE=a，BE=CO，∵BE⊥x軸于E，∴BEy軸，∵BD⊥y軸于點D，EO⊥y軸于點O，∴EO=BD=m，∴BE=-n，∴a＋m=-n，∴a＋m＋n=0．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，第四象限點的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2021·河南洛陽·八年級期中）已知：如圖，，，要使，需添加一個條件，則添加的條件以及相應(yīng)的判定定理合適的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用全等三角形的判定方法分別進行分析即可．【詳解】解：、添加條件判定用的判定方法是，故原題說法正確，符合題意；、添加條件不能判定，故原題說法錯誤，不符合題意；、添加條件判定用的判定方法是，故原題說法錯誤，不符合題意；、添加條件判定用的判定方法是，故原題說法錯誤，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：、、、、．解題的關(guān)鍵是注意：、不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．2.（2022?東臺市期中）根據(jù)下列已知條件，能夠畫出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50° B．∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝8 C．AB＝5，BC＝6，AC＝13 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可．【解答】解：A、已知AB、BC和BC的對角，不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；B、已知兩角和一邊，能畫出唯一△ABC，故本選項符合題意；C、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能畫出△ABC；故本選項不符合題意；D、根據(jù)∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能畫出唯一三角形，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2021·北京市師達中學(xué)八年級期中）如圖，AE⊥AB且，BC⊥CD且，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積是（

）A．30 B．32 C．35 D．38【答案】B【分析】根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可證明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可證明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的長，根據(jù)實線所圍成的圖形的面積=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面積公式即可得答案．【詳解】∵AE⊥AB，EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，∴AF=BG=2，EF=AG=5，同理可得：△CDH≌△BCG，∴CH=BG=2，CG=DH=3，∴FH=AF+AG+CG+CH=12，AC=AG+CG=8，∴實線所圍成的圖形的面積=S梯形EFHD-2S△ABC==32．故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2021·山東煙臺·九年級期中）數(shù)學(xué)活動課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認為(

)A．S△ABC>S△DEFB．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能確定【答案】C【分析】在兩個圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可．【詳解】解：如圖，過點A、D分別作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分別為G、H，在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，∠B=50°，∠DEH=180°-130°=50°，∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故選：C．【點睛】考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等．證明△AGB≌△DHE是解題的關(guān)鍵．5．（2022春?蜀山區(qū)校級期中）如圖，直線l上有三個正方形，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）A．55 B．16 C．6 D．4【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，易證△BAC≌△ECD（AAS），可得AB＝CE，BC＝DE，根據(jù)a，c的面積以及勾股定理即可求出b的面積．【解答】解：根據(jù)題意，得AC＝CD，∠ABC＝∠CED＝∠ACD＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，在△BAC和△ECD中，，∴△BAC≌△ECD（AAS），∴AB＝CE，BC＝DE，∵a，c的面積分別為5和11，∴AB2＝5，DE2＝11，∴BC2＝11，根據(jù)勾股定理，得AC2＝AB2+BC2＝5+11＝16，∴b的面積為16，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及正方形的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．6．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2，BE＝1．則DE＝________．【答案】1【分析】先證明△ACD≌△CBE，再求出DE的長，解決問題．【詳解】解：∵BE⊥CE于E，AD⊥CE于D∴∵∴∵∴∴，∴．故答案為：1【點睛】此題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握再全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?長春期末）如圖，小張同學(xué)拿著老師的等腰直角三角尺，擺放在兩摞長方體教具之間，∠ACB＝90°，AC＝BC，若每個長方體教具高度均為6cm，則兩摞長方體教具之間的距離DE的長為cm．【分析】根據(jù)題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據(jù)等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進行解答．【解答】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，AD＝CE，∵DE＝CD+CE，∴DE＝BE+AD，∵一塊長方體教具的厚度為6cm，∴AD＝24cm，BE＝18cm，∴兩摞長方體教具之間的距離DE的長＝24+18＝42（cm）．故答案為：42．【點評】此題主要考查全等三角形的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確找出證明三角形全等的條件．8．（2022·天津薊州·八年級期末）如圖，已知相交于點O，ABCD．求證．【答案】見解析【分析】由ABCD推出，，由推出，再由推出，最后由判定出即可證得．【詳解】證明：∵ABCD∴，∵又∵，∴∵又∵，∴在和中，∵

∴（）∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理——，熟練掌握全等三角形的判定是解題關(guān)鍵．9．（2022·安徽合肥·八年級期末）如圖，在ABC和CDE中，點B、D、C在同一直線上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，ABDE，求證：ABC≌CDE．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【詳解】證明：∵，∴，在和△CDE中，，∴．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．10.（2021?蘇州期末）如圖，AD，BF相交于點O，AB∥DF，AB＝DF，點E與點C在BF上，且BE＝CF．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）求證：點O為BF的中點．【分析】（1）由“SAS”可證△ABC≌△DFE；（2）由“AAS”可證△ACO≌△DEO，可得EO＝CO，可得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵AB∥DF，∴∠B＝∠F，∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DFE中，，∴△ABC≌△DFE（SAS）；（2）∵△ABC≌△DFE，∴AC＝DE，∠ACB＝∠DEF，在△ACO和△DEO中，，∴△ACO≌△DEO（AAS），∴EO＝CO，∴點O為BF的中點．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是本題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2021·廣東·東莞市沙田實驗中學(xué)八年級期中）如圖，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD垂足分別為E、F兩點，則圖中全等的三角形有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．【詳解】解：∵AB∥CD，AD∥BC，∴，，∴在△ABD和△CDB中，∴；∴，，∴在△ABE和△CDF中，，∴；∴在△ADE和△CBF中，，∴，則圖中全等的三角形有：△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，△ABD≌△CDB，共3對．故選：C．【點睛】此題考查了三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．2.（2021秋?蘇州期末）如圖，已知AD＝AB，∠C＝∠E，∠CDE＝55°，則∠ABE的度數(shù)為（）A．155° B．125° C．135° D．145°【分析】利用AAS證明△ACD≌△AEB即可得出答案．【解答】解：在△ACD和△AEB中，，∴△ACD≌△AEB（AAS），∴∠ABE＝∠ADC，∵∠CDE＝55°，∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝180°﹣55°＝125°，∴∠ABE＝∠ADC＝125°，故選：B．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·四川南充·八年級期末）如圖，點B，C，E在同一直線上，且，，，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出∠A=∠2，∠1=∠E，根據(jù)全等三角形的判定定理推出△ABC≌△CDE，再逐個判斷即可．【詳解】解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=90°，∴∠1+∠A=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，同理∠1=∠E，∵∠D=90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴，∴選項A、選項B，選項C都正確；根據(jù)已知條件推出∠A=∠2，∠E=∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD=90°+∠1，∠ACE=90°+∠2，所以不一定成立故選項D錯誤；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性質(zhì)，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有：ASA，SAS，AAS，SSS，兩直角三角形全等，還有HL．4．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué)七年級期中）如圖，在中，、分別足邊、上的點，是的一條角平分線．再添加一個條件仍不能證明的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法逐項分析即可．【詳解】解：∵是的一條角平分線，∴∠ABD=∠EBD，A.在△ADB和△EDB中，∴△ADB≌△EDB，故A不符合題意；B.在△ADB和△EDB中，∴△ADB≌△EDB，故不符合題意；C.在△ADB和△EDB中，∴△ADB≌△EDB，故不符合題意；D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判斷△ADB≌△EDB，故符合題意；故選D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解題的關(guān)鍵．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角相等時，角必須是兩邊的夾角．5．（2022·廣東·深圳大學(xué)附屬中學(xué)七年級期末）如圖，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．給出下列結(jié)論：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中符合題意結(jié)論的序號是_____．【答案】①②③【分析】此題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，只要先找出圖中的全等三角形就可判斷題中結(jié)論是否正確．【詳解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AC=AB，BE=CF，即結(jié)論②正確；∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM，∴△ACN≌△ABM（ASA），即結(jié)論③正確；∵∠BAE=∠CAF，∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC，∴∠1=∠2，即結(jié)論①正確；∴△AEM≌△AFN（ASA），∴AM=AN，∴CM=BN，∵∠CDM=∠BDN，∠C=∠B，∴△CDM≌△BDN，∴CD=BD，無法判斷CD=DN，故④錯誤，∴題中正確的結(jié)論應(yīng)該是①②③．故答案為：①②③．【點睛】此題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；對圖中的全等三角形作出正確判斷是正確解答本題的關(guān)鍵．5.（2022?南昌期中）如圖，若AB⊥BC于點B，AE⊥DE于點E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，則∠BAE的度數(shù)是．【分析】證明△ABC≌△AED（AAS），得出∠BAC＝∠EAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案為：80°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．6.（2022?郫都區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，點E為對角線BD上一點，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）證明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，請求出DE的長度．【分析】（1）①由AAS證明△ABD與△ECB全等即可；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可；（2）根據(jù)△ABD與△ECB全等的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：①在△ABD與△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；②由①得，△ABD≌△ECB，∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2022?雁塔區(qū)八年級月考）如圖，AB＝AC，E在線段AC上，D在AB的延長線上，且有BD＝CE，連DE交BC于F，過E作EG⊥BC于G，試判斷FG、BF、CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】在BC上截取GH＝GC，可得△EHC是等腰三角形，進而得出AB∥EH，再證△BDF≌△HEF（AAS），通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得出結(jié)論．【解答】解：FG＝BF+CG，理由如下：在BC上截取GH＝GC，連接EH，如圖所示：∵EG⊥BC，GH＝GC，∴HE＝EC，∴∠EHC＝∠C，又AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠EHC＝∠ABC，∴EH∥AB，∴∠DBF＝∠EHF，∠D＝∠DEH，∵BD＝CE，∴HE＝BD，在△BDF和△HEF中，，∴△BDF≌△HEF（AAS），∴BF＝FH，∴FG＝FH+HG＝BF+GC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022·陜西榆林·七年級期末）如圖，在中，點E在邊上，且．(1)請你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若的平分線交于點F，//交于點D，設(shè)，，求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)2【分析】（1），理由是在三角形與三角形中，由一對公共角相等，以及已知角相等，利用內(nèi)角和定理即可得證；（2）由與平行，得到一對同位角相等，再由第一問的結(jié)論等量代換得到一對角相等，根據(jù)為角平分線得到一對角相等，再由，利用得到三角形與三角形全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到，由求出的長即可．(1)解：，理由如下：在中，，在中，，，，；(2)解：，，又，，平分，，在和中，，，，，，．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．9．（2021·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點D在AC上，且AD=6cm，過點A作射線AEAC（AE與BC在AC同側(cè)），若動點P從點A出發(fā)，沿射線AE勻速運動，運動速度為1cm/s，設(shè)點P運動時間為t秒．連接PD、BD．(1)如圖①，當(dāng)PDBD時，求證：△PDA△DBC；(2)如圖②，當(dāng)PDAB于點F時，求此時t的值．【答案】(1)見解析(2)8【分析】(1)由PDBD、∠C=90°可推出∠PDA=∠CBD，即可根據(jù)ASA判定△PDA△DBC；(2)由PDAB，AEAC可推出∠APF=∠CAB，即可根據(jù)AAS判定△APD△CAB，再由全等三角形的性質(zhì)即可得解．(1)證明：如圖①∵PDBD∴∠PDB=90∴∠BDC+∠PDA=90又∵∠C=90∴∠BDC+∠CBD=90∴∠PDA=∠CBD又∵AEAC∴∠PAD=90∴∠PAD=∠C=90又∵BC=6cm，AD=6cm∴AD=BC在△PAD和△DCB中∴△PDA△DBC(ASA)(2)解：如圖②∵PDAB∴∠AFD=∠AFP=90∴∠PAF+∠APF=90又∵AEAC∴∠PAF+∠CAB=90∴∠APF=∠CAB在△APD和△CAB中∴△APD△CAB(AAS)∴AP=AC∵AC=8cm∴AP=8cm∴t=8【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)ASA判定△PDA≌△DBC、根據(jù)AAS判定△APD≌△CAB是解題的關(guān)鍵．10．（2022·遼寧錦州·八年級期中）如圖，將等腰直角三角形ABC的直角頂點置于直線上，且過A，B兩點分別作直線的垂線，垂足分別為D，E．(1)請你在圖中找出一對全等三角形，并進行證明．(2)如果將直線繞點C進行旋轉(zhuǎn)，其它條件不變，（1）中的兩個三角形還全等嗎？請在備用圖上畫出圖形并用斜線勾畫出全等的兩個三角形．【答案】(1)△ACD≌△CBE，見解析(2)全等，見解析【分析】（1）利用AAS證明△ACD≌△CBE即可；（2）先畫出圖形，再用AAS證明△ACD≌△CBE即可．（1）解：全等三角形為：△ACD≌△CBE.證明：由題意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD與△CBE中，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：（1）中的兩個三角形還全等，即△ACD≌△CBE，如圖，理由：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC=∠CEB=90°，，∴∠ACD+∠DAC=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD與△CBE中，∴△ACD≌△CBE（AAS）；【點睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1.（2021?隴縣期末）如圖，AB⊥CD，且AB＝CD，CE⊥AD于E，BF⊥AD于F．若CE＝6，BF＝3，EF＝2，則AD的長為（）A．7 B．6 C．5 D．4【分析】由“AAS”可證明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，即可求AD的長．【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∠CED＝∠AFB＝90°，∴∠A＝∠C，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝6，BF＝DE＝3，∴AD＝AF﹣EF+DE＝6﹣2+3＝7．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明△ABF≌△CDE是本題的關(guān)鍵．2．（2022·山東淄博·七年級期末）如圖，，，．下列結(jié)論中：（1）；（2）；（3）；（4）．正確的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先證明△ADF≌△ABF，得∠ADF=∠ABF，再根據(jù)等角的余角相等，得2∠1=∠DFE，便可判斷（1）的正誤；當(dāng)△ABC不是等腰直角三角形時，∠C≠45°，則∠C≠∠CBE，此時BE≠CE，便可判斷（2）的正誤；證明∠ABE=∠C=∠ADF，得DFBC，便可判斷（4）的正確；過D點作DM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則DM=FN，假設(shè)CD=DB,可得△CDM≌△FBN，當(dāng)∠C≠45°，得CD≠BF，便可判斷（3）的正誤．【詳解】解：（1）在△ADF和△ABF中，，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴∠ADF=∠ABF，∵∠ABF+∠BAE=∠ADF+∠DFE=90°，∴∠BAE=∠DFE，∵∠1=∠2，∴2∠1=∠DFE，故（1）錯誤；（2）當(dāng)△ABC不是等腰直角三角形時，∠C≠45°，則∠C≠∠CBE，此時BE≠CE，故（2）錯誤；（4）∵△ADF≌△ABF，∴∠ABF=∠ADF，∵AB⊥BC，BE⊥AC，∴∠ABE+∠CBE=∠BCE+∠C=90°，∴∠ABE=∠C，∴∠ADF=∠C，∴DFBC故（4）正確；（3）DFBC，過D點作DM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則DM=FN，若，∵∠C+∠CBF=∠C+∠CDM=90°，∴∠CDM=∠FBN，∴△CDM≌△FBN（AAS），，則此時當(dāng)△ABC不是等腰直角三角形時，∠C≠45°，△CDM與△FBN不全等，∴CDFB，∵△ADF≌△ABF，∴DF=BF．∴BF=DFCD，故（3）不正確；綜上所述，正確的有（4），共1個；故選：A．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵是掌握三角形的全等的判定定理．3．（2022·湖南岳陽·八年級期中）如圖，P是∠AOB平分線上的點，PD⊥OB于點D，PC⊥OA于點C，則下列結(jié)論：①PC＝PD；②OD＝OC；③POC與POD的面積相等；④∠POC＋∠OPD＝90°．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，可得△OCP≌△ODP（AAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】解：∵P是∠AOB平分線上的點，∴∠COP=∠DOP，∵PD⊥OB于點D，PC⊥OA于點C，∴∠OCP=∠ODP=90°，在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（AAS），∴PC=PD，OC=OD，故①②選項符合題意，∵△OCP≌△ODP（AAS），∴△POC與△POD的面積相等，故③選項符合題意；∵△OCP≌△ODP（AAS），∴∠OPD=∠OPC，∵∠POC+∠OPC=90°，∴∠POC+∠POD=90°，故④選項符合題意；綜上可知，①②③④均符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4.（2021?喀喇沁旗期末）如圖，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，E是BC的中點，DE⊥AB，垂足為點F，且AB＝DE．若BD＝8cm，則AC的長為．【分析】由DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠DEB＝90°，由∠ACB＝90°，由直角三角形兩銳角互余，可得∠ABC+∠A＝90°，根據(jù)同角的余角相等，可得∠A＝∠DEB，然后根據(jù)AAS判斷△ABC≌△EDB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到BD＝BC，AC＝BE，由E是BC的中點，得到BEBCBD＝4．【解答】解：∵DE⊥AB，可得∠BFE＝90°，∴∠ABC+∠DEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝∠DEB，在△ABC和△EDB中，，∴△ABC≌△EDB（AAS），∴BD＝BC，AC＝BE，∵E是BC的中點，BD＝8cm，∴BEBCBD＝4cm．故答案為：4cm【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無法證明三角形全等，本題是一道較為簡單的題目，找準(zhǔn)全等的三角形是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)八年級期中）ABC和DBC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，延長CD、BA交于點E．（1）如圖1，若AB＝AC，試說明BO＝EC；（2）如圖2，∠MON為直角，它的兩邊OM、ON分別與AB、EC所在直線交于點M、N，如果OM＝ON，那么BM與CO是否相等？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）BM＝CO，見解析【分析】（1）根據(jù)余角的性質(zhì)和等角代換可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的判定證明△BAO≌△CAE便可得結(jié)論；（2）根據(jù)余角的性質(zhì)和等角代換可得∠ABO＝∠DCO，再利用全等三角形的判定證明△BOM≌△CNO便可得BM＝CO．【詳解】解：（1）∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABO+∠AOB＝∠DCO+∠DOC＝90°，∵∠AOB＝∠DOC，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠EAC＝180°﹣∠BAC＝90°，∴∠BAO＝∠EAC，在△BAO和△CAE中，，∴△BAO≌△CAE（ASA），∴BO＝CE；（2）相等．理由如下：∵∠MON＝∠BAC＝90°，∴∠AMO+∠AOM＝∠AOM+∠AON＝90°，∴∠AMO＝∠AON，∴∠BMO＝∠NOC，由（1）知∠ABO＝∠DCO，在△BOM和△CNO中，，∴△BOM≌△CNO（AAS），∴BM＝CO．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到等角代換、余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．6.（2022?金東區(qū)期中）已知：△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F，過點F作FG∥BC，交直線AB于點G．（1）如圖1，若△ABC為銳角三角形，且∠ABC＝45°．求證：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如圖2，若∠ABC＝135°，直接寫出FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）①要證明△BDF≌△ADC，如圖，在△ABD中，∠ABC＝45°，AD⊥BC，可證BD＝AD，∠BDF＝∠ADC；在△ADC中，可證得∠AFE＝∠ACD，又∵∠AFE＝∠BFD（對頂角相等），∴∠ACD＝∠BFD；運用AAS，問題可證．②由△BDF≌△ADC可證得DF＝DC；∵AD＝AF+FD，∴AD＝AF+DC；由GF∥BD，∠ABC＝45°，可證得AF＝GF；于是問題可證．（2）∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，∴FG＝AF＝AD+DF；DF＝DC可通過證明△BDF≌△ADC得到，故可得：FG＝DC+AD．【解答】解：（1）①證明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG；∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之間的數(shù)量關(guān)系為：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆為等腰直角三角形，∴BD＝AD，F(xiàn)G＝AF＝AD+DF；∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，∴∠DFB＝∠DCA；又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之間的數(shù)量關(guān)系為：FG＝DC+AD．【點評】本題綜合考查了三角形全等的判定和性質(zhì)；利用三角形全等證明線段相等是經(jīng)常使用的重要方法，注意掌握7．（2022·全國·九年級單元測試）在中，，，直線MN經(jīng)過點C且于D，于E．(1)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①≌；②；(2)當(dāng)直線MN燒點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)證明見解析(3)（或者對其恒等變形得到，），證明見解析【分析】（1）①根據(jù)，，，得出，再根據(jù)即可判定；②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出，，進而得到；（2）先根據(jù)，，得到，進而得出，再根據(jù)即可判定，進而得到，，最后得出；（3）運用（2）中的方法即可得出，，之間的等量關(guān)系是：或恒等變形的其他形式．（1）解：①，，，，，，在和中，；②，，，；（2）證明：，，，，在和中，；，，；（3）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到題圖（3）的位置時，，，所滿足的等量關(guān)系是：或或．理由如下：，，，，在和中，，，，（或者對其恒等變形得到或）．【點睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，同角的余角相等，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)線段的和差關(guān)系進行推導(dǎo)，得出結(jié)論．8．（2021·北京市師達中學(xué)八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是等腰直角三角形，且，，頂點A、C分別在y軸、x軸上．(1)如圖，已知點，，點B在第四象限時，則點B的坐標(biāo)為；(2)如圖，點C、A分別在x軸、y軸的負半軸上，BC邊交y軸于點D，AB邊交x軸于點E，若AD平分∠BAC，點B坐標(biāo)為．探究線段AD、OC、OD之間的數(shù)量關(guān)系．請回答下列問題：①點B到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為；②寫出點C的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為；③直接寫出線段AD、OC、OD之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】(1)（3，-1）(2)①n，m；②（-n，0），（0，-m-n），（0，）；③【分析】（1）過B點作x軸垂線，垂足為D，由題意可證得，故CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3，即可知B點坐標(biāo)為（3，-1）．（2）過B點作x軸垂線，垂足為F，連接DE①因為B點在第一象限，故B點橫坐標(biāo)為B點到y(tǒng)軸的距離，B點縱坐標(biāo)為B點到x軸的距離．②由題意可證得，故可求為等腰三角形，則可證得，便可知OC=n，OA=OF+OC=m+n，DO=OF-OE=m-n即點C的坐標(biāo)為（-n，0），點A的坐標(biāo)為（0，-m-n），點D的坐標(biāo)為（0，）．③由②問知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n，故有．(1)過B點作x軸垂線，垂足為D由題意知AO=2，OC=1，AC=BC，∵∠OCA+∠OAC=90°，∠OCA+∠DCB=90°∴∠OAC=∠BCD，在和中有∴∴CD=OA=2,BD=OC=1，OD=OC+CD=3故B點坐標(biāo)為（3，-1）(2)過B點作x軸垂線，垂足為F，連接DE①∵點B坐標(biāo)為，且點B在第一象限∴m＞0，n＞0故點B到x軸的距離為n，到y(tǒng)軸的距離為m．②由題意知BC=AC，∵∠BCF+∠OAC=90°，∠OCA+∠OAC=90°∴在和中有∴∴BF=CO，OA=CF由①知BF=n，OF=m故OC=n，OA=OF+OC=m+n∵AD平分∠BAC∴∠OAC=∠OAE∴∠OCA+∠OAC=∠OEA+∠OAE∴AC=AE∴為等腰三角形，AD為角平分線，中線，高線三線合一，故也為等腰三角形．∴CO=OE=BF，∠DCO+∠OCA=∠DEO+∠OEA=90°∵∠ODE+∠OED=90°，∠OED+∠BEF=90°∴∠ODE=∠BEF在和中有∴∴EF=DO∴DO=OF-OE=m-n則點C的坐標(biāo)為（-n，0），點A的坐標(biāo)為（0，-m-n），點D的坐標(biāo)為（0，）．③由②可知AD=OD+AO=m-n+m+n=2m，OC=n，OD=m-n故有【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，坐標(biāo)軸中點坐標(biāo)的性質(zhì)，點到坐標(biāo)軸的距離點P的坐標(biāo)為，那么點P到x軸的距離為這點縱坐標(biāo)的絕對值，即．點P到y(tǒng)軸的距離為這點橫坐標(biāo)的絕對值，即．AAS表示角角邊,即已知兩個三角形的兩個角都相同,且兩角夾邊以外的