【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】

專題17秦九韶

（以秦九韶為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）

一、單選題

1.南宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家秦九韶提出利用三角形的三邊求面積的公式：如果一個(gè)三角形的

三邊長分別為兄"c,那么三角形的面積+丁2）｝后人稱之

為秦九韶公式，這與古希臘數(shù)學(xué)家海倫證明的面積公式

S板=向不二H刁標(biāo)書（p=；S+）+c）］實(shí)質(zhì)是相同的.若在中，

”=2*=3,c=4,則"C的內(nèi)切圓半徑r的值為（）

A屈n屈「屈V15

A.---D.---C.---nU.---

3456

【答案】D

【解析】

【分析】

直接根據(jù)題干的面積公式計(jì)算，然后根據(jù)等面積法計(jì)算可得該三角形的內(nèi)切圓的半徑.

【詳解】

1Q

由題可知：a=2,b=3,c=4,p=-（a+b+c）=-

22

又S&KBC=JMP-"）（P-6）（P-C）（P=g（a+b+c））,

g、i。19,9?9“9八/95313/

所以S/u8c=\/T（T-2）（T-3）（T-4）==A/-X-XTXT=---

V2222722224

19

由S4ABe=~艾ab+c）?r-r,

所以r=姮.

6

故選：D

2.南宋時(shí)期，我國著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了與海倫公式等價(jià)的求三角形面積的方法，

稱之為“三斜求積術(shù)這個(gè)公式能用三角形的三邊a、b、c來求三角形的面積S數(shù)學(xué)課

上，張三在做筆記時(shí)由于分神，有部分公式?jīng)]有抄完，他的筆記寫著

S=/C%2_13，請問□里是（）

A.b2+c2-a2B.a2+b2-c2

C.c2+a~-b~D.a'+b~+c

【答案】C

【解析】

【分析】

由面積公式與余弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，得到答案.

【詳解】

故選：c

3.宋元時(shí)期是我國古代數(shù)學(xué)非常輝煌的時(shí)期，其中秦九韶、李治、楊輝、朱世杰并稱

宋元數(shù)學(xué)四大家，其他表作有秦九韶的《數(shù)學(xué)九章》，李治的《測圓海鏡》和《益古演

段》，楊輝的《詳解九章算法》和《楊輝算法》，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》和《四元玉

鑒》.現(xiàn)有數(shù)學(xué)著作《數(shù)學(xué)九章》，《測圓海鏡》，《益古演段》，《詳解九章算法》，《楊輝

算法》，《算學(xué)啟蒙》，《四元玉鑒》，共7本，從中任取3本，至少含有一本楊輝的著作

的概率是（）

2345

A.7-B.-77-D.-7

【答案】D

【解析】

【分析】

先求其對立事件的概率，再用1減去其對立事件的概率即為所求

【詳解】

解析：所求概率尸=1-岑=5

故選：D

4.中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊

長分別為a,b,c,三角形的面積S可由公式5=畫（〃-0（p-份（p-c）求得,其中P

為三角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫——秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊

長滿足a+b=8,c=6,則此三角形面積的最大值為（)

A.3百B.8C.4>/7D.9G

【答案】A

【解析】

【分析】

求出P=7,利用海倫——秦九韶公式將面積S表示為。的函數(shù)，利用。的范圍及二次

函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.

【詳解】

依題意可得p=g(“+6+c)=g(8+6)=7,

所以S="(7-a)(7-b)(7-6)="(7-=8一/+8a-T)

=g[-d)2+9],

,\a+c>bfa+6>8—〃一

因?yàn)?即,所以

[b+c>a[8-a+6>a

所以當(dāng)a=4時(shí),S取得最大值3幣.

故選：A

5.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積''公式.設(shè)

△ABC的三個(gè)內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,4c,面積為S,“三斜求積”公式表示為

]「(a2+c2-h2Y

S=-a2c2-\---------.在△ABC中，若/sinC=4sinA(a-c)2=〃-4,則用

FLI2〃

“三斜求積”公式求得△A8C的面積為()

A.V2B.2上C.GD.2>/2

【答案】C

【解析】

【分析】

由正弦定理邊角關(guān)系可得ac=4,再結(jié)合已知可得〃+C2-Z/=4,代入“三斜求積”公

式即可求面積.

【詳解】

由正弦定理可得：八=4a,則呢=4,

-lac+c1=/-4,HPa2+c2-b2=2ac-4=4,

所以S=手(16-4)=舊.

故選：c

6.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了三角形面積的求法：“以小斜幕并

大斜累減中斜累，余半之，自乘于上.以小斜基乘大斜累減上，余四約之，為實(shí).一為從

隅.開平方得積如果把以上這段文字寫成公式，就是s=#//_『+；一,根

據(jù)此公式，ABC中，角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若c2sinA=3sinC,且

（。+。）2-從=10,則一ABC的面積為（）

B.(C,也

2

【答案】B

【解析】

【分析】

結(jié)合正弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.

【詳解】

依題意＜?sinA=3sinC,由正弦定理得ac?=3c,ac=3,

（a+c）2-b2=10,a2+2ac+c2-b2=10,

a2+6+c2-b2=}0,c2+a2-b2=4,

故選：B

7.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了已知三角形三邊求三角形面積的方法，他把這種

方法稱為“三斜求積”：以斜基并大斜嘉減中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜基乘大

斜累減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.在他的著作《數(shù)書九章》卷五

“田域類''里就有已知三邊求三角形面積的問題，該問題翻譯成現(xiàn)代漢語就是：一塊三

角形田地，三邊分別為13,14,15,則該三角形田地的面積是（）

A.84B.168C.79D.63

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)“三斜求積”可得三角形面積公式為S=；-,代入數(shù)值計(jì)算

可得；

【詳解】

解：依題意設(shè).,A8C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c^a>b>c,則三角形

面積公式為S=,,a%2_（/+c2加],又。=]5,。=[4,。=13,所以

S=J15晨132_r+1；-13]=84

故選：A

8.我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨(dú)立提出了一種求三角

形面積的方法“三斜求積術(shù)“，即3ABe的面積S=J；7],其中

V2sinB

“力，c分別為；ABC的內(nèi)角A8,C的對邊，若b=l,且tanC=則二ABC的

1-0cos8

面積的最大值為（）

A.在B.72C,3

D.G

22

【答案】A

【解析】

【分析】

夜sin5

先根據(jù)tanC=求出關(guān)系,代入面積公式，利用二次函數(shù)的知識(shí)求解最值.

l-V2cosB

【詳解】

5/2sinB

因?yàn)閠anC=所以sinC=/sinCcos8+0cosCsin8，

1-V2cosB

即sinC=>/2sin(C4-B)=y/2sinA；

山正弦定理可得C=04,所以S=

=；/（/一3）+8；

當(dāng)“增時(shí)，S取至撮大值孝.

故選：A.

9.秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦

九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn).秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜

和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：

42c2_其中“，b,c是［ABC的內(nèi)角A，B,C的對

邊.已知,ABC中，會(huì)產(chǎn)-b=2,則一ABC面積的最大值為（）

b2-cosB

A.-B.-C.—D.75

332

【答案】A

【解析】

【分析】

由正弦定理化進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換可得c=2?,代入面積公式，變形后結(jié)合:次函數(shù)性質(zhì)得

最大值.

【詳解】

,acosA,sinAcosA......

r11)1—r'；=,2nsinA-sinAcosBD—cosAsinBD,

h2-cosBsinB2-cosB

即2sinA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,所以勿=c，

a2+4a2-4\920264

\ABC=萬小"4/一畀濘一爭I+—,

499

所以/=胄,即叫半時(shí)，⑹神.）皿=34

=-

3

故選：A.

10.秦九韶是我國南宋數(shù)學(xué)家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和

秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn).秦九韶把三角形的三條邊分別稱為小斜、中

斜和大斜，三斜求積術(shù)即已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為:

2

1a2+c2-b2"

，其中b,c是-ABC的內(nèi)角A,B,。的對

a_cosAa-cosA

邊.已知,ABC中,,則ABC面積的最大值為（)

h2-cosBcos3

4「6

A.-D.G

32

【答案】A

【解析】

【分析】

a_cosAa-cosA

根據(jù),得到

b2-cos8cos8

2sinA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,即c=2a,再由

acosB+bcosA=ab,利用余弦定理得到b=2,代入

,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解.

【詳解】

“…—一e〃cosA?-cosA

解：「ABC中，因?yàn)?=7;---------

b2-cosncos3

bySinAcosAa。一cosA

)力以----=---------,-=--------

sinB2-cosBbcos8

則2sinA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC,

即c=2a,

X67cosB+Z;cosA=ah,

.ar2+c--b~bi~2+c~、-a2

則mi----------+----------ab,

2c2c

即c=ab,貝ljb=2,

16

所以SMBC=+一,

79

當(dāng)/二o微n時(shí)，一面積取得最大值為4

故選：A

11.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在.ABC中,

角A,B,。所對的邊分別為小b,c,則△ABC的面積

"a2+b2-c2

5=；加)2一根據(jù)此公式，若〃cos8+S-夜c)cosA=0,且

[―

b2^-c2-a2=y/2^則AABC的面積為()

A.—B.3C.—D.立

4422

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)正弦定理化簡已知，求得cosA=理，再根據(jù)余弦定理求兒，最后代入面積公

式求解.

【詳解】

由正弦定理邊角互化可知acosB+(b-y[2c)cosA=0化簡為

sinAcosB+(sinB-V2sinCIcosA=0,

sinAcosB+sinBcosA=y/2sinCcosA

即sin(A4-B)=sinC=5/2sinCcosA

sinCw0,/.cosA=,

2

cosA』+J『二包。叵也,解得：bc=\,

2bc22bc2

根據(jù)面積公式可知s=小姐2_戶；_。)=1^131=孝.

故選：A

12.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”，設(shè)

ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,面積為S,則“三斜求積”公式為

S=a*2c2-"+；~,若/sinC=2sinA,(a+c『=6+〃，則用“三斜求

積”公式求得.ABC的面積為()

A.也B.73C.。D.1

22

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)因?yàn)?sinC=2sinA，(a+c)2=6+h2,利用正弦定理得到/+。2-6,紅，代入

體枳公式求解.

【詳解】

解：因?yàn)?sinC=2sinA，(a+c)--6+b2,

所以ac=2,a2+c2-b2=6-2ac-2,

故選：A

13.數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)：ABC的三邊長分別為a,b,c,

三角形的面積S可由公式5=Qp(p-G(p-b)(p-c)求得，其中p為三角形周長的一

半，與古希臘數(shù)學(xué)家海倫公式完全一致，所以這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式.現(xiàn)

有一個(gè)三角形的周長為24,c=6,則當(dāng)三角形面積最大值時(shí)A8邊上的高為()

A.8B.6夜C.12D.972

【答案】B

【解析】

【分析】

代入公式S=Jp(p-a)(p叫(p-c),結(jié)合基本不等式可得當(dāng)a=b=9時(shí)三角形的面

積取得最大值，再計(jì)算AB邊上的高即可

【詳解】

由題意得，a+b=lS,p=12,則

5:42(12_4)(12_。)(12_6)=6&x^(l2-a)(12-^)

<6V2x12~q+12-Z>=6V2x3=18V2,

2

當(dāng)且僅當(dāng)12—4=12—乩且。+。=18,即。=力=9時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)三角形的面積

取得最大值，所以AB邊上的高為卜-圖=6為

故選：B.

14.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公

式，設(shè)ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,面積為S,“三斜求積”公

式表示為S=、；q2c2_("+；.在一ABC中，若/sinC=6sinA，

(a+c)2=16+〃，則用“三斜求積”公式求得/8C的面積為()

A.且B.百C.2夜D.4夜

2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)若i?sinC=6sinA,(c+c)--16+i)2,得至I]ac和片+/一從，代入

C122(a2+c2-b2Y.

S=l-a2c2------------求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)閍2sinC=6sinA,

所以a2c=6a?即QC=6,

又(a+c)~=16+尸，

22

所以〃2+c-h=4，

所以S=J；[36-4]=2夜，

故選：C

15.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了“三斜”求職公式，即"C的三個(gè)內(nèi)角AB,C

所對的邊分別為則3ABe的面積sR己知在二.c

中，accosB=6,6=2拒，貝hABC面積的最大值為（）

A.>/33B.2月C.2D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由條件accosB=6,8=2&得=20,由基本不等式得如W10,再由

可求解.

【詳解】

..?a2+c2-b2a2+c2-b2,..r-,21ch2”

.accosB=ac>---------------=----------------=6.又7.b=2V2，ar+<?=12+廳=20.

lac2

22

.??acW里上=10（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=加時(shí)取等號(hào)）.

2

」ABC面積的最大值為4.

故選：D

16.我國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，其內(nèi)容

為：“以小斜事并大斜罌減中斜累，余半之，自乘于上.以小斜基乘大斜幕減上，余四

約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積把以上文字寫成公式，即

S=j；a2c2-].（其中S為面積，a,b,c?為"8C三個(gè)內(nèi)角A,B,C

所對的邊）.若bcosC+ccosB=4,c=2下，且o=c（cos3+&cosC）,則利用“三

斜求積”公式可得△AHC的面積S=（）

A.2aB.2幣C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析】

將6cosC+ccosB=4利用余弦定理化角為邊，求得。，利用正弦定理將

“=以8$8+拒8$0化邊為角，求得6,再根據(jù)題中公式即可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)?cosc+ccos8=4,

“I2）22”

I人.?.mzpq—cQ+C—h

由余弦定T理可r得〃----------+c---------------=4,

2ablac

所以〃=4,

又因?yàn)椤?c(cos8+&cosC),

山正弦定理可得sinA=sinCcosB+41sinCcosC),

即sin(B+C)=sinCeosB+V2sinCeosC),

所以sin8cosC=&sinCcosC，

TT

因?yàn)椤?gt;c,所以A>C,所以C<],

所以sin8=0sinC，

所以Z?=&c=4，

代入S=6-2_產(chǎn)+；-6[=J/16X8")=2"

故選：B.

17.已知三角形的三邊長為〃、b.c,則三角形的面積為（海倫一秦九韶公式）

：,若鉆。，則

s=Jp(p_a)(p_b)(p_c)p="++cAC=8,BC+BA=\2,

ABC面積的最大值為（）

A.8A/5B.8GC.16D.4Vm

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)海倫一秦九韶公式將三角形的面積表示出來，再利用基本不等式即可得出答案.

【詳解】

解：在.ABC中，由AC=8,3C+84=12,

則b=8,a+c=12,則a+/?+c=20,

匚匚I、Ia+b+c

所以p=---=11A0,

所以SABC=J10(10—a)(10_8)(10-c)

=2>/5-7(10-a)(10-c)

42》J0i+10-c

2

=8石，

當(dāng)且僅當(dāng)10-a=10-c,即a=c=6時(shí)，取等號(hào),

所以A3C面積的最大值為86.

故選：A.

18.秦九韶是我國南宋著名數(shù)學(xué)家，在他的著作《數(shù)書九章》中有已知三邊求三角形

面積的方法：“以小斜累并大斜累減中斜累，余半之，自乘于上以小斜累乘大斜幕減

上，余四約之，為實(shí)一為從陽，開平方得積如果把以上這段文字寫成公式就是

<22?2、

S=a+c-",其中a,h,c是ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊，若

12）

sinC=2sinAcos且。2+/=4,則ABC面積S的最大值為（）

A75n2后「3不c

5555

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理和余弦定理得到a=b,代入面積公式并根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.

【詳解】

=2叵，當(dāng)且僅當(dāng)02=§,時(shí)，等號(hào)成立

555

故選：B

19.數(shù)學(xué)必修二101頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國南宋時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在

其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的

海倫公式完全等價(jià)，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小

斜寨并大斜基減中斜基，余半之，自乘于上.以小斜基乘大斜塞減上，余四約之，為實(shí).

一為從隔，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即

S=,其中b、C分別為內(nèi)角A、B、C的對邊.若

—產(chǎn)-----=-----，b=2,則ABC面積S的最大值為()

V3sinBtanC

A.百B.75C.2D.72

【答案】A

【解析】

【分析】

將已知等式結(jié)合tanC=?進(jìn)行化簡，得到sinC=6(sin8cosc+cos8sinC)=

cosC

^sin(B+C)=x^sinA,并利用正弦定理可得c=瓦，代入“三斜求積”公式

S=Rqd/+丁2］并將/看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得解

VLI2川

【詳解】

1-Vicos8_1

5/3sinBtanC

\tanC=.g智

1-V3cosB

sinC

又tanC=

cosC

百sin8_sinC

所以

1-5/3cosBcosC

所以GsinBcosC=sinC(l-^3cosB),

所以百sin8cosC=sinC-V3sinCcosB

所以sinC=>/3(sinBcosC+cos5sinC)=>/3sin(B+C)=V3sinA,

山正弦定理得c=s/3a,

Qb=2,

oABC的面積S=Ja*2c2-3a4-（2a2-2）2,

=g（"+8笳-4）,

將a?看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)/=4即。=2時(shí)，ABC的面積S有最

大值為6

故選：A.

二、多選題

20.中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小

斜幕，并大斜幕，減中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜幕，減上，余四約

之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積.把以上文字寫成公式，即

S=l-c2a2-（C2+a2~b2}（S為三角形的面積，a,6、c為三角形的三邊）.現(xiàn)有

△ABC滿足sinA:sin8:sinC=2:3:J7,且△ABC的面積工入阮=6石，則下列結(jié)論正

確的是（）

A.△ABC的最短邊長為4B.△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足A+B=2C

C.△48C的外接圓半徑為生旦D.△A8C的中線C￡>的長為34

【答案】AB

【解析】

【分析】

結(jié)合題意利用正余弦定理處理運(yùn)算，常用向量處理△ABC的中線：

CD=^（CA+CB）.

【詳解】

因?yàn)閟inA:sin8:sinC=2:3:J7，所以由正弦定理可得〃：Z?:c=2:3:J7,設(shè)。=2f,

b=3t,c=77r（z>0）,因?yàn)?c=66，所以

6百=L7/*4/-，產(chǎn)+4/―9產(chǎn),解得f=2,則。=4,b=6,c=2>/7,4正

所以C=工，A+B=^--=—=2C,故

2x4x62333

B正確;

因?yàn)镃=W，所以sinC=3，由正弦定理得2R=_￡_=生巨T0錯(cuò)

32sinC3

誤;

|UUU|21/Utruur,2\(\\

CD=；(C4+CB),所以卬|=-(CA+CB)=-xl36+16+2x4x6x-1-19,故

CD=y/19，D錯(cuò)誤.

故選：AB.

21.《數(shù)書九章》是我國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，全書十八卷共八十一個(gè)問

題，分為九類，每類九個(gè)問題，《數(shù)書九章》中記錄了秦九昭的許多創(chuàng)造性成就，其中

在卷五“三斜求積’'中提出了已知三角形三邊“，b,c求面積的公式，這與古希臘的海

倫公式完全等價(jià)，其求法是：“以小斜基，并大斜恭，減中斜靠，余半之，自乘于上;

以小斜嘉乘大斜累，減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積若把以上這段

文字寫成公式，即S=一從）,現(xiàn)有周長為5+近的ABC滿足

a:6:c=2:3:夕.判定下列命題正確的有（）

A.在ABC中角C=30。B.ABC的面積為述

2

C.ABC的外接圓半徑為竺D.ABC的內(nèi)切圓半徑為56一歷

36

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，求出邊長“，b,c,再利用正余定理、面積定理逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷

作答.

【詳解】

因3ABe的周長為5+五，且三邊長滿足a/:c=2:3:",于是得

a=2,b=3,c=y/l,

由余弦定理得：cosC="一+"I=2+3--（近）-=，,而0<c<i80，則C=60,

2ah2x2x32

A不正確；

由選項(xiàng)A知，.ABC的面積S=LAsinC='x2x3xsin60=土叵，B正確；

222

由選項(xiàng)A及正弦定理知，aABC的外接圓半徑R有2/?=—L==2叵，解得

sinCsin603

/?=—,c正確；

3

設(shè)“IBC的內(nèi)切圓半徑為r,則。枷的面積S=4（a+〃+==迪，解得

222

5V3-V21cp總

r=———--，DilJiif].

6

故選：BCD

22.中國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積

的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜暴減中斜幕，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大

斜累減上，余四約之，為實(shí)，一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式,

c2+a2-b2Y

即$=匕.現(xiàn)有△ABC滿足sinA:sinB:sinC=2:3:J7,且

s6ABe=66，請判斷下列命題正確的是（)

A.△ABC周長為5+4B.c=-

3

△中線的長為巫

C.△ABC的外接圓半徑為迥D.ABCCQ

32

【答案】BC

【解析】

【分析】

由題設(shè)及正弦定理得a:A:c=2:3:小，再結(jié)合已知條件求心從c判斷A的正誤；應(yīng)

用余弦定理求角C,正弦定理求外接圓的半徑，作OELAC應(yīng)用勾股定理求CO.

【詳解】

由題設(shè)及正弦定理知：a:b:c=2:3：y/l,令a=2x,6=3x,c=，x且x>0,

S=&[28/-（石2+4；.9/）\二手/=6y/3,可得x=2,

所以a=4/=6,c=2S\則^ABC周長為10+26，A錯(cuò)誤；

cosC="~+方"I又0<。<t，則C=f,B正確；

2ab23

△ABC的外接圓半徑為/?=」一=2叵，C正確；

2sinC3

如下圖，過。作DELAC,由題設(shè)知：Swc=3K=；x6-OE,則￡>E=退,

又AD=3=幣，可得AE=2?故CE=4,

所以CD=>JDE2+CE2=，用.D錯(cuò)誤.

c

B

故選：BC

三、雙空題

23.我國南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)學(xué)九章》中提出了“三斜求積術(shù)”，即以小

斜基，并大斜塞，減中斜靠，余半之，自乘于上；以小斜嘉乘大斜塞，減上，余四約

之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積，把以上文字寫出公式，即

S上士藝為(其中S為三角形面積，a,b,。為三角形的三邊).在非直

角.ABC中，“，b,。為內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的三邊，若。=3且

a=c(cos8+6cosC),則ABC面積的最大值是,此時(shí)。=.

【答案】還3

4

【解析】

【分析】

由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合已知三角形的面積公式進(jìn)行化

簡，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.

【詳解】

解：因?yàn)椤?c(cos3+GcosC),

由正弦定理得sinA=sinC(cosB+\^cosC)=sin(B+C),

P)F以sinCcos3+sinCcosC=sinBcosC+sinCcosB，

即6sinCcosC=sin8cosc,

因?yàn)锳BC不是直角三角形，所以cosCwO,

所以75sinC=sin3,

由正弦定理得b=

由題意可得S=X9-(9-3c-2LJ-4(d-9)2+243,

V424V

當(dāng)，2=9即c=3時(shí)，43c的面積最大，此時(shí)Sm"=券.

故答案為：唯，3.

4

24.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-1261）被國外科學(xué)史家贊譽(yù)為“他那個(gè)民

族，那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一''.他獨(dú)立推出了“三斜求

積”公式，求法是：“以小斜累并大斜幕減中斜累，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大

斜累減上，余四約之，為實(shí).一為從隅，開平方得積.”把以上這段文字寫成從三條邊

長求三角形面積的公式，就是S=c2a2-（C'+a~~b'}.現(xiàn)有A8C滿足sinA:

rLI2川

sinB:sinC=2:3:>/7,且，ABC的面積是66,則一/lBC的周長為,邊中

線C力的長為

【答案】10+25##25+10M

【解析】

【分析】

由正弦定理得出三邊關(guān)系，再由面積公式求出各邊得出周長，再利用%s=地即可

求出中線CD的長.

【詳解】

因?yàn)?抽4:$山8411。=2:3:近，由正弦定理可得a:6:c=2:3:J7,

'設(shè)a=2k,b=3k,c=Jik,

則由題可得s=2.正—［匕口>6G解得％=2,

則的周長為a+8+c=（5+J7）%=10+2j7,

因?yàn)镃。為中線，中，AC=6,AD=S，設(shè)C￡>=x,

1（4672\

則5.8=-36x7--x-=3百，解得x=M或啊.

V4I2J

又在三角形中，BD+BC>CD,所以CO=M.

故答案為：10+24；M.

四、填空題

25.中國南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三條邊長分別為

a,b,c,則三角形的面積S可由公式5=J/?(p-a)(p-b)(p-c)求得,其中P為三

角形周長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫一秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足

a=4,h+c=6,則此三角形面積的最大值為.

【答案】2石

【解析】

【分析】

結(jié)合三角形的面積公式以及基本不等式求得三角形面積的最大值.

【詳解】

a+b+c4+6.

p=——5,

22

所以.:角形的面積S=j5x(5-4)x(5-3)x(5-c)

=^5x（5-/?）x（5-c）<

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí)等號(hào)成立.

故答案為：2小

26.我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即在A3C中，

角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c,則的面積

S=.根據(jù)此公式，若acosB+(6—2c)cosA=0,且

〃+。2_/=4,貝ijA8C的面積為.

【答案】6

【解析】

【分析】

首先根據(jù)正弦定理化簡已知，求得cos4=g,再根據(jù)余弦定理求兒，最后代入面積公

式求解.

【詳解】

解：由正弦定理邊角互化可知?cosB+(b-2c)cosA=0化簡為

sinAcosB+(sinB-2sinC)cosA=0,

sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA

即sin(A+3)=sinC=2sinCcosA

b1+C1-a

根據(jù)面枳公式可知S=L=—V16—4=5/3

22

故答案為：G

27.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出“三斜求積術(shù)”，即以小斜幕，并大斜

累，減中斜幕，余半之，自乘于上；以小斜幕乘大斜哥，減上，余四約之，為實(shí)；一

為從隅，開平方得積.把以上文字寫成公式，即S=J；+『2)(其中s

為三角形的面積，“，b,c為三角形的三邊).在斜.A8C中，。，4c分別為內(nèi)角4,8,C所

對的邊，若〃=c(cos8+bcosC),且〃sinC=>AsinB.則此43C面積的最大值為

【答案】典

4

【解析】

【分析】

由正弦定理化邊為角，應(yīng)用誘導(dǎo)公式，兩角和的正弦公式變形可求得

sin5=6sinC,再由正弦定理得b=6c,代入面積公式得面積S為c的函數(shù)，結(jié)合

二次函數(shù)性質(zhì)得最大值.

【詳解】

解：*.*a=c(cosB+cosC),sinA=sinC(cosB+\/3cosc),

BPsinCcosB+>AsinCcosC=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

BP6sinCeosC=sinBcosC,

7T

又CE(OZ)且則cosCwO,

2

?0-sinB=6sinC,???b-Ge,

又asinC=Gsin8，所以解得。=3,

c2+a2-b2

c=3時(shí)，S

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查新定義，解題關(guān)鍵是利用正弦

定理及三角函數(shù)恒等變換公式得出邊的關(guān)系，利用新給出的面積公式表示出三角形面

積，從而可得最大值及邊長.

28.我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜求

積術(shù)”，即在，/WC中，角所對的邊分別