2023年高考培優(yōu)卷（二）（新高考版）

數(shù)學(xué)

一、單項選擇題

1.若集合M=[、y=In2匕?],?Λ^={y∣/>4),則()

[log,(?-l)J

A.2wMcNB.MuN=(a?α∈[-2,2]o(4,+∞)}

C.N={a?ae(-αo,2)u(2,+∞)}D.(QΛ∕)cN={α∣αw[-2,l]}

K答案2B

(D(D；0

汨J(x-l)(?-4)log,(?-1)>0

K解析》由，得；一

X—1≠1

log3(x-l)≠0

解得x>4或1<X<2,

所以Λ/={x∣x>4或1v%v2},

因為條N={y∣γ2>4∣,

所以N={巾2≤4}={y∣-2≤y≤2},

對于A,因為MN=(1,2),所以2任MCN,所以A錯誤，

對于B,因為M={x∣x>4或l<x<2},N={y∣-2≤y≤2},

所以MTV=[-2,2](4,-^o),所以B正確，

對于C,因為N={y∣-2≤y≤2},所以C錯誤，

對于D,因為M={x∣x>4或l<x<2},所以IM=(-∞Jl∣[2,4],

因為N={R-2≤y≤2},所以&M)CN=[—2,1]U{2},所以D錯誤，

故選：B

2.若復(fù)數(shù)Z是方程4χ+5=0的一個根，則i?z的虛部為()

A.2B.—2C.±1D.÷i

R答案WA

K解析X設(shè)復(fù)數(shù)z=α+%i(α,beR)其中i為虛數(shù)單位，

又復(fù)數(shù)Z是方程Y-4x+5=0的一個根

所以(α+bi)2-4(α+?i)+5=0,BP(?2-b2-4a+5)+(2o?-4?)i=O

2ab-4h=0a=2

所以

a2-b2-4a+5=0"?h=+?

所以z=2±i,故i?z=i(2±i)=2i±l,所以i?z的虛部為2

故選：A

*，Wm2

3.己知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,向量。P=

tn

m,n,kGN*),且OP=20耳+“。鳥，則用〃%表示；I,則2=()

OP2

m-kn-k

A.-------B.

n-km-k

Cm-nn-m

D.

k-nk-tn

K答案》B

n=λm+μk

K解析2由OP=λOP+μOP得：＜s,λSμS

t2ιmk即0；L

—=------H--------

-S--n--_------------1----N---S--k-

、/7mk

QS〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，設(shè)其公差為d,

n(n-↑]ιm(m-?)ln-?fm-?,

CSn￡i,+----------dITiciy4-------------dCL+------dq+------d

?dnr_22=22

n~m~n~m~nm

_2ma-md—2na+nd_[nι-n)(2a-J)

=xl~l,

2mn2mn

同理可得：?■—落=WT乂2qτ∕),

k~m2mk

(∕H-H)(2/2I-J)

.2m=m-n

(加一Z)(2q-d)m-k'

2m

k^ιn-ιι)

m-k__mn-mk_n-k

mm[ιn-k^m^m—k)m-k

故選：B.

4.古希臘亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個確定重心的定

理：“如果同一平面內(nèi)的一個閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條

直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周

長的積”，即V=s∕(V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，$表示平面圖形的面積，/表示

重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長).如圖直角梯形ABa已知

ADBC,ABA.AD,AD4,BC^2,則重心G到AB的距離為()

93

K答案UA

K解析H直角梯形繞A3旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺的體積為

y=g(16τr+4π+87t)∕z=^?;梯形ABCD的面積

s=J(4+2)Z?=3",故記重心G到AB的距離為“，

貝IJ=(2π∕?')?3/z,則=T，

故選：A

5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》

卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)

之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：數(shù)列｛勺｝由被3除余1且

被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列而成，記數(shù)列的前〃項和為S“，則

鼠包的最小值為()

n

A.48B.50C.52D.54

K答案HC

K解析』被3除余1且被4除余2的正整數(shù)按照從小到大的順序排列，構(gòu)成首項為10,

公差為3x4E的等差數(shù)列，則4=10+12(〃-1)=12〃—2,S,,=業(yè)與二亞=6/+4〃，從

而

S+966/+4〃+96,96CΓ.96.C業(yè)口??止於96日.

—n------=------------------=6/1+—+4≥2.1672+4=52,當且僅當6〃=—,即〃=4時，

nnnγnn

等號成立，故或士”的最小值為52.

n

故選：C

6.某校為統(tǒng)籌推進以德智體美勞“五育并舉+教師教育”為特色的第二課堂養(yǎng)成體系，引導(dǎo)

學(xué)生們崇尚勞動、尊重勞動者、提高勞動素養(yǎng)，設(shè)置以勞動周的形式開展勞育工作的創(chuàng)新

實踐.學(xué)生可以參加“民俗文化”“茶藝文化”“茶壺制作”“音樂欣賞”“蔬菜種植”“3￡>打印”這六

門勞動課中的一門.則甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生至少有3名學(xué)生所選勞動課全不相同的方

法共有（）

A.135種B.720種C.1080種D.1800種

R答案HC

K解析D分兩種情況討論：如果4名學(xué)生選的課目全不同，有C?A：=360種方法;

如果只有2名學(xué)生選的課目相同，有C：.C[A；=720種方法,

共有360+720=1080種方法，

故選：C.

1i13

7.設(shè)a=-le9,6=-,c=21n3,則()

1092

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.h<a<c

K答案》D

R解析2由題知,記/(x)=e*-x-l,xN0,

所以/'(x)=e'-120,

所以/(x)≥∕(0)=0,

所以e'>x+l,在x>0時成立,

1in

所以e9>U,

9

即

109

即

記g(x)=%T7nx,x>0,

所以g'(x)=l-L=±ξ

XX

所以在(0,1)上,g'(x)<O,g(χ)單調(diào)遞減,

在上,g'(χ)>O,g(χ)單調(diào)遞增,

所以g(x)≥g⑴=0,

所以InX≤x-l,

則InI≤'-l,

XX

BPlnx≥l-?,

X

321

即ln2≥l-一=一,

233

…3211

c=21n-≥->?=-,

239

即有c?仇

因為

1-112

所以〃=一e9<-<-<c,

1053

綜上：b<a<c,

故選:D

8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦

點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點，設(shè)橢圓方程

22

r.+r=ι(t,>fo>0),F1,F?為其左、右焦點，若從右焦點K發(fā)出的光線經(jīng)橢圓上的點A

4

和點8反射后，滿足ABJ_AD,cosZABC=-,則該橢圓的離心率為()

√2

B.r

22

K答案HC

K解析員由題意，可作圖如下:

3_AF1

5~~BF?即

AB-.AFl?.BFl=4:3:5,

可設(shè)Aβ=4%,AF1=3k,BR=5k,

由A8+A4+8片=AK+Bg+4片+8月=4〃，則4左+3%+5左=4α,即3A=4,

AF2=2a-AF,=3k,在RtA片心中，g=《AF：+AF；=3同=2c,

則用空=也=叵

2a6k2

故選：C.

二、多項選擇題

9.下列命題正確的是()

A.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.66和-0.85,則乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強：

B.在檢驗A與8是否有關(guān)的過程中，根據(jù)數(shù)據(jù)算得/=6.352,已知

P(∕≥5.024)=0.025,P(/≥6.635)=0.01,則有99%的把握認為A與B有關(guān)；

C.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,4),若P(X≤2)=0.68,則P(XvO)=O.32；

D.在回歸分析中，殘差平方和與決定系數(shù)N都可以用來刻畫回歸的效果，它們的值越

小，則模型的擬合效果越好.

K答案》AC

R解析HA:由I-0.85IA0.661知:乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強,正確；

B：由5.024V/=6.352<6.635,即P(∕≥5.024)=0.025,則有97.5%的把握認為A與B

有關(guān)，錯誤;

C：由已知：隨機變量X的分布曲線關(guān)于X=I對稱，故P(X<O)=1-P(X≤2)=0.32,正

確；

D：殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，但決定系數(shù)代越大，模型的擬合效果越好，

錯誤.

故選：AC

10.已知圓C：/+(>_4)2=1點P在直線/：y=2x上運動，以線段PC為直徑的圓。與圓

C相交于4,8兩點，則下列結(jié)論正確的是()

4Jr

A.直線/與圓C相離B.圓力的面積的最小值為彳

C.弦長IA用的最大值為2D.直線AB過定點

K答案》ABD

K解析》由題設(shè)得圓C的圓心C(0,4),半徑為1,

4

對于選項A：圓心C到直線/的距離"=國>1,所以直線/與圓C相離，A正確；

對于選項B：由于點P在直線/：y=2x上運動，設(shè)P(f,2f),則圓。的圓心。(gf+2

222

所以圓￡>的半徑r=JPC∣=l√r+(2r-4)=?√5r-16r+16=??5-1?+y,

故當r=1時半徑r有最小值年，

所以圓。的面積的最小值為πx［半］=y,故B正確；

對于選項D：由上面的B選項可知圓。的方程為(X-；1+日--2)2=空言上嶼,

將圓D的方程與圓C的方程相減可得相交弦AB的直線方程為:

∕λ+(2r-4)y+15-8r=0,

整理得，(x+2y—8)-4y+15=0,

1

x=-

x+2y-8=02

令-4:5=0，解得

15,

所以直線A5過定點故D正確；

對于選項C：由C得，弦AB的直線方程為：tt+(2r-4)y+15-8f=0,

若弦AB過圓心C,

則4⑵-4)+15-8t=0,方程無解，

所以弦IAM不過圓心C,從而小于圓C直徑，圓C直徑為2,故C錯誤.

故選：ABD.

11.已知正方體AgCo-AMGR的棱長為2,過棱AB,BC的中點E,F作正方體的截

面，下列說法正確的是().

A.該正方體外接球的表面積是48π

B.若截面是正六邊形，則直線片。與截面垂直

C.若截面是正六邊形，則直線AB與截面所成角的正弦值為:

D.若截面過2點，則截面周長為2g+0

K答案XBD

K解析》對于A,外接球的半徑為R=g√4+4+4=√L故外接球的表面積為

S-4πR2-12π>故A錯誤；

對于B,建立如圖1所示的空間直角坐標系，

設(shè)AA的中點為G,則。(0,0,0),男(2,2,2),E(2,l,0),F(1,2,0),G(2,0,l),

ΛDS1=(2,2,2),EF=(T,1,0),EG=(O,-1,1),

DB1-EF=-2+2+0=0,DB1?EG=0-2+2=0,

則即，DBJEG,即。B∣?LEF,DB11EG,

又EFEG=E,EG,￡Fu正六邊形截面，

.?.力用，正六邊形截面，故B正確;

對于C,如圖1,易得。8=(2,2,-2),D4=(2,2,2)為正六邊形截面的一個法向量,

設(shè)直線與截面所成的角為。,

KM.∏±ιl-i故C錯誤.

則sinφ=cos(DlB,DB

t∣D,4M^√12×√i2^3,故C錯誤’

圖1圖2

對于D,如圖2,延長EF,與D4的延長線交于點K,與。C的延長線交于點L,連接RK

交AA于點連接D/交CG于點N,則截面RMEFN為平面α.

因此有AK=AE=BE=BP=FC=CL=I,M為AA的三等分點，N為CG的三等分點,

于是OK=Oz,=3.

故截面AMERV的周長為2x巫+獨Iχ2+0=2而+0,故D正確.

33

故選：BD.

12.取名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲?布勞威爾不動點定理是拓撲學(xué)里一個非常重要的不動點定理.

該定理表明：對于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù)/(x),在其定義域內(nèi)存在一點

%,使得/(χ°)=χ0,則稱X。為函數(shù)f(x)的一個不動點，那么下列函數(shù)具有“不動點'’的是

()

A./(X)=∣1ΠΛ)B./(x)=x2+2x+l

°[∣2x+I∣,x≤0“、

C./(x)=F.八D./(x)=er+2x

[smx,x>O

K答案HAD

R解析2對于A,假設(shè)函數(shù)/(x)=∣InXl存在不動點，則方程∣lnΛ0∣=Λυ有解，

由對數(shù)函數(shù)的圖象可知：方程有解，所以函數(shù)/(x)=∣InX存在不動點，故選項A滿足；

對于B,假設(shè)函數(shù)"x)=∕+2x+l存在不動點，則方程xj+2尤°+l=χ°有解，

也即；√+/+ι=o,因為判別式△=1—4=—3<0,所以方程/2+2%+1=工。無解，故假設(shè)

不成立，

也即函數(shù)/(x)=f+2x+l不存在不動點，故選項B不滿足；

對于C,假設(shè)函數(shù)/(x)=[2x+∣C存在不動點，則方程/(%)=%有解，

[sinx9x>O

當Xo≤O時，方程為∣2Λ0+1∣=/無解；當XO>。時，方程為SinXO=X0,令

?(?)=sin?-?,

則g，(XO)=COSx°-l≤O,所以g(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x<,)<g(0)=0,所以

sinx0<x0,

則方程為SinXO=XO無解，故選項C不滿足；

對于D,假設(shè)函數(shù)f(x)=e*+2x存在不動點，則方程e*。+2x(,=X1)有解，

令〃(Xo)=e"+XO,貝!]函數(shù)/z(Xo)=e*+/在R上單調(diào)遞增，因為〃(-2)=e1-2<O,

∕z(l)=e+l>O,則〃(-2)?W)<0,由零點存在性定理可知：函數(shù)他?)=L+Λ?在(-2,1)上存

在零點，

也即e'。+2/=x°有解，所以函數(shù)f(x)=e'+2x存在不動點，故選項D滿足，

故選：AD.

三、填空題

13.1x-g+yj的展開式含X4V的系數(shù)是(用常數(shù)表示).

K答案H-168

K解析》由含丁的項中對應(yīng)(X-L)?的指數(shù)分別為6,2,

X

所以(=C*x-L)6y2,

X

對于(x—1)6中含/的項為"，=c%5(_Iy=-CR,

XX

所以含x—2的系數(shù)是-C；C；=-168.

故R答案H為：-168

14.雙曲線C：V-V=]的左、右頂點分別為A,B,P為C上一點，直線布，PB與

X=；分別交于M,N兩點，則IMM的最小值為.

K答案》√3

R解析』由題意A(T,O),B(1,O),設(shè)P(Xo,%),?≠±1,yo≠O,#-蘇=1,

直線A4方程為y=τ?(χ+i),令x=〈，得y=U?,

入。十I24玉)十?/

直線PB方程為y=-?(χ-i),令X=L得>=不，

Xo-I22(x0-1)

()(：

IMM=I3：v(1+——=%(呼-2)|=y2jy+]-1)=2Jy；+1一]

11∣2(x+l)2(%-1)2(xj-l)I

0?oIyOl

設(shè)/(y)=2"1+y--i(y>0)，則/，(y)=，

yr√ι+r

r(y)=o得y=√L

0<y<√3?,∕V)<0,y>√J時，f'(y)>O,

.?.f(y)在(0,石)上遞減,在(石+8)上遞增,

y=G時，/(y)min=∕(√3)=√3.

所以嘰“S

故K答案H為：√3.

15.已知F'(x)是函數(shù)y(x)的導(dǎo)函數(shù),且對任意的實數(shù)X都有尸(X)=e%4x-3)+y(x)(e

是自然對數(shù)的底數(shù))，/(0)=0,若不等式組J∕(V)—及＜0的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)

%的取值范圍是

R答案』(Oq

K解析H依題意可得A?"^=4x-3,即［上區(qū)］=4x-3,

eIe，)

所以竽=2χ2-3x+c?(c?為常數(shù))，貝IJF(X)=(2f-3x+c)e',

由/(O)=0得c?=0,所以/U)=Qf-3x)e?

/'(X)=(2X2+X-3)e*,由r(X)=0可得X=-I或1,

當-2<x<-g時，/'(X)>OJ(X)單調(diào)遞增，當-］<x<l時，/(X)<OJ(X)單調(diào)遞減，當

x>l時，/(X)>OJ(X)單調(diào)遞增，函數(shù)圖象如下圖所示：

X>—2

由圖圖象可知不等式組1/(,_攵<0的解集中恰有兩個整數(shù)，分別是0』，

所以有o<z≤2

故睹案一閘

16.已知函數(shù)/(x)=sin(2x+^|,給出下列判斷：

①函數(shù)f(χ)的最小正周期為幾：

②函數(shù)y=小+總是偶函數(shù)；

③函數(shù)F(X)關(guān)于點(?-親0),ZeZ成中心對稱：

④函數(shù)f(x)在區(qū)間py上是單調(diào)遞減函數(shù).

其中正確的判斷是—.(寫出所有正確判斷的序號)

K答案》①②③

K解析力函數(shù)，(x)=sin(2x+W)的最小正周期為與=n,故命題①正確；

函數(shù)y=∕(x+=sin[2(x++y=sin(2x+→^=cos2x,

所以∕1x+目=cos2(-x)=cos2x=?fx+?l,

所以y=小+總是偶函數(shù)，故命題②正確；

由于當X=T-?^,*∈z時，sin(2x+?∣?)=sin(kπ-1+]]=sin(fat)=O,

故函數(shù)/(x)關(guān)于點(午-?∣,θ),keZ成中心對稱，故命題③正確；

在區(qū)間E]上，?,號],故函數(shù)/(x)在區(qū)間[奉當]上不是單調(diào)遞減函數(shù),

乙乙-J?J?J乙乙

故命題④錯誤，

故K答案》為：①②③.

四、解答題

17.已知S,,為數(shù)列｛%｝的前“項和，?=5,Sn-n=^.

(I)求加

..9∕t~+12∕ι+l*--∏ɑJ?.1

(2)右b“=-------2-------，證1明：濟+%τ----?-b>n--.

%n2

(1)解：S,,-n=號①

n

.?.”≥2時，Sw-l-(n-l)=?~^-0

則①-②得4-1=旦-"I"一,

22

L

當∕1≥3時可整理得/1-鋁=-7~，~~百=2(一T一一1]，

n-?n-2[n-l)[n-2)?n-ιn-2)

即-?———=-?———,

n-?n-?〃一2n-2

由①當”=1時，￡-1=4-1吟，得4=2,

當〃=3時，S3—3=4+/+4-3=，得1=8,

22a

.____rτ?-l_τzn-2__?_=_=?-Z=3,

?—1n-?〃-2n—2n—3n—322

.?.an=3(π-l)+2=3n-l,

又α∣=2,a2=5,符合α,,=3"-l,

2

,zxzn,9n+12n+l(3〃+2『-333

(2)證明:,倚“一(3n+2)2~(3n+2)2-(3n+2)2>(3〃-1)(3〃+2)'

-?q

b,,>?-

3n-?3π+2√

,,,f11111111

.,.?+/?.H------?-h,>n-?---------F---------F---------------n----------F

12"l(25573n-?3〃+223n+2

1

>0

3〃+2

.?.bl+b2+---+bll>n--

18.在銳角三角形ABC中,角A,8,C的對邊分別為4,6,c,向量加=(C-α,(b+C)Sin3),

〃=僅-c,(c+0)sinA),且m〃/

(1)求角C的大小;

(2)若的面積為2√J,求加+6的取值范圍.

解：⑴由題知Tn=(C-a,(b+C)SinB),“=(b-c,(c+α)sinA),m〃/

所以有：(C-α)(c+4)sin

在.ABC中,由正弦定理可得:，?7=S,

sinAsinB

代入①中有:(c-a)(c+a)a=(>-c)(b+c)6,

展開移項后可得:/+/=。?〃+。?江

即(a+b)(∕-ab+b2^=c2(o+?),

因為α,"c是ABC的三邊，

所以上式可化為：a2-ah+h2=c2,

在一ABC中,由余弦定理可得:cosC=±^U=L因為Ce(O,弓),所以C=E;

2ab2I2J3

(2)在AfiC中,過點A向BC作垂線,垂足為四，

過點A作AC的垂線,交BC延長線于點B2,如圖所示:

A

所以點8在線段用與上（不含端點），

即與CVBC<B2C,

TT

由（1）可得c=§,且AC=。，

所以BC=pB2C=2氏所以a<2b,

因為SAM=LahSinC=ab=26，

"c24

所以"=8,即“=§,

b

由除”2兒所以紅∣<2b,

22b

解得：2<?<4,

所以2"+Z>="+∕>,

b

令/。）弋+〃，。?2,4）,由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得/傳）在（2,4）上單調(diào)遞減，

故7（4）=8<∕S）=*+∕><∕（2）=1O,

即2a+6∈（8,10）.

19.如圖，四邊形ABCO是菱形，NBA￡）=60。，EB_L平面ABC。，F(xiàn)D//EB,

FD=AB=4EB.

（2）求平面4"與平面BeE所成銳二面角的余弦值.

(1)證明：連接B3.

因為四邊形ABCo是菱形，所以AC，80.

又EBL平面ABC￡>,所以ACJ_EB.

因為BDCBE=B,所以Aej■平面8OE.

又FD〃EB,所以平面BDE就是平面BDFE,

因為瓦"u平面SDFE,所以ACJ.EF.

(2)解：設(shè)AC,8。相交于點。，以0為坐標原點，OA,OB所在直線分別為X,)，軸

建立如圖所示的空間直角坐標系.

不妨設(shè)∕T>=ΛB=4E3=2,

則A(GO,O),B(O,I,O),C(-G,O,O),E(O,I!,F(O,—I,2)

設(shè)平面AEF的法向量為m=(x,%z),AE=f-√3,1,ij,AF=(-√3,-l,2),

m?AE=-?∣3x÷y+?z=0L/∏-∣-?

則J2,取Z=4√5,可得機=(5,36,46).

m-AF=—y/ix-y+2z=0

取BC的中點G,連接。G.易證平面BCEj■平面ABCL),

因為CD是正三角形，所以。GLBC,

從而DG，平面BCE,即OG是平面BCE的一個法向量.

因為。(0,T,0),G-?,-,θ,所以。G=?,-,θ,

所以平面AM與平面BCE所成銳二面角的余弦值為，

20.近些年來，學(xué)生的近視情況由高年級向低年級漫延，為調(diào)查某小學(xué)生的視力情況與電

子產(chǎn)品的使用時間之間的關(guān)系，調(diào)查者規(guī)定：平均每天使用電子產(chǎn)品累計5小時或連續(xù)使

用2小時定義為長時間使用電子產(chǎn)品，否則為非長時間使用.隨機抽取了某小學(xué)的150名學(xué)

生，其中非長時間使用電子產(chǎn)品的100名，長時間使用電子產(chǎn)品的50名，調(diào)查表明非長時

間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生中有95人視力正常，長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生中有40人視力正

常.

（1）是否有99.5%的把握認為視力正常與否與是否長時間使用電子產(chǎn)品有關(guān)？

（2）如果用這150名學(xué)生中，長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生和非長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生

視力正常的在各自范圍內(nèi)所占比率分別代替該校長時間使用電子產(chǎn)品的學(xué)生和非長時間使

用電子產(chǎn)品的學(xué)生視力正常的概率，且每位學(xué)生視力正常與否相互獨立，現(xiàn)從該校學(xué)生中

隨機抽取3人（2個非長時間使用和1個長時間使用電子產(chǎn)品），設(shè)隨機變量X表示“3人

中視力正常”的人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

*2n{ad-bc?

附：Z-=e+b)(c+d)(α+c)g+d)'""+"c"

0.100.050.0250.010.005

k02.7063.8415.0246.6357.879

解：（1）根據(jù)題意，列出如下列聯(lián)表:

視力正常視力不正常總計

長時間使用電子產(chǎn)品401050

非長時間使用電子產(chǎn)品955100

總計13515150

則人嘿黯鬻—>7.879,

所以有99.5%的把握認為視力正常與否與是否長時間使用電子產(chǎn)品有關(guān).

（2）長時間使用電子產(chǎn)品視力正常的概率是令=；非長時間使用電子產(chǎn)品視力正常的概

率是19?5J=為19，由題意可知：X的可能取值為0J2,3,

2

P(X=O)=(?)×1=_!_.P(^χ=i)=c?×-×-×-+(-)FXt士

20520∞~202052052000

41444

P(X=2)=G礙x[*喘H=露;P(X=3)=喘)2X_=

5-2000

所以X的分布列為:

X0123

1425131444

P

2000200020002000

則E(X)=OχJ→l*+2x2+3x乃竺=現(xiàn)

20002000200020002000

22

21.已知F∣,K為橢圓氏與+三=1的上、下焦點，9(七,九)為平面內(nèi)一個動點，其中

84

?>θ.

(1)若∣P4∣+∣PK∣=3√L求尸鳥面積的最大值;

(記射線耳與橢圓交于射線與橢圓交于若

2)PEM(Λ1,