12.2推理與證明

基礎篇固本夯基

考點一合情推理與演繹推理

1.（2021預測押題密卷I卷,3）在華羅庚等著的《數(shù)學小叢書》中，有一個重要的正弦函數(shù)的

不等式TNg‘…z""Wsin"L"L"",若四邊形ABCD的四個內(nèi)角為A,B,C,D,則

nn

SingntinC+sin"的最大值為（）

4

A.1B.√3C.-D.-

22

答案A

2.（2021河南商丘、新鄉(xiāng)部分高中3月聯(lián)考,4）命題：

①若2a=3b=6,則H=1；

②若20=3b=36,則2?

③若2n=3b=216,則??

ab2

類比命題①,②,③,可得命題“若m"=r?=t（m,n均為大于1的整數(shù)），則，其中t=（）

abκ

A.mknB.mnk

C.kmnD.（mn）k

答案D

3.（2019課標I文,4,5分）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足

底的長度之比是與（軍仁0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此

外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是空.若某人滿足上述兩個黃

金分割比例,且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是（）

?.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B

4.(2022屆安徽六安一中月考三,7)觀察算

式：1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1,.......,則式子3?5是第

項()

Λ.22B.23

C.24D.25

答案C

5.(2022屆黑龍江佳木斯第一中學調(diào)研四,8)圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2、圖

3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的,按照這樣的規(guī)律放下去,第七個疊放的圖形中小正

方體木塊的總數(shù)是()

圖1圖2圖3

Λ.66B.91C.107D.120

答案B

6.(2020課標∏,12,5分)07周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a∣a?…a”…滿足

ai∈{0,1}(i=l,2,…)，且存在正整數(shù)叫使得ajg=a,(i=l,2,…)成立,則稱其為OT周期序列,

并稱滿足ait=ai(i=l,2,…)的最小正整數(shù)m為這個序列的周期.對于周期為m的OT序列

aja2???an???,C(k)=i∑aiai+k(k=l,2,…,mT)是描述其性質(zhì)的重要指標.下列周期為5的0-1序

mi=l

列中,滿足C(k)WXk=I,2,3,4)的序列是()

?

A.11010-B.IlOll-

C.10001-D.11001-

答案C

7.(2021山西考前適應性測試，14)觀察下列各式:

ιi-22-ι

1+2Crl2,

1國也當，

中利爭火岑,

2

1也聿衿鋁q=?1?

照此規(guī)律,當nGN*時,1+洌+必+???+5/=.

8.（2022屆四川內(nèi)江第六中學9月月考，14）若等差數(shù)列｛aj的前n項和為S1,,則S如一產(chǎn)（2nT）a“.

由類比推理可得:在等比數(shù)列｛bn｝中，若其前n項的積為P...則P2,,,=.

答案或T

9.（2021呼和浩特一模，15）sir√30°+sin290o+sin2150o=j,sin280+sin2680+sin21280=|.

通過觀察上述兩等式的共同規(guī)律,請你寫出一個一般性的命

題.

答案sin2ɑ+sin"（ɑ+60°）+sin2（ɑ+120o）=∣（答案不唯一）

考點二直接證明與間接證明

1.（2022屆黑龍江大慶肇州聯(lián)考,4）用反證法證明命題：“若a2+b2+c2+d2=0,則a,b,c,d都為

0”.下列假設中正確的是（）

?.假設a,b,c,d都不為0

B.假設a,b,c,d至多有一個為0

C.假設a,b,c,d不都為0

D.假設a,b,c,d至少有兩個為0

答案C

2.（2021銀川一中模擬，6）設x、y、z>0,a=x《b=y+[c=z+1則a、b、C三數(shù)（）

yzx

A.都小于2

B.至少有一個不大于2

C.都大于2

D.至少有一個不小于2

答案D

3.（2021河南洛陽期中，2）用反證法證明命題：”設a,b,c為實數(shù),滿足a+b+c是無理數(shù)，則

a,b,c至少有一個是無理數(shù)”時,假設正確的是（）

Λ.假設a,b,c都是有理數(shù)

3

B.假設a,b,c至少有一個是有理數(shù)

C.假設a,b,c不都是無理數(shù)

D.假設a,b,c至少有一個不是無理數(shù)

答案A

4.(2022屆四川石室中學10月月考,12)設實數(shù)a,b滿足5a+llb=18ζ7"+9b=15b,則a,b的大小

關系為()

A.a<bB.a=b

C.a>bD.無法比較

答案A

5.(2020北京,21,15分)已知｛%｝是無窮數(shù)列.給出兩個性質(zhì):

①對于｛aj中任意兩項a,a(i>j),在｛a,,｝中都存在一項a”,使得

ijaJ

②對于｛an｝中任意一項a,,(n>3),在｛a,,｝中都存在兩項ak,a,(k>l),使得a,,4

ai

(1)若a,,=n(n=l,2,…)，判斷數(shù)列｛aj是否滿足性質(zhì)①,說明理由；

⑵若a.,=2"T(n=l,2,…)，判斷數(shù)列｛an｝是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,說明理由;

(3)若｛aj是遞增數(shù)歹山且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②,證明：｛aj為等比數(shù)列.

解析⑴若a,,=n(n=l,2,…)，則數(shù)列｛a,,｝不滿足性質(zhì)①,可以舉反例驗證.駕導N*,在數(shù)

列｛aj中不能找到一項an(m∈N?),使得an=∣.

1

(2)若alt=2"(n=l,2,…)，則數(shù)列｛an｝能同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②.

對于｛an｝中任意兩項ai,aj(i>j),

"(2'T)262i-2

,令即可，

a~,j.im=2i-j

所以對于EJ中任意兩項ai,%(i>j),在｛aj中存在一項a<m=2i-j),使得孑見,故滿足性質(zhì)

①.

對于｛a“｝中任意一項a“=2"1下面尋求｛an｝中另外兩項ak,al(k>l),使得a“且,即

2n,-^,1∕2-22k^'^',即n=2k-l,可令l=∏-2,k=n-l(n≥3),

則此時an=2"'=第凄,故滿足性質(zhì)②.

故數(shù)列｛4｝能同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②.

4

(3)證明：(i)當產(chǎn)3時，由性質(zhì)②可知存在兩項a,a,使a^(k>l),又因為｛a)是遞增數(shù)列，

k13町n

所以a3>ak>al,即3>k>l,所以k=2,1=1,此時總a3,滿足a1,a2,國為等比數(shù)列,即n=3時命題成

立.

(ii)假設n=k(k∈N*,k23)時,命題成立，即｛aj是以q―為公比的各項為正數(shù)的等比數(shù)列，

由性質(zhì)①,可取數(shù)列中的兩項ak,ak,1,則數(shù)列中存在一項a-???ak,所以a=qak,

ak-?ak-?

下面用反證法證明當n=k+l時命題也成立，即ara=ak.1.

假設a,≠a,因為｛4｝是遞增數(shù)列，所以a=-^-=qa>a.,即有a<a<qa,

k1mm%kk1kk+1k

klk

則alq<ak,,<a,q,由性質(zhì)②,“可以表示為名(s>t),即ak,,=?>as>al,所以k+l>s>t,符合條件，

蟲的

sll

所以as=a1q,at=a1q

k2slk

所以迄a∣q-τ,所以alq-'<a1q^^'<a,q,

所以k-l<2s-t-l<k,而k,s,t∈N*,所以不存在這樣的一組數(shù)k,S,t,所以?=?,,即n=k+l時，

命題也成立.

由(i)(ii)可知，ω是等比數(shù)列.

考點三數(shù)學歸納法

1.(2022屆江西靖安中學月考四,6)用數(shù)學歸納法證明“1+*+…+4<n(n∈N*)”時，由假設

23Δn-?

n=k(k>l,k∈N,)不等式成立,推證到n=k+l不等式成立時，不等式左邊應增加的項數(shù)是()

A.2A^1B.2li-lC.2kD.2k+l

答案C

2.(2021江西宜春聯(lián)考，14)用數(shù)學歸納法證明

(n+l)(n+2).........(n+n)=2n?1?3?5............(2n-l)的過程中，由k到k+1時,右邊應增加的

因式是.

答案2(2k+l)

3.(2019浙江,20,15分)設等差數(shù)列｛九｝的前n項和為Sn,包=4,a1=S3.數(shù)列｛bπ｝滿足:對每個

n∈N',S,,+bn,Sn+1÷bn,S^+b”成等比數(shù)歹U.

⑴求數(shù)列｛an｝,｛bn｝的通項公式;

(2)記cn=j?,n∈N*,iiEH∣:c1+c2+???+cn<2√?,n∈N*.

5

解析(1)設數(shù)列{aj的公差為d,由題意得a,+2d=4,a,+3d=3al+3d,解得al=0,d=2.

-2-

從而an=2n2,n∈N*.所以Sn-nn,n∈N*.

由Sn+bn,SMbSmb”成等比數(shù)列得

2

(Sntl+bn)=(Sn+bn)(Snt2+bn).

2

解得bll=y除-SnSn+2).所以bn=∏+∏,∏∈N*.

⑵證明勺陽蒜=后,心二

用數(shù)學歸納法證明.

①當n=l時,cl=0<2,不等式成立；

②假設n=k(k∈N*)時不等式成立，即c,+c2+???+ck<2√A,那么，當n=kH

時,即當

5+C2+???+cll+Ck.K26+L+1",n<2√?+l∑<2√Λ+7=?7==2√I+2(√ΓΠ^-√I)≈2√?TT,

,MkA+l)?κ^?)?A+1VA+1+v?

n=k+l時不等式也成立.

根據(jù)①和②,得不等式cJC2+???+c<2爪對任意n∈N*成立.

一題多解⑵G=昌離=屆，nGN*?

用數(shù)學歸納法證明.

①當n=l時，c1=0<2,不等式成立；

②假設n=k(k∈N*)時不等式成立，即c1+c2+c3+???+ck<2√A,

那么，當時，只需證明即證

n=k+lc1+c2+???÷ck+cku<2√A+1,2√A+Γ?λ<2√?+1,

即證fππ?77<2(√?+T-√?)=7^-n-

yj(A+l)(k+2)√A+H√A

因為(k+l)(k+2)>k(k+l),所以X.^7=<^7f=-7=.所以雇+P即當

-?∣(?t-l)(A+2)√?+l√?+l√A+1+√A?((?÷1)(A+2)√A+1+√ZA

n=k+l時，不等式也成立.根據(jù)①和②,知不等式c∣+cz+…+cll<2√}j對任意n∈N*成立.

綜合篇知能轉(zhuǎn)換

考法歸納推理與類比推理的應用

1.（2021安徽六安第一中學月考,9）分形幾何是美籍法國數(shù)學家芒德勃羅在20世紀70年代

創(chuàng)立的一門數(shù)學新分支,其中的“謝爾賓斯基”圖形的作法為：

第一次操作是先作一個正三角形,挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂

點的三角形）；第二次操作是在剩下的每個小正三角形中又挖去一個“中心三角形”；第三次

6

操作是……按上述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮,最終所得的極限圖形稱為“謝爾賓斯基”

圖形（如圖所示），按上述操作6次后，“謝爾賓斯基”圖形中的小三角形的個數(shù)為（）

A.3'B.35C.36D.37

答案C

2.（2021云南師大附中適應性考試,9）“干支紀年法”是中國歷法上自古以來使用的紀年方

法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、

午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字

開始,兩者按干支順序相配,組成了干支紀年法,其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉、

甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳、…共60個組合,周而復始，

循環(huán)記錄.已知1894年是“干支紀年法”中的甲午年,那么2021年是“干支紀年法”中的

（）

A.庚子年B.辛丑年C.乙亥年D.戊戌年

答案B

3.（2022屆吉林調(diào)研一,3）對于下列數(shù)陣:

-1

4-9

16-2536

-4964-81100

它的第12行所有數(shù)的和為（）

A.-870B.870C.3081D.-3081

答案B

4.（2021黑龍江齊齊哈爾一模，16）將正整數(shù)排成如下數(shù)陣:

1

234

56789

10111213141516

7

用a”表示第i行第j列的數(shù),若aij=2020,則i+j的值為.

答案129

5.（2022屆河南期中聯(lián)考，16）某項測試有30道必答題，甲和乙參加該測試,分別用數(shù)列｛aj

和｛b,,｝記錄他們的成績.若第k題甲答對,則ak=2,若第k題甲答錯,則為=-1;若第k題乙答對，

貝IJbk=2,若第k題乙答錯，貝IJbk-l.已知alb,+a2b2+??→a30b30=75,且只有1題甲和乙均答錯，則

甲至少答對道題.

答案22

6.（2022屆河北邯鄲大名一中11月月考，16）“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種

幾何排列,在中國南宋數(shù)學家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所

示,在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外,其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和,

例如第4行的6為第3行中兩個3的和.若在“楊輝三角”中，從第二行右邊的1開始按“鋸

齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5,…，則在該數(shù)列中,第33

項是.

-1

,2?1

13-31

141

15—101051

答案153

創(chuàng)新篇守正出奇

創(chuàng)新真假推理型題目的解法

1.（2022屆新疆克拉瑪依檢測三,8）中國古代儒家要求學生掌握六種基本才藝:禮、樂、射、

御、書、數(shù),簡稱“六藝”，某高中學校為弘揚“六藝”的傳統(tǒng)文化,分別進行了主題為“禮、

樂、射、御、書、數(shù)”的六場傳統(tǒng)文化知識競賽,現(xiàn)有甲、乙、丙三位選手進入了前三名的

最后角逐.規(guī)定:每場知識競賽前三名的得分分別為a,b,c（a>b>c）且a,b,c∈M;選手最后得

分為各場得分之和，在六場比賽后，己知甲最后得分為26分，乙和丙最后得分都是11分,且乙

在其中一場比賽中獲得第一名，下列說法正確的是

A.乙有四場比賽獲得第三名

B.每場比賽第一名得分a為4

C.甲可能有一場比賽獲得第二名

D.丙可能有一場比賽獲得第一名

8

答案?

2.（2019課標∏文,5,5分）在“一帶一路”知識測