備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）專題24圓的有關(guān)位置關(guān)系（共52題）一．選擇題（共15小題）1．（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為（）A．32° B．52° C．64° D．72°2．（2022?哈爾濱）如圖，AD，BC是⊙O的直徑，點P在BC的延長線上，PA與⊙O相切于點A，連接BD，若∠P＝40°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．50° D．25°3．（2022?無錫）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°4．（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（）A．28° B．50° C．56° D．62°5．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，連接AO交⊙O于點C，延長AO交⊙O于點D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．46．（2022?武漢）如圖，在四邊形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（）A．cm B．8cm C．6cm D．10cm7．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線交于點P，若AC＝PC＝3，則PB的長為（）A． B． C． D．38．（2022?自貢）P為⊙O外一點，PT與⊙O相切于點T，OP＝10，∠OPT＝30°，則PT長為（）A．5 B．5 C．8 D．99．（2022?梧州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取點D（不與點A，B重合），連接BD，AD，則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是（）A．60° B．62° C．72° D．73°10．（2022?十堰）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點D是弧AC上一動點（不與A，C重合），下列結(jié)論：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③當(dāng)DB最長時，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2022?邵陽）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．12．（2022?德陽）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結(jié)論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若點G為BC的中點，則∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．413．（2022?婁底）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（）A． B． C． D．14．（2022?吉林）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．515．（2022?杭州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（）A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）二．填空題（共17小題）16．（2022?泰州）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為°．17．（2022?海南）如圖，射線AB與⊙O相切于點B，經(jīng)過圓心O的射線AC與⊙O相交于點D、C，連接BC，若∠A＝40°，則∠ACB＝°．18．（2022?懷化）如圖，AB與⊙O相切于點C，AO＝3，⊙O的半徑為2，則AC的長為．19．（2022?株洲）中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之．”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切）”，如圖所示．問題：此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點M、N（點N在點M的右上方），若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為丈．20．（2022?泰安）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O過點A、C，與AB交于點D，與BC相切于點C，若∠A＝32°，則∠ADO＝．21．（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點A．D是BC邊上的動點，當(dāng)△ACD為直角三角形時，AD的長為．22．（2022?連云港）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，連接BC，與⊙O交于點D，連接OD．若∠AOD＝82°，則∠C＝°．23．（2022?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A，長邊與⊙O相切于點B，角尺的直角頂點為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為cm．24．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點，∠ACB＝60°，則AB的長為cm．25．（2022?泰州）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB邊相交于點D、E．若DE＝CD+BE，則線段CD的長為．26．（2022?玉林）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來．27．（2022?宜賓）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．28．（2022?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半徑為1的⊙O在Rt△ABC內(nèi)平移（⊙O可以與該三角形的邊相切），則點A到⊙O上的點的距離的最大值為．29．（2022?湖北）如圖，點P是⊙O上一點，AB是一條弦，點C是上一點，與點D關(guān)于AB對稱，AD交⊙O于點E，CE與AB交于點F，且BD∥CE．給出下面四個結(jié)論：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF?AB；④BD為⊙O的切線．其中所有正確結(jié)論的序號是．30．（2022?恩施州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．31．（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結(jié)果用含π的式子表示）32．（2022?涼山州）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在格點上，則cos∠ACB的值是．三．解答題（共20小題）33．（2022?臨沂）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，直線AO交⊙O于C，D兩點，連接BC，BD．過圓心O作BC的平行線，分別交AB的延長線、⊙O及BD于點E，F(xiàn)，G．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中點，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．34．（2022?恩施州）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交⊙O于點D、E，交AB于點C．（1）求證：∠ADE＝∠PAE．（2）若∠ADE＝30°，求證：AE＝PE．（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的長．35．（2022?十堰）如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點E，交BC于點F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．（1）求證：FG是⊙O的切線；（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的長．36．（2022?衡陽）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點C，過點O作OE∥AD交CD于點E，連接BE．（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．37．（2022?天津）已知AB為⊙O的直徑，AB＝6，C為⊙O上一點，連接CA，CB．（Ⅰ）如圖①，若C為的中點，求∠CAB的大小和AC的長；（Ⅱ）如圖②，若AC＝2，OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過點D作⊙O的切線，與AC的延長線相交于點F，求FD的長．38．（2022?紹興）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A，交邊BC于點C，D，∠B＝90°，連結(jié)OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的長（結(jié)果保留π）．（2）求證：AD平分∠BDO．39．（2022?安徽）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD．（1）如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；（2）如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE．求證：CE⊥AB．40．（2022?德陽）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是點H，過點C作直線分別與AB，AD的延長線交于點E，F(xiàn)，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）如果AB＝10，CD＝6，①求AE的長；②求△AEF的面積．41．（2022?隨州）如圖，已知D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，BE與⊙O相切，交CD的延長線于點E，且BE＝DE．（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝4，sinC＝，①求⊙O的半徑；②求BD的長．42．（2022?邵陽）如圖，已知DC是⊙O的直徑，點B為CD延長線上一點，AB是⊙O的切線，點A為切點，且AB＝AC．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為3，求圓弧的長．43．（2022?新疆）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，AC＝CD，連接AD，延長DB交過點C的切線于點E．（1）求證：∠ABC＝∠CAD；（2）求證：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的長．44．（2022?揚州）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點P，交過點B的直線于點C，且CB＝CP．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的長．45．（2022?赤峰）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，AC＝BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點F，垂足為點E，連接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．46．（2022?齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作CF∥AB，且CF＝CD，連接BF．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求圖中陰影部分的面積．47．（2022?玉林）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點，AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．48．（2022?南充）如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是⊙O外一點，∠BCD＝∠BAC，連接OD交BC于點E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．49．（2022?黔東南州）（1）請在圖1中作出△ABC的外接圓⊙O（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）如圖2，⊙O是△ABC的外接圓，AE是⊙O的直徑，點B是的中點，過點B的切線與AC的延長線交于點D．①求證：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半徑．50．（2022?鄂州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB＝∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．51．（2022?宿遷）如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D．（1）判斷直線AC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．52．（2022?婁底）如圖，已知BD是Rt△ABC的角平分線，點O是斜邊AB上的動點，以點O為圓心，OB長為半徑的⊙O經(jīng)過點D，與OA相交于點E．（1）判定AC與⊙O的位置關(guān)系，為什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②試用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜測sin2α與sinα、cosα的關(guān)系，并用α＝30°給予驗證．備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）專題24圓的有關(guān)位置關(guān)系（共52題）一．選擇題（共15小題）1．（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠AOB＝128°，則∠P的度數(shù)為（）A．32° B．52° C．64° D．72°【分析】利用切線的性質(zhì)可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后利用四邊形內(nèi)角和是360°，進行計算即可解答．【解析】∵PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB＝128°，∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝52°，故選：B．2．（2022?哈爾濱）如圖，AD，BC是⊙O的直徑，點P在BC的延長線上，PA與⊙O相切于點A，連接BD，若∠P＝40°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．50° D．25°【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出∠OAP＝90°，進而得出∠BOD的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出∠ADB的度數(shù)即可．【解析】∵PA與⊙O相切于點A，∠P＝40°，∴∠OAP＝90°，∴∠BOD＝∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，∵OB＝OD，∴∠ADB＝∠OBD＝（180°﹣∠BOD）÷2＝（180°﹣50°）÷2＝65°，故選：A．3．（2022?無錫）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AC，由此判斷A、B選項；過點O作OF⊥AC于F，利用矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)判斷C選項；利用三角形外角性質(zhì)求得∠BOD的度數(shù)，從而判斷D選項．【解析】∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，∴∠OAD＝∠ODA＝25°．∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．故選項D不符合題意；∵∠OAD＝∠CAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，即AE∥OD，故選B不符合題意；∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE．∴DE⊥AE．故選項A不符合題意；如圖，過點O作OF⊥AC于F，則四邊形OFED是矩形，∴OF＝DE．在直角△AFO中，OA＞OF．∵OD＝OA，∴DE＜OD．故選項C符合題意．故選：C．4．（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（）A．28° B．50° C．56° D．62°【分析】連接OB，由AO＝OB得，∠OAB＝∠OBA＝28°，∠AOB＝180°﹣2∠OAB＝124°；因為PA、PB分別切⊙O于點A、B，則∠OAP＝∠OBP＝90°，利用四邊形內(nèi)角和即可求出∠APB．【解析】連接OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝28°，∴∠AOB＝124°，∵PA、PB分別切⊙O于點A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP＝180°，∴∠APB+∠AOB＝180°；∴∠APB＝56°．故選：C．5．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，連接AO交⊙O于點C，延長AO交⊙O于點D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．4【分析】連接OB，則OB⊥AB，由勾股定理可知，AB2＝OA2﹣OB2①，由OB和OD是半徑，所以∠A＝∠D＝∠OBD，所以△OBD∽△BAD，AB＝BD，可得BD2＝OD?AD，所以O(shè)A2﹣OB2＝OD?AD，設(shè)OD＝x，則AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，所以（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），求出x的值，即可求出OA和OB的長，進而求得AB的長．【解析】如圖，連接OB，∵AB是⊙O的切線，B為切點，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半徑，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD?AD，即OA2﹣OB2＝OD?AD，設(shè)OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（負(fù)值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝3，故選：C．6．（2022?武漢）如圖，在四邊形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（）A．cm B．8cm C．6cm D．10cm【分析】如圖，當(dāng)AB，BC，CD相切于⊙O于點E，F(xiàn)，G時，⊙O的面積最大．連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，過點D作DH⊥BC于點H．利用面積法構(gòu)建方程求解．【解析】如圖，當(dāng)AB，BC，CD相切于⊙O于點E，F(xiàn)，G時時，⊙O的面積最大．連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，過點D作DH⊥BC于點H．∵AD∥CB，∠BAD＝90°，∴∠ABC＝90°，∵∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴AB＝DH＝20cm，AD＝BH＝9cm，∵BC＝24cm，∴CH＝BC﹣BH＝24﹣9＝15（cm），∴CD＝＝＝25（cm），設(shè)OE＝OF＝OG＝rcm，則有×（9+24）×20＝×20×r+×24×r+×25×r+×9×（20﹣r），∴r＝8，故選：B．7．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線交于點P，若AC＝PC＝3，則PB的長為（）A． B． C． D．3【分析】連結(jié)OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PCO＝90°，根據(jù)OC＝OA，得到∠A＝∠OCA，根據(jù)AC＝PC，得到∠P＝∠A，在△APC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠P＝30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，根據(jù)tanP＝求出⊙O的半徑r即可得出答案．【解析】如圖，連結(jié)OC，∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠OCA，∵AC＝PC，∴∠P＝∠A，設(shè)∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，∴x+x+90°+x＝180°，∴x＝30°，∴∠P＝30°，∵∠PCO＝90°，∴OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，tanP＝，∴＝，∴r＝3，∴PB＝OP﹣OB＝2r﹣r＝r＝3．故選：D．8．（2022?自貢）P為⊙O外一點，PT與⊙O相切于點T，OP＝10，∠OPT＝30°，則PT長為（）A．5 B．5 C．8 D．9【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OTP＝90°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到OT的值，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】方法一：如圖，∵PT與⊙O相切于點T，∴∠OTP＝90°，又∵OP＝10，∠OPT＝30°，∴OT＝OP＝×10＝5，∴PT＝＝＝5．故選：A．方法二：在Rt△OPT中，∵cosP＝，∴PT＝OP?cos30°＝10×＝5．故選：A．9．（2022?梧州）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取點D（不與點A，B重合），連接BD，AD，則∠BAD+∠ABD的度數(shù)是（）A．60° B．62° C．72° D．73°【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠C＝72°，從而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出∠D＝108°，然后利用三角形內(nèi)角和定理進行計算即可解答．【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠C＝180°，∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，故選：C．10．（2022?十堰）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，點D是弧AC上一動點（不與A，C重合），下列結(jié)論：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③當(dāng)DB最長時，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】由△ABC是等邊三角形，及同弧所對圓周角相等可得∠ADB＝∠BDC，即可判斷①正確；由點D是弧AC上一動點，可判斷②錯誤；根據(jù)DB最長時，DB為⊙O直徑，可判定③正確；在DB上取一點E，使DE＝AD，可得△ADE是等邊三角形，從而△ABE≌△ACD（SAS），有BE＝CD，可判斷④正確．【解析】∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵＝，＝，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠ADB＝∠BDC，故①正確；∵點D是弧AC上一動點，∴與不一定相等，∴DA與DC不一定相等，故②錯誤；當(dāng)DB最長時，DB為⊙O直徑，∴∠BDC＝90°，∵∠BDC＝60°，∴∠DBC＝30°，∴DB＝2DC，故③正確；在DB上取一點E，使DE＝AD，如圖：∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAD，∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正確；∴正確的有①③④，共3個，故選：C．11．（2022?邵陽）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB＝3，則⊙O的半徑是（）A． B． C． D．【分析】連接OB，過點O作OE⊥BC，結(jié)合三角形外心和垂徑定理分析求解．【解析】連接OB，過點O作OE⊥BC，∵⊙O是等邊△ABC的外接圓，∴OB平分∠ABC，∴∠OBE＝30°，又∵OE⊥BC，∴BE＝BC＝AB＝，在Rt△OBE中，cos30°＝，∴，解得：OB＝，故選：C．12．（2022?德陽）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結(jié)論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若點G為BC的中點，則∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到∠BAD＝∠CAD，則可對①進行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)對②進行判斷；根據(jù)垂徑定理則可對③進行判斷；通過證明∠DEB＝∠DBE得到DB＝DE，則可對④進行判斷．【解析】∵E是△ABC的內(nèi)心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，故①正確；如圖，連接BE，CE，∵E是△ABC的內(nèi)心，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正確；∵∠BAD＝∠CAD，∴＝，∵點G為BC的中點，∴OD⊥BC，∴∠BGD＝90°，故③正確；如圖，連接BE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，∴∠DBE＝∠DEB，∴DB＝DE，故④正確．∴一定正確的①②③④，共4個．故選：D．13．（2022?婁底）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意和圖形，可知圓中的黑色部分的面積是圓的面積的一半，然后即可計算出圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比．【解析】作AD⊥BC于點D，作BE⊥AC于點E，AD和BE交于點O，如圖所示，設(shè)AB＝2a，則BD＝a，∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝a，∴OD＝AD＝a，∴圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是：＝，故選：A．14．（2022?吉林）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以點A為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外時，r的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由勾股定理求出AC的長度，再由點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外求解．【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝4，∵點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外，∴3＜r＜5，故選：C．15．（2022?杭州）如圖，已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是銳角），則△ABC的面積的最大值為（）A．cosθ（1+cosθ） B．cosθ（1+sinθ） C．sinθ（1+sinθ） D．sinθ（1+cosθ）【分析】要使△ABC的面積S＝BC?h的最大，則h要最大，當(dāng)高經(jīng)過圓心時最大．【解析】當(dāng)△ABC的高AD經(jīng)過圓的圓心時，此時△ABC的面積最大，如圖所示，∵A′D⊥BC，∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，在Rt△BOD中，sinθ＝，cosθ＝∴BD＝sinθ，OD＝cosθ，∴BC＝2BD＝2sinθ，A′D＝A′O+OD＝1+cosθ，∴A′D?BC＝?2sinθ（1+cosθ）＝sinθ（1+cosθ）．故選：D．二．填空題（共17小題）16．（2022?泰州）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為32°．【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，連接DB，由切線的性質(zhì)得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，求出∠AOP＝64°，由圓周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．【解析】如圖，連接AO并延長交⊙O于點D，連接DB，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵點C在上，且與點A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案為：32．17．（2022?海南）如圖，射線AB與⊙O相切于點B，經(jīng)過圓心O的射線AC與⊙O相交于點D、C，連接BC，若∠A＝40°，則∠ACB＝25°．【分析】連接OB，利用切線的性質(zhì)定理可求∠ABO＝90°，利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠AOB，利用圓周角定理即可求得結(jié)論．【解析】連接OB，如圖，∵射線AB與⊙O相切于點B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°．∵∠A＝40°，∴∠AOB＝50°，∴∠ACB＝∠AOB＝25°．故答案為：25．18．（2022?懷化）如圖，AB與⊙O相切于點C，AO＝3，⊙O的半徑為2，則AC的長為．【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥AC，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解析】連接OC，∵AB與⊙O相切于點C，∴OC⊥AC，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝3，則AC＝＝＝，故答案為：．19．（2022?株洲）中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之．”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切）”，如圖所示．問題：此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點M、N（點N在點M的右上方），若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為（8﹣2）丈．【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠OAC＝45°，求出OA，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】如圖，設(shè)正方形的一邊與⊙O的切點為C，連接OC，則OC⊥AC，∵四邊形是正方形，AB是對角線，∴∠OAC＝45°，∴OA＝OC＝2（丈），∴BN＝AB﹣AN＝10﹣2﹣2＝（8﹣2）丈，故答案為：（8﹣2）．20．（2022?泰安）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O過點A、C，與AB交于點D，與BC相切于點C，若∠A＝32°，則∠ADO＝64°．【分析】連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠DOC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥BC，證明AB∥OC，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解析】連接OC，∵∠A＝32°，∴∠DOC＝2∠A＝64°，∵BC與⊙O相切于點C，∴OC⊥BC，∵∠B＝90°，∴∠B+∠OCB＝180°，∴AB∥OC，∴∠ADO＝∠DOC＝64°，故答案為：64°．21．（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點A．D是BC邊上的動點，當(dāng)△ACD為直角三角形時，AD的長為或．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．【解析】連接OA，過點A作AD⊥BC于點D，∵圓與AC相切于點A．∴OA⊥AC，由題意可知：D點位置分為兩種情況，①當(dāng)∠CAD為90°時，此時D點與O點重合，設(shè)圓的半徑＝r，∴OA＝r，OC＝4﹣r，∵AC＝2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，解得：r＝，即AD＝AO＝；②當(dāng)∠ADC＝90°時，AD＝，∵AO＝，AC＝2，OC＝4﹣r＝，∴AD＝，綜上所述，AD的長為或，故答案為：或．22．（2022?連云港）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，連接BC，與⊙O交于點D，連接OD．若∠AOD＝82°，則∠C＝49°．【分析】根據(jù)AC是⊙O的切線，可以得到∠BAC＝90°，再根據(jù)∠AOD＝82°，可以得到∠ABD的度數(shù)，然后即可得到∠C的度數(shù)．【解析】∵AC是⊙O的切線，∴∠BAC＝90°，∵∠AOD＝82°，∴∠ABD＝41°，∴∠C＝90°﹣∠ABD＝90°﹣41°＝49°，故答案為：49．23．（2022?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A，長邊與⊙O相切于點B，角尺的直角頂點為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為cm．【分析】連接OA，OB，過點A作AD⊥OB于點D，利用矩形的判定與性質(zhì)得到BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，在Rt△OAD中，利用勾股定理列出方程即可求解．【解析】連接OA，OB，過點A作AD⊥OB于點D，如圖，∵長邊與⊙O相切于點B，∴OB⊥BC，∵AC⊥BC，AD⊥OB，∴四邊形ACBD為矩形，∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝OB＝rcm，∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，在Rt△OAD中，∵AD2+OD2＝OA2，∴82+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝．故答案為：．24．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半徑為3cm．C為⊙O上一點，∠ACB＝60°，則AB的長為3cm．【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ABD＝90°，再利用同弧所對的圓周角相等可求出∠ADB＝60°，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【解析】連接AO并延長交⊙O于點D，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝60°，在Rt△ABD中，AD＝6cm，∴AB＝AD?sin60°＝6×＝3（cm），故答案為：3．25．（2022?泰州）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB邊相交于點D、E．若DE＝CD+BE，則線段CD的長為2或．【分析】連接BO，CO，結(jié)合內(nèi)心的概念及平行線的判定分析可得當(dāng)DE＝CD+BE時，CE∥BC，從而利用相似三角形的判定和性質(zhì)分析計算．【解析】如圖，過點O的直線分別與AC、AB邊相交于點D、E，連接BO，CO，∵O為△ABC的內(nèi)心，∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，當(dāng)CD＝OD時，則∠OCD＝∠COD，∴∠BCO＝∠COD，∴BC∥DE，∴∠CBO＝∠BOE，∴BE＝OE，則DE＝CD+BE，設(shè)CD＝OD＝x，BE＝OE＝y(tǒng)，在Rt△ABC中，AB＝＝10，∴，即，解得，∴CD＝2，過點O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，∵點O為△ABC的內(nèi)心，∴OD＝OE′，在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，，∴△ODD′≌△OE′E（ASA），∴OE＝OD′，∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+＝，在△AD′E′和△ABC中，，∴△AD′E′∽△ABC，∴，∴，解得：AD′＝，∴CD′＝AC﹣AD′＝，故答案為：2或．26．（2022?玉林）如圖，在5×7網(wǎng)格中，各小正方形邊長均為1，點O，A，B，C，D，E均在格點上，點O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△ABC外把你認(rèn)為外心也是O的三角形都寫出來△ABD，△ACD，△BCD．【分析】由網(wǎng)格利用勾股定理分別求解OA，OB，OC，OD，OE，根據(jù)三角形的外心到三角形頂點的距離相等可求解．【解析】由圖可知：OA＝，OB＝，OC＝，OD＝，OE＝，∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是點O，故答案為：△ABD，△ACD，△BCD．27．（2022?宜賓）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為289．【分析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接OE、OD，則四邊形EODC為正方形，然后利用內(nèi)切圓和直角三角形的性質(zhì)得到AC+BC＝AB+6，（BC﹣AC）2＝49，接著利用完全平方公式進行代數(shù)變形，最后解關(guān)于AB的一元二次方程解決問題．【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，連接OE、OD，則四邊形EODC為正方形，∴OE＝OD＝3＝，∴AC+BC﹣AB＝6，∴AC+BC＝AB+6，∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，而BC2+AC2＝AB2，∴2BC×AC＝12AB+36①，∵小正方形的面積為49，∴（BC﹣AC）2＝49，∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，把①代入②中得AB2﹣12AB﹣85＝0，∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，∴AB＝17（負(fù)值舍去），∴大正方形的面積為289．故答案為：289．28．（2022?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半徑為1的⊙O在Rt△ABC內(nèi)平移（⊙O可以與該三角形的邊相切），則點A到⊙O上的點的距離的最大值為2+1．【分析】連接OE、OF，根據(jù)正切的定義求出∠ABC，根據(jù)切線長定理得到∠OBF＝30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計算，得到答案．【解析】當(dāng)⊙O與BC、BA都相切時，連接AO并延長交⊙O于點D，則AD為點A到⊙O上的點的距離的最大值，設(shè)⊙O與BC、BA的切點分別為E、F，連接OE、OF，則OE⊥BC，OF⊥AB，∵AC＝6，BC＝2，∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，∴∠ABC＝60°，∴∠OBF＝30°，∴BF＝＝，∴AF＝AB﹣BF＝3，∴OA＝＝2，∴AD＝2+1，故答案為：2+1．29．（2022?湖北）如圖，點P是⊙O上一點，AB是一條弦，點C是上一點，與點D關(guān)于AB對稱，AD交⊙O于點E，CE與AB交于點F，且BD∥CE．給出下面四個結(jié)論：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF?AB；④BD為⊙O的切線．其中所有正確結(jié)論的序號是①②④．【分析】根據(jù)題意可得AB是CD的垂直平分線，從而可得AD＝DC，BD＝BC，再利用等腰三角形和平行線的性質(zhì)可得CD平分∠BCE，即可判斷①；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補和平角定義可得∠DEB＝∠ACB，再利用SSS證明△ADB≌△ACB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ADB＝∠ACB，從而可得∠DEB＝∠ADB，即可判斷②；根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得∠AEF≠∠ABE，從而可得△AEF與△ABE不相似，即可判斷③；連接OB，交EC于點H，利用①②的結(jié)論可得BE＝BC，從而可得＝，然后利用垂徑定理可得∠OHE＝90°，最后利用平行線的性質(zhì)可求出∠OBD＝90°，即可解答．【解析】∵點C與點D關(guān)于AB對稱，∴AB是CD的垂直平分線，∴AD＝DC，BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC，∵BD∥CE，∴∠BDC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠BCD，∴CD平分∠BCE；故①正確；∵四邊形ACBE是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ACB+∠AEB＝180°，∵∠AEB+∠DEB＝180°，∴∠DEB＝∠ACB，∵AD＝DC，BD＝BC，AB＝AB，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠ADB＝∠ACB，∴∠DEB＝∠ADB，∴BD＝BE，故②正確；∵AC≠AE，∴≠，∴∠AEF≠∠ABE，∴△AEF與△ABE不相似，故③不正確；連接OB，交EC于點H，∵BD＝BE，BD＝BC，∴BE＝BC，∴＝，∴OB⊥CE，∴∠OHE＝90°，∵BD∥CE，∴∠OHE＝∠OBD＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴BD為⊙O的切線，故④正確；所以給出上面四個結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號是：①②④，故答案為：①②④．30．（2022?恩施州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）5﹣π．【分析】根據(jù)題意，先作出相應(yīng)的輔助線，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再根據(jù)圖形可知：陰影部分的面積＝△ABC的面積﹣正方形CEOD的面積﹣⊙O面積的，代入數(shù)據(jù)計算即可．【解析】作OD⊥AC于點D，作OE⊥CB于點E，作OF⊥AB于點F，連接OA、OC、OB，如圖，∵∠C＝90°，OD＝OE＝OF，∴四邊形CEOD是正方形，∵AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝S△AOC+S△COB+S△BOA，∴＝，解得OD＝OE＝OF＝1，∴圖中陰影部分的面積為：﹣1×1﹣π×12×＝5﹣π，故答案為：5﹣π．31．（2022?黔東南州）如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB、OC，則圖中陰影部分的面積是cm2．（結(jié)果用含π的式子表示）【分析】根據(jù)角A的度數(shù)和內(nèi)切圓的性質(zhì)，得出圓心角DOE的度數(shù)即可得出陰影部分的面積．【解析】∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴∠DOE＝180°﹣（）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝130°，∴S扇形DOE＝＝（cm2），故答案為：．32．（2022?涼山州）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，⊙O是△ABC的外接圓，點A，B，O在格點上，則cos∠ACB的值是．【分析】先連接AD，BD，然后根據(jù)題意，可以求得cos∠ADB的值，再根據(jù)圓周角定理可以得到∠ACB＝∠ADB，從而可以得到cos∠ACB的值．【解析】連接AD，BD，AD和BD相交于點D，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，∵AB＝6，BD＝4，∴AD＝＝＝2，∴cos∠ADB＝＝＝，∵∠ACB＝∠ADB，∴cos∠ACB的值是，故答案為：．三．解答題（共20小題）33．（2022?臨沂）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，直線AO交⊙O于C，D兩點，連接BC，BD．過圓心O作BC的平行線，分別交AB的延長線、⊙O及BD于點E，F(xiàn)，G．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中點，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．【分析】（1）連接OB，由切線的性質(zhì)得出∠E+∠BOE＝90°，由圓周角定理得出∠D+∠DCB＝90°，證出∠BOE＝∠OCB，則可得出結(jié)論；（2）求出∠BOG＝60°，由三角形面積公式及扇形的面積公式可得出答案．【解析】（1）證明：連接OB，∵AB是⊙O的切線，∴∠OBE＝90°，∴∠E+∠BOE＝90°，∵CD為⊙O的直徑，∴∠CBD＝90°，∴∠D+∠DCB＝90°，∵OE∥BC，∴∠BOE＝∠OBC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BOE＝∠OCB，∴∠D＝∠E；（2）解：∵F為OE的中點，OB＝OF，∴OF＝EF＝3，∴OE＝6，∴BO＝OE，∵∠OBE＝90°，∴∠E＝30°，∴∠BOG＝60°，∵OE∥BC，∠DBC＝90°，∴∠OGB＝90°，∴OG＝，BG＝，∴S△BOG＝OG?BG＝＝，S扇形BOF＝＝π，∴S陰影部分＝S扇形BOF﹣S△BOG＝．34．（2022?恩施州）如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交⊙O于點D、E，交AB于點C．（1）求證：∠ADE＝∠PAE．（2）若∠ADE＝30°，求證：AE＝PE．（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的長．【分析】（1）連接OA，利用切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)和等角的余角相等解答即可；（2）利用（1）的結(jié)論，直徑所對的圓周角為直角，三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）CE＝x，則DE＝CD+CE＝6+x，OA＝OE＝，OC＝OE﹣CE＝，OP＝OE+PE＝，利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式即可求得結(jié)論．【解析】（1）證明：連接OA，如圖，∵PA為⊙O的切線，∴AO⊥PA，∴∠OAE+∠PAE＝90°．∵DE是⊙O的直徑，∴∠DAE＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE；（2）證明：由（1）知：∠ADE＝∠PAE＝30°，∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠ADE＝60°．∵∠AED＝∠PAE+∠APE，∴∠APE＝∠PAE＝30°，∴AE＝PE；（3）解：設(shè)CE＝x，則DE＝CD+CE＝6+x，∴OA＝OE＝，∴OC＝OE﹣CE＝，OP＝OE+PE＝．∵PA、PB為⊙O的切線，∴PA＝PB，PO平分∠APB，∴PO⊥AB．∵PA為⊙O的切線，∴AO⊥PA，∴△OAC∽△OPA，∴，∴，即：x2+10x﹣24＝0．解得：x＝2或﹣12（不合題意，舍去），∴CE＝2．35．（2022?十堰）如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC上一點，以CD為直徑的⊙O與AB相切于點E，交BC于點F，F(xiàn)G⊥AB，垂足為G．（1）求證：FG是⊙O的切線；（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可證∠B＝∠C＝∠OFC，可證OF∥AB，可得結(jié)論；（2）由切線的性質(zhì)可證四邊形GFOE是矩形，可得OE＝GF＝2，由銳角三角函數(shù)可求解．【解析】（1）證明：如圖，連接OF，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OF＝OC，∴∠C＝∠OFC，∴∠OFC＝∠B，∴OF∥AB，∵FG⊥AB，∴FG⊥OF，又∵OF是半徑，∴GF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接OE，過點O作OH⊥CF于H，∵BG＝1，BF＝3，∠BGF＝90°，∴FG＝＝＝2，∵⊙O與AB相切于點E，∴OE⊥AB，又∵AB⊥GF，OF⊥GF，∴四邊形GFOE是矩形，∴OE＝GF＝2，∴OF＝OC＝2，又∵OH⊥CF，∴CH＝FH，∵cosC＝cosB＝，∴，∴CH＝，∴CF＝．36．（2022?衡陽）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓上一點D作⊙O的切線CD交BA的延長線于點C，過點O作OE∥AD交CD于點E，連接BE．（1）直線BE與⊙O相切嗎？并說明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的長．【分析】（1）連接OD，理由切線的性質(zhì)可得∠ODE＝90°，然后利用平行線和等腰三角形的性質(zhì)可得OE平分∠DOB，從而可得∠DOE＝∠EOB，進而可證△DOE≌△BOE，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解答；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，先在Rt△ODC中，利用勾股定理求出r的長，再利用（1）的結(jié)論可得DE＝BE，最后在Rt△BCE中，利用勾股定理進行計算即可解答．【解析】（1）直線BE與⊙O相切，理由：連接OD，∵CD與⊙O相切于點D，∴∠ODE＝90°，∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠EOB，∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠DOE＝∠EOB，∵OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE（SAS），∴∠OBE＝∠ODE＝90°，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BE與⊙O相切；（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2+DC2＝OC2，∴r2+42＝（r+2）2，∴r＝3，∴AB＝2r＝6，∴BC＝AC+AB＝2+6＝8，由（1）得：△DOE≌△BOE，∴DE＝BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2＝CE2，∴82+BE2＝（4+DE）2，∴64+DE2＝（4+DE）2，∴DE＝6，∴DE的長為6．37．（2022?天津）已知AB為⊙O的直徑，AB＝6，C為⊙O上一點，連接CA，CB．（Ⅰ）如圖①，若C為的中點，求∠CAB的大小和AC的長；（Ⅱ）如圖②，若AC＝2，OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過點D作⊙O的切線，與AC的延長線相交于點F，求FD的長．【分析】（Ⅰ）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，進而求出∠CAB，根據(jù)余弦的定義求出AC；（Ⅱ）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DF，證明四邊形FCED為矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FD＝EC，根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)垂徑定理解答即可．【解析】（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵C為的中點，∴＝，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴AC＝AB?cos∠CAB＝3；（Ⅱ）∵DF是⊙O的切線，∴OD⊥DF，∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，∴四邊形FCED為矩形，∴FD＝EC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，則BC＝＝4，∵OD⊥BC，∴EC＝BC＝2，∴FD＝2．38．（2022?紹興）如圖，半徑為6的⊙O與Rt△ABC的邊AB相切于點A，交邊BC于點C，D，∠B＝90°，連結(jié)OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的長（結(jié)果保留π）．（2）求證：AD平分∠BDO．【分析】（1）連結(jié)OA，由∠ACB＝20°，得∠AOD＝40°，由弧長公式即得的長為；（2）根據(jù)AB切⊙O于點A，∠B＝90°，可得OA∥BC，有∠OAD＝∠ADB，而OA＝OD，即可得∠ADB＝∠ODA，從而AD平分∠BDO．【解析】（1）解：連結(jié)OA，如圖：∵∠ACB＝20°，∴∠AOD＝40°，∴＝＝；（2）證明：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AB切⊙O于點A，∴OA⊥AB，∵∠B＝90°，∴OA∥BC，∴∠OAD＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ODA，∴AD平分∠BDO．39．（2022?安徽）已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，D為BA的延長線上一點，連接CD．（1）如圖1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的長；（2）如圖2，若DC與⊙O相切，E為OA上一點，且∠ACD＝∠ACE．求證：CE⊥AB．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出OD，進而求出AD；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)可得OC⊥CD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCA＝∠OAC，由各個角之間的關(guān)系以及等量代換可得答案．【解析】（1）∵OA＝1＝OC，CO⊥AB，∠D＝30°，∴OD＝?OC＝，∴AD＝OD﹣OA＝﹣1；（2）∵DC與⊙O相切，∴OC⊥CD，即∠ACD+∠OCA＝90°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵∠ACD＝∠ACE，∴∠OAC+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝90°，即CE⊥AB．40．（2022?德陽）如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是點H，過點C作直線分別與AB，AD的延長線交于點E，F(xiàn)，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）如果AB＝10，CD＝6，①求AE的長；②求△AEF的面積．【分析】（1）連接OC，利用圓周角定理，垂徑定理，同圓的半徑線段，等腰三角形的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；（2）①利用勾股定理和相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；②過點F作FG⊥AB，交AB的延長線于點G，設(shè)FG＝4k，則FE＝5k，利用相似三角形的判定與性質(zhì)和平行線分線段成比例定理求得FG，再利用三角形的面積公式解答即可．【解析】（1）證明：連接OC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴，∴∠CAB＝∠DAB．∵∠COB＝2∠CAB，∴∠COB＝2∠BAD．∵∠ECD＝2∠BAD，∴∠ECD＝∠COB．∵AB⊥CD，∴∠COB+∠OCH＝90°，∴∠OCH+∠ECD＝90°，∴∠OCE＝90°．∴OC⊥CF．∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線；（2）解：①∵AB＝10，∴OA＝OB＝OC＝5，∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CH＝DH＝CD＝3．∴OH＝＝4，∵OC⊥CF，CH⊥OE，∴△OCH∽△OEC，∴，∴，∴OE＝．∴AE＝OA+OE＝5+＝；②過點F作FG⊥AB，交AB的延長線于點G，如圖，∵∠OCF＝∠FGE＝90°，∠CEO＝∠GEF，∴△OCE∽△FGE．∴，設(shè)FG＝4k，則FE＝5k，∴EG＝＝3k，∵DH⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，∴DH∥FG．∴，∴，解得：k＝．∴FG＝4k＝5．∴△AEF的面積＝×AE?FG＝．41．（2022?隨州）如圖，已知D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，BE與⊙O相切，交CD的延長線于點E，且BE＝DE．（1）判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝4，sinC＝，①求⊙O的半徑；②求BD的長．【分析】（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線；只要證明OD⊥CD即可；（2）①根據(jù)sinC＝，構(gòu)建方程求解即可；②證明△CDA∽△CBD，推出＝＝＝，設(shè)AD＝k，BD＝2k，利用勾股定理求解即可．【解析】（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線；理由：如圖，連接OD．∵EB＝ED，OB＝OD，∴∠EBD＝∠EDB，∠OBD＝∠ODB，∵BE是⊙O的切線，OB是半徑，∴OB⊥BE，∴∠OBE＝90°，∴∠EBD+∠OBD＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）①設(shè)OD＝OA＝r，∵OD⊥CD，∴sinC＝＝，∴＝，∴r＝2，∴⊙O的半徑為2；②在Rt△COD中，CD＝＝＝4，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠ADC+∠ODA＝90°，∴∠ADC＝∠CBD，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CBD，∴＝＝＝，設(shè)AD＝k，BD＝2k，∵AD2+BD2＝AB2，∴（k）2+（2k）2＝42，∴k＝（負(fù)根已經(jīng)舍去），∴BD＝2k＝．42．（2022?邵陽）如圖，已知DC是⊙O的直徑，點B為CD延長線上一點，AB是⊙O的切線，點A為切點，且AB＝AC．（1）求∠ACB的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為3，求圓弧的長．【分析】（1）連接OA，利用切線的性質(zhì)可得∠BAO＝90°，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠B＝∠ACB＝∠OAC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程求解；（2）先求得∠AOC的度數(shù)，然后根據(jù)弧長公式代入求解．【解析】（1）連接OA，∵AB是⊙O的切線，點A為切點，∴∠BAO＝90°，又∵AB＝AC，OA＝OC，∴∠B＝∠ACB＝∠OAC，設(shè)∠ACB＝x°，則在△ABC中，x°+x°+x°+90°＝180°，解得：x＝30，∴∠ACB的度數(shù)為30°；（2）∵∠ACB＝∠OAC＝30°，∴∠AOC＝120°，∴＝2π．43．（2022?新疆）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，AC＝CD，連接AD，延長DB交過點C的切線于點E．（1）求證：∠ABC＝∠CAD；（2）求證：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的長．【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAD＝∠ADC，再利用同弧所對的圓周角相等可得∠ABC＝∠ADC，即可解答；（2）利用切線的性質(zhì)可得∠OCE＝90°，利用圓內(nèi)接四邊形對角互補以及平角定義可得∠CAD＝∠CBE，再利用（1）的結(jié)論可得∠OCB＝∠CBE，然后可證OC∥BE，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠E＝90°，即可解答；（3）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ACB＝90°，從而在Rt△ABC中，利用勾股定理求出BA的長，再根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠CAB＝∠CDB，進而可證△ACB∽△DEC，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出DE的長，最后再利用（2）的結(jié)論可證△ACB∽△CEB，利用相似三角形的性質(zhì)可求出BE的長，進行計算即可解答．【解析】（1）證明：連接OC，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠CAD；（2）證明：∵CE與⊙O相切于點C，∴∠OCE＝90°，∵四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠CAD+∠DBC＝180°，∵∠DBC+∠CBE＝180°，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ABC＝∠CAD，∴∠CBE＝∠ABC，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BE，∴∠E＝180°﹣∠OCE＝90°，∴BE⊥CE；（3）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵∠ACB＝∠E＝90°，∠CAB＝∠CDB，∴△ACB∽△DEC，∴＝，∴＝，∴DE＝，∵∠CBE＝∠ABC，∴△ACB∽△CEB，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴BD＝DE﹣BE＝﹣＝，∴DB的長為．44．（2022?揚州）如圖，AB為⊙O的弦，OC⊥OA交AB于點P，交過點B的直線于點C，且CB＝CP．（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若sinA＝，OA＝8，求CB的長．【分析】（1）連接OB，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠OBA，∠CPB＝∠CBP，結(jié)合對頂角的性質(zhì)得出∠APO＝∠CBP，由垂直的性質(zhì)得出∠A+∠APO＝90°，進而得出∠OBA+∠CBP＝90°，即可得出直線BC與⊙O相切；（2）由sinA＝，設(shè)OP＝x，則AP＝5x，由勾股定理得出方程，解方程求出x的值，進而得出OP＝×＝4，再利用勾股定理得出BC2+82＝（BC+4）2，即可求出CB的長．【解析】（1）直線BC與⊙O相切，理由：如圖，連接OB，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP，∵∠APO＝∠CPB，∴∠APO＝∠CBP，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝90°，∵OB為半徑，∴直線BC與⊙O相切；（2）在Rt△AOP中，sinA＝，∵sinA＝，∴設(shè)OP＝x，則AP＝5x，∵OP2+OA2＝AP2，∴，解得：x＝或﹣（不符合題意，舍去），∴OP＝×＝4，∵∠OBC＝90°，∴BC2+OB2＝OC2，∵CP＝CB，OB＝OA＝8，∴BC2+82＝（BC+4）2，解得：BC＝6，∴CB的長為6．45．（2022?赤峰）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C為⊙O外一點，AC＝BC，連接OC，DF是AC的垂直平分線，交OC于點F，垂足為點E，連接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一，平行線的判定與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；（2）利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到CF＝CD＝6，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求得線段AC，再利用直角三角形的邊角關(guān)系定理在Rt△AOC中，求得cos∠OCA，則結(jié)論可得．【解析】（1）證明：∵AC＝BC，點O為AB的中點，∴CO⊥AB．∵DF是AC的垂直平分線，∴DC＝DA，∴∠DCA＝∠DAC．∵∠DCA＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA．∴DA∥OC，∴DA⊥OA．∵OA是⊙O的半徑，∴AD是⊙O的切線；（2）解：在△CDE和△CFE中，，∴△CDE≌△CFE（ASA），∴CD＝CF＝6，∴CO＝CF+OF＝10．∵DF是AC的垂直平分線，∴CE＝AE＝AC．∵∠CEF＝∠COA＝90°，∠ECF＝∠OCA，∴△CEF∽△COA，∴，∴，∴AC＝2，在Rt△AOC中，∵cos∠OCA＝，∴cos∠DAC＝cos∠OCA＝．46．（2022?齊齊哈爾）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O，AC與⊙O交于點D，BC與⊙O交于點E，過點C作CF∥AB，且CF＝CD，連接BF．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）連接BD，由圓周角定理得出∠ADB＝∠BDC＝90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC＝∠ACB，由平行線的性質(zhì)得出∠ABC＝∠FCB，進而得出∠ACB＝∠FCB，得出△DCB≌△FCB，得出∠F＝∠CDB＝90°，由平行線的性質(zhì)得出∠ABF+∠F＝180°，繼而得出AB⊥BF，即可證明BF是⊙O的切線；（2）連接BD、OE交于點M，連接AE，由圓周角定理得出AE⊥BC，AD⊥BD，由∠BAC＝45°，AD＝4，得出△ABD是等腰直角三角形，BD＝AD＝4，AB＝4，進而得出OA＝OB＝2，由三角形中位線的性質(zhì)得出OE∥AD，繼而得出∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，求出BM＝2，利用S陰影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入計算，即可得出答案．【解析】（1）證明：如圖1，連接BD，∵AB是直徑，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵AB∥CF，∴∠ABC＝∠FCB，∴∠ACB＝∠FCB，在△DCB和△FCB中，，∴△DCB≌△FCB（SAS），∴∠F＝∠CDB＝90°，∵AB∥CF，∴∠ABF+∠F＝180°，∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，∵AB為直徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：如圖2，連接BD、OE交于點M，連接AE，∵AB是直徑，∴AE⊥BC，AD⊥BD，∵∠BAC＝45°，AD＝4，∴△ABD是等腰直角三角形，∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，∴OA＝OB＝2，∴OE是△ADB的中位線，∴OE∥AD，∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，∴BM＝BD＝×4＝2，∴S陰影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE＝﹣××2＝．47．（2022?玉林）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D都是⊙O上的點，AD平分∠CAB，過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F．（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．【分析】（1）連接OD，由題可知，D已經(jīng)是圓上一點，欲證EF為切線，只需證明∠ODF＝90°即可；（2）連接BC，根據(jù)勾股定理求出BC，進而根據(jù)三角形的中位線定理可得OH的長，從而得DH的長，由等角的正切可得結(jié)論．【解析】（1）證明：如圖1，連接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠EAD．∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD．∴∠ODA＝∠EAD．∴OD∥AE．∵∠ODF＝∠AEF＝90°且D在⊙O上，∴EF是⊙O的切線；（2）連接BC，交OD于H，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴BC∥EF，∴∠OHB＝∠ODF＝90°，∴OD⊥BC，∴CH＝BC＝4，∵CH＝BH，OA＝OB，∴OH＝AC＝3，∴DH＝5﹣3＝2，∵∠E＝∠HCE＝∠EDH＝90°，∴四邊形ECHD是矩形，∴ED＝CH＝4，CE＝DH＝2