第2講：集合的表示5種題型總結(jié)

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：集合的表示方法

①列舉法

把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào){}括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法.例

如{α,>,c},{1,2,3}等。

②描述法

一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(X)的元素X所組成的集合表示

為{xeR∣p(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.例如{Λ∣X>1},{四大名著}等。

③Venn圖

用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖.

【題型目錄】

題型一：用列舉法表示集合

題型二：用描述法表示集合

題型三：集合中元素個(gè)數(shù)

題型四：根據(jù)元素個(gè)數(shù)求參

題型五：集合新定義試題

【典型例題】

題型一：用列舉法表示集合

[例1](2022.全國(guó).高一專題練習(xí))集合{xeN∣x-4<l}用列舉法表示為()

A.{0,l,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{θ,l,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的描述法得到集合的列舉法.

【詳解】

'：x-4<i,

/.%<5.

XxeN,

Λ{x∈7V∣x-4<l}={0,l,2,3,4).

故選：A

【例2】(2021.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))集合A=3y=f-l,W≤2,xeZ}可用列舉法表示為

，集合B={(x,y)Iy=X2-1,W≤2,X∈Z}可用列舉法表示為.

【答案】{-l,0,3}{(-2,3),(-1,0),(0-1),(1,0),(2,3))

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的描述法可得A中的代表元素為y,再結(jié)合滿足條件即得，8中代表元素為(χ,y)結(jié)

合滿足的條件即得.

【詳解】

由y=f-l,W≤2,xeZ,知X可取的值為0,±1,±2,

當(dāng)X=O時(shí)，J=-I,當(dāng)x=±l時(shí)，y=0,當(dāng)X=±2時(shí)，y=3,

所以集合A={T0,3};

由題知集合8表示點(diǎn)集，

所以8={(-2,3),(To),(0,T),(l,0),(2,3)}.

故答案為：{-l,0,3},{(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3)).

【例3］用列舉法表示下列給定的集合：

(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；

(2)小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合6；

(3)方程√-2x-3=0的實(shí)數(shù)根組成的集合C；

(4)方程組4J的解集￡>.

X-y=2

解：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)有0,2,4,6,8,10,

所以4={0,2,4,6,8,10}.

(2)小于8的質(zhì)數(shù)有2,3,5,7,

所以8={2,3,5,7}.

(3)方程x2-2x—3=0的實(shí)數(shù)根為一1,3,

所以C={-l,3}?

x+y—4,x—3,

(4)方程組?的解為

所以方程組的解集D={(3,l)}.

【題型專練】

1.(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))用列舉法表示集合：{(x,y)∣x+y=4,x∈N,y∈N}為

【答案】{(0,4),(l,3),(20,(3,1),(4,0)}

【解析】

【分析】

因?yàn)閄,y∈N^χ+y=4,所以X只能是0,1,2,3,4；N只能是4,3,2,1,0.用列

舉法寫(xiě)出即可.

【詳解】

由題知：

{(x,y)∣x+y=4,x∈N,y∈N!=∣(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)!

故答案為：{(0,4),(l,3b(2,2),(3,l),(4,0)}.

A-f?+y=lJ

2?(2022?全國(guó)?高一專題練習(xí))方程組■的解集是()

[x-y=3

A.{2,-l}B.{x=2,y=-l)}

C.{(x,y)∣(2,-l)}D.{(2,-l)}

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出方程組的解，然后利用列舉法表示集合即可.

【詳解】

JX+y=ι乍卜=2

[x-y=3[y=-]

即方程組構(gòu)成的集合為{(2,T)}.

故選：D.

3.(2021?浙江?玉環(huán)中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)集合A={(x,y)∣x+y=3,xeN*,yeN*},則用列舉法

表示集合A為.

【答案】{(1,2),(2,1)}

【解析】

【分析】

fx>0

根據(jù)題意可得CC，則0<x<3,對(duì)x=l,2代入檢驗(yàn)，注意集合的元素為坐標(biāo).

[y=3-X>0

【詳解】

.*fx>0

0x+j=3,x∈N,γ∈N,則可得〈C八，則0<x<3

[γ=3-X>0

又l3χ∈N*,則當(dāng)X=Ly=2成立,當(dāng)％=2,y=l成立,

0A={(1,2),(2,1)}

故答案為：｛(1,2),(2,1)｝.

4.用列舉法表示下列集合：

(1)方程f=2x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(2)直線y=2x+l與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；

(3)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.

解：⑴方程f=2r的解是X=O或x=2,所以方程的解組成的集合為｛0,2｝.

(2)將X=O代入y=2x+l,得y=l,即交點(diǎn)是(OJ),故交點(diǎn)組成的集合是｛(0,l)｝.

⑶正整數(shù)有1,2,3,…，所求集合為(1,2,3,…｝.

5.下列命題中正確的()

①O與｛0｝表示同一個(gè)集合；

②由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,2,1｝；

③方程(Λ-1)2(Λ-2)=O的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝；

④集合｛x14<X<5｝可以用列舉法表示.

A.只有①和④B.只有②和③

C.只有②D.以上語(yǔ)句都不對(duì)

【答案】C

【詳解】

①｛0｝表示元素為O的集合，而。只表示一個(gè)元素，故①錯(cuò)誤；

②符合集合中元素的無(wú)序性，正確；

③不符合集合中元素的互異性，錯(cuò)誤；

④中元素有無(wú)窮多個(gè)，不能一一列舉，故不能用列舉法表示.

故選：C.

題型二：用描述法表示集合

【例U用描述法表示下列集合：

(1)不等式2x-3<1的解組成的集合A；

(2)被3除余2的正整數(shù)的集合B；

⑶C=｛2,4,6,8,10｝；

(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合O.

解：(1)不等式2x—3<1的解組成的集合為A,則集合A中的元素是數(shù)，設(shè)代表元素為X,則

X滿足2χ-3<l,則A=｛x∣2r—3<1｝,即A=｛x∣x<2｝.

(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為X,則x=3"+2,"∈Z.但元素為正整數(shù)，故x=3"+2,"∈N.所以

被3除余2的正整數(shù)的集合8=｛Rx=3"+2,n∈N｝.

(3)設(shè)偶數(shù)為X,則x=2〃，"∈Z.但元素是2,4,6,8,10,所以x=2〃，n<5,"∈N*.所以C=｛x∣x

=2n,n<5,"∈N*}.

(4)平面直角坐標(biāo)系中第二象限內(nèi)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為負(fù)，縱坐標(biāo)為正，即x<0,y>0,故第二象

限內(nèi)的點(diǎn)的集合為Q={(x,y)∣x<0,y>0).

【例2】(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)所有正奇數(shù)組成的集合是.

【答案】?=2k+l,keN}

【解析】

【分析】

直接根據(jù)正奇數(shù)的定義得到集合.

【詳解】

所有正奇數(shù)組成的集合是{H"=2k+l,keN}.

故答案為：{〃|〃=2A+l,&wN}.

【題型專練】

1.用描述法表示下列集合：

(1)比1大又比10小的實(shí)數(shù)組成的集合；

(2)不等式3x+4N2x的所有解；

(3)到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的集合.

解：(1)可以表示成{x∈R∣lα<10}.

(2)可以表示成{x∣3x+4≥2r},即{x∣x>-4}.

(3)可以表示成{(x,y)∣x±y=O}.

2?(2021?全國(guó)?高一單元測(cè)試)所有正偶數(shù)組成的集合是.

【答案】{“〃=2Z,左GN*}

【解析】

【分析】

直接根據(jù)正偶數(shù)的定義得到集合.

【詳解】

所有正偶數(shù)組成的集合是{4〃=2匕攵∈N*}.

故答案為：{^n=2k,keN*}.

3.(2022?江蘇?高一專題練習(xí))集合{1,3,5,7,9}用描述法可表示為()

A.卜卜是不大于9的非負(fù)奇數(shù)}B.{x∣x=2Z+l,ZwN,且％≤4}

C.∣x∣.r≤9,x∈N'^D,{x∣0≤x≤9,xwZ}

【答案】AB

【解析】

【分析】

利用描述法的定義逐一判斷即可.

【詳解】

對(duì)A,卜卜是不大于9的非負(fù)奇數(shù)}表示的集合是{1,3,5,7,9},故A正確；

對(duì)B,{小=2斤+1,匹%,且心4}表示的集合是{1,3,5,7,9},故B正確；

對(duì)C,{xk≤9,x€N*}表示的集合是{l,2,3,4,5,6,7,8,9},故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,卜|（^^59?《2}表示的集合是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

4.（2022?全國(guó)?高一）用描述法表示被4除余3的自然數(shù)全體組成的集合A=.

【答案】{〃舊=4Z+3,%∈N}

【解析】

【分析】

用數(shù)學(xué)式子表示出自然語(yǔ)言即可.

【詳解】

被4除余3的自然數(shù)即為4的整數(shù)倍加3,

因此A={〃∣"=4左+3,Z∈N）.

故答案為：{"I"=4%+3∕GN}.

5.（2022?全國(guó)?高一專題練習(xí)）集合M={（x,y）故>0,x+y<0,x∈R,yeR}是（）

A.第一象限的點(diǎn)集B.第二象限的點(diǎn)集

C.第三象限的點(diǎn)集D.第四象限的點(diǎn)集

【答案】C

【解析】

【分析】

利用不等式的性質(zhì)可得X<0,y<0,進(jìn)而判斷出集合的意義.

【詳解】

由xy>0,x+γ<0<≡>x<0,y<0,

故集合M={（χ,y）∣沖>0,*+^<066尺八心是第三象限的點(diǎn)集.

故選：c.

題型三：集合中元素個(gè)數(shù)

【例1】設(shè)集合A={l，2,3},3={4,5},C={x+y|x€A,y€3},則C中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】

x∈AyeB時(shí),x+y的值依次為5,6,6,7,7,8,有4個(gè)不同值，即C={5,6,7,8},因此

C中有4個(gè)元素.

故選：B.

【例2】(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合A={(x,),)∣Y+y2≤3,xeZ,yeZ},則A中元

素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.8C.5D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)χ,y為整數(shù)，分析所有可能的情況求解即可

【詳解】

當(dāng)X=T時(shí)，y2<2,得y=T,0,l,

當(dāng)X=O時(shí)，j2≤3,得y=-l,O,l

當(dāng)X=I時(shí)，y2≤2,得y=-l,0,l

即集合4中元素有9個(gè)，

故選：A.

【例3】(2022.全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知集合A={l,2,3},B={(x,y)∣x∈AyeA∣x-ykA}中

所含元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意利用列舉法寫(xiě)出集合B,即可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)锳={l,2,3},

所以8={(2,1),(3,1),(3,2),(1,2),(1,3),(2,3)},B中含6個(gè)元素.

故選：C.

【題型專練】

1.(2022.湖南衡陽(yáng).高二期末)已知集合A={1,2,3},則集合8={∣x-MXeAyeA}中元素

的個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

討論χ,y取相同數(shù)和不同數(shù)時(shí)，∣χ-)，|的取值即可得出答案.

【詳解】

當(dāng)％y取相同數(shù)時(shí)，χ-y=θ;當(dāng)χ,y取不同數(shù)時(shí)，∣χ-乂的取值可能為1或2,

故B中共有3個(gè)元素.

故選:B.

2.(2022?陜西?交大附中模擬(理))已知N*表示正整數(shù)集合，若集合

A={(x,γ)∣x2+∕≤21,x∈N?y∈N*},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.16B.15C.14D.13

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)集合描述的幾何意義，列舉出第一象限內(nèi)符合要求的點(diǎn)坐標(biāo)，即可知元素的個(gè)數(shù).

【詳解】

由題設(shè)A={(x,y)∣0≤"f+y2≤√^i,χwN*,yeN*},又JΣTw(4,5),

由“2+42=夜>揚(yáng)'，貝∣J(4,4)任A,

由“2+32=4>國(guó)，則(4,3),(3,4)任A，

由"2+2?=回〈國(guó)，則(4,2),(2,4)eA，

同理，(4,1),(1,4),(3,3),(3,2),(2,3),(3,1),(1,3),(2,2),(2,1),(2,1),(1,1)均屬于集合A,

所以第一象限中有13個(gè)點(diǎn)屬于集合4

故選：D

3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知集合A={1,2},B={2,4},C={z∣z=x'?∈Ay∈β},

則C中元素的個(gè)數(shù)為()

A.?B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意寫(xiě)出集合C的兀素，可得答案.

【詳解】

由題意，"jx=l時(shí)，z=xy=1>'?X=2,y=2時(shí)，Z=XV=4,

當(dāng)x=2,y=4時(shí)，Z=X>'=16,

即C中有三個(gè)元素，

故選：C

4.(2022?云南師大附中高三階段練習(xí)(理))已知集合A={0,1,2},

8={(x,y)∣xeAywA,x+yeA,x-yeA},則集合B中元素的個(gè)數(shù)是()

A.1B.4C.3D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)所給定義求出集合8,即可判斷；

【詳解】

解：因?yàn)锳={0,l,2},B={(x,y)∣x∈Ay∈A,x+y∈A,x-y∈A∣,所以

B={(0,0),(1,0),(2,0),(1,1)},即集合8中的元素有(0,0),(1,0),(2,0),(1,1)共4個(gè)，

故選:B.

5.已知集合A={1,2},6={2,4},則集合用=卜|2=十、％￡44€8}中元素的個(gè)數(shù)為

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【詳解】

因?yàn)榧螦={1,2},β={2,4}.

所以集合M={2,4,8},

故選：C

6.設(shè)集合4={(乂刈兇+卜歸1/€乙”2},則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【詳解】

因?yàn)閤cZ,所以當(dāng)X=On寸，由k∣+IylWLyeZ可得：y=0,±ls

當(dāng)X=I時(shí)，由∣x∣+∣y∣≤l,y∈Z可得：y=0；

當(dāng)X=-I時(shí)，由國(guó)+∣y∣≤l,y∈Z可得：y=0,

當(dāng)x∈Z,兇＞1時(shí)，由W+3≤l,y∈Z可知：不存在整數(shù)y使該不等式成立，

所以A={(0,0),(0,1),(0,-1),(1,0),(—1,0)},

因此A中元素的個(gè)數(shù)為5.

故選：C

題型四：根據(jù)元素個(gè)數(shù)求參

【例1】已知集合A={x∣0r2+2χ+l=0,αeR}只有一個(gè)元素，則”的取值集合為()

A.{1}B.{0}C.{O,-l,l}D.{0,1}

【答案】D

【詳解】

解：①當(dāng)α=0時(shí)，A={—；},此時(shí)滿足條件；

②當(dāng)α≠0時(shí)，A中只有?個(gè)元素的話，A=4-4α=0,解得α=l,

綜上，4的取值集合為{0,1}?

故選：D.

【例2】(2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))已知集合A={x∣αχ2-3χ+l=0,β∈R),若集合A中至

多只有一個(gè)元素，則”的取值范圍是.

9

【答案】{0}“:，+∞).

4

【解析】

【分析】

分類討論方程解的個(gè)數(shù)，從而確定a的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)α=0時(shí)，方程可化為-3x+[=0,

解得x=g,故成立；

當(dāng)存0時(shí)，A=9-4〃&0,

9

解得

4

Q

綜上所述，〃的取值范圍是{0}U[7，+∞).

4

9

故答案為：{()}U[[÷∞).

4

【例3】已知集合A=EaX2+2x+l=0,α∈7?}.

(I)若A中只有一個(gè)元素，求。的值;

（2）若A中至少有一個(gè)元素，求。的取值范圍；

（3）若A中至多有一個(gè)元素，求。的取值范圍.

【答案】（1）α=0或。=1；（2）a≤?;（3）α=0或α≥l.

【詳解】

解：（1）若A中只有一個(gè)元素，

則當(dāng)α=0時(shí)，原方程變?yōu)?x+l=0,此時(shí)X=-1符合題意，

2

當(dāng)αHθ時(shí)，方程ar?+2χ+ι=0為二元一?次方程，A=4-4α=0,即α=l,

故當(dāng)α=0或。=1時(shí)，原方程只有一個(gè)解；

（2）A中至少有一個(gè)元素，

即A中有一個(gè)或兩個(gè)元素，

由△>（）得α<l綜合（1）當(dāng)α≤l時(shí)A中至少有一個(gè)元素；

（3）A中至多有一個(gè)元素，

即A中有一個(gè)或沒(méi)有元素

當(dāng)A=4-4a<0,

即a>l時(shí)原方程無(wú)實(shí)數(shù)解，

結(jié)合（1）知當(dāng)α=0或α≥l時(shí)A中至多有個(gè)元素.

【題型專練】

1.己知集合A={x∣fl√-3χ+ι=o}中有且只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)。的取值集合是（）

Q1Q

A.{0Λ}B.{Q,-}C.{0}D.{-}

434

【答案】A

【詳解】

當(dāng)α=0時(shí)，4={x∣ox?—3χ+l=θ}={χ∣—3x+1=0}={1},符合題意：

當(dāng)ɑoθ時(shí)，若集合A=W-3χ+ι=o}中有且只有一個(gè)元素，

9

則A=9-44=0,解得α=一；

4

9

所以實(shí)數(shù)。的取值集合是{（）,一}.

故選：A.

aba24-b

2.式子j∑f+j?i+p∣+pΞJ[的所有可能取值組成的集合為.

【答案】{2,0}

【詳解】

因?yàn)镴工，

所以6<0,

aba2y∕-b

"必>0時(shí)'H+r∏+R'

Clbal4-b八

當(dāng)時(shí)，H+rH+R

aba2y∕-b.,

所以式子同+回+川+/[的所有可能取值組成的集合為{2,0}.

故答案為：{2,0}

3.(2022?寧夏?銀川一中高二期中(文))已知集合A=1辰2-3χ+2=0,XeR,aeR}.

(1)若A是空集，求〃的取值范圍；

(2)若A中只有一個(gè)元素，求“的值，并求集合A；

(3)若A中至少有一個(gè)元素，求”的取值范圍.

【答案】⑴(2]

⑵當(dāng)α=0時(shí)集合A={∣},當(dāng)α=?∣時(shí)集合A={g}；

⑶V

【解析】

【分析】

f?<0

(1)利用A是空集，則{C即可求出。的取值范圍；

[α≠0

(2)對(duì)4分情況討論，分別求出符合題意的。的值，及集合A即可；

(3)分A中只有一個(gè)元素和有2個(gè)元素兩種情況討論，分別求出參數(shù)的取值范圍，即可得

解.

(1)

解：A是空集，

.?.6Z≠0MJ<0,

9—8α<O解得。>亮9，

a≠OO

,α的取值范圍為：仔+8卜

(2)

解：①當(dāng)α=0時(shí)，集合A={x∣-3x+2=0}={∣},

②當(dāng)"0時(shí)，??θ,

.?.9-8a=O,解得α=?∣,此時(shí)集合力={。}，

綜上所求，當(dāng)α=0時(shí)集合A={g},當(dāng)α=?∣時(shí)集合A={g}；

(3)

9

解：A中至少有一個(gè)元素，則當(dāng)A中只有一個(gè)元素時(shí)，α=0或。=不；

O

[9-8tz>09

當(dāng)A中有2個(gè)兀素時(shí)，則〃HO且△>(),BIH,解得α<g且。工0；

[α≠08

9(9-

綜上可得〃≤J時(shí)A中至少有一個(gè)元素，即〃￡一%三

Okɑ-

題型五：集合新定義試題

【例1】設(shè)P是一個(gè)數(shù)集，且至少含有兩個(gè)元素.若對(duì)任意的。都有

。+“。一》,。。,@62(除數(shù)人式0),則稱P是一個(gè)數(shù)域，例如有理數(shù)集。是一個(gè)數(shù)域，有

b

下列說(shuō)法正確的是()

A.數(shù)域必含有0,1兩個(gè)數(shù)；

B.整數(shù)集是數(shù)域；

C.若有理數(shù)集QcM,則數(shù)集M必為數(shù)域；

D.數(shù)域必為無(wú)限集.

【答案】AD

【詳解】

m

數(shù)集P有兩個(gè)元素m,N,則一定有m—m=0,—=1(設(shè)m，0),A正確；

m

因?yàn)?∈Z,2∈Z,-iZ,所以整數(shù)集不是數(shù)域，B不正確；

2

令數(shù)集M=QD{J5},則IGM,但1+J5定M,所以C不正確；

數(shù)域中有1，一定有1+1=2,1+2=3,遞推下去，可知數(shù)域必為無(wú)限集，D正確.

故選：AD

【例2】給定集合A，若對(duì)于任意。、b&A,^a+b≡A,且a—bwA,則稱集合A為

閉集合，給出如下三個(gè)結(jié)論：

①集合A={-4,-2,0,2,4}為閉集合；

②集合A={n?n=3k,k≡Z}為閉集合；

③若集合4、A2為閉集合，則AA2為閉集合.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【詳解】

對(duì)于命題①，取α=2,b=Y,則α—人=6史A,則集合A={T,-2,0,2,4}不是閉集合，

①錯(cuò)誤；

e、

對(duì)于命題②，任?。ァⅰ〢,則存在Kk2≡Z,使得n1=3尢，4=3%2，

且ki-k2≡Z,所以，ni+n2=3(?1+?2)∈A,nx-n2=3(Λ∣-k2)≡A,

所以，集合A={“∣"=3左,左eZ}為閉集合，②正確；

對(duì)于命題③，若集合4、4為閉集合，取4=刨〃=3%,火∈Z},A2={∕∕φ”=2fj∈Z},

則4DA,=^x?x=3>k或X=2左,左∈Z},

取3∈A],2∈4,則3+2=59(AD4),3-2=1)(A,

所以，集合AUA2不是閉集合，③錯(cuò)誤.

因此，正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為1.

故選：B.

【題型專練】

1.己知集合A中的元素均為整數(shù)，對(duì)于后wA,如果A—1定A且左+IwA,那么稱左是A的

一個(gè)“孤立元”.給定集合S={1,2,3,4,