2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課時(shí)過關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1拋物線2y=3x2的準(zhǔn)線方程為()A.y=16 B.y=C.y=12 D.y=解析:∵拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=23y∴準(zhǔn)線方程為y=16答案:A2以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn),且與x軸垂直的弦)長(zhǎng)為8,若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),則其方程為()A.y2=8x B.y2=8xC.y2=8x或y2=8x D.x2=8y或x2=8y解析:∵拋物線的通徑為2p=8,且以x軸為對(duì)稱軸,∴其方程為y2=8x或y2=8x.答案:C3頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸,并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.x2=±3y B.y2=±6xC.x2=±12y D.x2=±6y答案:C4如圖,已知點(diǎn)Q(22,0)及拋物線y=x24上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則y+|PQ|的最小值是(A.2 B.3C.4 D.22解析:如圖所示,過點(diǎn)P作PM垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M,則由拋物線的定義可知y+|PQ|=|PM|1+|PQ|=|PF|+|PQ|1,當(dāng)且僅當(dāng)P,F,Q三點(diǎn)共線時(shí),|PF|+|PQ|最小,由F(0,1),Q(22,0),得最小值為|QF|=(22-故y+|PQ|的最小值為31=2.答案:A5過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)作一條直線,交拋物線于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2x1A.4 B.4 C.p2 D.p2解析:(方法一)特例法:當(dāng)直線垂直于x軸時(shí),Ap2,p,Bp(方法二)由焦點(diǎn)弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立可得y1y2=p2,則y1y2答案:B6已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱,它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O,并且經(jīng)過點(diǎn)M(2,y0).若點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為3,則|OM|=()A.22 B.23 C.4 D.25解析:由拋物線定義,知p2+2=3,即p=2,拋物線方程為y2=4x.因?yàn)辄c(diǎn)M(2,y0)在拋物線上,所以y0=±22,故|OM|=4+y02答案:B7設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過點(diǎn)F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為()A.y=x1或y=x+1B.y=33(x1)或y=33(C.y=3(x1)或y=3(x1)D.y=22(x1)或y=22(答案:C8過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),若|AB|=7,則AB的中點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為.

解析:拋物線的焦點(diǎn)為(1,0),準(zhǔn)線方程為x=1,p=2.由拋物線的定義,知|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2故x1+x2=5.于是弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為52因此點(diǎn)M到拋物線準(zhǔn)線的距離為52+1=7答案:79若雙曲線x23-16y2p2=1(p>0)的左焦點(diǎn)在拋物線y2=2px答案:410求拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線xy2=0的最短距離.解:設(shè)拋物線y=x2上一點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:xy2=0的距離為d,則d=|=12當(dāng)x0=12時(shí),dmin=711過點(diǎn)(3,2)的直線與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn),求此直線方程.解:因?yàn)楫?dāng)k不存在時(shí),直線方程為x=3與拋物線無交點(diǎn),所以直線斜率k存在,設(shè)直線方程為y2=k(x+3),由y-2=k(ky24y+8+12k=0.①(1)當(dāng)k=0時(shí),方程①化為4y+8=0,即y=2,此時(shí)過點(diǎn)(3,2)的直線方程為y=2,滿足條件.(2)當(dāng)k≠0時(shí),方程①應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)根,所以k解得k=13或k=1則直線方程為y2=13(x+3)或y2=(x+即x3y+9=0或x+y+1=0.由(1)(2)可知所求直線有三條,其方程分別為y=2或x3y+9=0或x+y+1=0.能力提升1已知直線y=kxk及拋物線y2=2px(p>0),則()A.直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)B.直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)C.直線與拋物線有一個(gè)或兩個(gè)公共點(diǎn)D.直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)解析:∵直線y=kxk=k(x1),∴直線過點(diǎn)(1,0).又∵點(diǎn)(1,0)在拋物線y2=2px的內(nèi)部,∴當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)k≠0時(shí),直線與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn).答案:C2直線4kx4yk=0與拋物線y2=x交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則弦AB的中點(diǎn)到直線x+12=0的距離等于()A.74 B.2 C.94 D解析:直線4kx4yk=0,即y=kx-14,即直線4kx4yk=0過拋物線y2=x設(shè)A(x1,y2),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+12=4,即x1+x2=7則弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是74,故弦AB的中點(diǎn)到直線x+12=0的距離是答案:C3已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在C上,且|AK|=2|AF|,則△AFK的面積為()A.4 B.8 C.16 D.32解析:∵拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),準(zhǔn)線為x=2,∴K(2,0).設(shè)A(x0,y0),如圖所示,過點(diǎn)A向準(zhǔn)線作垂線,垂足為B,則B(2,y0).∵|AK|=2|AF|,且|AF|=|AB|=x0(2)=x0+2,∴由|BK|2=|AK|2|AB|2,得y02=(x0+2)即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,∴y0=±4.∴△AFK的面積為12|KF|·|y0|=12×4×4=答案:B4過拋物線y=14x2的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的兩條切線,若切點(diǎn)分別為M,N,則直線MN過定點(diǎn)()A.(1,0) B.(0,1) C.(1,0) D.(0,1)解析:y=14x2可化為x2=4y,則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=1.取準(zhǔn)線上的特殊點(diǎn)(0,1),并設(shè)過點(diǎn)(0,1)與拋物線相切的切線方程為y+1=kx,代入到x2=4y中并消去y,得x24kx+4=0.令Δ=(4k)216=0,則k=±1.求得M,N的坐標(biāo)分別為(2,1),(2,1).結(jié)合選項(xiàng)可知直線MN必過點(diǎn)(0,1)答案:D5若拋物線過點(diǎn)(1,2),則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解析:當(dāng)焦點(diǎn)在x軸正半軸時(shí),設(shè)其方程為y2=2p1x(p1>0),則4=2p1,即p1=2,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸正半軸時(shí),設(shè)其方程為x2=2p2y(p2>0),則1=4p2,即p2=14故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y答案:y2=4x或x2=126設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,則點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為.

解析:如圖所示,由已知可得點(diǎn)Bp4,1在拋物線y2=2即1=2p·p4,故p=2故B24,1,準(zhǔn)線為因此,點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為32答案:37拋物線y=x2上的點(diǎn)到直線4x+3y8=0的距離的最小值是.

解析:設(shè)P(x,x2)為拋物線上任一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線4x+3y8=0的距離d=|4x+3(-x2)-8|=15故當(dāng)x=23時(shí),d取最小值,為1答案:48過點(diǎn)A(2,4)作傾斜角為π4的直線,交拋物線y2=2px(p>0)于M,N兩點(diǎn),且|AM|,|MN|,|AN|成等比數(shù)列,求拋物線的方程.解:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則由題意知MN的方程為y=x2.由y=x-2,y2=2px,消去故y1+y2=2p,y1y2=4p.又根據(jù)|AM|·|AN|=|MN|2,可得(y1+4)(y2+4)=(y1y2)2,即5y1y2+4(y1+y2)+16=(y1+y2)2,即p2+3p4=0,解得p=1或p=4(舍去).故所求拋物線的方程為y2=2x.9已知拋物線y2=x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點(diǎn).(1)求證:OA⊥OB.(2)當(dāng)△OAB的面積等于10時(shí),求k的值.(1)證明如圖所示,由y消去x得,ky2+yk=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=1,y1+y2=1k因?yàn)锳,B在拋物線y2=x上,所以y12=x1,y22所以y12·y2因?yàn)閗OA·kOB=y1x所以O(shè)A⊥OB.(2)解:設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)N,顯然k≠0.令y=0,得x=1,即N(1,0).因?yàn)镾△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON||y1|+12|ON||y=12|ON|·|y1y2|所以S△OAB=12·1·=12因?yàn)镾△OAB=10,所以10=121k2★10已知A,B是拋物線x2=2py(p>0)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),非零向量OA,OB滿足|OA+OB|=|(1)求證:直線AB經(jīng)過一定點(diǎn);(2)當(dāng)線段AB的中點(diǎn)到直線y2x=0的距離的最小值為255時(shí),求p(1)證明∵|OA+OB|=|OA∴OA⊥OB.設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x12=2py1,x22=經(jīng)過AB兩點(diǎn)的直線方程(x2x1)(yy1)=(y2y1)(xx1),由y1=x122p,y2=x222p,得(x2x1)(yy1)∵x1≠x2,∴yy1=x2+x12p令x=0得yy1=x1+x2∴y=x1x2∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0.∴x1x2+x12x∵x1x2≠0(否則OA,OB