北京市海淀區(qū)、石景山區(qū)高考數(shù)學(xué)三年(2021-2023)模擬題

知識(shí)點(diǎn)分類匯編-集合與常用邏輯用語

一、單選題

1.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)已知等比數(shù)列{q,}的公比為q且4≠1,記

?；=-(〃=1,2,3,...)、則“q>0且g>i”是“{Z,}為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)已知集合A={x∣l<x<3},3={0,l,2},則AB=()

A.{2}B.{0,l}C.{L2}D.(0,1,2)

3.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)設(shè)x>0,y>0,則“x+y=2"是"孫≤1”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)已知集合A={x∣-2≤x≤2},B={x∣x2+x-2≤0),則

AuB=()

A.[-2,2]B.[-2,1]C.[0,1]D.[0,2]

5.(2022.北京石景山.統(tǒng)考一模)設(shè)全集U={xeR∣x≥l},集合A={xe∕Γ∣x2≥3},

則①A=()

A.[1詢B.[1,√3]

C.(G,+8)D.[G,+8)

6.(2022?北京石景山?統(tǒng)考一模)“加<4”是“2/一〃a+1>0在xe(l,4w)上恒成立”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.(2022?北京海淀?統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,則""x)是R上的增函數(shù)”

是“任意4>0,y=f(x+q)-f(X)無零點(diǎn)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.（2022?北京海淀?統(tǒng)考二模）已知集合A={x∣x（0或力1},則AtA=（）

A.{x∣0vx<l}B.{x∣0≤x<l}

C.1x∣0<x≤l∣D.{x∣0≤x≤l}

9.（2022?北京海淀?統(tǒng)考一模）在JIBC中，A=%則“sinB<也”是“一AeC是鈍角三

42

角形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.（2022?北京海淀?統(tǒng)考一模）已知集合A={x|—l≤x≤2},B={ψ>θ},則AuB=

（）

A.{x∣x42}B.{x∣x>-l}C.{x∣x>-l}D.{x∣x>θ}

11.（2021?北京海淀.統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合A={2,3,4},B={x∣∕>4},則集合AB=

（）

A.{3,4}B.{2,3,4}C.{-2,-1,0,1,2}D.（-2,2）

12.（2021?北京海淀?統(tǒng)考模擬預(yù)測）正方形A8CO,如圖所示，邊長為2,E為正方形

ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接4E,將AE繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90,到達(dá)A尸,連接EF,BE.M∣J

忸4=j而是四邊形43瓦?是平行四邊形的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

13.（2021?北京海淀?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若全集U=R,A={x∣x<l},B={x∣x>-l）,則（）

A.AcBB.BaAC.BcdilAD.gAaB

22

14.（2021?北京海淀?統(tǒng)考模擬預(yù)測）"=5”是“雙曲線C：三+上=1的虛軸長為2”

m4一"/

的（）

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

試卷第2頁，共4頁

15.（2021?北京海淀?統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)α,尸,“a+汽=2br,%eZ”是

“sin（a+/?）=Sina+sin∕?”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

16.（2021.北京海淀.統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)A（XI,引，B（X2,X;）,則“_43C是等

邊三角形''是"直線AB的斜率為0”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

17.（2021?北京海淀.統(tǒng)考一模）已知集合A={l},B={x∣x≥a},若AUB=8,則實(shí)數(shù)。

的取值范圍是（）

A.（→Λ,1）B.（→o,]JC.（l,+∞）D.[l,+∞）

18.（2021?北京海淀?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在ΔABC中，"cosA<cosB''是"sinA>sin3”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

19.（2021.北京石景山.統(tǒng)考一模）“直線加垂直平面a內(nèi)的無數(shù)條直線”是“加_Le”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必安條件

20.（2021?北京石景山?統(tǒng)考一模）已知集合A={l,3,5},B={x∣d一"4},則AB=

（）

A.{∣,3}B.{3,5）C.{1,3,5}D.（0,4）

二、填空題

21.（2022?北京石景山?統(tǒng)考一模）已知非空集合4,8滿足：AB=R,ACB=0,函

數(shù)"x）=L：6N對(duì)于下列結(jié)論：

[3x-2,xeB

①不存在非空集合對(duì)（A8）,使得“X）為偶函數(shù)；

②存在唯一非空集合對(duì)（A可，使得/（X）為奇函數(shù)；

③存在無窮多非空集合對(duì)（AB）,使得方程/（x）=0無解.

其中正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題

22.(2021?北京海淀?統(tǒng)考二模)已知有限集X,匕定義集合X-V={x∣χeX,且X史丫},

∣X∣表示集合X中的元素個(gè)數(shù).

(1)若X={l,2,3,4},y={3,4,5},求集合XT和"X,以及∣(X-丫)5"X)∣的值；

(2)給定正整數(shù)〃，集合S={l,2,,n},對(duì)于實(shí)數(shù)集的非空有限子集A,B,定義集合

C={x?x=a+b,aEA,b≡B}

①求證：∣A-s∣+忸-S∣+∣S-C∣≥1;

②求I(A-S)U(S-A)I+∣(B-S)U(S-B)I+∣(C-SMS-C)I的最小值.

23.(2021?北京石景山?統(tǒng)考一模)由機(jī)個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集"=也,%,%??4}(其

中q<∕<的<…<%)，記PW)=q+/+???+4,特別規(guī)定尸(0)=0,若集合M滿

足：對(duì)任意的正整數(shù)％≤P(M),都存在集合"的兩個(gè)子集A8,使得Z=P(A)-P(B)

成立，則稱集合例為'‘滿集”.

(1)分別判斷集合M={1,2}與%={2,3}是否為“滿集”,請(qǐng)說明理由;

(2)若集合M為“滿集”，求4的值；

(3)若4，%,%，一，4”是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，判斷集合”是否為“滿集”，

并說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】由等比數(shù)列及己知，要｛1,｝為遞增數(shù)列只需qg"T>l在〃≥2上恒成立，討論4<0、

0<4<1、q>l,結(jié)合4的符號(hào)，再根據(jù)充分必要性的定義即可得答案.

【詳解】由題設(shè)3=",,=qg"'且"≥2,要｛1｝為遞增數(shù)列，只需q∕τ>l在"22上恒成

立，

當(dāng)4<0,不論q取何值，總存在q/i<0,不滿足要求；

當(dāng)O<q<l,

4<0,則“"i<0,不滿足要求；

q>0,總存在O<V<1,不滿足要求；

當(dāng)9>1,

4<0,則α∕τ<0,不滿足；

0<q<l,若α∣=g,（I-2,顯然qg<l,即￡<7；,不滿足；

q≥l,則％4"|>1在"22上恒成立，滿足.

所以｛G為遞增數(shù)列有4≥1且g>i?

綜上，“4>0且q>l''是”｛刀,｝為遞增數(shù)列”的必要不充分條件.

故選：B

2.A

【分析】求交集可得答案.

【詳解】因?yàn)榧螦=｛x∣l<x<3｝,3=｛0,l,2｝,所以ACB=｛2｝.

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)基本不等式判斷充分性，根據(jù)舉反例說明必要性不成立，即可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)棣?gt;o,y>（）,則盯≤（受J=ι,當(dāng)且僅當(dāng)χ=y=ι時(shí)等號(hào)成立，故充分性

成立;

答案第1頁，共10頁

若x=3,y=g,滿足ΛV≤1,但x+yx2,故必要性不成立，

所以“x+y=2"是"刈≤1”的充分而不必要條件.

故選：A.

4.A

【分析】解一元二次不等式得集合8,再根據(jù)并集運(yùn)算得結(jié)果.

【詳解】由d+χ一240解得—2Mx<l,所以8={R-2≤X≤1},又A={x|—2≤x≤2},

所以4□3={x∣-2≤x≤2}=[-2,2].

故選：A.

5.A

【分析】求得集合A={x∣x≥g},結(jié)合集合補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由題意，集合A={x∣x≥g}

又由U={x∈R∣x21},所以Q,A={x∣l≤x<百}=[l,g).

故選：A.

6.B

【分析】在給定區(qū)間內(nèi)恒成立問題，可參變分離求解后判斷

【詳解】2/-如+l>0在Xe(I,+∞)上恒成立，

BPtn<2,xH—在Xe(l,+∞)上恒成立，2XH—∈(3,+oo)

故加43

“〃?<4"是"≤3"的必要不充分條件

故選：B

7.A

【分析】由/(x)是R上的增函數(shù)得了(x+q)>∕(x),即y=f(x+α)T(X)>0無零點(diǎn),滿

足充分性；反之若對(duì)任意0>0,f[x+a)<f(x),滿足y="x+4)-"x)無零點(diǎn)，但不滿

足/(x)是R上的增函數(shù)，不滿足必要性，即可判斷.

【詳解】若/(x)是R上的增函數(shù)，則對(duì)任意”>0,顯然x+α>x,故"x+G>"x),即

答案第2頁，共10頁

y=∕(x+α)-/(x)>0無零點(diǎn)，滿足充分性；

反之，若對(duì)任意α>O,f(x+a)<f(x),即/(x+a)—/(x)<O,滿足y=∕(x+α)-∕(x)無

零點(diǎn)，但/(x)是R上的減函數(shù)，不滿足必要性，

故"/(x)是R上的增函數(shù)”是“任意α>O,y="x+α)-"力無零點(diǎn)”的充分而不必要條件.

故選：A.

8.D

【分析】直接由補(bǔ)集的概念求解即可.

【詳解】由題意知：?A={x∣0≤x≤l}.

故選：D.

9.A

【分析】先判斷如果sinB<必能不能推出一ΛBC是鈍角三角形，

2

再判斷如果ABC是鈍角三角形，是否一定有SinB<也即可.

2

【詳解】如果sinB<立，由于8是三角形的內(nèi)角，并且A=f,則O<B<f,

244

TT

A+B<-,一ABC是鈍角三角形，

所以SinB<也是充分條件；

2

如果ABC是鈍角三角形，不妨設(shè)B=M，則sin8=@>也，

322

所以sinB<也不是必要條件；

2

故選：A.

10.B

【分析】利用并集的定義可求AU3.

【詳解】AB=[T,M),

故選：B

11.A

【分析】確定集合B,根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得答案.

【詳解】解Y>4,得x>2或x<—2,

答案第3頁，共10頁

故B={x∣f>4}={x∣x>2或x<-2},故AB={3,4}.

故選：A

12.D

【分析】結(jié)合圖形，利用三角形性質(zhì)，平行與垂直的關(guān)系推導(dǎo)充分，必要條件即可.

【詳解】若四邊形ABM為平行四邊形，則由題意得：

EF=AB=2,BE=AF=AE,且ZEAF=90,

在RtAEF中，AF2+AE2=EF2^>2AF2=4^>AF=y∕2>

所以BE=AF=&與卜?=J布矛盾，所以必要性不成立，

假設(shè)Bq=Jid,四邊形ABE廠是平行四邊形，

則此時(shí)AB=EF=2,BE=AF=曬,

由RtAf尸中，AF2+AE2=EF2≈>2AF2=4AF=√2>

矛盾，故假設(shè)不成立，即當(dāng)WEI=Ji6,四邊形ABEF不是平行四邊形，

所以充分性不成立，

故∣BE∣=布是四邊形ABEF是平行四邊形的既不充分也不必要條件，

故選：D.

13.D

【分析】由條件可得"A={Mx≥l},然后可判斷出答案.

【詳解】因?yàn)锳={x∣x<l},B={x∣x>-l},

所以δbA={Hx≥l},所以

故選：D

14.A

【分析】根據(jù)雙曲線C：三+上=1的虛軸長為2求出對(duì)應(yīng)的加值即可判斷.

m4—m

22

【詳解】若雙曲線C：工+上=1的虛軸長為2,

m4-m

則當(dāng)機(jī)>0且4τ%<0時(shí)?，即機(jī)>4時(shí)，2y∣m-4=2,解得〃?=5,

當(dāng)帆Vo且4一〃2>0時(shí)，即機(jī)<0時(shí)，2Jfz=2,解得〃?=一1,

答案第4頁，共10頁

?22

所以“雙曲線C：工+-v?-=1的虛軸長為2”對(duì)應(yīng)的加值為6=5或機(jī)=-1,

m4—m

r22

故“m=5”是“雙曲線C：二+工一=1的虛軸長為2”的充分但不必要條件.

m4-m

故選：A.

15.A

【分析】由條件推結(jié)論可判斷充分性，由結(jié)論推條件可判斷必要性.

【詳解】當(dāng)c+∕7二2攵乃次∈Z時(shí)，sin(a+/?)=O,

且Sina+sin￡=sinα+sin(-α+2Z∕r)=sinα-sinα=0,充分性成立；

當(dāng)sin(α+夕)=5布。+5抽/時(shí)，未必有ɑ+/?=2kπ,keZ,

例如a=πyβ=0時(shí),此時(shí)sin(α+尸)=sinα+sin4=。,但不滿足a+β=2kπ,keZ.

所以實(shí)數(shù)ɑ4,“a+B=2kπ,k&Z”是“sin(α+夕)=sinα+si””的充分而不必要條件.

故選：A.

16.A

【分析】根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)可知，點(diǎn)AB在拋物線r=y上，C為拋物線的焦點(diǎn)，利用拋物

線的定義，結(jié)合充分不必要條件的定義可得結(jié)果.

【詳解】由可知，點(diǎn)在拋物線＞上，為拋物線的

A(Λ,X),B(X2,X^},C(OVA,BV=C

焦點(diǎn)，

若_A5C是等邊三角形，則IACI=I8C∣,根據(jù)拋物線的定義可知，AB兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相

等，所以直線A8與X軸平行，其斜率為0,

若直線AB的斜率為0,則AB兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相等，則IACI=I8C∣,只能得到一ABC是

等腰三角形，不能推出_A3C是等邊三角形，

所以".ABC是等邊三角形”是“直線AB的斜率為0”的充分不必要條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用拋物線的定義以及充分不必要條件的定義求解是解題關(guān)鍵.

17.B

【分析】將AuB=B轉(zhuǎn)化為AqB,根據(jù)子集關(guān)系列式可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳U8=3,所以AgB,

因?yàn)锳={l},8={x∣x≥a},

所以α≤l.

答案第5頁，共10頁

故選：B

18.C

【分析】由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出CoSA<cos3的等價(jià)條件為/>B,再利用大角對(duì)大邊，

結(jié)合正弦定理可判斷出“854<8$3''是氣訪4>$吊3”的充分必要條件.

【詳解】余弦函數(shù)y=cosx在區(qū)間((U)上單調(diào)遞減，且0<A<"，0<B<π,

由COSA<cos6,可得/>β,.?a>b,由正弦定理可得SinA>sin3.

因此，“cosA<cos8"是"sinA>sin8”的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定，同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對(duì)大邊以及

正弦定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.

19.B

【分析】根據(jù)線面垂直的定義和性質(zhì)，結(jié)合充分性、必要性的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)直線機(jī)垂直平面α內(nèi)的所有直線時(shí)，才能得到〃

所以由直線垂直平面ɑ內(nèi)的無數(shù)條直線不一定能推出mLa,

但是由mJ_a一定能推出直線m垂直平面ɑ內(nèi)的無數(shù)條直線，

所以直線機(jī)垂直平面α內(nèi)的無數(shù)條直線是mLa的必要不充分條件，

故選：B

20.A

【分析】算出集合8,再求交集即可.

【詳解】因?yàn)?=(-4,4),所以AB={1,3}

故選：A

21.①③

【分析】通過求解V=3x-2可以得到在集合A,B含有何種元素的時(shí)候會(huì)取到相同的函數(shù)

值，因?yàn)榇嬖谀苋〉较嗤瘮?shù)值的不同元素，所以即使當(dāng)X與-X都屬于一個(gè)集合內(nèi)時(shí)，另

一個(gè)集合也不會(huì)產(chǎn)生空集的情況，之后再根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷①是否正確，根據(jù)奇函數(shù)的

定義判斷②是否正確，解方程/(χ)=o判斷③是否正確

【詳解】①若XeA,-xeA,則f(χ)=χ3,f(-χ)=-χ3,/(x)≠∕(-x)

若xeB,-JceB,則F(X)=3x-2,f(-x)=-3x-2,f(x)≠f(-x)

答案第6頁，共10頁

若Xe'4,-χ∈B,則/(x)=x*,f(-x)=-3x-2,f(x)≠f(-x)

若xeB,-xeA,貝∣Jf(X)=3x-2,f(-x)=-xi,f(x)≠f(~x)

綜上不存在非空集合對(duì)(A3),使得/(x)為偶函數(shù)

②若d=3x-2,則X=I或x=-2,當(dāng)B={l},A=?B時(shí)，/⑴=3x1-2滿足當(dāng)χ=l時(shí)/=1,

所以/(x)可統(tǒng)一為/(X)=X3,此時(shí)A-X)=-r,=-∕(χ)為奇函數(shù)

當(dāng)B={-2},A=QB時(shí)，2)=3、(一2)-2=-8滿足當(dāng)》=—2時(shí)》3=_8,所以/⑺可統(tǒng)一

為/(X)=丁，此時(shí)/(-X)=-X3=-f(X)為奇函數(shù)

所以存在非空集合對(duì)(AB),使得為奇函數(shù)，且不唯一

22

③Y=O解的x=0,3x—2=0解的X=;,當(dāng)非空集合對(duì)(AB)滿足OeA且;￠8,則方程

33

無解，又因?yàn)锳B=R,Ac3=0,所以存在無窮多非空集合對(duì)(AB),使得方程/(x)=0

無解

故答案為：①③

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合間的基本關(guān)系與函數(shù)的奇偶性，但需要較為縝密的邏輯推理

①通過對(duì)X所屬集合的分情況討論來判斷是否存在特殊的非空集合對(duì)(AB)使得函數(shù)/(χ)為

偶函數(shù)

②觀察可以發(fā)現(xiàn)犬為已知的奇函數(shù)，通過求得不同元素的相同函數(shù)值將解析式3x-2歸并到

χ3當(dāng)中，使得/(X)成為奇函數(shù)

③通過求解解析式零點(diǎn)，使得可令兩個(gè)解析式函數(shù)值為0的元素均不在所對(duì)應(yīng)集合內(nèi)即可得

到答案

22.(I)X—y={l,2},y—X={5},I(X—y)U(yu%)∣=3;(2)①見解析；②“+1.

【分析】(1)直接根據(jù)定義求解即可；

(2)①分若AUB中含有一個(gè)不在S中的元素和A=S,且3=5,兩種情況討論即可，當(dāng)

A=S,且BqS時(shí)，可通過1/C得證；

②結(jié)合①知

∣(A-S)o(S-A)∣+∣(β-S)u(S-β)∣+∣(C-S)u(S-C)∣≥∣S-Λ∣+∣S-S∣+∣C-S∣+l,討論若

AcS=0,或BcS=0,得|S—A∣+∣5-即≥”,若AcSx0,且5cS*0,設(shè)

答案第7頁，共10頁

Ar>S={aλ,a2,,4},BcS=他也，,bl},可證得

∣(A-S)5S-A)∣+∣(B-S)5Sd)∣+∣(C-S)u(S-C)∣的最小值是“+1.

【詳解】(1)根據(jù)定義直接得x—y={i,2},γ-x={5},∣(x-y)u(rux)∣=3.

(2)①顯然∣x∣≥o.

若4UB中含有一個(gè)不在S中的元素，則|A—S∣+忸一S∣≥l,即

∣A-S∣+∣Z?-S∣+∣S-C∣≥l,

若AuS,且B=S,則IA-Sl=忸-Sl=O

此時(shí)A中最小的元素421,B中最小的元素匕21,

所以C中最小的元素α+b≥2.

所以1任C.

因?yàn)镾={l,2,,n},

所以|S—即M-S1+忸-S∣+∣S-C∣≥1.

綜上，∣A-S∣+忸-S∣+∣S-C∣21.

②由①知∣A-s∣+∣B-s∣+∣s-c∣≥ι.

所以KA-S)U(S-A)I+"-s)5s-3)∣+∣(c-s)5S-C)I

=∣A-S∣+∣5-A∣+∣β-5∣+∣5-β∣+∣C-5∣+∣5-C∣

≥∣S-Λ∣+∣S-B∣+∣C-S∣+I.

若ACS=0,或8cS=0,則∣S-A∣+∣S-同≥”.

若ACSH0,且3cSx0,設(shè)AcS={q,%,,4},BCS=他也，，白}

arι

且1≤4<出<s-?WU<b?<b[≤n,

則IS_H=?B-S?=n-t.

若，

因?yàn)?≤q+4<q+H<<ax+bl<a2+bl<a3-?-bt<as+bl,

所以4+4,4+4,,al+bl,a2+bt,a3+bl,,4+2這s+r-1個(gè)數(shù)一定在

集中C中，且均不等于L

答案第8頁，共10頁

所以∣S-^?A∣+∣S-β∣+∣C-5∣≥2〃—s—/+G+r—ri)—n.

所以"-S)5S-A)∣+∣(B-S)5S-3)∣+∣(C-S)=(S-C)I

≥∣S-A∣+∣S-B∣+∣C-S∣+l>rt+l.

當(dāng)力=B=S,C={2,3,,2〃}時(shí)