第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)章末題型歸納總結(jié)模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域經(jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域經(jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性經(jīng)典題型六：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用經(jīng)典題型七：冪函數(shù)經(jīng)典題型八：函數(shù)的實際應(yīng)用模塊三：數(shù)學思想方法①分類討論思想②轉(zhuǎn)化與化歸思想③數(shù)形結(jié)合思想

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：典型例題經(jīng)典題型一：求具體函數(shù)與抽象函數(shù)的定義域例1．（2023·廣東深圳·高一?？计谥校┖瘮?shù)的定義域是.例2．（2023·上海松江·高一?？计谀┖瘮?shù)的定義域為（用區(qū)間表示）.例3．（2023·河南新鄉(xiāng)·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域為．例4．（2023·新疆烏魯木齊·高一?？计谥校┤艉瘮?shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是．例5．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．例6．（2023·吉林長春·高一長春市解放大路學校?？茧A段練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.例7．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為.例8．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為則的定義域為例9．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.例10．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是.經(jīng)典題型二：求函數(shù)的解析式例11．（2023·河南鄭州·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)是一次函數(shù)且，則函數(shù)的解析式為．例12．（2023·全國·高一專題練習）已知是二次函數(shù)．且．則．例13．（2023·四川眉山·高一?？茧A段練習）已知，則．例14．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式是.例15．（2023·全國·高一專題練習）已知，則.例16．（2023·江蘇鹽城·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)滿足，則=.例17．（2023·全國·高一專題練習）已知，則．例18．（2023·上海·高一專題練習）已知函數(shù)滿足，其中且，則函數(shù)的解析式為例19．（2023·高一課時練習）已知函數(shù)滿足，則的解析式為.經(jīng)典題型三：求函數(shù)的值域例20．（2023·全國·高一專題練習）求下列函數(shù)的值域.(1);(2);(3)，(4)例21．（2023·高一課時練習）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).例22．（2023·高一課時練習）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).例23．（2023·全國·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．例24．（2023·高一?？颊n時練習）求下列函數(shù)的值域:(1)，(2)，(3)，(4)經(jīng)典題型四：函數(shù)的單調(diào)性例25．（2023·高一課時練習）定義域為的函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則：（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．例26．（2023·山東·高一山東省實驗中學?？茧A段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.例27．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)，則的遞減區(qū)間是.例28．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是.例29．（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，對任意，均有，記，，則函數(shù)的最小值為．例30．（2023·安徽安慶·高一安慶市第七中學校考期中）若在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.例31．（2023·全國·高一專題練習）設(shè)函數(shù)，若存在最大值，則實數(shù)a的取值范圍為．例32．（2023·全國·高一專題練習）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則．例33．（2023·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，若對于任意正實數(shù)，恒有，且，則不等式的解集是.例34．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)的定義域為，對任意的、，且都有成立，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．例35．（2023·全國·高一假期作業(yè)）定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，且f（x）在（－∞，2）上是增函數(shù)，則f（－1）與f（3）的大小關(guān)系是．例36．（2023·全國·高一課堂例題）證明函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，并指出函數(shù)在區(qū)間上的最值點和最值．例37．（2023·全國·高一專題練習）已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且當x>0時，f（x）>1.求證：函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).例38．（2023·河北邯鄲·高一?？计谀┮阎x在上的函數(shù)滿足：①對任意的，都有；②當且僅當時，成立．(1)求；(2)用定義證明的單調(diào)性；例39．（2023·天津·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并說明理由.經(jīng)典題型五：函數(shù)的奇偶性例40．（2023·新疆巴音郭楞·高一八一中學?？计谥校┮阎ǎ遥?，．(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的奇偶性；(3)證明函數(shù)在上是增函數(shù)．例41．（2023·湖南株洲·高一株洲二中?？茧A段練習）已知定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷的單調(diào)性（并用單調(diào)性定義證明）;(3)解不等式.例42．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).例43．（2023·全國·高一期中）已知函數(shù)，且.(1)求實數(shù)的值；(2)判斷該函數(shù)的奇偶性；(3)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明.例44．（2023·甘肅白銀·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，.(1)若在上為偶函數(shù)，求，的值；(2)設(shè)的定義域為，在（1）的條件下：①判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性并證明；②若，求實數(shù)t的取值范圍.例45．（2023·全國·高一期中）已知定義在,,上的函數(shù)滿足：①，,,，；②當時，，且．(1)試判斷函數(shù)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)求函數(shù)在區(qū)間,,上的最大值；(4)求不等式的解集．例46．（2023·江西南昌·高一南昌市八一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，其中(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求出實數(shù)的取值范圍.例47．（2023·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學?？计谀┰O(shè)函數(shù)是增函數(shù)，對于任意x，都有．(1)寫一個滿足條件的并證明；(2)證明是奇函數(shù)；(3)解不等式．經(jīng)典題型六：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例48．（多選題）（2023·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)，，用表示，中的較大者，記為，則下列說法正確的是（

）A． B．，C．有最大值 D．最小值為0例49．（多選題）（2023·江蘇南通·高一統(tǒng)考期末）奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義域均為，在區(qū)間上都是增函數(shù)，則（

）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)C．是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)D．不具有奇偶性，且在區(qū)間上的單調(diào)性不確定例50．（多選題）（2023·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知連續(xù)函數(shù)對任意實數(shù)恒有，當時，，，則（

）A． B．在上的最大值是4C．圖像關(guān)于中心對稱 D．不等式的解集為例51．（多選題）（2023·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）世界公認的三大著名數(shù)學家為阿基米德、牛頓、高斯，其中享有“數(shù)學王子”美譽的高斯提出了取整函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，則（

）A．在上是增函數(shù) B．C．為奇函數(shù) D．的值域為例52．（多選題）（2023·全國·高一專題練習）已知定義域為的函數(shù)滿足：，，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．例53．（多選題）（2023·全國·高一專題練習）設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)，并且滿足下面三個條件：①對正數(shù)，都有；②當時，；③.則下列說法不正確的是（

）A．B．C．不等式的解集為D．若關(guān)于x的不等式恒成立，則的取值范圍是例54．（多選題）（2023·重慶長壽·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)在定義域內(nèi)內(nèi)的某區(qū)間是增函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則稱在上是“弱增函數(shù)”，則下列說法正確的是（

）A．若則不存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”B．若則存在區(qū)間使為“弱增函數(shù)”C．若則為上的“弱增函數(shù)”D．若在區(qū)間上是“弱增函數(shù)”，則例55．（2023·福建漳州·高一?？计谥校┮阎x在區(qū)間上的函數(shù)．(1)若函數(shù)分別在區(qū)間上單調(diào)，試求的取值范圍；（直接寫出答案）(2)當時，在區(qū)間上是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且的取值范圍為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由．例56．（2023·全國·高一期中）已知函數(shù)(1)設(shè)在區(qū)間的最小值為，求的表達式；(2)設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．例57．（2023·高一單元測試）已知偶函數(shù)的定義域是的一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意都有，且當時，，.(1)證明：在上是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)解不等式.經(jīng)典題型七：冪函數(shù)例58．（2023·全國·高一專題練習）已知冪函數(shù)滿足：①在上為增函數(shù)，②對，都有，求同時滿足①②的冪函數(shù)的解析式，并求出時，的值域.例59．（2023·浙江金華·高一校考期中）已知點在冪函數(shù)的圖像上.(1)求的解析式；(2)若函數(shù)，是否存在實數(shù)a，使得最小值為5？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由例60．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增.(1)求m和n的值；(2)求滿足不等式的a的取值范圍.例61．（2023·江蘇南通·高一海安高級中學?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)為奇函數(shù).(1)求實數(shù)m的值；(2)求函數(shù)（）的最小值.例62．（2023·黑龍江七臺河·高一勃利縣高級中學校考期中）已知冪函數(shù)關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)減函數(shù)．(1)求m的值；(2)解關(guān)于a的不等式．例63．（2023·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習）已知冪函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)試判斷是否存在正數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.例64．（2023·廣東佛山·高一佛山市順德區(qū)樂從中學校考期中）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例65．（2023·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增(1)求函數(shù)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值例66．（2023·福建漳州·高一福建省華安縣第一中學校考階段練習）已知冪函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù).(1)求的解析式；(2)在區(qū)間上，的圖象總在函數(shù)圖象的上方，求實數(shù)k的取值范圍.例67．（2023·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？计谥校┮阎獌绾瘮?shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若均為正數(shù)且，求的最小值.經(jīng)典題型八：函數(shù)的實際應(yīng)用例68．（2023·全國·高一專題練習）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，單位為萬元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？例69．（2023·全國·高一專題練習）某企業(yè)為進一步增加市場競爭力，計劃在2023年利用新技術(shù)生產(chǎn)某款新手機，通過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，生產(chǎn)該產(chǎn)品全年需要投入研發(fā)成本250萬元，每生產(chǎn)（千部）手機，需另外投入成本萬元，其中，已知每部手機的售價為5000元，且生產(chǎn)的手機當年全部銷售完.(1)求2023年該款手機的利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；(2)當年產(chǎn)量為多少時，企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？例70．（2023·全國·高一專題練習）黨的二十大報告提出“積極穩(wěn)妥推進碳達峰碳中和”，降低能源消耗，建設(shè)資源節(jié)約型社會．日常生活中我們使用的燈具就具有節(jié)能環(huán)保的作用，它環(huán)保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，長壽命，有效降低資源消耗．經(jīng)過市場調(diào)查，可知生產(chǎn)某種燈需投入的年固定成本為3萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品，需另投入變動成本萬元，在年產(chǎn)量不足6萬件時，，在年產(chǎn)量不小于6萬件時，．每件產(chǎn)品售價為6元．假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷量等于當年的產(chǎn)量．(1)寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬件）的函數(shù)解析式．（注：年利潤年銷售收入固定成本變動成本）(2)年產(chǎn)量為多少萬件時，年利潤最大？最大年利潤是多少？例71．（2023·全國·高一專題練習）某學校為了支持生物課程基地研究植物的生長規(guī)律，計劃利用學?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖．設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為x（單位：m），三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為S（單位：）．(1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求S的最大值，并求出此時x的值．例72．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學校考開學考試）黨中央、國務(wù)院對節(jié)能減排高度重視，各地區(qū)、各部門認真貫徹黨中央、國務(wù)院關(guān)于“十三五”節(jié)能減排的決策部署，把節(jié)能減排作為轉(zhuǎn)換發(fā)展方式，經(jīng)濟提質(zhì)增效，建設(shè)生態(tài)文明的重要抓手，取得重要進展.新能源汽車環(huán)保、節(jié)能、以電代油，減少排放，既符合我國國情，也代表了汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.為了響應(yīng)國家節(jié)能減排的號召，2020年常州某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析：全年需投入固定成本2500萬元.每生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬元，且.由市場調(diào)研知，每輛車售價9萬元，且生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.（1）請寫出2020年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤＝銷售－成本）（2）當2020年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.例73．（2023·浙江衢州·高一?？茧A段練習）年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴重影響.為降低疫情影響，某廠家擬盡快加大力度促進生產(chǎn).已知該廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為，當年產(chǎn)量不足千件時，(萬元).當年產(chǎn)量不小于千件時，(萬元).每件商品售價為萬元.通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.（1）寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式；（2）當年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？例74．（2023·高一課時練習）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴大生產(chǎn)提供(萬元)的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服.A公司在收到政府x(萬元)補貼后，防護服產(chǎn)量將增加到(萬件)，其中k為工廠工人的復(fù)工率().A公司生產(chǎn)t萬件防護服還需投入成本(萬元).（1）將A公司生產(chǎn)防護服的利潤y(萬元)表示為補貼x(萬元)的函數(shù)(政府補貼x萬元計入公司收入)；（2）對任意的(萬元)，當復(fù)工率k達到多少時，A公司才能不產(chǎn)生虧損？(精確到0.01).例75．（2023·山西晉城·高一晉城市第一中學校?？茧A段練習）新冠肺炎疫情造成醫(yī)用防護服短缺，某地政府決定為防護服生產(chǎn)企業(yè)A公司擴大生產(chǎn)提供（萬元）的專項補貼，并以每套80元的價格收購其生產(chǎn)的全部防護服．A公司在收到政府（萬元）補貼后，防護服產(chǎn)量將增加到（萬件），其中為工廠工人的復(fù)工率（）．A公司生產(chǎn)萬件防護服還需投入成本（萬元）．（1）將A公司生產(chǎn)防護服的利潤（萬元）表示為補貼（萬元）的函數(shù)（政府補貼x萬元計入公司收入）；（2）在復(fù)工率為k時，政府補貼多少萬元才能使A公司的防護服利潤達到最大？模塊三：數(shù)學思想方法① 分類討論思想例76．設(shè)函數(shù)，用表示，中的較大者，記為，則的最小值是（

）A