第6章計(jì)數(shù)原理章末綜合提升類型1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在進(jìn)行計(jì)數(shù)過(guò)程中，常因分類不明導(dǎo)致增(漏)解，因此在解題中既要保證類與類的互斥性，又要關(guān)注總數(shù)的完備性．2．掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例1】(1)有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個(gè)車位中的四個(gè)內(nèi)，要求相同顏色的車不在同一行也不在同一列，則共有________種不同的停放方法．(用數(shù)字作答)ABCDEF(2)某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任務(wù)，每人負(fù)責(zé)一天，已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，則不同的安排方式有________種．(1)72(2)1128[(1)因?yàn)橐笙嗤伾能嚥辉谕恍幸膊辉谕涣?，所以第一行只能停放一輛紅色車與一輛黑色車，共有2×2×6種停法，再在第二行分類討論停放剩下的車，第二輛紅車如果停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有2種方法，第二輛紅車如果不停在第一輛黑車下方，則第二輛黑車有1種方法，共有3種情況，因此共有3×2×2×6＝72(種)情況．(2)以甲、丙的位置分三類．第一類：甲、丙相鄰且安排在第一、二天，由于甲不安排在第一天，則丙安排在第一天，甲安排在第二天，其余5人有A5第二類：甲、丙相鄰且安排在第二、三天，則有A2第三類：甲、丙相鄰且安排在第三天及以后，則甲、丙相鄰有4A22種排法，乙有4種排法，其余4人有A4根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，滿足條件的安排方式共有A55+A22類型2排列與組合的綜合應(yīng)用1．排列、組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)求解方式，在計(jì)數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問(wèn)題要樹(shù)立先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則．2．明確排列和組合的運(yùn)算，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例2】在高二(1)班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目．(1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？(2)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？(3)若已定好節(jié)目單，后來(lái)情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)節(jié)目，但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？[解](1)第一步，先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái)，看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有A77＝5040(種第二步，再松綁，給4個(gè)舞蹈節(jié)目排序，有A44＝24(種由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5040×24＝120960(種)排法．(2)第一步，將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)，一共有A66＝720(種×□×□×□×□×□×□×第二步，再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)演唱節(jié)目中間，有A7由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A66A74(3)若所有節(jié)目沒(méi)有順序要求，全部排列，則有A12所以節(jié)目演出的順序有A1212A1010＝A類型3二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1．二項(xiàng)式定理是計(jì)數(shù)原理的重要內(nèi)容之一，是高考的熱點(diǎn)．一般以選擇、填空的形式考查，試題難度為易，常從以下幾個(gè)方面考查：(1)考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk＋1＝Cnkan－kb(2)考查各項(xiàng)系數(shù)和，二項(xiàng)式系數(shù)和．(3)考查二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用，考查對(duì)二項(xiàng)式定理的掌握和靈活運(yùn)用．2．通過(guò)二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【例3】已知在x-23xn的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3(1)求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)；(3)求n+9(4)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)[解](1)由Cn4-24:Cn2解得n＝10(負(fù)值舍去),通項(xiàng)為Tk＋1＝C10k(x＝-2當(dāng)5－5k6為整數(shù)時(shí)，k可取0，于是有理項(xiàng)為T1＝x5和T7＝13440．(2)設(shè)第k＋1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則C解得193≤k≤223，又因?yàn)閗∈N，所以k＝7，當(dāng)k＝7時(shí)，T8＝－15360所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T8＝－15360x-(3)原式＝10+9C10＝C100+9C104∵Cn∴Cnk∴x2項(xiàng)的系數(shù)為C32+C42+章末綜合測(cè)評(píng)(一)計(jì)數(shù)原理(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知自然數(shù)x滿足3Ax+13＝2AA．2 B．3C．4 D．5C[∵自然數(shù)x滿足3Ax+13＝2Ax+22+6Ax+12，∴3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，整理得3x2－11x－4＝0，解得x＝－13(2．從甲、乙等6名醫(yī)生中任選3名分別去A，B，C三所學(xué)校進(jìn)行體檢，每個(gè)學(xué)校去1人，其中甲、乙不能去A學(xué)校，則不同的選派種數(shù)為()A．36 B．48C．60 D．80D[由A學(xué)校先在除甲、乙的4名醫(yī)生中選1名醫(yī)生，然后由B，C兩所學(xué)校在剩下的5名醫(yī)生中選2名醫(yī)生即可，則不同的選派種數(shù)為C41A52＝3．已知(a＋b)2n的展開(kāi)式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則(2x－1)n展開(kāi)式中x3的系數(shù)為()A．80 B．40C．－40 D．－80[答案]A4．某冬令營(yíng)開(kāi)營(yíng)儀式文藝晚會(huì)中，要將A，B，C，D，E這五個(gè)不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如果E節(jié)目不能排在開(kāi)始和結(jié)尾，B，D兩個(gè)節(jié)目要相鄰，則節(jié)目單上不同的排序方式的種數(shù)為()A．12 B．18C．24 D．48C[由題意，若B或D排在第一個(gè)，則有A22A21若B或D排在最后一個(gè)，則有A22A21若B，D不排在開(kāi)始和結(jié)尾，則有2A22A2綜上，節(jié)目單上不同的排序方式共有8＋8＋8＝24(種)．]5．若(1－2x)2023＝a0＋a1x＋…＋a2023x2023(x∈R)，則a12+aA．2 B．0C．－2 D．－1[答案]D6．1x-2y(2x－y)5的展開(kāi)式中x2y4的系數(shù)為A．80 B．24C．－12 D．－48A[1x-2y(2x－y)5＝1x(2x－y)5－2y(2x－(2x－y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C5k2x5-k-yk＝C5k·25-k令k＝3，得T4＝C53·22·(－1)3x2y∴1x-2y(2x－y)5的展開(kāi)式中，x2y4的系數(shù)為－2×C53·22·(－1)7．已知(ax2＋1)x-2x5的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為－3，則該展開(kāi)式中xA．40 B．－40C．－120 D．－240C[令x＝1，則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為(a＋1)(1－2)5＝－(a＋1)＝－3，解得a＝2，所以(2x2＋1)x-2x5的展開(kāi)式中含x的項(xiàng)為2x2×C53x8．為落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開(kāi)設(shè)A，B，C三門德育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)參加校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有()A．54種 B．240種C．150種 D．60種C[根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選A，B，C三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況：①三組人數(shù)為1、1、3，此時(shí)有C51C41②三組人數(shù)為2、2、1，此時(shí)有C52C32所以共有60＋90＝150(種)．故選C．]二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．(2023·深圳模擬)已知(2－x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，則()A．a(chǎn)0＝28B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a8＝1C．|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38D．a(chǎn)1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8AD[取x＝0，可得a0＝28，故A正確；取x＝1，可得a1＋a2＋…＋a8＝1－28，故B不正確；取x＝－1，可得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a8|＝38－28，故C不正確；已知等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得－8(2－x)7＝a1＋2a2x＋…＋8a8x7，取x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝－8，故D正確．故選AD．]10．安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地參加志愿工作，下列說(shuō)法正確的是()A．不同的安排方法共有64種B．若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種C．若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有12種D．若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有14種BCD[四名志愿者均有3種選擇，所以不同的安排方法數(shù)為34＝81，A錯(cuò)誤；若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法數(shù)是C31C41若甲必須去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為A33+C3若甲、乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法數(shù)為C21C31+C311．(2023·茂名模擬)已知2x+13xn的展開(kāi)式共有13項(xiàng)，則下列說(shuō)法中正確的A．所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為212B．所有項(xiàng)的系數(shù)和為312C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第6項(xiàng)或第7項(xiàng)D．有理項(xiàng)共5項(xiàng)BD[由2x+13xn的展開(kāi)式共有13項(xiàng)，則對(duì)于選項(xiàng)A，由展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為212，則所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為211，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，令x＝1，得2×1+13112＝312，即所有項(xiàng)的系數(shù)和為312，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由2x+13xn的展開(kāi)式共有13項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第7項(xiàng)，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由2x+13x12展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk＋1＝212-kC12kx12-4k3，又0≤k≤12，則12．連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體，甲隨機(jī)選擇此正八面體的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形，乙隨機(jī)選擇此正八面體三個(gè)面的中心構(gòu)成三角形，且甲、乙的選擇互不影響，則下列說(shuō)法正確的是()A．甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為2B．甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的概率為3C．乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為3D．甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似的概率為11ABD[甲隨機(jī)選擇的情況有C63＝20(種)，乙隨機(jī)選擇的情況有C83＝對(duì)于A，甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，只有一種情況：甲從上下兩個(gè)點(diǎn)中選一個(gè)，從中間四個(gè)點(diǎn)中選相鄰兩個(gè)，共有C21C41故甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為820＝25，故選項(xiàng)對(duì)于B，甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，有三種情況：①上下兩點(diǎn)都選，中間四個(gè)點(diǎn)中選一個(gè)，共有C41＝4(種②上下兩點(diǎn)中選一個(gè)，中間四個(gè)點(diǎn)中選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，共有C21C21③中間四個(gè)點(diǎn)中選三個(gè)點(diǎn)，共有C43＝4(種)，故共有4＋4＋4＝12(種所以甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的概率為1220＝35，故選項(xiàng)對(duì)于C，正八面體的各面中心是正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，所以乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，共有8種，所以乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為856＝17，故選項(xiàng)對(duì)于D，乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，共有3×8＝24(種)，概率為2456＝3甲乙相似，則甲乙均為正三角形或均為等腰直角三角形，所以甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似的概率為25×17+3三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上．13．(2023·海安市模擬)某社區(qū)將招募的5名志愿者分成兩組，要求每組至少兩人，分別擔(dān)任白天和夜間的網(wǎng)格員，則不同的分配方法種數(shù)為_(kāi)_______．20[先將招募的5名志愿者分成兩組，再分別擔(dān)任白天和夜間的網(wǎng)格員，則不同的分配方法種數(shù)為C53C214．從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)中每次取3個(gè)不同的數(shù)，把其中最大的數(shù)放在百位上排成三位數(shù)，這樣的三位數(shù)有________個(gè)．40[先選取3個(gè)不同的數(shù)，有C63種選法；然后把其中最大的數(shù)放在百位上，另2個(gè)不同的數(shù)放在十位和個(gè)位上，有A22種放法，故共有C6315．已知3x2+ax270[根據(jù)題意，令x＝1，可得(3＋a)5＝32，解得a＝－1，所以3x2+ax35即3x2-1x3令10－5k＝0，解得k＝2，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-123316．(2023·如皋市模擬)從正四面體的四個(gè)面的中心以及四個(gè)頂點(diǎn)共八個(gè)點(diǎn)中取出四個(gè)點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)不共面的取法總數(shù)為_(kāi)_______種．60[如圖，正四面體ABCD，O1、O2、O3和O4分別是面ABC、面ACD、面ABD和面BCD的中心，則每個(gè)面上的三個(gè)頂點(diǎn)與這個(gè)面的中心，這四個(gè)點(diǎn)共面，如面ACD上，A、C、D和O2共面，每條棱都與小正四面體O3-O1O2O4的一條棱平行，如BC∥O2O3，則B、C、O2和O3四點(diǎn)共面，因此四個(gè)點(diǎn)不共面的取法總數(shù)為C84－4－6＝60．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)①只有第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為47；③各項(xiàng)系數(shù)之和為414．在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的k存在，求k的值；若k不存在，說(shuō)明理由．設(shè)二項(xiàng)式x+3x3n，若其展開(kāi)式中，________，是否存在整數(shù)k注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答給分．[解]若選條件①，即只有第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則Cn7最大，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，n＝二項(xiàng)式x+Tk＝C14k-1·(x)＝3k-1由21－7k＝0，得k＝3．即存在整數(shù)k＝3，使得Tk是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．若選條件③，即各項(xiàng)系數(shù)之和為414，則4n＝414，即n＝14．二項(xiàng)式x+Tk＝C14k-1·(x)＝3k-1由21－7k＝0，得k＝3．即存在整數(shù)k＝3，使得Tk是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．若選條件②，即奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為47，則2n-1＝47＝214，所以n＝15．二項(xiàng)式x+Tk＝C15k-1·(x)＝3k-1由22－7k＝0得k＝227?Z即不存在整數(shù)k，使得Tk是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．18．(本小題滿分12分)已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14．求：(1)a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13．[解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27．令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a14＝27－1＝127．(2)由(1)得a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27，①令x＝－1得a0－a1＋a2－…－a13＋a14＝67，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67，所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝27-619．(本小題滿分12分)課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某項(xiàng)活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？(1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；(2)至多有兩名女生當(dāng)選；(3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女生當(dāng)選．[解](1)至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩種情況：有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng)，故共有C21·C114+C22·(2)至多有兩名女生含有三種情況：有兩名女生、只有一名女生、沒(méi)有女生，故共有C52·C8(3)分兩種情況：第一類：女隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，有C12第二類：女隊(duì)長(zhǎng)不當(dāng)選，則男隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選，有C4故共有C124+C420．(本小題滿分12分)已知An5＝56Cn7，且1-2xn＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3(1)求n的值；(2)求a12+a2[解]1∵An即n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)＝56×nn化簡(jiǎn)可得(n－5)(n－6)＝90，∵n∈N*，n≥5，∴n＝15．(2)∵(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，∴a0＝Cn0＝令x＝12，可得1＋a12+a222＋…＋an2n＝21．(本小題滿分12分)設(shè)x10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，其中Q(x)是關(guān)于x的多項(xiàng)式，a，b∈R．(1)求a，b的值；(2)若ax＋b＝28，求x10－3除以81的余數(shù)．[解](1)由已知等式，得[(x－1)＋1]10－3＝Q(x)(x－1)2＋ax＋b，所以C100x-110+C101x-19+…所以[C100x-18+C101x-17+…+C108](x－所以10x－12＝ax＋b，所以a＝10，b＝－12．(2)因?yàn)閍x＋b＝28，