山東省菏澤市牡丹區(qū)北城中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.甲袋內(nèi)有大小相同的8個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋內(nèi)有大小相同的9個(gè)紅球和3個(gè)白球，從兩個(gè)袋中各摸出一個(gè)球，則為（

）A.2個(gè)球都是白球的概率

B.2個(gè)球中恰好有1個(gè)白球的概率C.2個(gè)球都是紅球的概率

D.2個(gè)球中恰好有1個(gè)紅白球的概率參考答案：B略2.已知一個(gè)等差數(shù)列的前四項(xiàng)之和為21，末四項(xiàng)之和為67，前項(xiàng)和為286，則項(xiàng)數(shù)為（

）A．24

B．26

C．27

D．28參考答案：B3.經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：D略4.函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，且f（x）=x2f′（2）﹣3x，則f（﹣1）與f（1）的大小關(guān)系是（）A．f（﹣1）=f（1） B．f（﹣1）＞f（1） C．f（﹣1）＜f（1） D．不確定參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)系式中的f′（2）為常數(shù)，先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）令x=2求出f′（2），即可得到f（x），把1和﹣1代入即可比較f（﹣1）與f（1）的大小關(guān)系．【解答】解：f′（2）是常數(shù)，∴f′（x）=2xf′（2）﹣3?f′（2）=2×2f′（2）﹣3?f′（2）=1，∴f（x）=x2﹣3x，故f（1）=1﹣3=﹣2，f（﹣1）=1+3=4．故選B．5.若直線y=k（x+4）與曲線x=有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）A．[﹣，] B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）參考答案：A考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．專題：計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；直線與圓．分析：求得直線恒過定點(diǎn)（﹣4，0），曲線x=即為右半圓x2+y2=4，作出直線和曲線，通過圖象觀察，即可得到直線和半圓有交點(diǎn)時(shí)，k的范圍．解答：解：直線y=k（x+4）恒過定點(diǎn)（﹣4，0），曲線x=即為右半圓x2+y2=4，當(dāng)直線過點(diǎn)（0，﹣2）可得﹣2=4k，解得k=﹣，當(dāng)直線過點(diǎn)（0，2）可得2=4k，解得k=．由圖象可得當(dāng)﹣≤k≤時(shí)，直線和曲線有交點(diǎn)．故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．6.設(shè)（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，則a0+a1+a2+…+a11的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】本題由于求的是展開式右邊a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11中a0+a1+a2+…+a11的和，所以可以利用賦值的辦法令x+2=1，由此將x=﹣1代入展開式即可求出結(jié)果為﹣2．【解答】解：令x+2=1，所以x=﹣1，將x=﹣1代入（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11得[（﹣1）2+1]（﹣2+1）9=a0+a1+a2+…+a11；∴a0+a1+a2+…+a11=2×（﹣1）=﹣2．所以選A7.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中不正確的是()

A．若則

B．若則

C．若，則

D．若，則參考答案：D8.等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點(diǎn)，；則的實(shí)軸長為

（

）A、

B、

C、

D、2參考答案：C9.設(shè)雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線交于A．B兩點(diǎn)，相應(yīng)的焦點(diǎn)為F，若以AB為直徑的圓恰好過F點(diǎn)，則雙曲線的離心率為

（

）

A．

B．

C．2

D．

參考答案：D10.某高中計(jì)劃從全校學(xué)生中按年級(jí)采用分層抽樣方法抽取20名學(xué)生進(jìn)行心理測(cè)試，其中高三有學(xué)生900人，已知高一與高二共抽取了14人，則全校學(xué)生的人數(shù)為（ ）A.2400 B.2700 C.3000 D.3600參考答案：C試題分析：（人），故選C.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)＝在x＝1處取得極值，則a的值為

▲

.參考答案：略12.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．參考答案：(x-1)2+y2=4.【分析】由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即半徑，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，以F為圓心，且與l相切的圓的方程為(x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線的準(zhǔn)線方程，直線與圓相切的充分必要條件等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.13.設(shè)P(x,y)，其中x,y∈N，則滿足x+y≤4的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________.參考答案：15個(gè)略14.拋物線在點(diǎn)P和Q處的切線斜率分別為1和－1，則。參考答案：解析：設(shè)過點(diǎn)p的拋物線的切線方程為y＝x+b①

則由題設(shè)知過點(diǎn)Q的拋物線的切線方程為y＝－x－b②

又設(shè)將①代入③

∴由直線①與拋物線相切得∴∴由③得

由此解得∴因此得15.極坐標(biāo)系中，曲線和曲線相交于點(diǎn)，則線段的長度為

．參考答案：略16.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________.參考答案：17.在等差數(shù)列中，若公差d>0，則有，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若公比，則滿足的一個(gè)不等關(guān)系為________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：(1)或.(2)【分析】（1）利用絕對(duì)值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，故的解集是的子集，據(jù)此可求的取值范圍.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所?令，得或，解得或.（2）當(dāng)時(shí)，.由，得，即，即.據(jù)題意，，則，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】（1）絕對(duì)值不等式指：及，我們常利用它們求含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的最值.（2）解絕對(duì)值不等式的基本方法有公式法、零點(diǎn)分段討論法、圖像法、平方法等，利用公式法時(shí)注意不等號(hào)的方向，利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類點(diǎn)的合理選擇，利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù)，而利用圖像法求解時(shí)注意圖像的正確刻畫．19.（本小題滿分10分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和記為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)之和記為已知，

(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式(2)求和參考答案：（1）

，

；（2），

。20.（12分）如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC且△ABC的面積等于△ADC面積的．梯形ABCD所在平面外有一點(diǎn)P，滿足PA⊥平面ABCD，PA=AB．（1）求證：平面PCD⊥平面PAC；（2）側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點(diǎn)E的位置并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）證明平面PCD⊥平面PAC，只要證明CD⊥平面PAC，只要證明CD⊥AC、CD⊥PA即可；（2）當(dāng)E是PA的中點(diǎn)時(shí)，取PD的中點(diǎn)G，連接BE、EG、CG，證明四邊形BEGC是平行四邊形，利用線面平行的判定可證BE∥平面PCD；（3）作FM⊥PD，連接CM，則可證∠CMF為二面角A﹣PD﹣C的平面角，求出FM、CM的長，即可得到二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：∵AB=BC且△ABC的面積等于△ADC面積的，∴AD=2BC作CF⊥AD，垂足為F，則F為AD的中點(diǎn)，且AD=2CF，所以∠ACD=90°∴CD⊥AC∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA又∵PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC；（2）E是PA的中點(diǎn)當(dāng)E是PA的中點(diǎn)時(shí)，取PD的中點(diǎn)G，連接BE、EG、CG，則EG∥AD∥BC，EG=AD=BC∴四邊形BEGC是平行四邊形∴BE∥CG∵BE?平面PCD，CG?平面PCD∴BE∥平面PCD（3）解：作FM⊥PD，連接CM，則∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD∴平面PAD⊥平面ABCD∵CF⊥AD，平面PAD∩平面ABCD=AD∴CF⊥平面PAD∵FM⊥PD，∴CM⊥PD，∴∠CMF為二面角A﹣PD﹣C的平面角設(shè)CF=a，則在△PAD中，，∴FM=∴CM=∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直，考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直、線面平行的判定定理，作出面面角．21.（本小題滿分14）已知函數(shù).(Ⅰ)若，求曲線在處切線的斜率；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.參考答案：解：(Ⅰ)由已知，.故曲線在處切線的斜率為.

(Ⅱ).

（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為.

,由(Ⅱ)知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，22.某種產(chǎn)品特約經(jīng)銷商根據(jù)以往當(dāng)?shù)氐男枨笄闆r，得出如圖該種產(chǎn)品日需求量的頻率分布直方圖．（Ⅰ）求圖中a的值，并估計(jì)日需求量的眾數(shù)；（Ⅱ）某日，經(jīng)銷商購進(jìn)130件該種產(chǎn)品，根據(jù)近期市場(chǎng)行情，當(dāng)天每售出1件能獲利30元，未售出的部分，每件虧損20元．設(shè)當(dāng)天的需求量為x件（100≤x≤150），純利潤為S元．

（?。表示為x的函數(shù)；

（ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)當(dāng)天純利潤S不少于3400元的概率．參考答案：【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；函數(shù)解析式的求解及常用方法；頻率分布直方圖．【專題】計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（I）根據(jù)所有小矩形的面積之和為1，求得第四組的頻率，再根據(jù)小矩形的高=求a的值；（II）利用分段函數(shù)寫出S關(guān)于x的函數(shù)；根據(jù)S≥3400得x的范圍，利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)在范圍內(nèi)的頻率及可得概率．【解答】解：（Ⅰ）由直方圖可知：（0.013+0.015+0.017+a+0.030）×10=1，∴a=0.025，∵，∴估計(jì)日需求量的眾數(shù)為125件；（Ⅱ）（?。┊?dāng)100≤x＜130時(shí)，S=30x﹣20