第四章能帶理論第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月將T(

)和H同時作用在任意函數(shù)f(r)上，由于

2在正交變換下形式不變，而坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)、反演、反映等都是正交變換，所以，第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月而電子的勢能函數(shù)U(r)應(yīng)具有與晶格相同的對稱性，即由于f(r)是任意函數(shù)，所以T(

)與H可對易由此可以可得一個推論：若

n,k(r)是晶體波動方程的解，那么，T(

)

n,k(r)也是方程的解，且

n,k(r)與T(

)

n,k(r)有相同的能量本征值。第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月在晶體中電子運動的本征態(tài)波函數(shù)為Bloch函數(shù)這里n為能帶標(biāo)記，k為簡約波矢，對應(yīng)的能量本征值為En(k)。將T(

)作用在

n,k(r)上得，由于是正交變換，因此，有另外，由于也是以Rl為周期的周期函數(shù)，因此，可以改寫為第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月這表明，用T(

)作用在Bloch函數(shù)的結(jié)果只是將簡約波矢k變換到另一個簡約波矢

k。根據(jù)上面的推論，它們應(yīng)具有相同的能量本征值。所以，有這表明，在k空間中En(k)具有對稱性，將取遍晶體點群的所有對稱操作，上式都成立。于是，我們就證明了，在k空間中En(k)具有與晶體點群完全相同的對稱性。第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月另外，由于在晶體中電子運動的哈密頓算符是實算符，H*＝H，所以，如果

n,k(r)是方程的解，那么

*n,k(r)也是方程的解，且這兩個解具有相同的能量本征值。即在晶體中，第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月另一方面，用－k取代k，得

需要指出的是，這個結(jié)論不依賴于晶體的點群對稱性，不管晶體中是否有對稱中心，在k空間中En(k)總是有反演對稱的。這實際上是時間反演對稱性的結(jié)果。

從以上討論可以看出，對于同一能帶，有來自于晶格的周期性來自于晶體的點群對稱性來自于時間反演對稱性第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月PP’’P’kxky以二維正方晶格為例，二維正方晶格的點群是C4V(4mm),所以，對于一般位置P，在簡約區(qū)中共有8個點與P點對稱相關(guān)。在這些點，電子都有相同的能量En(k)。因此，我們只需研究清楚簡約區(qū)中1/8空間中電子的能量狀態(tài)，就可以知道整個k空間中的能量狀態(tài)了。我們將這部分體積稱為簡約區(qū)的不可約體積。依此類推，對于立方晶系的Oh(m3m)點群，只需研究(1/48)

b即可。第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

XZM

kxky-/a/a-/a

對于一般位置k，簡約區(qū)中對稱相關(guān)的波矢量數(shù)就等于點群的階數(shù)。但若k在簡約區(qū)中的某些特殊位置（對稱點、對稱軸或?qū)ΨQ面）上，即在晶體點群中，存在某些對稱操作，使得

k=k

或k=k+Gl這時，簡約區(qū)中等價波矢量數(shù)就少于點群的階數(shù)。在二維正方晶格的簡約區(qū)中，k有以下特殊位置：第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

MXRZS

T

簡單立方晶格的簡約區(qū)中k的特殊位置：第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二、自由電子的能帶自由電子的能量為這里，k’為廣延波矢，不一定在簡約區(qū)中，但我們一定可以找到唯一一個倒格矢Gn’,使得k為簡約波矢。1.一維情況k為簡約波矢第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月為簡單，取k的單位為En(0)(k)的單位為第一能帶：n=1，n’=0相應(yīng)波函數(shù)：第二能帶：n=2，n’=－1相應(yīng)波函數(shù)：第三能帶：n=3，n’=1相應(yīng)波函數(shù)：第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二維情況：例：二維正方晶格的簡約區(qū)中沿

X（即kx）軸作出En(0)(k)曲線。為簡單，取kx、ky的單位為En(0)(k)的單位為

XZM

kxky-/a/a-/a在

X軸上，ky=0第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1)(0,1)(1,1)(1,1)相應(yīng)的波函數(shù)為顯然，當(dāng)n1和n2的絕對值最小時，相應(yīng)的能量最低。（第一布里淵區(qū)）（單）相應(yīng)的波函數(shù)：第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第一近鄰倒格點：（單）波函數(shù)：（雙）波函數(shù)：{（單）波函數(shù)：第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月第二近鄰倒格點：（雙）相應(yīng)的波函數(shù)：{（雙）相應(yīng)的波函數(shù)：{第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月L

XU,K

LX

U,KEnergy(eV)L

XU,K第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月§6.6能態(tài)密度和費米面一、能態(tài)密度1.定義能態(tài)密度：dSdk

kxkyEE+dEdZ為能量在E－E+dE兩等能面間的能態(tài)數(shù)（考慮了電子自旋），即能態(tài)密度為能帶中單位能量間隔內(nèi)的電子能態(tài)數(shù)。dZ=2

(k)(k空間中能量在E－E+dE兩等能面間的體積)第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月2.近自由電子的能態(tài)密度對于自由電子：在k空間中，能量為E的等能面是半徑為的球面，在球面上第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

考慮周期場的影響，在近自由電子情況下，周期場的影響主要表現(xiàn)在布里淵區(qū)邊界附近，而離布里淵區(qū)邊界較遠(yuǎn)處，周期場對電子運動的影響很小。以簡單立方晶體為例，考察第一布里淵區(qū)中等能面的一個二維截面。在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)外側(cè)附近各作一個自由電子的等能面（球面）。第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月0QQ’PNMM’在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)側(cè)：對自由電子：EP(0)=EQ(0)考慮周期場的影響：EQ(0)↘EQ，EP(0)EP

所以，EP>EQ在布里淵區(qū)邊界面的外測：對自由電子：EN(0)=EM(0),考慮周期場影響后，EM(0)↗EM，EN(0)EN，即，考慮周期場影響后，EM>EN。所以，考慮周期場影響后，在布里淵區(qū)邊界面的內(nèi)側(cè)與外側(cè)等能面均形成向外突出的凸面。第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月近自由電子的等能面近自由電子的能態(tài)密度EA第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月N(E)N(E)EBⅡEBⅡECⅠECⅠEE當(dāng)ECⅠ>EBⅡ時，出現(xiàn)能帶重疊；當(dāng)ECⅠ<EBⅡ時，有能隙（禁帶）。第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月3.緊束縛近似的能態(tài)密度

以簡單立方晶格s帶為例來研究緊束縛近似的能態(tài)密度的特征。

在k=0，即能帶底附近，等能面近似為球面，但隨著E的增大，等能面明顯偏離球面。第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月N(E)E0E0–6J1E0–2J1E0+6J1E0+2J1緊束縛近似的等能面緊束縛近似的能態(tài)密度

在、X、M和R點處，kE=0，這些點稱為VanHove奇點，這些點都是布里淵區(qū)中的高對稱點。E(Γ)E(X)E(M)E(R)第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二、費米面這里僅就近自由電子的費米面結(jié)構(gòu)進(jìn)行討論。對金屬，由于EＦ０>>KBT，所以，在T>0時，只有費米面附近的少量電子受到熱激發(fā)，其費米半徑的相對變化為在室溫下，這個比值約為10－2，因此，可以認(rèn)為金屬的費米面基本上與T無關(guān)。第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月1.費米面的構(gòu)造步驟

根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)畫出倒易空間中擴展的布里淵區(qū)圖形；按電子濃度求出相應(yīng)的費米半徑，并作出費米球

（或費米園）；將處在各個布里淵區(qū)中的費米球（園）分塊按倒格矢

平移到簡約區(qū)中，來自第n個布里淵區(qū)的對應(yīng)于第n個

能帶，于是在簡約區(qū)中得到對應(yīng)于各個能帶的費米面

圖形；按照近自由電子作必要的修正。第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月2.修正的依據(jù)

電子的能量只在布里淵區(qū)邊界附近偏離自由電子能量，

等能面在布里淵區(qū)邊界面附近發(fā)生畸變，形成向外突

出的凸包；等能面幾乎總是與布里淵區(qū)邊界面垂直相交；費米面所包圍的總體積僅依賴于電子濃度，而不取決

于電子與晶格相互作用的細(xì)節(jié)；周期場的影響使費米面上的尖銳角圓滑化。第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月證明在一般情況下，等能面與布里淵區(qū)邊界面垂直相交：在k空間中，En(k)具有反演對稱性，En(k)＝En(－k)又由于En(k)的平移對稱性，En(k)＝En(k

Gn’)在布里淵區(qū)邊界面附近，將k分解為k＝k∥＋k

，由于布里淵區(qū)邊界面是倒格矢的垂直平方面，所以，在布里淵區(qū)邊界面上，有第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月沿布里淵區(qū)邊界面的法線方向上，如果沿一個邊界面的法線方向上處處都有那么，與該邊界面相交的等能面必與此邊界面垂直。第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例：二維正方晶格近自由電子的費米面圖形。設(shè)二維晶格的晶格常數(shù)為a，晶體的原胞數(shù)為N，k的分布密度：如果晶體中平均每個原子有

個價電子，稱其電子濃度為

電子/原子。對于簡單晶格，每個原胞中只有一個原子，則晶體的價電子總數(shù)為第31頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月其中為簡約區(qū)的內(nèi)切園半徑電子濃度