北京工大附中由一道幾何題引發(fā)的思索旋轉變換習題課張椿2021/4/19[在此處鍵入文檔摘要。摘要通常為文檔內(nèi)容的簡短概括。在此處鍵入文檔摘要。摘要通常為文檔內(nèi)容的簡短概括。]

【教材分析】旋轉是初中學段學習的最終一種圖形的全等變換，及平移、軸對稱相結合在幾何的推理證明中起著舉足輕重的作用，尤其在作協(xié)助線、找尋全等三角形中的作用及其突出.本章的位置是在四邊形和勾股定理之后，因此許多中考中的四邊形以及直角三角形的題目已經(jīng)可以從圖形變換的角度來思索.這節(jié)課就是在學習了旋轉變換之后，為了培育學生用運動變化的視角視察、分析問題以及提高歸納、概括實力而設計的，同時在逐步弱化題目條件的探究過程中讓學生體會從特別到一般的、逐步提示事物本質的方法.【學情分析】學生已經(jīng)學習了平移、軸對稱和旋轉三種圖形變換，并且在解題過程中能夠看出哪些圖形是經(jīng)過這三種變換改變了位置，進而找到相應的全等三角形；也能通過這三種變換作簡單的協(xié)助線，構造全等圖形，并且在解題過程中漸漸具備了肯定的視察、抽象和分析實力。然而，圖形變換是一種運動變化的過程，這對于習慣了探討靜態(tài)圖形的學生來說仍是難點，另外學生運用精確的語言進展歸納、概括的實力仍有待提高.【教學目標】1、了解證明線段和、差的題型的協(xié)助線作法.2、通過閱讀相關材料、思索問題，體會幾何變換在解題時作協(xié)助線、構造全等三角形的作用.3、能夠仿照閱讀材料中的證明過程，寫出比擬嚴謹、詳盡的幾何推理過程.4、通過一系列一般化題目條件的探究過程，提高視察、分析、概括實力，體會從特別到一般的、逐步提示事物本質的方法.【教學重點】探究使得題目的結論成立的一般化條件，以及在探究過程中的協(xié)助線作法和幾何推理過程.【教學難點】使得題目的結論成立的一般化條件的探究過程.【教學過程】一、課前預習：仔細閱讀以下材料，思索并答復下列問題.〔學生提前預習，課上小組溝通、探討，學生補全證明過程并答復下列問題〕：如圖1-1，正方形ABCD中，點M、N分別在BC、DC邊上，BM＝DN，且∠MAN＝45°，連接MN.求證：BM＋DN＝MN．圖1-1圖1-3圖1-2圖1-1圖1-3圖1-2分析：此題的結論是線段和的形式，通常解決這種問題的協(xié)助線方法是：截長法或補短法.證法一：截長法如圖1-2，作AE⊥MN于E，只需證明BM＝EM，DN＝EN即可。由正方形的性質易證△ABM≌△AND，從而∠1＝∠2＝〔90°—∠MAN〕÷2＝°，AM＝AN，由三線合一得∠3＝∠°，所以∠1＝∠4，∠2＝∠3；由角平分線的性質可得BM＝EM，DN＝EN，所以MN＝ME＋NE＝BM＋DN.證法二：補短法如圖1-3，延長CB至點F，令BF＝DN，連接AF，只需證明FM＝MN即可。由正方形的性質易證△ABF≌△ADN〔表達了旋轉變換，即把△AND圍著點A順時針旋轉90°得到△ABF〕，從而AF＝AN，∠1＝∠2，所以∠FAM＝∠2＋∠3＝∠1＋∠3＝90°—∠MAN＝45°，得∠FAM＝∠MAN，進而可證明△AMF≌△AMN，所以MN＝MF＝BM＋BF＝BM＋DN.☆問題1：在以上兩種證明過程中，用到了哪些正方形的性質？AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°〔詳細列舉〕☆問題2：在上述兩種證明過程中，你發(fā)覺了哪幾種圖形變換？軸對稱和旋轉變換〔動態(tài)演示〕☆問題3：在證法二中，用到了全部題目條件了嗎？沒有用到哪個條件？假如去掉這個條件，圖形會有什么變化？在圖1-4中畫出變化后的圖形，重新設計此題，并進展證明.〔學生小組溝通，展示探討成果，相互補充、完善〕變式1：：如圖1-4，正方形ABCD中，點M、N分別在BC、DC邊上，且∠MAN＝45°圖1-4求證：BM＋DN＝MN．圖1-4證明：BM＝DN的條件沒有用到，留意圖形中要強調(diào).可能有學生會選用證法一，可以展示，讓學生找錯誤.你用的是哪種證法？兩種證法都能證明此題嗎？為什么？證法一不能證明此題，從協(xié)助線的作法看，無論是作垂線段還是直接截取都缺少全等的條件.二、深化探究變式2：：如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∠B＋∠D＝180°，點M、N分別在BC、DC邊上，∠MAN＝45°，連接MN.線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出揣測，并簡述證明過程．☆問題4：比擬變式2及變式1，條件、結論和證明過程有什么異同點？圖2〔學生帶著問題讀題，并視察變式1及變式2，思索并解答〕圖2揣測：BM＋DN＝MN．證明：條件：從∠B＝∠D＝90°變?yōu)椤螧＋∠D＝180°，其他不變.結論：不變證明過程：在證明△ABF≌△AND時，證明角等的過程有變化.變式3：圖3如圖3，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＋∠D＝180°，點M、N分別在BC、DC邊上，∠MAN須要滿意什么條件，才能得到BM＋DN＝MN？寫出揣測，并簡述證明過程．圖3揣測：當∠MAN＝60°時，BM＋DN＝MN.證明:☆問題7：由變式3你得到了什么啟示？進一步完善這個有關四邊形的命題，及同組同學探討后寫下來，并畫出圖形展示給大家看！(不須要證明)變式4：圖4圖形畫在這里?。喝鐖D4，四邊形ABCD中，①AB＝AD，②∠B＋∠D＝180°，點M、N分別在BC、DC邊上，且③.圖4圖形畫在這里！求證：BM＋DN＝MN.三、小結歸納通過本節(jié)課的學習，你有什么收獲？〔主要由學生小結，老師幫助整理語言〕從旋轉變換的角度作協(xié)助線，是全新的考慮問題的方式.題目條件從正方形到具有肯定條件的四邊形，漸漸一般化，但始終得到一樣的結論，學會了從特別到一般的提示問題本質的方法.提高了分析、歸納和推理實力等等.【課堂檢測】如圖①，有邊長為1的等邊三角形ABC和頂角為120°的等腰△DBC，以D為頂點作∠MDN=60°，兩邊分別交AB、AC于M、N，連結MN.〔1〕求證MN=BM+CN；〔2〕試說明△AMN的周長為2．圖②〔3〕如圖②假設M,N分別在AB,CA的延長線上，則〔1〕中結論還成立嗎？假如不成立，MN,BM,CN又滿意圖②圖圖①分層檢測，讓實力一般的學生完成〔1〕、〔2〕兩問，強化證明過程；讓實力較強