機器人機構當基砒

部分習題解答

第1章

緒論

1-1制作一個年表，記錄工業(yè)機器人發(fā)展的主要事件。

略

1-2制作一個年表，記錄并聯(lián)機器人發(fā)展的主要事件。

略

1-3查閱文獻，試回答連續(xù)體機器人與軟體機器人有何區(qū)別。

答：連續(xù)體機器人是一種新型仿生機器人,它模仿自然界中象鼻、章魚臂等動物器官的運動機理，自身不存

在運動關節(jié),但能依靠連續(xù)柔性變形來實現(xiàn)運動和抓取操作。由于連續(xù)體機器人可在任意部位產(chǎn)生柔性變形,

所以具有很強的避障能力,能夠更好地適應非結構環(huán)境、更牢靠地抓取各種不規(guī)則形狀的物體。因此它是對

傳統(tǒng)關節(jié)式機器人的補充,具有潛在的應用價值。

摘自：謝世鵬,倪風雷,王海榮,金明河.連續(xù)體機器人形狀檢測方法綜述[J].機械與電子,2015,(08):68-71.

軟體機器人是機器人領域的一個熱點，并被學術界視為一種最可能成為新一代機器人的發(fā)展方向，甚

至在工業(yè)領域的應用和對社會革命的影響都非常廣泛。軟體仿生機器人通常由軟體材料制作，與環(huán)境交互

時，相比剛性機器人擁有更好的柔順性和適應性。學者們正在進行相關的的研究，意在從根本上解決了機

械手與人和環(huán)境相互作用的問題，為解決復雜環(huán)境適應性差、靈活性差等提供了新的思路和方向。

摘自：褚凱梅，趙虎，馮凱，吳杰，朱銀龍.軟體仿生機器人研究現(xiàn)狀[J].林業(yè)機械與木工設

備，2021,49(11):4-10+16.DOI:10.13279/j.cnki.fmwe.2021.0143.

1-4查閱文獻，試給出在機器人機構創(chuàng)新方面做出重要貢獻的10個重要人物。

略

1-5查閱文獻，試給出在機器人機構學理論方面做出重要貢獻的10個重要人物。

略

1-6查閱文獻，試給出目前能代表機器人水平的10個機器人產(chǎn)品。

略

1-7查閱文獻，試給出目前能代表機器人機構學研究水平的10個實驗室名稱。

略

1-8"機器人三原則”由誰提出，具體內(nèi)容如何表述？

答：該原則最早在阿西莫夫的《我，機器人》中提出，阿西莫夫為這本書新寫了《引言》，而《引言》的小

標題就是《機器人學的三大法則》，把“機器人學三大法則”放在了最突出、最醒目的地位。而三大法則之

間的互相約束，為后世的創(chuàng)作有一定的指導意義。

三大法則具體表述如下：

?機器人不能傷害人類，也不能在人類受到傷害時袖手旁觀；

?機器人必須服從人類命令，除非這些命令與第一條原則相沖突；

?在不違背第一、二條原則的前提下，機器人必須保護自己免受傷害。

第2章

■

數(shù)學知識

2-1證明所有經(jīng)過坐標原點。的線矢量必然滿足？=Q=R=O。

2-2計算經(jīng)過點n(1,1,0)和點n(-l,1,2)的直線的Pliicker坐標，并正則化該線矢量。

2-3計算經(jīng)過點r(l,l,0)且直線軸線的方向余弦為(-1,1,2)的直線Plucker坐標，并正則化該線矢量。

FLA，、"，，———J-jτ

b?∣.正即化Y斗仁//,七丁J

T/.?二(，/，。)平,我苧兀(9,里切

［做3冬上珍)______________________

2-4填空：補充空格的數(shù)值，使之表示一條直線(或線矢量)。

⑴(1,2,_;0,-1,-2)

(2)(2,0,2;0,_,0)

⑶(1,_,0；0,0,0)

⑷0,0,1)

2-5確定以下兩條直線之間公法線的長度與夾角。

(I)λ1=(l,0,-nθ,l∕√2,θ)>L,=(0,0,1;6,0,0)

(2)t1=(-1,0,^0,-1/72,0),4=((),(),1;40,0)

2-6填空：補充空格的數(shù)值，使之表示一個滿足特定節(jié)距的旋量。

(1)(1,0,0;_,0,0).h=?

(2)(1,0,0;1,_,0).Λ=l

(3)(1,0,0;1,O),Λ=1O

(4)(l,_,O;l,O,O),A=I

fjft/，從QLM好6

2-7證明旋量的節(jié)距是原點不變量。

2-8當旋量與其自身互為反旋量時稱為自互易旋量(Self-reciprocalscrew)。試證明自互易旋量有且只有線

矢量和偶量兩種類型。

證福.吸九無性族量，若為級留姆重旃％

一39/O(S、5)十(y-γ)d")一一________

T~)OJA0_____

一?政八°asJ二。旦pJr_________

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；型也■必舒科M小廿”3+Cf地”)

R?為《二&)JK_

則*?尸(Hth)化J)MSXL"SX3(”9"----------

"二"3一一一------------

,網(wǎng)曰…----------------

_.嫁古攵上穿的姆篆右健倜的整包是儀自有旦勇技健熄.如---偶---篁---.-------------------

從射影幾何的角度來看，偶量可看作是處于無窮遠處的線矢量。試從極限的角度證明之。

2-9

2-10填空：補充空格的數(shù)值，使之表示一個單位旋量，并確定該旋量的節(jié)距和軸線坐標。

⑴(l∕√2,0,-jl,0,1)

I(2)(3∕5√2,4/5^,_；0,-5/4.1)

η

稚軸4族r量--jχ0j,/:2也,0-.3,0".39+-3靠)，>節(jié)跖h：fj."〃依

2-H試給出圖2-12所示單位正方體中12條邊所對應單位線矢量的旋量坐標表達,參考坐標系如圖中所示。

ffΛ√*`jf∕υ6f〃母N；。_

白(弛0N,-m∕j

時篌Y二的.:B-凡爐--------------------------

牽收族電力C，'/用.■八二5￡切-

車由SAY二以￡=(七3/a)7-

.<P(?Λ^;-------------------------A

LWgl放詞"“斗夕

I單用螳J★,?為1/川棲kg阻

圖2-12單位正方體

2-12試給出單位正方體中12條邊所對應單位偶量的旋量坐標表達，參考坐標系如圖2-10所示。

2-13旋量系的互易性滿足坐標系無關性(frameinvariant)。試證明：旋量系的互易積與坐標系的選擇無關。

2-14旋量系的階數(shù)滿足坐標系無關性(frameinvariant)。試證明：旋量系的階數(shù)與坐標系的選擇無關。

第3章

位姿描述與剛體運動

3-1一矢量P繞ZA軸旋轉30。，然后繞XA軸旋轉45。，求按上述順序旋轉后得到的旋轉矩陣。

答：

R=R（X,45）R（z,30）

100使-10

22

√2√2

n1且0

2222

n√2√2

0——001

22

-^

2----U

^2

--√6_72

4-

-^Vv

4√6√2

V^T

3-2物體坐標系｛B｝最初與慣性坐標系｛A｝重合，將坐標系｛B｝繞ZB軸旋轉30。，再繞新坐標系的XB軸旋轉

45。，求按上述順序旋轉后得到的旋轉矩陣。

答：

'cos（30）（）

-Sin300、\00

Sin（30）COS（30）00cos（45）-Sin（45）

0010Sin（45）COS（45）,

√3√2也、

COS（30）_Sin（30）cos（45）Sin（30）sin（45）、V4

?√6_76

sin（30）COS（30）cos（45）-COS（30卜in（45）

244

0sin（45）CoS（45）,√2√2√2

222;

3-3在什么條件下，兩個旋轉矩陣可以交換順序？

答：一般情況對于既有原點平移和姿態(tài)改變的變換是不滿足交換律的，只有在特殊情況下如：繞同一

坐標軸進行連續(xù)旋轉偏移，或者其中?個矩陣是單位矩陣時，旋轉矩陣可以交換。

3-4如果旋轉角度足夠小，任意兩個旋轉矩陣是否可以交換？

答：可以，角度足夠小時，結果與轉動順序無關。

3-5假設一個剛體內(nèi)嵌有兩個單位矢量，試證明，無論剛體如何旋轉，兩個矢量的夾角保持不變。

答：設兩向量為P，4,令旋轉軸為Z軸建立坐標系8,已知ZiMa,仇C)BqS,e,/),已知

坐標軸旋轉角度為夕，則

cosθ-Sine0

R=sin。CoSe0

001

此時p,q夾角為

BB_ad+be+Cf

p'q~∕a2+b2+c2+^+e2+f2

A坐標系下AP坐標為

CoSe-Sine0^aacosθ-bsinθ

sin6CoSeOb々sin。+/?COSe

001c

同理，q坐標為

dcos。一esin6

dSine+ecos6

_f_

此時

AP?AQ

_adcos2θ+besin2θ+adsin20÷?ecos2θ+cf

222212

y∣(acosθ-bsinθ)+(as?nθ+bcosθ)+c+?/(t/eos^-esin^)+(ds?v?θ+ecosθ)+f

_ad+be+cf

yja2+b2+c2÷y∣d~+e~+f2

="PA

由單位向量可知，單位向量點乘，結果為兩向量p,9夾角余弦值，所以兩矢量的夾角保持不變。

3-6證明任何旋轉矩陣行列式的值恒等于1。

證：由題意，假設有兩個坐標系A和B及其中的6個相互正交的單位向量EPtPZzpSs，工，28,則由

定義可得

*=(ASBAyBA與)=抑

考慮到｛B｝系坐標軸的三個單位向量都滿足相互正交、且模長為1,由此可以導出

f4?∩

W?:R=λyτ(A?A%ΛZ)=!

UvβJB3X3

兩邊同時取行列式可得

det。R)=I

得證(姿態(tài)矩陣的行列式等于對應旋轉矩陣的行列式值)

3-7證明KRT和RTR都是反對稱矩陣。

證：以R-P—丫角為例

W=WW記)

法/卑<與■]=(或X/①汴然成Xs)=Q然R

atatat)x'

根據(jù)歐拉旋轉定理，假設繞左軸轉過A0,當Aa足夠小時，角度與旋轉順序無關，因此可矢量合成

Na=?ɑ,+?αv+?α.

ClbaX

------=ωxλ+69yλ+0,z

dtxvy2

則

'O-OLω、

Zyv

Qt=CD二O-COx

Iy40,

為反對稱矩陣

則顯然

:R：RT=QKR：K

為反對稱矩陣。而對于B

AR':R

Bp-lBp_Br>I(?βBR—BRTcBBR

AKA?-%口4A"

由其對稱性可知其乘積為反對稱矩陣，也可計算驗證得到。

3-8求解姿態(tài)矩陣R的特性：

(1)求解姿態(tài)矩陣R的特征值，并求與特征值為1對應的特征向量;

r

(2)令姿態(tài)矩陣R=(Or.)，試證明del(R)=η(4χC3);

(3)證明姿態(tài)矩陣K滿足R〃=(R[〃]RT『。

答：(1)使用Z-Y-Z歐拉角表示旋轉矩陣

cφcθcψ-sφsψ-cφcθsψ-sφcψcφsθ

Rsφcθcψ+cφsψ-sφcθsψ+cφcψsφsθ

-sθcψsθsψcθ

cφcθcψ-sφsψ-a-cφcθsψ-sφcψcφsθ

IR-0/1=sφcθcψ+cφsψ-sφcθsψ+cφcψ一asφsθ

-sθcψsθsψcθ-a

=^cφcθcψ-sφsψ-a^-sφcθsψ+cφcψ-a^^cθ-a)-sθsψsφsθy

-(-cφcθsψ-sφcψ)?j?sφcθcψ+cφsψ)(Co-4)-{-sθcψsφsθ^

+cφsθ"sφcθcψ+cφsψ)sθsψ-{-sφcθsψ÷cφcψ一a)(一SeC夕)]

{cφcθcψ-sφsψ-a)[-c2θsφsψ+cφcθcψ-acθ+acθsφsψ-acφcψ+a?-s2θsψsφ^

+(cφcθsιμ+sφcψ)ysφc~θcψ+cφcθsψ+cψs~Θsφ^

Λ-[cφsθ)^cθcψsφsθsψ+cφsθs2ψ-cψcθsφsψsθ+cφc2ψsθ^=0

觀察上式為關于特征值。的3次方程，可以在復平面求出3個解析解。將其表示成關于3個轉角的數(shù)學

通式太過復雜，實際問題中可以代入實際角度進行數(shù)值計算。

考慮其特征值L利用R的性質(zhì)

RRr=R1R=X

.?.det(7?)=det(/?-')=1

???det(/?-/)

=det[(/?-7)7]

=det(∕?7-7)

=det(/?-1-7)

=det

=det(7?')det(Z-/?)

=det("R)

=(-l)3det(T?-/)

=-det(R-1)

.?.det(R-∕)=0

所以R?定有特征值工，其對應特征向量同樣可以在實際問題中通過數(shù)值計算求出

R=電f^22t^32

t

[乙323?>

r22丫32f2?Gl為1GI

det(R)=J一，2+

f23r33f23,22?2

ir2?Gl

^22z32_z3lr2}41

r

4(弓XG)=(J色G)J22r32=生+%

z23???f23z33r22,32

kG公

證畢

(3)略

3-9已知一剛體的齊次變換矩陣

?√3∕2-1/2O2、

∣∕20/2O4

OO1O

?°OO

試求解該變換的逆變換r」。

答：

(Rr-Rτp}

其中

r√[

--O

22

?BO

R=

22

OO1

7

因此可知

?O

22

I-，2、(6+2、

-1√3

RTP=O4=2上-1

?Z?

OO

I7

OO1

√

解得

?

0-√3-2

22

-1√3

TT=0-2√3+l

22

0010

k0001

3-10證明平面齊次變換矩陣(Pkmarhomogenoustransformationmatrix)滿足

‘cosα-SinaXQ-xpcosa+ypsina

D=SinaCOSayQ-ypsina-ypcosa

`θθ1)

答：假設點P經(jīng)過平移變換得到點B,點6經(jīng)過旋轉變換得到坐標系｛。｝

'R

PQ~RPP+PBORG

其中

(coSa-sine、

R=.

`sinɑcosσJ

(XQ)'cosα-sinaVxpΛ(XQ-XPCoSa+%sinc'

`sinɑCoSa(y0-尤PSina一力cos%

則

y

,cosα一SinaXQ-xpcosa+yps?na

'RPBORG'

—

D=SinaCoSayQ-xpsina-ypcosa

,\01

<°01>

3-11已知剛體繞Z軸方向的軸線旋轉30。，且軸線經(jīng)過點(1,1,O)T,求物體坐標系｛B｝相對慣性坐標系｛A｝的

位形。

答：設慣性坐標系為A系，固聯(lián)在剛體上的坐標系為B系，定義兩個中間坐標系A'和B',它們的

姿態(tài)分別與A、B系相同，它們的原點在(11O)',令A'系與A系固聯(lián)，B'系與5系固聯(lián)，則

017

?

f√3?

0

2^2

cos30-sin300、

?√3

:R=sin30cos300=0

2V

001,

0o1

√

r

"匕。KG=(IIo)

則

f√31n3-61

222

AT?VS,,1—5/3

J=—-0--------

222

OOlO

.0001,

此即為所求齊次變換矩陣。

3-12已知剛體繞X軸方向的軸線旋轉30。，且軸線經(jīng)過點(),0,1),求物體坐標系｛B｝相對慣性坐標系｛4｝

的齊次變換矩陣。

答：設慣性坐標系為A系，固聯(lián)在剛體上的坐標系為3系，定義兩個中間坐標系A'和B',它們的

姿態(tài)分別與A、B系相同，它們的原點在(1。1)7，令A'系與A系固聯(lián)，8'系與3系固聯(lián)，則

fARA

B/-網(wǎng)PA:ORG

JA=

01

?

00

I00

√3

0cos30-sin300

^2^~2

0sin30cos30

/?√3

0

2

OKG=(I0ι)r

則

<1000

0且??

2^22

BT=

0?1.走

222

10001Z

此即為所求齊次變換矩陣。

3-13已知一機器人末端工具中心點為p<>,求：經(jīng)過機器人的一般運動變換（旋轉餐.,和平移PMI）以后點

P的表達，并寫出其逆變換矩陣表達。

答：已知旋轉矩陣和平移矩陣，3xl，則該變換的齊次變換矩陣為

則運動變換后的點P表達式為

逆變換的旋轉矩陣

R=R7

?3

逆變換的平移矩陣

P=-R〃3xi=-乩“3x1

故逆變換的齊次變換矩陣為

3-14當前工業(yè)機器人領域經(jīng)常要定義4種坐標系：慣性坐標系仍｝、末端或工具坐標系｛口、圖像坐標系｛C｝

和工件坐標系｛W｝,如圖3-51所示。

圖3?51工業(yè)機器人

(1)基于圖中所給尺寸，試確定⑦和/;

U004、

(2)若7τO100,試求7。

a

O010

O001

'ιoo-P'0100、

OlOl1000

答：（1）。丁=，wT=

OOlO00-12

、°°01,、000ι?

'010-1、

100-3

(2)BT=

I00-12

、0001;

3-15試證明三次繞固定坐標軸XY-Z旋轉的最終姿態(tài)與以相反順序三次繞運動坐標軸x-y-z旋轉的最終姿

態(tài)相同，即Rzyx（a,β,γ）=Rιyχ（χ,夕,α）。

答：繞固定軸（絕對變換，連續(xù)左乘），先X軸轉α,再Y軸轉夕，最后繞Z軸轉/的旋轉,

其旋轉矩陣

cosβcosysinasinβcosγ-cosasinγcosasinβcos/+sinσsinγ

R=RZ⑺Rγ(a)Rχ(a)=cosβsinγsinαsinQSinγ+cosacosγcosasin尸Siny-sinacosγ

-sinβsinacosγCoSaCOSr

繞自身軸（相對變換，連續(xù)右乘）

COS/-sin/O-cosβ0sin∕7"^100

R=RM邸=RZ⑺R,(f)Rχ(a)=sin/cos/00100cosa一Sina

00?-sinβ0COSyff0sinaCOSa

CoSPCOSrsinasinβcosγ-cosasinγcosasinβcos/+sinasinγ

COS/7Sinysinasin∕7sin/+cosacosγcosasin夕Siny-sinacosγ

-sinyffsincrcosycosacosγ

可以看到二者是等價的。

3-16在描述空間剛體姿態(tài)的各種方法中，歐拉角描述被稱為是一種局部參數(shù)的描述方法。以Z-X-Z歐拉角

為例，試證明當。=0時，姿態(tài)矩陣奇異。

答：注：題目有誤，若按θ“）旋轉，當。=0時，姿態(tài)矩陣不可能奇異，故推測應為證

明6=0時，姿態(tài)矩陣奇異。

證明過程如下：

（1）當。=0時,

RKz?(。,aψ)=RZg)RNe)R人W)

'iOoYι00](cψsψ0、

—OlOoce-招sψcψ0

100"

?01JIkOSecθ)

(cψsψ0、

=cθsψcθcψ-sθ

~sθsψsθcψcθ)

可以求出。和”的確定解，故姿態(tài)矩陣無奇異狀態(tài)。

(2)當。=0時

R“(06⑺=旦(。)&(0)0(⑺

cφ-sφ0、勺0OVcψ-sψ0、

=sφcφ金OloWO

IOOj1001

N°ι>?

cφcψ-sφsψ-cφsψ-sφcψ0、

=sφcψ+cφsψ-sφsψ+cφcψ0

、001?

'c(φ+ψ)-5(。+〃)0、

=s<φ+ψ)c{φ-?-ψ)0

1001?

這是只能求出。與〃的和，故姿態(tài)矩陣奇異。

3-17在歐拉角的定義中，連續(xù)旋轉總是基于正交(坐標)軸來進行的，這種限制是否是必須的？

答：不是的，是為了方便計算，因為正交軸里各軸互不干涉。

3-18已知姿態(tài)矩陣

,√3∕2-1/2O'

R=√3∕43/4-1/2

1/4同4√3∕2

求與之等效的Z-X-Z歐拉角。

答：由姿態(tài)矩陣

f√3?O

22

√3

R=_1

T42

?√3√3

4T

/

得

Z—Y—Z歐拉角：(SineW0),兩組解

e=Atan2圖考

,

?7θ=30

φ=Afa〃2（一g,θ）

,e∈（o,%）=.Φ=-90

ψ=120

ψ=Atanl——4，——

I4J

夕=—30

￠=4a〃2（；,0

,e∈（-%,0）=?￠=90

ψ=-60

ιι∕=A.tcinI2---4--,一4J

Z-Y-X歐拉角：(CoSe≠o),兩組解

6=—14.48

4K）

φ=ManL—,。€（0,萬）=<￠=26.57

ψ=26.57

6=—165.5

φ=AtanZ---,6∈（-肛0）=<0=-153.4

-=—153.4

3-19已知姿態(tài)矩陣

r?OO'

R=O√3∕2-1/2

?01/275/2,

求與之等效的R-P-Y角。

答：因為

θ=+看)=A2(0,VΓ+0)=0≠-^?

所以存在兩組解。

D第一組解

6=0

<φ=Atan2^r2］+?j?)=Atan2(0,1)=0

ψ=Atan2(^2,^3)=Atan2=30

2)第二組解

=A∕6ZH2(0,—Jl+0)=—180

φ-4〃〃2(-弓］,一。］)=Amn2(0,-l)=-180

ψ=Atan{-r,2-r^=Atan=-150

3-20已知姿態(tài)矩陣

‘010、

R=00-1

-?θθ?

求與之對應的等效軸-角及相應的歐拉參數(shù)。

答：直接代入

￡。=；/+々+々+/

可得其歐拉參數(shù)為:

1111

因此該姿態(tài)矩陣的單位四元數(shù)為：

再將姿態(tài)矩陣代入式(4.133)和式(4.135)中，可得等效軸-角為:

3-21T&T(Tilt&Torsion)是加拿大學者BeneV提出的一種描述剛體姿態(tài)的方法，它實質(zhì)上是一種修正的

Z-KZ歐拉角。如果某類機構在運動過程中始終滿足Torsion角為零，該機構稱為零扭角機構(zero-

torsionmechanism)?試通過查閱文獻，找出3~5種零扭角機構的例子。

答：略

3-22試證明相似變換

&(，)=旦(O)K.(6>)El3)=KNdθ,-φ)

答：已知姿態(tài)矩陣為正交矩陣，有

Μ(。)=用3)

則可以得到

‘cos一0-sin-00、’cos。Sino0]

凡(一￠)=Sin一°COS一?0二-sinCoSo0

;00IJLo01>

所以

aKO，。,—。)=R人φ)R?(θ)R人f=Rv)Ry(θ)W'(φ)

等式右邊得證

由于

'c2φcθ+s~φcθsφcφ-sφcφcφsθ

22

RZVZ（0。,-￠）-cθsφcφ-sφcφcθsφ+cφsφsθ

-sθcφsθsφcθ

轉換為等效轉軸和轉角為

θ=cos-1+寸3-1)=CoST(浮>°

(G2一(—2sin°si∏e)j—sin^、

a=--------%-4ι=--------2cossin=cos。

2sin^2sin

<r2?~~r?2)?θ√?θ>

即存在使得等式左邊得證。

Ra(e)

綜上

凡(夕)=RZe)R?(θ)R[(φ)=Ra,aw

證畢

3-23若姿態(tài)矩陣

'一20、

R=%r22r23

?G1f32

能用只具有兩個參數(shù)的歐拉角來描述，即