根底數(shù)列六大類型:常數(shù)數(shù)列;(2)等差數(shù)列;(3)等比數(shù)列;(4)質(zhì)數(shù)型數(shù)列;(5)周期數(shù)列;(6)簡(jiǎn)單遞推數(shù)列。單數(shù)字發(fā)散：一個(gè)數(shù)字可以變化為不同兩個(gè)數(shù)字多種相加、減、乘、除、冪指數(shù)加減修正數(shù)和階乘加減修正數(shù)的形式多數(shù)字聯(lián)系：〔1〕將各個(gè)數(shù)字化為同種形式，如冪指數(shù)，找出數(shù)字存在的規(guī)律，如指數(shù)與底數(shù)分別為等差、等比、質(zhì)數(shù)列等數(shù)列；〔2〕第三個(gè)數(shù)字由第一、二個(gè)數(shù)字經(jīng)過(guò)加、減、乘、除、冪運(yùn)算、位數(shù)、數(shù)字修正后得到二、三級(jí)特殊數(shù)列：做差后的數(shù)列根本類型:、三級(jí)質(zhì)數(shù)數(shù)列;、三級(jí)周期數(shù)列;、三級(jí)冪次數(shù)列;、三級(jí)遞推數(shù)列;5.其他二級(jí)特殊數(shù)列。做商多級(jí)數(shù)列根本特征:數(shù)字之間倍數(shù)關(guān)系比擬明顯。三大趨勢(shì):(1)數(shù)字分?jǐn)?shù)化、小數(shù)化;(2)兩兩做商得到一個(gè)“非等差形式”簡(jiǎn)單數(shù)列;(3)兩兩做商得到一個(gè)“非整數(shù)形式”簡(jiǎn)單數(shù)列。題型拓展根本知識(shí)點(diǎn):1.多級(jí)數(shù)列近年來(lái)在考查形式上，出現(xiàn)了少量?jī)蓛勺龊团c兩兩做積的類型;“級(jí)層深度化”(比方四級(jí)數(shù)列)、“運(yùn)算靈活化”(不一定是相鄰項(xiàng)的運(yùn)算)兩種趨勢(shì)。第三章多重?cái)?shù)列數(shù)列根本類型:(1)交叉數(shù)列:數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別呈現(xiàn)規(guī)律;(2)分組數(shù)列:數(shù)列中數(shù)字兩兩分組，然后進(jìn)行組內(nèi)的“十一X=”等四那么運(yùn)算。數(shù)列根本特征:(1)數(shù)列較長(zhǎng):多重?cái)?shù)列加上未知項(xiàng)，一般共8項(xiàng)或8項(xiàng)以上;(2)兩個(gè)括號(hào):如果數(shù)列含有兩個(gè)未知項(xiàng)，那么幾乎可以判定這一定是多重?cái)?shù)列。第一節(jié)交又?jǐn)?shù)列根本解題思想:1一般交叉數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)獨(dú)立成規(guī)律，分別是兩個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)列;2.在交叉數(shù)列中，如果奇數(shù)項(xiàng)規(guī)律明顯而偶數(shù)項(xiàng)規(guī)律不明顯，那么偶數(shù)項(xiàng)的規(guī)律可能依賴于奇數(shù)項(xiàng)的規(guī)律，如奇數(shù)項(xiàng)兩兩做和構(gòu)成偶數(shù)項(xiàng)，反之亦然。第二節(jié)分組數(shù)列根本解題思想:1.分組數(shù)列一般只有兩兩分組的情況，所以項(xiàng)數(shù)(包括未知項(xiàng))一般是8或10項(xiàng);“+一又令”等運(yùn)算，這是分組數(shù)列的根本解題思想;3.事實(shí)上有大量的數(shù)列題，既可以看成交叉數(shù)列，也可以看成分組數(shù)列，最終可以得到相同的結(jié)果。題型拓展主要方向:“機(jī)械分組”，即將數(shù)列當(dāng)中的每個(gè)數(shù)字的每一位拆開(kāi)單獨(dú)進(jìn)行考慮，從而形成某種規(guī)律;2.多重?cái)?shù)列還可能在分組方式(首尾分組)和交叉方式(三項(xiàng)交叉)上進(jìn)行拓展。核心提示所有機(jī)械分組數(shù)列都有一個(gè)根本特征:每個(gè)數(shù)字都較大，并且所有數(shù)字位數(shù)都相等。中間數(shù)字是兩邊數(shù)字的和機(jī)械分組為:[161151,[24122],[361291,[541361,[xIyl,第一組16,24,36,54,x構(gòu)成等比數(shù)列，x=81;第二組15,22,29,36,y構(gòu)成等差數(shù)列，Y=43.機(jī)械分組為:[1211201,[1210601,[1210401,[1210301,[12102410機(jī)械分組為:[1I4I31,[1!512],[2}2141,[311141,[3121的三個(gè)數(shù)字之和均為8機(jī)械分組，每個(gè)數(shù)字的個(gè)位數(shù)除以十位數(shù)分別得:1,2,3,4,5,60機(jī)構(gòu)分組，每個(gè)數(shù)字的個(gè)位數(shù)等于其百位與十位數(shù)字之和。機(jī)械分組為:[461351,[371281,[321251.,[261211,[221191,[141前一個(gè)數(shù)字減去后一個(gè)數(shù)字分別得11,9,7,5,3,10機(jī)械分組，將每個(gè)數(shù)字的百位和十位放到一起，千位和個(gè)位放到一起，得到這樣的形式:[141141,[26113],[451151,[52113],[851171,[96116]，每組前一個(gè)數(shù)字除以后一個(gè)數(shù)字分別得1,2,3,4,5,60械分組，其中年份、月份、日期分別成等差數(shù)列首尾分組數(shù)列:3+(9)=6+6=7+5=10+2=120[注釋〕事實(shí)上，對(duì)于所有首尾分組兩兩相加為定值的數(shù)列到一個(gè)對(duì)稱數(shù)列。三項(xiàng)交叉數(shù)列:第一、四、七、十項(xiàng):4,6,8,10偶數(shù)數(shù)列第二、五、八、十一項(xiàng):3,6,12,(24)等比數(shù)列第三、六、九、十二項(xiàng):2,3,5,7質(zhì)數(shù)數(shù)列第四章分?jǐn)?shù)數(shù)列根本知識(shí)點(diǎn):(1)經(jīng)典分?jǐn)?shù)數(shù)列是以數(shù)列中分子分母為研究對(duì)象的數(shù)列形式(2)當(dāng)數(shù)列中含有少量非分?jǐn)?shù)形式，常常需要以“整化分”的方式將其形式統(tǒng)一;(3)當(dāng)數(shù)列中含有少量分?jǐn)?shù)，往往是以下三種題型:①負(fù)冪次形式;②做積商多級(jí)數(shù)列;③遞推積商數(shù)列。第一節(jié)基市分?jǐn)?shù)數(shù)列根本分?jǐn)?shù)數(shù)列解題思路:1.觀察特征，各分?jǐn)?shù)的分子與分母之間存在一個(gè)直觀的簡(jiǎn)單規(guī)律。2.分組觀察，分子與分母分別為一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列。觀察特征:從第二項(xiàng)開(kāi)始數(shù)列中每個(gè)數(shù)的分子為前一個(gè)數(shù)分子、分母之和，分母為前一個(gè)數(shù)分母與自身分子之和。[解一〕分組觀察:分子是遞推和數(shù)列，分母也是遞推和數(shù)列?！步舛秤^察特征:從第二項(xiàng)開(kāi)始數(shù)列中每個(gè)數(shù)的分子為前一個(gè)數(shù)的分母，分母為前一個(gè)數(shù)分子與分母之和。分組觀察:分子是等差數(shù)列，分母是等比數(shù)列，符號(hào)皆為負(fù)分組觀察:分子是平方數(shù)列，分母是等差數(shù)列，符號(hào)正負(fù)交替。分組觀察:分子是二級(jí)等差數(shù)列，分母是二級(jí)等差數(shù)列。分組觀察:分子是等差數(shù)列，分母是二級(jí)等比數(shù)列。分組觀察:分子是等差數(shù)列，分母是二級(jí)等差數(shù)列。分組觀察:分母是等差數(shù)列，分子是二級(jí)等差數(shù)列。分組觀察特征:分子是二級(jí)等比數(shù)列，分母為前一個(gè)分?jǐn)?shù)分子、分母之和。第二節(jié)典型解題技巧典型解題技巧分類:(1)經(jīng)典約分;(2)經(jīng)典通分;(3)分子通分;(4)分母/分子有理化。一、經(jīng)典約分:當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子與分母含有相同因子時(shí)，應(yīng)將其化成最簡(jiǎn)式所有分?jǐn)?shù)都可以約分變?yōu)?/3二、經(jīng)典通分:當(dāng)分?jǐn)?shù)的分母很容易化為一致時(shí)，將其化為相同數(shù)三、分子通分:當(dāng)分?jǐn)?shù)的分子很容易化為一致時(shí)，將其化為相同數(shù)四、分母/分子有理化:當(dāng)分?jǐn)?shù)中含有根式時(shí)，對(duì)其進(jìn)行分母(或分子)有理化第三節(jié)反約分型數(shù)列根本知識(shí)點(diǎn):1.“反約分”是指同時(shí)擴(kuò)大數(shù)列當(dāng)中某些分?jǐn)?shù)的分子與分母(分?jǐn)?shù)大小未變)，從而使得分?jǐn)?shù)的分子數(shù)列與分母數(shù)列形成簡(jiǎn)單數(shù)列;2.“反約分”數(shù)列是分?jǐn)?shù)數(shù)列中最具技巧的一類，也是現(xiàn)在分?jǐn)?shù)數(shù)列出題的主要方向。第四節(jié)題型拓展帶分?jǐn)?shù)數(shù)列〔整數(shù)局部、分子、分母局部分別具有規(guī)律〕小數(shù)數(shù)列(整數(shù)局部、小數(shù)局部分別具有一定規(guī)律)根式數(shù)列(底數(shù)局部、根指數(shù)局部分別具有一定規(guī)律)根式數(shù)列中有個(gè)別還是根式形式的，要與其他根式形式統(tǒng)一，如都化為帶根指數(shù)的根式或不帶根指數(shù)形式的根式，再看根指數(shù)與底數(shù)之間或各自有何規(guī)律第五章冪次數(shù)列根本類型:(1)根底冪次數(shù)列，平方數(shù)列、立方數(shù)列、變冪次數(shù)列等;(2)冪次修正數(shù)列，平方修正數(shù)列、立方修正數(shù)列、變冪次修正數(shù)列等。備考重點(diǎn)方向:(1)熟悉所有常用冪次數(shù)、冪次變換法那么;(2)熟悉冪次數(shù)附近相關(guān)數(shù)的數(shù)字特征。第一節(jié)根底冪次數(shù)列負(fù)數(shù)的平方，因此比一般平方數(shù)列隱蔽得多，應(yīng)特別留意。第二節(jié)冪次修正數(shù)列修正項(xiàng)為常數(shù)情形修正項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)的情形修正項(xiàng)呈等差數(shù)列的情形第三節(jié)題型拓展修正項(xiàng)復(fù)雜化修正項(xiàng)數(shù)字?jǐn)U大化。修正項(xiàng)數(shù)字等差正負(fù)化。修正項(xiàng)數(shù)列化。參照數(shù)列復(fù)雜化拓展參照數(shù)列底數(shù)多樣化〔質(zhì)數(shù)列、合數(shù)列及其他數(shù)列〕。參照數(shù)列指數(shù)多樣化〔周期數(shù)列等〕。第六章遞推數(shù)列第一節(jié)遞推數(shù)列綜合介紹根本定義:所謂遞推數(shù)列，是指數(shù)列中從某一項(xiàng)開(kāi)始，其每項(xiàng)都是通過(guò)它前面的項(xiàng)經(jīng)過(guò)一定的運(yùn)算得到。根本類型:差、商、和、方、積、倍六種，包括根本型與修正型。遞推差數(shù)列遞推差數(shù)列:前兩項(xiàng)之差等于第三項(xiàng)。[特征〕整體遞減，相部三項(xiàng)構(gòu)成明顯差關(guān)系。遞推差數(shù)列:第一項(xiàng)減去第二項(xiàng)，再減去第三項(xiàng)，等于第四項(xiàng)。[特征〕整體遞減，相部四項(xiàng)構(gòu)成明顯差關(guān)系。另外:當(dāng)數(shù)列較長(zhǎng)時(shí)，優(yōu)先考慮“三項(xiàng)遞推”。遞推商數(shù)列遞推商數(shù)列:前兩項(xiàng)之商等于第三項(xiàng)。[特征〕整體遞減，相鄰三項(xiàng)構(gòu)成明顯商關(guān)系。遞推商修正數(shù)列:第一項(xiàng)除以第二項(xiàng)，再減1，等于第三項(xiàng)。遞推和數(shù)列遞推和數(shù)列:前兩項(xiàng)之和等于第三項(xiàng)。[特征〕整體遞增，增長(zhǎng)平緩，相鄰三項(xiàng)構(gòu)成明顯和關(guān)系。遞推和數(shù)列:前三項(xiàng)之和等于第四項(xiàng)。[特征]整體遞增，增長(zhǎng)平緩，相部四項(xiàng)構(gòu)成明顯和關(guān)系。另外:當(dāng)數(shù)列較長(zhǎng)時(shí)，優(yōu)先考慮“三項(xiàng)遞推”。遞推和修正數(shù)列:第一項(xiàng)加上第二項(xiàng)，再減1，等于第三項(xiàng)。遞推方數(shù)列遞推方數(shù)列:第一項(xiàng)的平方等于第二項(xiàng)?！蔡卣鳌痴w遞增，增長(zhǎng)疾速，相鄰兩項(xiàng)構(gòu)成明顯平方關(guān)系。遞推平方數(shù)列不可能很長(zhǎng)。注意使用“尾數(shù)法”判定選項(xiàng)。遞推積數(shù)列遞推積數(shù)列:前兩項(xiàng)之積等于第三項(xiàng)。[特征〕整體遞增，增長(zhǎng)較快，相鄰三項(xiàng)構(gòu)成明顯積關(guān)系。遞推積修正數(shù)列:第一項(xiàng)乘以第二項(xiàng)，再加1，等于第三項(xiàng)。遞推積修正數(shù)列:第一項(xiàng)加上2，再乘以第二項(xiàng)，等于第三項(xiàng)。遞推積修正數(shù)列:第二項(xiàng)加上1，再乘以第一項(xiàng)，等于第三項(xiàng)。遞推增倍數(shù)列:第一項(xiàng)乘以2，等于第二項(xiàng)。遞推減倍數(shù)列:第一項(xiàng)乘以1/3，等于第二項(xiàng)。遞推增倍修正數(shù)列:第一項(xiàng)乘以2，再加1，等于第二項(xiàng)。遞推減倍修正數(shù)列:第一項(xiàng)乘以1/3，再減2，等于第二項(xiàng)。遞推減倍修正數(shù)列:第一項(xiàng)減去1，再乘以1/3，等于第二項(xiàng)。第二節(jié)整體趨勢(shì)法整體趨勢(shì)法解“遞推數(shù)列”根本思路:(1)看趨勢(shì)，根據(jù)數(shù)列當(dāng)中數(shù)字的整體變化趨勢(shì)初步判斷遞推的具體形式;(2)作試探，根據(jù)初步判斷的趨勢(shì)作合理的試探，并分析其誤差，即“修正項(xiàng)”。前兩項(xiàng)之差，再加1，等于第三項(xiàng)。前兩項(xiàng)之商，再加1，等于第三項(xiàng)。第一項(xiàng)除以4，再減1，等于第二項(xiàng)。第一項(xiàng)加上第二項(xiàng)，再減2，等于第三項(xiàng)。第一項(xiàng)的平方，加上1，等于第二項(xiàng)。前兩項(xiàng)之積，再加1,等于第三項(xiàng)。前兩項(xiàng)相乘，再加3，等于第三項(xiàng)。第一項(xiàng)乘以4，再加3，等于第二項(xiàng)。二、“數(shù)列型修正項(xiàng)”遞推數(shù)列在本節(jié)前面“根底遞推數(shù)列”局部，我們只需要根據(jù)數(shù)列的“整體變化趨勢(shì)”即可大概掌握解題思路，即使存在“修正項(xiàng)”，也都是常數(shù)數(shù)列(要么都是加1，要么都是減2、減3之類)。下面介紹的“數(shù)列型修正項(xiàng)”遞推數(shù)列，指的是修正項(xiàng)不再是常數(shù)數(shù)列，而是一些其他的簡(jiǎn)單數(shù)列(比方等差數(shù)列、等比數(shù)列等)的遞推數(shù)列形式。整體遞增，數(shù)字之間無(wú)明顯和、方、積關(guān)系，但有較明顯的3倍關(guān)系。用每個(gè)數(shù)字的3倍與后面的數(shù)字比擬時(shí)，得到修正項(xiàng)分別是十1,+0,-1,-2,-3,-4(等差數(shù)列)，得到結(jié)果為:63X3-4=185。整體遞增，數(shù)字之間無(wú)明顯和、方、積關(guān)系，但有較明顯的2倍關(guān)系。用每個(gè)數(shù)字的2倍與后面的數(shù)字比擬時(shí)，得到修正項(xiàng)分別是+3,+5、十7,+9(等差數(shù)列)，得到結(jié)果為:77X2+9=1630整體遞減，相部三個(gè)數(shù)字沒(méi)有明顯的差、商關(guān)系，但有較明顯的2倍關(guān)系。用每個(gè)數(shù)字除以2與后面的數(shù)字比擬時(shí)，得到修正項(xiàng)分別是+1,+2,+4,+8(等比數(shù)列)，得到結(jié)果為:20=2+8=180第三節(jié)遞推聯(lián)系法遞推聯(lián)系法解“遞推數(shù)列”。(1)定義:通過(guò)研究遞推數(shù)列當(dāng)中相鄰兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)字之間的“遞推聯(lián)系”，從而找到解題關(guān)鍵的方法。(2)作用:“遞推聯(lián)系法”與“整體趨勢(shì)法”是解答遞推數(shù)列的兩種獨(dú)立的方法。相對(duì)而言，前者求解更為迅速，后者解題更加填密而不易遺漏。對(duì)于較難、較新的題型而言，“遞推聯(lián)系法”更容易幫助考生找到答案，但要求考生有較高的“數(shù)字敏感”度(即多數(shù)字遞推聯(lián)系)。考生可以在實(shí)踐中熟練掌握兩種方法，在具體練習(xí)當(dāng)中對(duì)照使用適宜的方法。(3)分類:①兩項(xiàng)遞推(研究三數(shù)字遞推聯(lián)系);②一項(xiàng)遞推(研究?jī)蓚€(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系)。一、兩項(xiàng)遞推聯(lián)系法使用法那么:圈定數(shù)列當(dāng)中三個(gè)相鄰數(shù)字(要求數(shù)字簡(jiǎn)單而不失代表性)，研究這三個(gè)數(shù)字當(dāng)中前兩個(gè)數(shù)字運(yùn)算得到第三個(gè)數(shù)字的所有簡(jiǎn)單遞推形式，將得到的遞推形式代人到其他數(shù)字之間進(jìn)行驗(yàn)算，全部吻合者為最終規(guī)律。研究“15,26,43”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“研究“5,7,17”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“研究“40,56,68”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“40+56-研究“3,12,45”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“研究“6,12,27”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“研究“22,8,28”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“研究“2,4,3”原題數(shù)字很大，我們將每個(gè)數(shù)除以16，得到2,3,2、一2,-8,()。我們研究“2,-2,-8"三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“(-2-2)X2=-8",驗(yàn)算可知全部成立。研究“3,7,16”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“3^研究“3,7,16”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“研究“144,18,9”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“144/研究“15,10,215”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“15^研究“4,9,25”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“(4-9)^研究“157,65,27”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“研究“7,23,83”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“二、一項(xiàng)遞推聯(lián)系法使用法那么:圈定數(shù)列當(dāng)中兩個(gè)相鄰數(shù)字(要求數(shù)字簡(jiǎn)單而不失代表性)，研究這兩個(gè)數(shù)字當(dāng)中前一個(gè)數(shù)字運(yùn)算得到第二個(gè)數(shù)字的所有簡(jiǎn)單遞推形式，將得到的遞推形式代人到其他數(shù)字之間進(jìn)行驗(yàn)算，全部吻合者為最終規(guī)律。研究“144,18,9”三數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“144/研究“137,281”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“137X2+7=281",驗(yàn)算可知全部成立。研究“59,117”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“59X2-1=117"，而我們驗(yàn)算“29,59”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)“29X2十1=59"，進(jìn)一步驗(yàn)算得知，修正項(xiàng)是+1,-1交替，所以答案為117X2+1=235.研究“74,38”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“74/2+1=38"，而我們驗(yàn)算“38,18”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)“38=2-1=18"，進(jìn)一步驗(yàn)算得知，修正項(xiàng)是+1,-1交替研究“111,448”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“(111+1)X4=448"，而我們驗(yàn)算“36,111”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)“(36+1)X3=111"，進(jìn)一步驗(yàn)算得知，遞增倍數(shù)分別為1,2,3,4,5倍研究“25,121”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“25X5-4=121"，而我們驗(yàn)算“7,25”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)“7X4-3=25"，進(jìn)一步驗(yàn)算得知，遞增倍數(shù)分別為2,3,4,5,6倍，修正項(xiàng)分別為一1、一2、一3、-4,-5，研究“40,61”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系，易知“40X1.5+1=61"，而我們驗(yàn)算“13,40”兩個(gè)數(shù)字遞推聯(lián)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)“13X3-I-1=40"，進(jìn)一步驗(yàn)算得知，遞增倍數(shù)分別為6,3,1.5,0.75倍第四節(jié)題型拓展前兩個(gè)數(shù)相乘，取個(gè)位，得到第三個(gè)數(shù)?！沧⑨尅巩?dāng)數(shù)列中數(shù)字出現(xiàn)長(zhǎng)串個(gè)位數(shù)時(shí)，注意取尾數(shù)。"77,49,28”滿足“77-49=28","28,16,12”滿足“28-16=12"，[注釋〕"49,28,16”與“7+1=8,8+2=10,8+3=11,()=10+4=146+7=13,7十8=15,8+13=21,13+15=()=28,15+21=36第七章圖形數(shù)陣常見(jiàn)題型類型:(1)圓圈型數(shù)陣:有心圓圈題、無(wú)心圓圈題;(2)九宮格數(shù)陣:3X3矩陣形式;(3)變形型數(shù)陣:三角形數(shù)陣、環(huán)形數(shù)陣、正方形數(shù)陣、長(zhǎng)方形矩陣等。第一節(jié)圓圈題根本類型:(1)有心圓圈題(周邊數(shù)字通過(guò)運(yùn)算得到中間數(shù)字)。(2)無(wú)心圓圈題(周邊數(shù)字之間滿足一個(gè)根本運(yùn)算等式)。觀察角度:上下、左右、交叉(其中“交叉”觀察是最常見(jiàn)的)。運(yùn)算法那么:根本法那么是“加減乘除”，較少見(jiàn)的法那么有“倍數(shù)”和“乘方”。奇數(shù)法那么:(1)如果有一個(gè)圓圈中有奇數(shù)個(gè)奇數(shù)，那么這道題通常無(wú)法僅通過(guò)“加減”來(lái)完成，一般都優(yōu)先考慮“乘法”或，’除法”。(2)如果每個(gè)圓圈中都是偶數(shù)個(gè)奇數(shù)，那么一般先從簡(jiǎn)單的“加減”著手。一、有心圓圈題〔分析〕此題第一個(gè)圈中有4個(gè)奇數(shù)，第二個(gè)圈中有2個(gè)奇數(shù)，因此從簡(jiǎn)單的“加減”著手。另外，此題中間數(shù)字明顯比擬大而周邊的四個(gè)數(shù)字比擬小，所以可以考慮周邊相加。核心提示當(dāng)“有心圓圈題”涉及到“乘法”的時(shí)候，我們可以研究中心數(shù)字的特點(diǎn):1.如果前兩個(gè)中心數(shù)字都很容易分解，那么應(yīng)當(dāng)優(yōu)先將其分解，然后在周邊數(shù)字當(dāng)中構(gòu)造因數(shù)，即“先加減，后相乘”;2.如果前兩個(gè)中心數(shù)字中有一個(gè)數(shù)字較大且不易分解，那么應(yīng)當(dāng)優(yōu)先從周邊數(shù)字著手，選取其中兩個(gè)數(shù)字先相乘，然后進(jìn)行修正，即“先相乘，后加減”。此題第二個(gè)圈中有3個(gè)奇數(shù)，僅通過(guò)“加減”一般無(wú)法得到結(jié)果。又由于兩個(gè)中心數(shù)字都比擬好分解，優(yōu)先考慮“先加減，后相乘”的情形。此題第一個(gè)圈中有1個(gè)奇數(shù)，僅通過(guò)“加減”一般無(wú)法得到結(jié)果。又由于兩個(gè)中心數(shù)字都比擬好分解，優(yōu)先考慮“先加減，后相乘”的情形?！步馕觥?6+6)X(3+2)=60,(3+3)X(3+3)=36-?=(7+6)X(8+9)=221.此題第二個(gè)圈中有3個(gè)奇數(shù)，僅通過(guò)“加減”一般無(wú)法得到結(jié)果。又由于第二個(gè)圈圈中的中心數(shù)字不易分解，故應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮“先相乘，后加減”的情形。[解析〕6X2+4+4=20;3X4+3+2=17-->3X5+2+1=?，因此?=180此題第一個(gè)圈中有3個(gè)奇數(shù)，僅通過(guò)“加減”一般無(wú)法得到結(jié)果。前兩個(gè)中心數(shù)字都比擬容易分解，比方:4=1X4=2X2，但周邊四個(gè)數(shù)字不易構(gòu)造出“1和4”或者“2和2"，因此同樣可以考慮“先相乘，后加減”的情況。[解析〕4X3一3一5=4,6X4一2一4=18一?=3X6一7一2=90〔分析〕此題第二個(gè)圈中有1個(gè)奇數(shù)，僅通過(guò)“加減”一般無(wú)法得到結(jié)果。通過(guò)對(duì)此題當(dāng)中數(shù)字之間關(guān)系的觀察，可以發(fā)現(xiàn):第一個(gè)圈當(dāng)中的“13與26","7與21"，第二個(gè)圈當(dāng)中的“5與20","2與8”都滿足非常明顯的倍數(shù)關(guān)系，可以考慮“除法”[解析]26/13+21/7=5,20/5+8/2=8—>?=23/23+10/5=3二、無(wú)心圓圈題{核心提示“有心圓圈題”一般以中心數(shù)字為目標(biāo)，對(duì)周邊數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算，而“無(wú)心圓圈題”形式上并沒(méi)有一個(gè)確定的“目標(biāo)”，我們對(duì)每個(gè)圓圈當(dāng)中的四個(gè)數(shù)字一般這樣考慮:“兩個(gè)數(shù)字的加(減、乘、除)-另外兩個(gè)數(shù)字的加(減、乘、除)”。把一個(gè)兩位數(shù)拆成“個(gè)位數(shù)字”與“十位數(shù)字”，然后分置圓圈的兩個(gè)位置，這是“無(wú)心圓圈題”的一個(gè)特色，需要各位考生特別注意。當(dāng)“無(wú)心圓圈題”需要涉及乘法計(jì)算，并且四個(gè)數(shù)字當(dāng)中有明顯較大與明顯較小的數(shù)字時(shí)，優(yōu)先考慮較小的數(shù)字相乘。此題第一個(gè)圈中有兩個(gè)奇數(shù)，第二個(gè)圈中有兩個(gè)奇數(shù)，因此我們從簡(jiǎn)單的“加減”著手。[解析]根據(jù)3+8=5+6,4+9=3+10-4+6=3+?~?=70分析〕此題第一個(gè)圈中有2個(gè)奇數(shù)，第二個(gè)圈中有2個(gè)奇數(shù)，因此我們從簡(jiǎn)單的“加減”著手。[解析〕15-9=2+4,20-11=3+6一>-4=6+7一>=17[注釋]事實(shí)上，此題也可以理解為左上角的數(shù)字等于另外三個(gè)數(shù)字之和?！步馕觥?X7=35;8X8=64，右上角的數(shù)與左下角的數(shù)的乘積的個(gè)位數(shù)字填在右下角，十位數(shù)字填在左上角，4X7=?8，因此?=20〔分析」第二個(gè)圖中，數(shù)字的差距比擬大，在考慮乘法運(yùn)算時(shí)，優(yōu)先考慮較小的兩個(gè)數(shù)字所在位置即左上角和左下角兩個(gè)數(shù)字的乘積。[解析〕3X7=10+11,5X8=16+24-4X10=10+?一?=30每一行構(gòu)成公比為1/4的等比數(shù)列,每一列構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列。每一行的和等于33，每一列的和也等于33每一行的和分別等于20,30,40每一行中:第三個(gè)數(shù)+第二個(gè)數(shù)一第一個(gè)數(shù)=121=3+6X3,81=27+18X3,63=9+?X3，因此?=18沿行的方向看:(72+37)X2=218,[23+(-12)IX2=22第三節(jié)題型拓展圖形樣式的拓展2X11一2一10=10,3X4一5一6=1,5X6一13一7=周圍一圈四個(gè)數(shù)加起來(lái)等于中間數(shù)(7+8一2)X2=26;(3+6一4)X2=10->?2X3X5/2=15,7X4X2/2=28,4X3X6/2=363X4+1+2=15;4X7+2+3=33-?二、運(yùn)算方式的拓展4^=7+9,7^=20+29,?^=23+77=100—>?=101'+1=2,3^+2=11,+4=68第二列:7X2=5+9;第三列:7X3=8+13;第四列:6X4=8+16；第一列:28X1=(19)+90考察角度的拓展三個(gè)正方形自左上角開(kāi)始，順時(shí)針觀察分別為1,2,3,4；1,3,7,15；1,4,13,?。兩兩做差分別得到1,1,1;2,4,8;3,9,(27)-?一13=27-?-40數(shù)學(xué)運(yùn)算二、約數(shù)倍數(shù)核心提示研究多個(gè)數(shù)字的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)是數(shù)學(xué)運(yùn)算題?？嫉母准寄?，我們?cè)诤竺娴恼鹿?jié)中還會(huì)遇到與上面例題類似的題型，這就要求各位考生一定要好好掌握其內(nèi)涵與求法。三、整數(shù)特性2,4,8整除及余數(shù)判定根本法那么1.一個(gè)數(shù)能被2(或5)整除，當(dāng)且僅當(dāng)其末一位數(shù)能被2(或5)整除;2，一個(gè)數(shù)能被4(或25)整除，當(dāng)且僅當(dāng)其末兩位數(shù)能被4(或25)整除;3一個(gè)數(shù)能被8(或125)整除，當(dāng)且僅當(dāng)其末二位數(shù)能被8(或125)整除;4一個(gè)數(shù)被2(或5)除得的余數(shù)，就是其末一位數(shù)被2(或5)除得的余數(shù);5一個(gè)數(shù)被《或25)除得的余數(shù)，就是其末兩位數(shù)被4(或25)除得的余數(shù);6一個(gè)數(shù)被8(或125)除得的余數(shù)，就是其末三位數(shù)被8(或125)除得的余數(shù)【例】:'1972的末兩位數(shù)字“72”能被4整除:.1972能被4整除【例】':2008的末三位數(shù)字“008”能被8整除:.2008能被8整除[例】':8903的末兩位數(shù)字“03”除以“25:.8903除以25余3[例]':8903的末三位數(shù)字“903”除以“125:.8903除以125余283,9整除及余數(shù)判定根本法那么1一個(gè)數(shù)能被3整除，當(dāng)且僅當(dāng)其各位數(shù)字和能被3整除;2一個(gè)數(shù)能被9整除，當(dāng)且僅當(dāng)其各位數(shù)字和能被9整除;3.一個(gè)數(shù)被3除得的余數(shù)，就是其各位數(shù)字和被3除得的余數(shù);4一個(gè)數(shù)被9除得的余數(shù)，就是其各位數(shù)字和被9除得的余數(shù)。[例]]52+47+284+183的各位數(shù)字之和為:5+2+4+7+2十8+4+1+8+3=4444不能被9整除:.這個(gè)和不能被9整除44除以9余8..這個(gè)和除以9余87整除判定根本法那么1.一個(gè)數(shù)是7的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其末一位的兩倍，與剩下的數(shù)之差為7的倍數(shù);2.一個(gè)數(shù)是7的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其末三位數(shù)，與剩下的數(shù)之差為7的倍數(shù)。[例]':362末一位“2”的兩倍“2X2=4"，與剩下的“36”之差“:.362不能被7整除[例】':23015末三位“015”與剩下的“23”之差“:.23015不能被7整除11整除判定根本法那么1.一個(gè)數(shù)是11的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和做的差為11的倍數(shù);11的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)其末三位數(shù)，與剩下的數(shù)之差為11的倍數(shù)?！纠?:7394奇數(shù)位之和“7十9=16”與偶數(shù)位之和“3+4=7”做的差“16-7=:.7394不能被11整除[例]':15235末三位“235”與剩下的“15”之差“:.15235能被11整除13整除判定根本法那么一個(gè)數(shù)是13的倍數(shù)，當(dāng)月_僅當(dāng)其末三位數(shù)，與剩下的數(shù)之差為13的倍數(shù)[例]181235末三位“235”與剩下的“181”之差:.181235不能被13整除核心提示從上述表述中，我們發(fā)現(xiàn)7,11,13有一個(gè)相同的整除判斷法那么，就是判斷其末三位數(shù)與剩下的數(shù)之差。這源自以下經(jīng)典分解:1001=7X11X13四、奇偶法那么1.奇數(shù)十奇數(shù)一偶數(shù);偶數(shù)+偶數(shù)一偶數(shù);偶數(shù)十奇數(shù)一奇數(shù);奇數(shù)+偶數(shù)一奇數(shù);2.奇數(shù)一奇數(shù)一偶數(shù);偶數(shù)一偶數(shù)一偶數(shù);偶數(shù)一奇數(shù)一奇數(shù);奇數(shù)一偶數(shù)一奇數(shù);3.奇數(shù)X奇數(shù)一奇數(shù);偶數(shù)X偶數(shù)一偶數(shù);偶數(shù)X奇數(shù)一偶數(shù);奇數(shù)X偶數(shù)一偶數(shù);4.兩個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，那么它們奇偶相反，兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，那么它們奇偶相同;5.兩個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，那么其差也為奇數(shù)，兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)，那么其差也為偶數(shù)。先判斷答案的奇偶性，排除幾個(gè)選項(xiàng)后，再用代入法檢驗(yàn)即可得答案第二節(jié)代人排除法與數(shù)字特性法一、代入排除法“代入排除法”作為數(shù)學(xué)運(yùn)算的第一大思想，根源于數(shù)學(xué)運(yùn)算試題的“客觀單項(xiàng)選擇”特性。很多問(wèn)題正面求解相當(dāng)困難，但結(jié)合選項(xiàng)來(lái)看卻相當(dāng)容易，“答案選項(xiàng)”是整個(gè)試題的有機(jī)組成局部，孤立地看題干而忽略選項(xiàng)是考生答題時(shí)最大的誤區(qū)之一!“代入排除法”廣泛運(yùn)用于多位數(shù)問(wèn)題、不定方程問(wèn)題、同余問(wèn)題、年齡問(wèn)題、周期問(wèn)題、復(fù)雜行程問(wèn)題、和差倍比問(wèn)題等等。后面介紹的“數(shù)字特性法”和各類“典型解題思想”也都或多或少的引人了“代人排除”的思想。核心提示“直接代人”的時(shí)候，如果問(wèn)的是“最少/最小……”，那么應(yīng)該從最小的數(shù)開(kāi)始代人;如果問(wèn)的是“最多/最大··，…”，那么應(yīng)該從最大的數(shù)開(kāi)始代人。同樣，如果問(wèn)的是“第一次/下一次……”，應(yīng)從最早的時(shí)刻開(kāi)始代人，這樣可減少一些運(yùn)算量二、數(shù)字特性法“數(shù)字特性法”指的是:不正面直接求解題目的答案，而是根據(jù)答案所應(yīng)滿足的“數(shù)字特性”來(lái)排除選項(xiàng)的方法。這些數(shù)字特性包括:(1)大小特性;(2)奇偶特性;(3)尾數(shù)特性;(4)倍數(shù)特性;(5)因子特性;(6)余數(shù)特性;(7)冪次特性…‘’‘。第三節(jié)典型解題思想在數(shù)學(xué)運(yùn)算解題中，有些特殊的解題思想可以很好的幫助我們?nèi)ニ伎己徒鉀Q問(wèn)題，對(duì)于這些解題思想的掌握是迅速、準(zhǔn)確得到最終正確答案的關(guān)鍵。這些典型解題思想包括:(1)構(gòu)造法;(2)極端法;(3)枚舉法;(4)歸納法;(5)逆向法;(6)圖示法……一、構(gòu)造法構(gòu)造法解題時(shí)直接構(gòu)造出滿足條件的情況，從而得到答案的方法。二、極端法極端法題目中假設(shè)出現(xiàn)了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字樣，通?？煽紤]極端分析法。其根本思想是構(gòu)造“極端”的情形