第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.1空間向量及其加減運算⒈定義：既有大小又有方向的量叫向量．幾何表示法：用有向線段表示；

字母表示法：用字母a、b等或者用有向線段的起點與終點字母表示．相等的向量：

長度相等且方向相同的向量．ABCD平面向量復(fù)習(xí)⑴向量的加法：aba+b平行四邊形法則aba+b三角形法則⑵向量的減法aba-b三角形法則⒉平面向量的加減運算加法交換律：a＋b＝b＋a

加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

推廣⒊平面向量的加法運算律ABCDABCDABCDABCDA1B1C1D1CABDba平面向量概念加法減法運算律減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結(jié)合律具有大小和方向的量空間向量及其加減運算aabab+OABbC空間向量的加減法加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結(jié)合律成立嗎？平面向量概念加法減法運算律減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結(jié)合律具有大小和方向的量空間向量及其加減運算加法結(jié)合律abcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+加法交換律：a＋b＝b＋a

加法結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

推廣空間向量的加法運算律ababOABb結(jié)論：空間任意兩個向量都是共面向量，所以它們可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示。因此凡是涉及空間任意兩個向量的問題，平面向量中有關(guān)結(jié)論仍適用于它們。思考：它們確定的平面是否唯一？思考：空間任意兩個向量是否可能異面？ABCDABCDA1B1C1D1ABCDa平行六面體：平行四邊形ABCD平移向量到A1B1C1D1的軌跡所形成的幾何體.a記做ABCD-A1B1C1D1已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，化簡下列向量表達式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。(如圖)ABCDA1B1C1D1始點相同的三個不共面向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所示向量例1ABCGD在空間四邊形ABCD中,化簡練習(xí)1加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結(jié)合律平面向量概念加法減法運算律減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結(jié)合律具有大小和方向的量空間向量及其加減運算小結(jié)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.2空間向量的數(shù)乘運算2、平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算向量加法的三角形法則ab向量加法的平行四邊形法則ba向量減法的三角形法則aba－ba＋ba(k>0)ka(k<0)k向量的數(shù)乘a加法減法數(shù)乘運算數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零數(shù)乘分配律平面向量概念運算律減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結(jié)合律具有大小和方向的量空間向量及其加減運算a(k>0)ka(k<0)k空間向量的數(shù)乘K=0?0aabab+OABbC空間向量的加減數(shù)乘分配律數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零加法減法數(shù)乘運算數(shù)乘:ka,k為正數(shù),負數(shù),零數(shù)乘分配律平面向量概念運算律減法:三角形法則加法:三角形法則或平行四邊形法則空間向量具有大小和方向的量加法交換律加法結(jié)合律具有大小和方向的量空間向量及其加減運算加法交換律加法:三角形法則或平行四邊形法則減法:三角形法則加法結(jié)合律已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例1已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例2ABCDA1B1C1D1ABCDA1B1C1D1一、共線向量:零向量與任意向量共線.

1.共線向量:如果表示空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量(或平行向量),記作

2.共線向量定理:對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數(shù)使共線向量與共面向量推論:如果為經(jīng)過已知點A且平行已知非零向量的直線,那么對任一點O,點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t,滿足等式OP=OA+t其中向量叫做直線的方向向量.OABPa

若P為A,B中點,則1.下列說明正確的是：A.在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線B.在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線C.在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線D.在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線2.下列說法正確的是：A.平面內(nèi)的任意兩個向量都共線B.空間的任意三個向量都不共面C.空間的任意兩個向量都共面D.空間的任意三個向量都共面練習(xí)一DC二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空間任意兩個向量是共面的，但空間任意三個向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對使下列命題中正確的有：A.1個B.2個C.3個D.4個練習(xí)二D空間向量的數(shù)乘運算小結(jié)123共線向量的概念與共線向量定理共面向量的概念與共面向量定理第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.3空間向量的數(shù)量積運算一、兩個向量的夾角兩條相交直線的夾角是指這兩條直線所成的銳角或直角，即取值范圍是(0°,90°],而向量的夾角可以是鈍角,其取值范圍是[0°,180°]練習(xí)1二、兩個向量的數(shù)量積注意：(1)兩個向量的數(shù)量積，其結(jié)果是個數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．(2)兩個向量的數(shù)量積是兩個向量之間的一種乘法，與以前學(xué)過的數(shù)的乘法是有區(qū)別的，因此我們書寫向量的數(shù)量積時，只能用符號a·b，而不能用a×b，也不能用ab．練習(xí)2三、空間兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)(1)空間向量的數(shù)量積具有和平面向量的數(shù)量積完全相同的性質(zhì)(2)性質(zhì)(2)是用來判斷兩個向量是否垂直，性質(zhì)(5)是用來求兩個向量的夾角．(3)性質(zhì)(3)是實數(shù)與向量之間轉(zhuǎn)化的依據(jù)．已知空間四邊形OABC中，M，N，P，Q分別為BC，AC，OA，OB的中點，若AB=OC，求證：PM⊥QN．證明：例1四、空間向量數(shù)量積的運算律與平面向量一樣，空間向量的數(shù)量積滿足如下運算律：向量數(shù)量積的運算適合乘法結(jié)合律嗎?即(a?b)c一定等于a(b·c)嗎?已知空間向量a，b滿足|a|=4，|b|=8，a與b的夾角是150°，計算：(1)(a+2b)·(2n-b)；(2)|4a一2b|．例2lαOPAa在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。已知：如圖，PO,PA分別是平面α的垂線，斜線,AO是PA在平面α內(nèi)的射影，例3αnlmgnzmgl如圖，m,n是平面α內(nèi)的兩條相交直線。如果l⊥m,l⊥n,求證：l⊥α例4五、三垂線定理及其逆定理

(1)相關(guān)概念①正射影：已知平面a和一點A，過點A作a的垂線l與a相交于點A’，則A’就是點A在平面a內(nèi)的正射影，簡稱射影．②斜線：如果一條直線AB和平面a相交點B，但不和a垂直，那么直線AB叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點B叫做斜足，斜線上一點A與斜足B之間的線段叫做斜線段AB．(2)三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．(3)三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直．(1)三垂線定理及其逆定理中都出現(xiàn)了四條線AB，AC，BC，l，定理中所描述的是AC(斜線)、BC(射影)、l(面內(nèi)的直線)之間的關(guān)系．在三垂線定理及其逆定理中，涉及上面四條線，三個垂直關(guān)系①垂線AB和平面a垂直；②射影BC和直線l垂直；③斜線AC和直線l垂直，所以定理稱為“三垂線定理”．(2)兩個定理的區(qū)別①從兩個定理的條件和結(jié)論上區(qū)分，三垂線定理是“線與射影垂直推出線與斜線垂直”，逆定理相反．②從兩個定理的作用上區(qū)分，三垂線定理解決已知“共面直線垂直推出異面直線垂直”，逆定理相反．

(3)利用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵是要善于從各種圖形中找出“平面的垂線”“平面的斜線”“斜線的射影”．(4)三垂線正逆定理是立體幾何中重要定理，是共面兩直線的垂直關(guān)系與空間兩直線的垂直關(guān)系之間相互轉(zhuǎn)化的判定定理，它的實質(zhì)是通過線線垂直得到線面垂直又轉(zhuǎn)化為線線垂直，它是證線線垂直的重要方法，它的用途是在作圖中，作二面角的平面角；在證題中，證線線垂直；在計算中，用歸面法歸攏已知條件便于計算．在四面體ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求證：AD⊥BC．練習(xí)3兩個向量的夾角小結(jié)123兩個向量的數(shù)量積空間向量數(shù)量積的運算律4三垂線定理第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示共線向量定理共面向量定理復(fù)習(xí)回顧平面向量基本定理任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底a、b、c都叫做基向量空間向量的基本定理如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底一、空間直角坐標(biāo)系

單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3

表示

空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這樣就建立了一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標(biāo)向量.通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面.二、向量的直角坐標(biāo)系給定一個空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1，e2，e3為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo)，記作p=(x,y,z).

在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中，對空間任一點，A,對應(yīng)一個向量OA，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使OA=xe1+ye2+ze3

在單位正交基底e1,e2,e3中與向量OA對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，叫做點A在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).xyzOA(x,y,z)e1e2e3例

1已知向量{a，b，c}是空間的一個基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個基底．練習(xí)1例

2解：練習(xí)

2小結(jié)12空間向量的基本定理單位正交基底3如何建立空間直角坐標(biāo)系第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運算3.1.5空間向量運算的坐標(biāo)表示復(fù)習(xí)回顧向量的直角坐標(biāo)系給定一個空間坐標(biāo)系和向量,且設(shè)e1，e2，e3為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

有序數(shù)組(x,y,z)叫做p在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中的坐標(biāo)，記作p=(x,y,z).向量的直角坐標(biāo)運算設(shè)則設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1)