第第頁專題07直線與圓、圓錐曲線直線與圓1．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】圓，即，它的圓心坐標(biāo)和半徑分別為.故選：A.2．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃盎颉笔恰皥A與圓存在公切線”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先求兩圓內(nèi)含時(shí)a的取值范圍，然后可得兩圓有公切線時(shí)a的取值范圍，即可得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以兩圓的圓心距為，兩圓內(nèi)含時(shí)，即，解得，所以當(dāng)兩圓有公切線時(shí)，或，所以“或”是“圓與圓存在公切線”的充要條件．故選：C．3．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知圓，則下列結(jié)論正確的有（

）A．若圓和圓外離，則B．若圓和圓外切，則C．當(dāng)時(shí)，圓和圓有且僅有一條公切線D．當(dāng)時(shí)，圓和圓相交【答案】BCD【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】.若和外離，則，解得或，故A錯(cuò)誤；若和外切，，解得，故B正確；當(dāng)時(shí)，和內(nèi)切，故C正確；當(dāng)時(shí)，和相交，故D正確.故選：BCD4．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┰谥苯亲鴺?biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(1)求這兩條直線的普通方程（結(jié)果用直線的一般式方程表示）；(2)若這兩條直線與圓都相離，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)【分析】（1）通過消參法求得正確答案；（2）根據(jù)圓心到直線的距離列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為，則，兩式相減得直線的參數(shù)方程為，則代入，得；（2）圓的圓心為，半徑為，若與圓相離，所以，即，解得.5．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若為直角三角形，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)的軌跡，再利用圓的幾何性質(zhì)求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)，且為直角三角形，得，連接，則，即四邊形是正方形，，因此點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，而，于是，所以的取值范圍為.故選：D6．（2024·江西吉安·吉安一中?？家荒＃┮阎獔AC：及點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．直線與圓C始終有兩個(gè)交點(diǎn)B．若M是圓C上任一點(diǎn)，則|MQ|的取值范圍為C．若點(diǎn)在圓C上，則直線PQ的斜率為D．圓C與軸相切【答案】B【分析】根據(jù)題意分別求出圓心，半徑，由直線過定點(diǎn)可對A判斷；利用圓外一點(diǎn)到圓上距離知識可對B判斷；由在圓上可求得，即可對C判斷；根據(jù)圓心到軸的距離從而可對D判斷.【詳解】依題意，圓C：，圓心，半徑，對于A，直線恒過定點(diǎn)，而點(diǎn)在圓C外，則過點(diǎn)的直線與圓C可能相離，故A不正確；對于B，，點(diǎn)Q在圓C外，由得：，故B正確.對于C，點(diǎn)在圓C上，則，解得，而點(diǎn)，則直線PQ的斜率為，故C不正確；對于D，點(diǎn)到x軸距離為7，大于圓C的半徑，則圓C與軸相離，即圓C與x軸不相切，故D不正確；故選：B7．（2024·河北·校聯(lián)考一模）已知圓，直線與圓交于，兩點(diǎn).若為直角三角形，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直線與圓相交的弦長公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A，圓心為，半徑為，即因?yàn)闉橹苯侨切?，所?設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，所以，化簡得.故選：A.8．（2024·廣東深圳·?？家荒＃┮阎獔AC：，則下列命題是真命題的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．存在直線與所有的圓都相切C．當(dāng)時(shí)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為D．當(dāng)時(shí)，直線為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則最小值為4【答案】BCD【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對稱，得得值，檢驗(yàn)半徑是否大于零，即可判斷A；根據(jù)直線與圓相切的充要條件判斷B；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定的最值即可判斷C；根據(jù)直線與圓相切的切線長與切點(diǎn)弦關(guān)系可判斷D.【詳解】解：圓C：，整理得：，所以圓心，半徑，則對于A，若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，所以，得，又時(shí)，，方程不能表示圓，故A是假命題；對于B，對于圓，圓心為，半徑，則，當(dāng)直線為時(shí)，圓心到直線的距離，故存在直線，使得與所有的圓相切，故B是真命題；對于C，當(dāng)時(shí)，圓的方程為，圓心為，半徑由于為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則式子可表示直線，此時(shí)表示直線的縱截距，故當(dāng)直線與圓相切時(shí)，可確定的取值范圍,于是圓心到直線的距離，解得或，則，所以的最大值為，故C為真命題；對于D，圓的方程為，圓心為，半徑，如圖，連接，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，且可得，又，所以，且平分，所以，則，則最小值即的最小值，即圓心到直線的距離，所以的最小值為，故D為真命題.故選：BCD.9．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┮阎本€交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．9 B．16 C．27 D．30【答案】D【分析】根據(jù)題中條件，先求得弦的中點(diǎn)的軌跡方程，則的幾何意義為兩點(diǎn)到直線的距離之和，即點(diǎn)到直線距離的2倍，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，連接，則，即，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)直線為，則到的最小距離為，過分別作直線的垂線，垂足分別為，則四邊形是直角梯形，且是的中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，所以，即，即，所以的最小值為30.故選：D.10．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）已知是圓上的兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若點(diǎn)到直線的距離為，則B．若，則C．若，則的最大值為6D．的最小值為【答案】ACD【分析】對于A選項(xiàng)：利用圓的弦長公式即可求解；對于B選項(xiàng)：運(yùn)用余弦定理即可求解；對于C選項(xiàng)：將轉(zhuǎn)化為到直線的距離之和的倍，進(jìn)而求解；對于D選項(xiàng)：利用數(shù)量積公式即可求解；【詳解】依題意，圓的圓心，半徑為如圖所示：對于A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，故選項(xiàng)A正確；對于B選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以在中，由余弦定理可得?所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)：由，其幾何意義為到直線的距離之和的倍設(shè)的中點(diǎn)為,結(jié)合梯形的中位線可知：則有，因?yàn)?，所?在直角三角形中，,所以點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.因?yàn)榈降木嚯x為，所以，所以，故選項(xiàng)C正確；對于D選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?dāng)所成的角為時(shí)，.故選項(xiàng)D正確;故選：ACD.橢圓11．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┤绻麢E圓的離心率為，則（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分焦點(diǎn)在x軸和在y軸兩種情況，分別得到a,b的表達(dá)式，進(jìn)而求得c的表達(dá)式，然后根據(jù)離心率得到關(guān)于k的方程，求解即可．【詳解】解：因?yàn)闄E圓的離心率為，當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，可得：，解得，當(dāng)時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在軸上，可得：，解得．或.故選：B．12．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，且的周長為8，則（

）A． B．的離心率為C．可以為 D．可以為直角【答案】AC【分析】根據(jù)已知可得、，進(jìn)而有，結(jié)合橢圓性質(zhì)求相交弦長的范圍及焦點(diǎn)三角形內(nèi)角的范圍判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由，如下圖周長為，故，所以，橢圓離心率為，A對，B錯(cuò)；當(dāng)軸，即為通徑時(shí)，且，所以，故可以為，C對；由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，且，故，即不可能為直角，D錯(cuò).故選：AC13．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知為橢圓上一點(diǎn)，分別為的左、右焦點(diǎn)，且，若外接圓半徑與其內(nèi)切圓半徑之比為，則的離心率為．【答案】【分析】由橢圓性質(zhì)及定義有，結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓、外接圓相關(guān)性質(zhì)求對應(yīng)半徑，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次方程，即可得求離心率.【詳解】由題意，在中，所以其外接圓半徑，內(nèi)切圓的半徑為，故.故答案為：14．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，，則該橢圓的離心率為．【答案】/【分析】分析得四邊形為矩形，則得到為正三角形，再利用橢圓定義和離心率定義即可.【詳解】令橢圓的左焦點(diǎn)為，半焦距為，分別連接，，由，得四邊形為矩形，而，則為正三角形，所以，，，則橢圓離心率為，故答案為：.15．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則的最小值為.【答案】/【分析】設(shè)，解三角形可得，，利用兩點(diǎn)距離公式求的最小值，結(jié)合平方關(guān)系可求的最小值.【詳解】設(shè)，由已知，由對稱性可得,所以，則，，且，因?yàn)?，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，又，所以，所以.所以的最小值為.故答案為：.16．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤魴E圓和的方程分別為和（且）則稱和為相似橢圓．己知橢圓，過上任意一點(diǎn)P作直線交于M，N兩點(diǎn)，且，則的面積最大時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得為的中點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，求得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由為的中點(diǎn)可得，利用弦長公式求出，表示出，根據(jù)，判斷求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，所以，所以的面積為，由，可得為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，，設(shè)，，則，，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，，所以的面積為，綜上，，又，又，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由可得為的中點(diǎn)，由此得到，將此關(guān)系代入并化簡可將表示為一個(gè)變量的函數(shù)，從而利用二次函數(shù)求最值.17．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗(yàn)證即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件，利用進(jìn)行計(jì)算，換元法求值域即可.【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，所以的方程為；（2）由題意可設(shè)，設(shè)，，由，整理得，．由韋達(dá)定理得，，由得，即，整理得，因?yàn)椋茫獾没?，時(shí)，直線過定點(diǎn)，不合題意，舍去；時(shí)，滿足，所以直線過定點(diǎn)．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，在上單調(diào)遞減，所以的范圍是．

18．（2024·江西吉安·吉安一中?？家荒＃┤鐖D，D為圓O：上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為A，B，連接并延長至點(diǎn)W，使得，點(diǎn)W的軌跡記為曲線．(1)求曲線C的方程；(2)若過點(diǎn)的兩條直線，分別交曲線C于M，N兩點(diǎn)，且，求證：直線MN過定點(diǎn)；(3)若曲線C交y軸正半軸于點(diǎn)S，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G，H，直線SH，SG分別交x軸于P，Q兩點(diǎn)．請?zhí)骄浚簓軸上是否存在點(diǎn)R，使得？若存在，求出點(diǎn)R坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)證明見解析，(3)存在，【分析】（1）設(shè)，求得D點(diǎn)并代入，化簡求得曲線C的方程；（2）設(shè)的方程為，直線的方程為，將直線的方程與曲線C的方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)，對進(jìn)行分類討論，由此證得直線過定點(diǎn)并求得定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）假設(shè)存在點(diǎn)使得，先求得，設(shè)出G，H的坐標(biāo)，由直線SH和直線SG的方程求得P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合G在曲線C上求得R點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）設(shè)，，則，由題意知，所以，得(，所以，因?yàn)?，得，故曲線C的方程為．（2）由題意可知，直線不平行坐標(biāo)軸，則可設(shè)的方程為：，此時(shí)直線的方程為．由，消去得：，解得：或(舍去)，所以，所以，同理可得：．當(dāng)時(shí)，直線的斜率存在，，則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)直線方程為：，也過定點(diǎn)，綜上所述：直線過定點(diǎn)．（3）假設(shè)存在點(diǎn)R使得，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，直線與曲線C交于不同的兩點(diǎn)G、H，易知G、H關(guān)于軸對稱，設(shè)，易知點(diǎn)，直線方程是，令得點(diǎn)P橫坐標(biāo)，直線方程是，令得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)，由，得，又在橢圓上，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得成立．19．（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，若一條斜率不為0的直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式，即可利用待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，即可求解的值.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：設(shè)，由于該直線斜率不為0，可設(shè)，聯(lián)立方程和，得，恒成立，根據(jù)韋達(dá)定理可知，，，，，．20．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為H，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓E上．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，．若M，N分別為直線AP，BQ與y軸的交點(diǎn)，記，的面積分別為，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得，再將點(diǎn)代入橢圓方程中，結(jié)合可求出，從而可求出橢圓方程，（2）設(shè)直線，，，將直線方程代入橢圓方程消去，整理后利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得，表示出直線AP的斜率，直線的斜率，而，代入化簡即可【詳解】（1）由，得（c為半焦距），∵點(diǎn)在橢圓E上，則．又，解得，，．∴橢圓E的方程為．（2）由（1）知．設(shè)直線，，．由消去x，得．顯然．則，．∴．由，，得直線AP的斜率，直線的斜率．又，，，∴．∴．∵．∴．21．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獧E圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)過的兩條互相垂直的直線分別交橢圓于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)分別為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得到與的關(guān)系，將點(diǎn)代入橢圓方程即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理得到兩根之和兩根之積，從而得出，的坐標(biāo)，分別討論直線的斜率情況，進(jìn)而得到直線的方程以及直線過定點(diǎn)，計(jì)算兩種情況下的面積即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意知．又，所以．把點(diǎn)代入橢圓方程，得，解得．故橢圓的方程為．（2）由題意知直線的斜率均存在且不為零．設(shè)直線的方程為，且．由消去，得．所以，．而，所以．同理得．若，則，此時(shí)直線的斜率不存在，可得直線．此時(shí)，所以；若，則直線的斜率為，可得直線：．化簡，得．所以直線過定點(diǎn)．所以．令，則．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．所以，即.綜上，.所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，定點(diǎn)問題，最值問題；意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用設(shè)而不求的思想，分類討論的思想，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵，此方法是考查的重點(diǎn)，需要熟練掌握.22．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知橢圓的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，橢圓的焦點(diǎn)也是的頂點(diǎn)．(1)求的方程；(2)若，，三點(diǎn)均在上，且，直線，，的斜率均存在，證明：直線過定點(diǎn)（用，表示）．【答案】(1)(2)過定點(diǎn),證明見解析.【分析】（1）先求出兩橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而確定方程；（2）設(shè)直線，將直線與橢圓聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為，坐標(biāo)化將韋達(dá)定理代入化簡求解【詳解】（1）因?yàn)?，所以的焦點(diǎn)為，，因?yàn)?，所以的焦點(diǎn)為，，所以可設(shè)的方程為，則，，故的方程為．（2）證明：設(shè)，，直線．，．因?yàn)椋?，即，即①，將代入的方程，得，則，，，，，將以上4個(gè)式子代入①，得，即②，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，，代入②得，即，因?yàn)?，所以不在直線上，則，則，所以直線過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，將韋達(dá)定理代入表達(dá)式化簡為并利用點(diǎn)在橢圓上進(jìn)一步化簡是本題關(guān)鍵.23．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為橢圓上異于頂點(diǎn)的一動點(diǎn)，的角平分線分別交軸、軸于點(diǎn)．(1)若，求；(2)求證：為定值；(3)當(dāng)面積取到最大值時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式化簡即可.（2）根據(jù)角平分線定理知得，由即可求出為定值（3）表示出的面積，利用導(dǎo)函數(shù)求出面積表達(dá)式的單調(diào)性，即可求出面積取到最大值時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】（1）由已知得，則．所以當(dāng)時(shí)，；（2）設(shè)，在中，是的角平分線，所以，由（1）知，同理，即，解得，所以，過作軸于．所以．（3）記面積的面積為，由（1）可得，，其中，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，最大．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問的關(guān)鍵是利用導(dǎo)函數(shù)求解面積表達(dá)式的最值，注意函數(shù)的定義域.24．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知如圖，點(diǎn)為橢圓的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，且的坐標(biāo)為，橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線不經(jīng)過橢圓的中心，且分別交橢圓與直線于不同的三點(diǎn)（點(diǎn)在線段上），直線分別交直線于點(diǎn).求證：四邊形為平行四邊形.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解得橢圓方程；（2）設(shè)直線方程，證明后知平分對角線得四邊形為平行四邊形.【詳解】（1）由題知解得.故橢圓的方程為.（2）方法一：顯然直線不能水平，故設(shè)直線方程為，設(shè)，由得，令得，.所以，令，得.故直線方程為，直線方程為.由得，將中換成得.，為線段中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形.方法二：設(shè).直線方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為，此時(shí)，直線方程的為，由得，同理，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，由得.令得，.由韋達(dá)定理得.將代入得直線的方程為由得同理可得.，，綜上所述，為線段中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：證明四邊形為平行四邊形的方法用對角線相互平分得到.25．（2024·河北·校聯(lián)考一模）已知橢圓：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長為8．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直．①若，求異面直線和所成角的余弦值；②是否存在，使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）①；②存在；．【分析】（1）由的周長可求出的值，從而由離心率的值可求得，進(jìn)而由橢圓中的關(guān)系求出的值，即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）①直線l的方程為，與橢圓方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得，再利用空間向量的夾角公式即可求解.②由8，可得，設(shè)折疊前，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入上式化簡整理即可求出的值，從而可得直線l的斜率，進(jìn)而可得tan的值.【詳解】解：（1）由橢圓的定義知：，所以的周長，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由直線：與，聯(lián)立求得，（因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方）以及，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原軸負(fù)半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．記異面直線和所成角為，則；②設(shè)折疊前，，折疊后，在新圖形中對應(yīng)點(diǎn)記為，，，，由，，故，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，，，在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系（原軸仍然為軸，原軸正半軸為軸，原軸負(fù)半軸為軸）；，，所以，（i）又，所以，（ii）由（i）（ii）可得，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，因?yàn)?，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)折疊前、后三角形周長的變化，得到，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式及韋達(dá)定理進(jìn)行求解.雙曲線26．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且滿足條件，可以解得雙曲線的方程為，則條件可以是（

）A．實(shí)軸長為4 B．雙曲線為等軸雙曲線C．離心率為 D．漸近線方程為【答案】ABD【分析】根據(jù)雙曲線實(shí)軸、離心率、漸近線方程等性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.【詳解】設(shè)該雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為，則.對于A選項(xiàng)，若實(shí)軸長為4，則，，符合題意；對于B選項(xiàng)，若該雙曲線為等軸雙曲線，則，又，，可解得，符合題意；對于C選項(xiàng)，由雙曲線的離心率大于1知，不合題意；對于D選項(xiàng)，若漸近線方程為，則，結(jié)合，可解得，符合題意，故選：ABD.27．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線上兩點(diǎn)，且，直線的斜率分別為和，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】先判斷出兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)，可知是中點(diǎn)，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線的斜率列方程，求得，進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】，設(shè)，則，則，，.故選：C【點(diǎn)睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問題，可以利用直接法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得和，從而求得雙曲線的離心率.也可以利用構(gòu)造齊次式的方法來進(jìn)行求解，也即通過已知條件求得或的等量關(guān)系式，由此來求得離心率.28．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)作一條直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)有雙曲線漸近線為，，且，求坐標(biāo)，根據(jù)得到齊次方程，即可得漸近線.【詳解】由題設(shè)作出圖形，雙曲線漸近線為，，則直線，故，可得，故，即，又三角形BOF為等腰三角形，所以，則，整理得，即雙曲線的漸近線方程為.故選：B

29．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考一模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為為的右焦點(diǎn)，的離心率為2，若為右支上一點(diǎn)，，記，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】設(shè)的焦距為，根據(jù)離心率可得，由可得點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角三角形中求出，再根據(jù)兩角差的正切公式即可求解.【詳解】設(shè)的焦距為，點(diǎn)，由的離心率為2可知，因?yàn)?，所以，將代入的方程得，即，所以，故．故選:A．30．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A是右支上一點(diǎn)，滿足，直線交雙曲線于另一點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為．【答案】【分析】設(shè),由雙曲線的定義得，結(jié)合題中條件可得，，由勾股定理可得，再利用勾股定理即可求得離心率.【詳解】，則，又，所以，則，，又，所以三角形為直角三角形，則,即，化為，解得或者（舍），此時(shí)，在直角三角形中，,即，所以，所以.故答案為：.

31．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，是雙曲線上的一動點(diǎn)，直線，與交于兩點(diǎn)，的外接圓面積分別為，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】容易知道，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，則，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，可知，再利用基本不等式即可求值.【詳解】由已知得，，，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)在第一象限，所以，，所以，設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為：，同時(shí)令，則，，所以，設(shè)的外接圓的半徑分別為，，由正弦定理得，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以.

故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若、分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線上一動點(diǎn)，則直線與直線的斜率之積為定值.32．（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎狾為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再設(shè)，由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和.【詳解】設(shè)半焦距為c，延長交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以MO是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.【點(diǎn)睛】由平面幾何知識，，依據(jù)雙曲線的定義，可將轉(zhuǎn)化為用a表示，進(jìn)而的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.33．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┮阎謩e是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線分別交雙曲線左、右兩支于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸上，，平分，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)角平分線定理得到的關(guān)系，再根據(jù)雙曲線定義分別把圖中所有線段用表示出來，根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理即可解出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以∽，設(shè)，則，設(shè)，則，．因?yàn)槠椒?，由角平分線定理可知，，所以，所以，由雙曲線定義知，即，，①又由得，所以，即是等邊三角形，所以．在中，由余弦定理知，即，化簡得，把①代入上式得，所以離心率為．故選：A．34．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的右支上一點(diǎn)，分別以線段，為直徑作圓，圓，線段與圓相交于點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．B．C．點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)D．圓與圓有一條公切線的傾斜角為【答案】BCD【分析】由中點(diǎn)中位線性質(zhì)判斷AB；由圓與圓關(guān)系及切線性質(zhì)求得判斷CD.【詳解】的方程可化為，可得，，．由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，A錯(cuò)誤．由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，得，則，B正確．設(shè)點(diǎn)為圓和圓的另一個(gè)交點(diǎn)，連接，由軸，可得，為的中位線，則直線平分線段，則點(diǎn)必在軸上，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，C正確．如圖，若為圓與圓的一條公切線，，為切點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作，垂足為．由，，得，可得，由軸，且，可得公切線的傾斜角為，D正確．故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線與圓的綜合應(yīng)用，利用圓與圓位置關(guān)系求解D是關(guān)鍵.35．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限內(nèi)．已知，請問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，證明見解析.【分析】（1）利用雙曲線定義即可得到其方程；（2）先得到特殊情況時(shí)，再證明其對一般情況也適用.【詳解】（1）連接，則，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的雙曲線，點(diǎn)的軌跡方程為:.（2）因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程為:，則.當(dāng)直線的方程為時(shí)，則，解得（負(fù)舍，）則，而，易知此時(shí)為等腰直角三角形，其中，即，即:，下證：對直線斜率存在的情形也成立，設(shè)，其中，且，因?yàn)?，則，且，即，，，，結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知，.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用先猜后證的思想，先得到直線斜率不存在時(shí)，然后通過二倍角得正切公式證明一般情況即可.36．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，，則E的離心率為.【答案】【分析】連接，，設(shè)，則，根據(jù)誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再根據(jù)銳角三角函數(shù)得到、，從而得到方程求出，再在利用勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：如圖，連接，，則，，和，，都三點(diǎn)共線，設(shè)，則.由，所以所以，又，所以，即，，即，又，因此，即，在中，即.故.故答案為：拋物線37．（2024·河北·校聯(lián)考一模）若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，由題意可得：，解得.故選：A.38．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，則.【答案】3【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解,由拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】由題知，設(shè)，其中，則由于點(diǎn)是拋物線上到點(diǎn)距離最近的點(diǎn)，，故答案為：3.39．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃佄锞€：（）的頂點(diǎn)為，斜率為1的直線過點(diǎn)，且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若的面積為，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直線方程為，聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，表達(dá)出和點(diǎn)到直線的距離，從而表達(dá)出，列出方程，求出，得到準(zhǔn)線方程.【詳解】由題意得，直線方程為，聯(lián)立得，，設(shè)，則，故，點(diǎn)到直線的距離為，故，故，解得，故該拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：A40．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與交于A，B兩點(diǎn)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線切于點(diǎn)，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直線的方程，利用拋物線的性質(zhì)，求出中的縱坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理求解即可得到拋物線方程．【詳解】由于以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，以為直徑的圓過點(diǎn)，可知的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：2，直線的方程為：，則，可得，則中的縱坐標(biāo)為：，解得，該拋物線的方程為：．故選：B．41．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．存在C．不存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓D．當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，直線的傾斜角為或【答案】AD【分析】設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理式，將其整體代入即可判斷ACD，求解直線與拋物線相切時(shí)的情況即可判斷B.【詳解】對A，由題意得，準(zhǔn)線方程為，則，顯然當(dāng)直線的斜率為0，即直線的方程為，此時(shí)不合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得，，解得或，，，，，則，，則，，，則，A正確；對B，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，最大，則，解得，根據(jù)拋物線對稱性取分析：此時(shí)直線方程為，此時(shí)直線斜率為1，則，因此不存在，B錯(cuò)誤；對C，假設(shè)存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓，則，，則，即，,即，即，，滿足或，即存在以為直徑且經(jīng)過焦點(diǎn)的圓，C錯(cuò)誤；對D，，，此時(shí)直線斜率為，則直線的傾斜角為或，故D正確.故選：AD.42．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)．過點(diǎn)且平行于軸的一條光線射向拋物線上的點(diǎn)，經(jīng)過反射后的反射光線與相交于點(diǎn)，則（

）A． B．9 C．36 D．【答案】D【分析】首先求出直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理式，則得到，最后利用焦點(diǎn)弦公式即可.【詳解】令，則，則點(diǎn)的坐標(biāo)為的焦點(diǎn)為，則，所以直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理得，所以，所以由拋物線的定義得.故選：D.

43．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獮閽佄锞€的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，若和交于點(diǎn)，則的最小值為.【答案】10【分析】設(shè)直線方程為，，聯(lián)立拋物線方程得出韋達(dá)定理，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解方程，聯(lián)立可得，再代入根據(jù)基本不等式求解最小值即可.【詳解】的焦點(diǎn)為，設(shè)直線方程為，.聯(lián)立直線與拋物線方程有，則.又求導(dǎo)可得，故直線方程為.又，故，同理.聯(lián)立可得，解得，代入可得，代入韋達(dá)定理可得，故.故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號.故答案為：10【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：如圖，假設(shè)拋物線方程為，過拋物線準(zhǔn)線上一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)分別記為，其坐標(biāo)為.則以點(diǎn)和兩切點(diǎn)圍成的三角形中，有如下的常見結(jié)論:結(jié)論1.直線過拋物線的焦點(diǎn).

結(jié)論2.直線的方程為.結(jié)論3.過的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，以分別為切點(diǎn)做兩條切線，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡即為拋物線的準(zhǔn)線.結(jié)論4..結(jié)論5..結(jié)論6.直線的中點(diǎn)為，則平行于拋物線的對稱軸.結(jié)論7..44．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）吉林霧淞大橋，位于吉林市松花江上，連接霧淞高架橋，西起松江東路，東至濱江東路．霧淞大橋是吉林市第一座自錨式混凝土懸索橋，兩主塔左、右兩邊懸索的形狀均為拋物線（設(shè)該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為米）的一部分，左：右兩邊的懸索各連接著29根吊索，且同一邊的相鄰兩根吊索之間的距離均為米（將每根吊索視為線段）．已知最中間的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為米，則最靠近前主塔的吊索的長度（即圖中點(diǎn)到橋面的距離）為（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)B橫坐標(biāo)，代入拋物線即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的對稱軸為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的單位均為米），依題意可得拋物線的方程為．因?yàn)橥贿叺膽宜鬟B接著29根吊索，且相鄰兩根吊索之間的距離均為米，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)到橋面的距離為米．故選：A.45．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）設(shè)是拋物線弧上的一動點(diǎn)，點(diǎn)是的焦點(diǎn)，，則（

）A．B．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為C．的最小值為D．滿足面積為的點(diǎn)有2個(gè)【答案】AB【分析】對于A，直接由拋物線方程即可判斷；對于B，直接由焦半徑先求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線方程驗(yàn)算其縱坐標(biāo)即可判斷；對于C，由B選項(xiàng)啟發(fā)，觀察圖象，令即可舉出反例；對于D，由點(diǎn)到直線距離公式將原問題轉(zhuǎn)換為方程的或的正根的個(gè)數(shù)和即可判斷.【詳解】對于A，拋物線弧的焦點(diǎn)為，故A正確；對于B，若，解得，所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，故B正確；對于C，取，則，因?yàn)椋?，即，所以，即，故C錯(cuò)誤；對于D，直線的斜率為，所以它的方程為，點(diǎn)到它的距離為，注意到，若面積為，則，又，所以或，解得或，所以滿足面積為的點(diǎn)有3個(gè)，故D錯(cuò)誤.故選：AB.46．（2024·廣東深圳·?？家荒＃┰O(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4．(1)求a；(2)若直線l與拋物線C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之和為，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn)．【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先設(shè)出直線l的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法求得的關(guān)系，進(jìn)而求得直線l過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，所以，即，因?yàn)榈拿娣e為4，所以，解得，所以．（2）由（1）得，．當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，不適合題意；當(dāng)直線l斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，設(shè)，，由，得，則，，，因?yàn)橹本€PA，PB的斜率之和為，所以，即，所以，所以，整理得，所以直線，令，解之得，所以直線l過定點(diǎn)．47．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為動點(diǎn)，以為直徑的圓與軸相切，記的軌跡為.(1)求的方程；(2)設(shè)為直線上的動點(diǎn)，過的直線與相切于點(diǎn)，過作直線的垂線交于點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】(1)(2)16【分析】（1）設(shè)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)以為直徑的圓與軸相切，列出方程，化簡即可得解；（2）設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，進(jìn)而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出直線的方程，進(jìn)而可求出的橫坐標(biāo)，再列出面積的表達(dá)式，即可得解.【詳解】（1）設(shè)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切，所以，化簡得，所以的方程為；（2）設(shè)，由，則點(diǎn)處的切線斜率為，所以直線方程為，整理為，令，則，所以，易知直線斜率為，所以直線，整理為，與聯(lián)立可得，有，解得，即的橫坐標(biāo)為，所以，，所以面積為，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以的面積最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利