20202021學年廣東省中山市高一（下）期末數學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，，則（）A.2 B.3 C.7 D.82．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝2acosB，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形B．等腰三角形C．等腰或直角三角形D．直角三角形3．某水平放置的△OAB用斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖△O'A'B'，若O'B'＝A'B'，則△OAB中（）A．∠OBA＝90° B．OB＝BA C．OB＝OA D．OB＞OA4．上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系．圖2為骨笛測量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角．由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如表：黃赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β B．若m∥n，n?β，則m∥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β6．2020年4月21日，習近平總書記在學?？疾煺{研時提出“文明其精神，野蠻其體魄”，“野蠻其體魄”就是強身健體．青少年的體質狀況不僅關乎個人成長和家庭幸福，也關乎國家未來和民族希望，為落實《國家學生體質健康標準》達標測試工作，全面提升學生的體質健康水平，某校在高二年級隨機抽取部分男生，測試立定跳遠項目，依據測試數據繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．已知立定跳遠200cm以上成績?yōu)榧案瘢?55cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據圖中的樣本數據估計該校高二年級男生立定跳遠項目的及格率和優(yōu)秀率分別是（）A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%7．氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是正整數，單位：℃）：①甲地：5個數據的中位數為24，極差不超過2；②乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為24；③丙地：5個數據中有1個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8．其中肯定進入夏季的地區(qū)有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③8．正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（PlatonicSolids）．某些病毒，如皰疹病毒就擁有正二十面體的外殼．正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數﹣棱數+面數＝2，則正二十面體的頂點的個數為（）A．30 B．20 C．12 D．10二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.對于任意非零向量，，，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，則C.若，，則D.若，則10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，則下列結論正確的是（）A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC是鈍角三角形 C．△ABC的最大內角是最小內角的2倍 D．若c＝6，則△ABC外接圓半徑為11．為了解中學生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學隨機抽取200名學生，收集了他們一年內的課外閱讀量（單位：本）等數據，以下是根據數據繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．閱讀量人數學生類別[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，+∞）性別男73125304女82926328學段初中25364411高中下面推斷合理的是（）A．這200名學生閱讀量的平均數可能是26本 B．這200名學生閱讀量的75%分位數在區(qū)間[30，40）內 C．這200名學生中的初中生閱讀量的中位數一定在區(qū)間[20，30）內 D．這200名學生中的初中生閱讀量的25%分位數可能在區(qū)間[20，30）內12．蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的．從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構成，菱形的一個角度是109°28'，這樣的設計含有深刻的數學原理．我國著名數學家華羅庚曾專門研究蜂巢的結構，著有《談談與蜂房結構有關的數學問題》，用數學的眼光去看蜂巢的結構，如圖1．在正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'的三個頂點A，C，E處分別用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三個相等的三棱錐M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于點P，就形成了蜂巢的結構．如圖2，設平面PBOD與正六邊形底面所成的二面角的大小為θ，則下列結論正確的有（）A．異面直線DO與FP所成角的大小為109°28' B．BF＜MN C．B，M，N，D四點共面 D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.13.將函數的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數圖象的解析式為______；平移后的圖象中與軸最近的對稱軸的方程是______.（本題第一空2分，第二空3分）14．新冠肺炎疫情期間，為確?！巴Ｕn不停學”，各校精心組織了線上教學活動．開學后，某校采用分層抽樣的方法從三個年級的學生中抽取一個容量為150的樣本進行關于線上教學實施情況的問卷調查．已知該校高一年級共有學生660人，高三年級共有540人，抽取的樣本中高二年級有50人，則該校高二學生總數是．15．若，則cosα+sinα＝．16．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝1，點M，N分別是邊AD，BC的中點，延長BA和CD交NM的延長線于不同的兩點P，Q，則的值為．四、解答題：本大題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產品，稱其重量，分別記錄抽查數據如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）這種抽樣方法是哪一種？（2）估計甲、乙兩個車間產品的平均數與方差，并說明哪個車間產品較穩(wěn)定？18．空間四邊形PABC中，PA，PB、PC兩兩相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M為AB的中點．（1）求BC與平面PAB所成的角；（2）求證：AB⊥平面PMC．19.已知，，，.（1）求的值；（2）求的值.20.已知中，，，所對的邊分別為，，且.（1）判斷△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍；（2）如圖，三角形ABC的頂點A、C分別在l1、l2上運動，AC＝2，BC＝1，若直線l1⊥直線l2，且相交于點O，求O，B間距離的取值范圍．21．2021年廣東省高考實行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科；“2”為再選科目，考生可在化學、生物、政治、地理4個科目中選擇2科，共計6個考試科目．并規(guī)定：化學、生物、政治、地理4個選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A，B+，B，C+，C，D+，D，E八個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八個分數區(qū)間，得到考生的等級成績．假設小明轉換后的等級成績?yōu)閤分，則，所以x＝63.45≈63（四舍五入取整），小明最終成績?yōu)?3分．某校2019級學生共1000人，以期末考試成績?yōu)樵汲煽冝D換了本校的等級成績，為學生合理選科提供依據，其中化學成績獲得等級A的學生原始成績統(tǒng)計如表：成績93919088878685848382人數1142433327（1）求化學獲得等級A的學生等級成績的平均分（四舍五入取整數）；（2）從化學原始成績不小于90分的學生中任取2名同學，求2名同學等級成績不相等的概率．22．如圖所示，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點G在棱D1C1上，且，點E、F、M分別是棱AA1、AB、BC的中點，P為線段B1D上一點，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直線l，求證：l∥A1B；（Ⅱ）若直線B1D⊥平面EFP．（i）求三棱錐B1﹣EFP的表面積；（ii）試作出平面EGM與正方體ABCD﹣A1B1C1D1各個面的交線，并寫出作圖步驟，保留作圖痕跡．設平面EGM與棱A1D1交于點Q，求三棱錐Q﹣EFP的體積．參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）.1．已知向量＝（2，1），＝（3，t），||＝1，則?＝（）A．2 B．3 C．7 D．8解：因為＝﹣＝（1，t﹣1）；∵||＝1，∴12+（t﹣1）2＝12?t＝0；∴＝（3，1），∴?＝2×3+1×1＝7；故選：C．2．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c＝2acosB，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．直角三角形解：由正弦定理可得sin（A+B）＝2sinAcosB，由兩角和的正弦公式可得：sinAcosB+cosAsinB＝2sinAcosB，∴sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0，故△ABC的形狀為等腰三角形，故選：B．3．某水平放置的△OAB用斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖△O'A'B'，若O'B'＝A'B'，則△OAB中（）A．∠OBA＝90° B．OB＝BA C．OB＝OA D．OB＞OA解：因為∠B'O'A'＝45°，所以∠BOA＝90°，則∠OBA≠90°，故選項A錯誤；設O'B'＝A'B'＝x，則O'A'＝，還原后，OB＝2x，∠BOA＝90°，OA＝，所以AB＝，所以OB＞OA，故選項C錯誤，選項D正確．故選：D．4．上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系．圖2為骨笛測量春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖．圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角．由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如表：黃赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年 C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年解：由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為α，春秋分日光與垂直線夾角為β，則α﹣β即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則tanα＝＝1.6，tanβ＝＝0.66，tan（α﹣β）＝＝≈0.457．∵0.455＜0.457＜0.461，∴估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：D．5．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β B．若m∥n，n?β，則m∥β C．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β解：對于A：由于m⊥α，故直線m相當于平面α的法向量，由于m∥n，所以n⊥α，由于n∥β，則α⊥β，故A正確；對于B：由于m∥n，n?β，則m∥β或m?β，故B錯誤；對于C：當m⊥n，m?α，n?β，則可能α∥β，故C錯誤；對于D：m?α，n?α，當m和n為相交直線時，m∥β，n∥β，則α∥β，故D錯誤；故選：A．6．2020年4月21日，習近平總書記在學校考察調研時提出“文明其精神，野蠻其體魄”，“野蠻其體魄”就是強身健體．青少年的體質狀況不僅關乎個人成長和家庭幸福，也關乎國家未來和民族希望，為落實《國家學生體質健康標準》達標測試工作，全面提升學生的體質健康水平，某校在高二年級隨機抽取部分男生，測試立定跳遠項目，依據測試數據繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．已知立定跳遠200cm以上成績?yōu)榧案瘢?55cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，根據圖中的樣本數據估計該校高二年級男生立定跳遠項目的及格率和優(yōu)秀率分別是（）A．72.5%，5% B．78.75%，10% C．72.5%，10% D．78.75%，5%解：立定跳遠200cm以上成績?yōu)榧案瘢?55cm以上成績?yōu)閮?yōu)秀，由頻率分布直方圖得立定跳遠200cm以上的頻率為：1﹣（0.00750×20+0.01250××20）＝0.7875，由頻率分布直方圖得立定跳遠255cm以上的頻率為：0.00500×20＝0.1，∴根據圖中的樣本數據估計該校高二年級男生立定跳遠項目的及格率和優(yōu)秀率分別是78.75%和10%．故選：B．7．氣象意義上從春季進入夏季的標志為“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃”．現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數據（記錄數據都是正整數，單位：℃）：①甲地：5個數據的中位數為24，極差不超過2；②乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為24；③丙地：5個數據中有1個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8．其中肯定進入夏季的地區(qū)有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③解：對于甲地，由于5個數據的中位數為24，若有低于22，假設取21，此時極差超過2，故假設不成立，甲地連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃，故甲地肯定進入夏季，故①正確，對于乙地，5個數據的中位數為27，總體均值為24，當5個數據為19，20，27，27，27時，可得其連續(xù)5天的日平均氣溫有低于22，故乙地不一定進入夏季，故②錯誤，對于丙地，5個數據中有1個數據是32，總體均值為26，若有低于22，假設取21，此時＞10.8，故假設不成立，丙地連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22℃，丙地肯定進入夏季，故③正確，綜上所述，正確的為①③．故選：B．8．正多面體各個面都是全等的正多邊形，其中，面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體，它們被稱為柏拉圖多面體（PlatonicSolids）．某些病毒，如皰疹病毒就擁有正二十面體的外殼．正二十面體是由20個等邊三角形所組成的正多面體．已知多面體滿足：頂點數﹣棱數+面數＝2，則正二十面體的頂點的個數為（）A．30 B．20 C．12 D．10解：解法一、設正二十面體共有n個頂點，且每個頂點處都有5條棱，有20個面，根據“頂點數﹣棱數+面數＝2”，列方程得n﹣n+20＝2，解得n＝12，即正二十面體的頂點個數為12．解法二、由20個三角形，每個三角形有3條邊，每條邊被用了兩次，所以正二十邊形共有棱數為20×3÷2＝30（條），根據歐拉公式“頂點數﹣棱數+面數＝2”，得正二十面體的頂點個數為2+30﹣20＝12．故選：C．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9．對于任意非零向量，，，下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若?＝?，則 C．若，，則 D．若|﹣|＝|+|，則?＝0解：對于A選項：因為為非零向量，則∥成立，故A正確；對于B選項：若?＝?，則或⊥（），故B錯誤；對于C選項：若，，則，故C正確；對于D選項：若|﹣|＝|+|，即有||2+||2﹣2＝||2+||2+2，故有＝0，故D正確；故選：ACD．10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，則下列結論正確的是（）A．sinA：sinB：sinC＝4：5：6 B．△ABC是鈍角三角形 C．△ABC的最大內角是最小內角的2倍 D．若c＝6，則△ABC外接圓半徑為解：（a+b）：（a+c）：（b+c）＝9：10：11，可設a+b＝9t，a+c＝10t，b+c＝11t，解得a＝4t，b＝5t，c＝6t，t＞0，可得sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝4：5：6，故A正確；由c為最大邊，可得cosC＝＝＝＞0，即C為銳角，故B錯誤；由cosA＝＝＝，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝＝cosC，由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正確；若c＝6，可得2R＝＝＝，△ABC外接圓半徑為，故D正確．故選：ACD．11．為了解中學生課外閱讀情況，現(xiàn)從某中學隨機抽取200名學生，收集了他們一年內的課外閱讀量（單位：本）等數據，以下是根據數據繪制的統(tǒng)計圖表的一部分．閱讀量人數學生類別[0，10）[10，20）[20，30）[30，40）[40，+∞）性別男73125304女82926328學段初中25364411高中下面推斷合理的是（）A．這200名學生閱讀量的平均數可能是26本 B．這200名學生閱讀量的75%分位數在區(qū)間[30，40）內 C．這200名學生中的初中生閱讀量的中位數一定在區(qū)間[20，30）內 D．這200名學生中的初中生閱讀量的25%分位數可能在區(qū)間[20，30）內解：由圖表知，男生共7+31+25+30+4＝97人，女生共103人，這200名學生閱讀量的平均數為20.5×+25.5×＝23.075，故A錯，∵200×75%＝150，∴這200名學生閱讀量的75%分位數是從小到大排序后的第150與第151個數的平均值，由表格知第150與第151個數都在區(qū)間[30，40）內，故B對，閱讀量在區(qū)間[0，10）內共有15人，若初中生閱讀量在區(qū)間[0，10）內共有0人，則其中位數在區(qū)間[20，30）內，若初中生閱讀量在區(qū)間[0，10）內共有15人，則其中位數在區(qū)間[20，30）內，故這200名學生中的初中生閱讀量的中位數一定在區(qū)間[20，30）內，故C對，當初中生閱讀量在區(qū)間[0，10）內共有0人時，（25+36+44+11）×25%＝29，故這200名學生中的初中生閱讀量的25%分位數是從小到大排序后的第29與第30個數的平均值，在區(qū)間[20，30）內，故D對，故選：BCD．12．蜂巢是由工蜂分泌蜂蠟建成的．從正面看，蜂巢口是由許多正六邊形的中空柱狀體連接而成，中空柱狀體的底部是由三個全等的菱形面構成，菱形的一個角度是109°28'，這樣的設計含有深刻的數學原理．我國著名數學家華羅庚曾專門研究蜂巢的結構，著有《談談與蜂房結構有關的數學問題》，用數學的眼光去看蜂巢的結構，如圖1．在正六棱柱ABCDEF﹣A'B'C'D'E'的三個頂點A，C，E處分別用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三個相等的三棱錐M﹣ABF，O﹣BCD，N﹣DEF，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于點P，就形成了蜂巢的結構．如圖2，設平面PBOD與正六邊形底面所成的二面角的大小為θ，則下列結論正確的有（）A．異面直線DO與FP所成角的大小為109°28' B．BF＜MN C．B，M，N，D四點共面 D．cosθ＝tan54°44'解：A選項，異面直線所成角的范圍為（0°，90°]，故A不正確．B選項，由△BDF與△MON都是邊長為的等邊三角形，∴BF＝MN，因此B不正確；C選項，因為BD＝NM，且BD∥NM，所以四邊形BMND是平行四邊形，因此B，M，N，D四點共面，正確；D：利用第二個圖：取BF的中點P，連接PA，PM，則∠MPA＝θ，不妨取AB＝2，在等腰三角形ABF中，∠BAF＝120°，則PB＝，PA＝1．在這直角三角形PMB中，PM＝．∴cosθ＝＝tan54°44′，正確．故選：CD．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請將答案填在答題卡對應題號的位置上.答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.13．將函數的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數圖象的解析式為y＝3sin（2x﹣）；平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是x＝﹣．解：將函數的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數圖象的解析式為y＝3sin（2x﹣+）＝3sin（2x﹣）．令2x﹣＝kπ+，求得x＝+，k∈Z．令k＝﹣1，可得平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程為x＝﹣，故答案為：y＝3sin（2x﹣）；x＝﹣．14．新冠肺炎疫情期間，為確?！巴Ｕn不停學”，各校精心組織了線上教學活動．開學后，某校采用分層抽樣的方法從三個年級的學生中抽取一個容量為150的樣本進行關于線上教學實施情況的問卷調查．已知該校高一年級共有學生660人，高三年級共有540人，抽取的樣本中高二年級有50人，則該校高二學生總數是600．解：高一、高三年級共有660+540＝1200人，設高二年級有x人，則，解得x＝600；故答案為：600．15．若，則cosα+sinα＝．解：由公式cos2α＝cos2α﹣sin2α，及等式，代入＝＝，則cosα+sinα＝．故答案應填．16．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD＝1，點M，N分別是邊AD，BC的中點，延長BA和CD交NM的延長線于不同的兩點P，Q，則的值為0．解：設∠ABC＝α，BC＝a，∠BCD＝β，則A（cosα，sinα），B（0，0），C（a，0），D（a﹣cosβ，sinβ），∴M（，），N（，0），∴＝（，），＝（﹣cosα，﹣sinα），＝（cosβ，﹣sinβ），∴＝（﹣cosα﹣cosβ，﹣sinα+sinβ），∴＝﹣（cos2α﹣cos2β）+（sin2β﹣sin2α）＝﹣（cos2α+sin2α）+（cos2β+sin2β）＝0，又∥，∴＝0，故答案為：0．四、解答題：本大題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．某化肥廠甲、乙兩個車間包裝肥料，在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產品，稱其重量，分別記錄抽查數據如下：甲：102，101，99，98，103，98，99乙：110，115，90，85，75，115，110（1）這種抽樣方法是哪一種？（2）估計甲、乙兩個車間產品的平均數與方差，并說明哪個車間產品較穩(wěn)定？解：（1）由題意知這個抽樣是在自動包裝傳送帶上每隔30分鐘抽取一包產品，是一個具有相同間隔的抽樣，并且總體的個數比較多，這是一個系統(tǒng)抽樣；（2）＝100，＝100；，，s2甲＜s2乙∴甲車間產品較穩(wěn)定．18．空間四邊形PABC中，PA，PB、PC兩兩相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M為AB的中點．（1）求BC與平面PAB所成的角；（2）求證：AB⊥平面PMC．解：（1）∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥平面PAB，∴BC在平面PBC上的射影是BP．∴∠CBP是CB與平面PAB所成的角，∵∠PBC＝60°，∴BC與平面PBA的角為60°．證明：（2）∵PA⊥PB，∠PBA＝45°，∴PA＝PB，∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA＝PB，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC，∴AB＝AC，∵M為AB的中點．∴PM⊥AB，CM⊥AB，∵PM∩CM＝M，∴AB⊥平面PMC．19．已知α∈（0，），β∈（，π），cosβ＝﹣，sin（α+β）＝．（1）求tan的值；（2）求sinα的值．解：（1）∵，且，∴，解得，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，又，故，∴，∴sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝．20．已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2＝?+?+?．（1）判斷△ABC的形狀，并求sinA+sinB的取值范圍；（2）如圖，三角形ABC的頂點A、C分別在l1、l2上運動，AC＝2，BC＝1，若直線l1⊥直線l2，且相交于點O，求O，B間距離的取值范圍．解：（1）∵，∴c2＝c?bcosA+c?acosB+b?acosC，∴，∴c2＝a2+b2，∴為直角三角形，∴sinA+sinB＝，∵，∴，∴，∴sinA+sinB∈（1，]；（2）簡解：不妨設，B（x，y），則x＝2cosθ+sinθ，y＝cosθ，∴，∴．21．2021年廣東省高考實行“3+1+2”模式．“3+1+2”模式是指：“3”為全國統(tǒng)考科目語文、數學、外語，所有學生必考；“1”為首選科目，考生須在高中學業(yè)水平考試的物理、歷史科目中選擇1科；“2”為再選科目，考生可在化學、生物、政治、地理4個科目中選擇2科，共計6個考試科目．并規(guī)定：化學、生物、政治、地理4個選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A，B+，B，C+，C，D+，D，E八個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．選考科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內的考生原始成績，依照等比例轉換法則，分別轉換到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八個分數區(qū)間，得到考生的等級成績．假設小明轉換后的等級成績?yōu)閤