小學（數學）奧數知識總結手冊

和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數

公式適用范圍已知兩個數的和，差，倍數關系

①（和一差）+2=較小數

較小數十差=較大數

和+（倍數+1）=小數差?（倍數T）=小數

和一較小數=較大數

公式小數X倍數=大數小數X倍數=大數

②（和+差）+2=較大數

和一小數=大數小數十差=大數

較大數一差=較小數

和一較大數=較小數

求出同一條件下的

關鍵問題

和與差和與倍數差與倍數

不定方程

一次不定方程：含有兩個未知數的一個方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以

也叫做二元一次不定方程；

常規(guī)方法：觀察法、試驗法、枚舉法；

多元不定方程：含有三個未知數的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；

多元不定方程解法：根據已知條件確定一個未知數的值，或者消去一個未知數，這樣就把三

元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；

涉及知識點：列方程、數的整除、大小比較；

解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達式；4、確定范圍；5、確定特征；6、

確定答案；

技巧總結：A、寫出表達式的技巧：用特征不明顯的未知數表示特征明顯的未知數，同時考慮

用范圍小的未知數表示范圍大的未知數；B、消元技巧：消掉范圍大的未知數；

抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況:

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現(xiàn)一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于

2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

①k=[n/m]+1個物體：當n不能被m整除時。

②k=n/m個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數。

例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；

關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。

定義新運算

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按

照基本運算過程、規(guī)律進行運算。

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

分數拆分

一、將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式:

1]

①附二附（附+1）+&+1；

1d1

②忽=總（總+d）+〃+d（腦自然數）；

二進制及其應用

十進制：用0?9十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位

上的2表示20,百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2X102+3X10+4。

n-^-n-l-^-n-2-^-n-3n-6-^-n-7..........4A3A2Al

n-1n2n，n-5n72

=A?X10+AnlX10'+A^XlO^+A^X10''+A?.1X10+A?-6X10-+.......+A:tX10+A2X1O'+A,X10

0

注意：N°=l；N'=N（其中N是任意自然數）

二進制：用0?1兩個數字表示，逢2進1；不同數位上的數字表示不同的含義。

-^-n-^n-1-^n-2-^-n-3^n-4\x-6^TX-7..........4A3A?A]?二

n1n_2n-5n-7

AnX2_+An-1X2+An-2X2"7+A"一3X2"'+Ar,,.1X2"+An^X2

2

+........+A:iX2+A2X2'+A|X2°

注意：An不是0就是10

十進制化成二進制:

①根據二進制滿2進1的特點，用2連續(xù)去除這個數，直到商為0,然后把每次所得的余

數按自下而上依次寫出即可。

②先找出不大于該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個差的2的n次方，

依此方法一直找到差為0,按照二進制展開式特點即可寫出。

分數大小的比較

基本方法：

①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。

②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關系比較。

③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以

用同倍率的變化關系比較分數的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。

⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。

⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。

⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。

分數與百分數的應用

基本概念與性質：

分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。

分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和

轉換成倍數關系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件

下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情

況成立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，

而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)

生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

工程問題

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

②假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上

述三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

經驗簡評：合久必分，分久必合。

歸一問題的基本特點：

問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來

表示。

關鍵問題：根據題目中的條件確定并求出單一量；

雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；

④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現(xiàn)的差。

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數=（兔腳數X總頭數一總腳數）?。ㄍ媚_數一雞腳數）

②把所有兔子假設成雞：兔數=（總腳數一雞腳數x總頭數）-?（兔腳數一雞腳數）

關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

幾何面積

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、

旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌

握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1.連輔助線方法

2.利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角

形的面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

&圓的面積占外接正方形面積的78.5%o

加法乘法原理和幾何計數

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有mi種不同方法，在第二類方法

中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務

共有：mi+m2........+mn種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有皿種方法，不管第1步用

哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有

mn種方法，那么完成這件任務共有：m,Xm2.……Xmn種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數線段規(guī)律：總數=1+2+3+…+（點數—1）；

②數角規(guī)律=1+2+3+…+（射線數一1）；

③數長方形規(guī)律：個數=長的線段數義寬的線段數：

④數長方形規(guī)律：個數=1X1+2X2+3X3+…+行數X列數

簡單方程

代數式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數字。

方程：含有未知數的等式叫方程。

列方程：把兩個或幾個相等的代數式用等號連起來。

列方程關鍵問題：用兩個以上的不同代數式表示同一個數。

等式性質：等式兩邊同時加上或減去一個數，等式不變；等式兩邊同時乘以或除以一個數（除

0）,等式不變。

移項：把數或式子改變符號后從方程等號的一邊移到另一邊；

移項規(guī)則：先移加減，后變乘除；先去大括號，再去中括號，最后去小括號。

加去括號規(guī)則：在只有加減運算的算式里，如果括號前面是“+”號，則添、去括號，括號里

面的運算符號都不變；如果括號前面是“一”號，添、去括號，括號里面的運算符號都要改

變；括號里面的數前沒有“+”或“一”的，都按有“+”處理。

移項關鍵問題：運用等式的性質，移項規(guī)則，力口、去括號規(guī)則。

乘法分配率：a（b+c）=ab+ac

解方程步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤求解；

方程組：幾個二元一次方程組成的一組方程。

解方程組的步驟：①消元；②按一元一次方程步驟。

消元的方法：①加減消元；②代入消元。

經濟問題

利潤的百分數=（賣價-成本）?成本X100%；

賣價=成本義（1+利潤的百分數）；

成本=賣價+（1+利潤的百分數）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價=成本X（1+期望利潤的百分數）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息=本金X利率X期數；

含稅價格=不含稅價格X（1+增值稅稅率）;

六年級奧數上冊：第六講立體圖形的計算

第六講立體圖形的計算

在小學階段，我們除了學習平面圖形外，還認識了一些簡單的立體圖形，

如長方體、正方體（立方體）、直圓柱體，直圓錐體、球體等，并且知道了它

們的體積、表面積的計算公式，歸納如下.見下圖.

4

S

丸

3一r

在數學競賽中，有許多幾何趣題，解答這些趣題的關鍵在于精巧的構思和

恰當的設計，把形象思維和抽象思維結合起來.

例1下圖是由18個邊長為1厘米的小正方體拼成的，求它的表面積.

分析與解答求這個長方體的表面積，如果一面一面地去數，把結果累計

相加可以得到答案，但方法太繁.如果仔細觀察，會發(fā)現(xiàn)這個立體的上下、左

右、前后面的面積分別相等.因此列式為：

（9+8+7）X2=48（平方厘米）.

答：它的表面積是48平方厘米.

例2一個圓柱體底面周長和高相等.如果高縮短了2厘米，表面積就減少

12.56平方厘米.求這個圓柱體的表面積.

分析一個圓柱體底面周長和高相等，說明圓柱體側面展開是一個正方

形.解題的關鍵在于求出底周長.根據條件：高縮短2厘米，表面積就減少

12.56平方厘米，用右圖表示，從圖中不難看出陰影部分就是圓柱體表面積減少

部分，值是12一56平方厘米，所以底面周長C=12.56+2=6一28（厘米）.這個問

題解決了，其它問題也就迎刃而解了.

解：底面周長（也是圓柱體的高）：

12.56^2=6.28（厘米）.

側面積：

6.28X6.28=39.4384（平方厘米）

兩個底面積（取兀=3.14）：

6.28

3.14X（）2x2=6.28（平方厘米）

2X3.14

表面積:

39.4384+6.28=45.7184（平方厘米）

答：這個圓柱體的表面積是45.7184平方厘米.

例3一個正方體形狀的木塊，棱長為1米.若沿正方體的三個方向分別鋸成

3份、4份和5份，如下圖，共得到大大小小的長方體60塊，這60塊長方體的表

面積的和是多少平方米？

分析如果將60個長方體逐個計算表面積是個很復雜的問題，更何況鋸成

的小木塊長、寬、高都未知使得計算小長方體的表面積成為不可能的事.如果

換一個角度考慮問題：每鋸一次就得到兩個新的切面，這兩個面的面積都等于

原正方體一個面的面積，也就是，每鋸一次表面積增加1+1=2平方米，這樣

只要計算一下鋸的總次數就可使問題得到解決.

解：原正方體表面積：IX1X6=6（平方米），

一共鋸了多少次：（次數比分的段數少1）

（3-1）+（4-1）+（5-1）=9（次），

表面積：6+2X9=24（平方米）.

答：60塊長方體表面積的和是24平方米.

例4一個酒精瓶，它的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），如下圖.已知它的

容積為26.4兀立方厘米.當瓶子正放時，瓶內的酒精的液面高為6厘米.瓶子倒

放時，空余部分的高為2厘米.問：瓶內酒精的體積是多少立方厘米？合多少

升？

分析由題意，液體的體積是不變的，瓶內空余部分的體積也是不變的,

目此可知液體體積是空余部分體積的3倍（6-2）.

3、

解：26.4KX——=62,172（立方厘米）.（取兀=3.14）

62172立方厘米=62/72毫升

=0.062172升.

答：酒精的體積是62.172立方厘米，合0.062172升.

例5一個稻谷囤，上面是圓錐體，下面是圓柱體（如下圖）.圓柱的底面

周長是9.42米，高2米，圓錐的高是0.6米.求這個糧囤的體積是多少立方米？

分析按一般的計算方法，先分別求出錐、柱的體積再把它們合并在一起

求出總體積.但我們仔細想一想，如果把圓錐形的稻谷鋪平，把它變成圓

柱體，這時圓柱的高等于Q6=0.2（米），那么原來兩個形體變成一個圓

柱體，高是（2+0.2）米.這樣求出變化后直圓柱的體積就可以了.

解:圓錐體化為圓柱體的高：

0.6X—=0.2（米）.

底面積：

314X（建94石2＞=70651平方米）.

體積：

7.065X（2+0.2）=15.543（立方米）.

答：糧囤的體積是15.543立方米.

例6皮球掉在一個盛有水的圓柱形水桶中.皮球的直徑為12厘米，水桶底

面直徑為60厘米.皮球有2,3的體積浸在水中（下圖）.問皮球掉進水中后，

水桶的水面升高多少厘米？

―60厘米t

尸~"X

g

/c-----、

—

分析皮球掉進水中后排擠出一部分水，使水面升高.這部分水的體積的

大小等于皮球浸在水中部分的體積，再用這個體積除以圓柱形水桶底面積，就

得到水面升高的高度.

解：球的體積：

33

VMt=1^R=^X（y）

=288兀（立方厘米）.

水桶的底面積：兀X30：=900兀（平方厘米）.

=力--3一-仝，2288兀16北、

水面升得］的局度：-X=—（厘米）.

5yuu兒/J

答：水面升高II厘米.

例7下圖所示為一個棱長6厘米的正方體，從正方體的底面向內挖去一個最

大的圓錐體，求剩下的體積是原正方體的百分之幾？（保留一位小數）.

分析直圓錐底面直徑是正方體的棱長，高與棱長相等.

剩下體積等于原正方體體積減去直圓錐體積.

解：正方體體積：6，=216（立方厘米）.

圓錐體積：1X3.14X2X6

=56.52（立方厘米）.

剩下體積占正方體的百分之幾.

（216-56.52）+216=0.738=73.8%.

答：剩下體積占正方體體積的73.8%.

邏輯推理

基本方法簡介：

①條件分析一假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題

設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假

設a是偶數成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數。

②條件分析一列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔

助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不

同的對象與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

③條件分析一一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的

關系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩

人之間有認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據

計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據題目提供的特征和數據，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情

況推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。

年齡問題的三個基本特征：

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數是發(fā)生變化的；

牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差;

再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

生長量=（較長時間又長時間牛頭數-較短時間x短時間牛頭數）4-（長時間-短時間）;

總草量=較長時間X長時間牛頭數-較長時間X生長量；

濃度與配比

經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們

濃度的變化成反比。

溶質：溶解在其它物質里的物質（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質。

溶劑：溶解其它物質的物質（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：溶液重量=溶質重量+溶劑重量；

溶質重量=溶液重量X濃度；

理論部分小練習：試推出溶質、溶液、溶劑三者的其它公式。

經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們

濃度的變化成反比。

例題1。有含糖量為7%的糖水600克，要使其含糖量加大到10%,需要再加入多少克糖？

【思路導航】根據題意，在7%的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質量增加了，

糖水的質量也增加了，但水的質量并沒有改變。因此，可以先根據原來糖水中的濃度求出水

的質量，再根據后來糖水中的濃度求出現(xiàn)在糖水的質量，用現(xiàn)在糖水的質量減去原來糖水的

質量就是增加的糖的質量。

原來糖水中水的質量：600x（1—7%）=558（克）

現(xiàn)在糖水的質量：558+（1-10%）=620（克）

加入糖的質量：620-600=20（克）

答：需要加入20克糖。

例題2。一種35%的新農藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%的

農藥加多少千克水，才能配成1.75%的農藥800千克？

【思路導航】把濃度高的溶液經添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^程稱為稀釋。在這種稀釋過

程中，溶質的質量是不變的。這是解這類問題的關鍵。

800千克1.75%的農藥含純農藥的質量為

800x1.75%=14（千克）

含14千克純農藥的35%的農藥質量為

14-35%=40（千克）

由40千克農藥稀釋為800千克農藥應加水的質量為

800-40=760（千克）

答:用40千克的濃度為35%的農藥中添加760千克水，才能配成濃度為1.75%的農藥800

千克。

例題3。現(xiàn)有濃度為10%的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃

度為22%的鹽水？

【思路導航】這是一個溶液混合問題。混合前、后溶液的濃度改變了，但總體上溶質及溶液

的總質量沒有改變。所以，混合前兩種溶液中溶質的和等于混合后溶液中的溶質的量。

20千克10%的鹽水中含鹽的質量

20x10%=2（千克）

混合成22%時，20千克溶液中含鹽的質量

20x22%=404（千克）

需加30%鹽水溶液的質量

(4.4-2)+(30%—22%)=30(千克)

答：需加入30千克濃度為30%的鹽水，可以得到濃度為22%的鹽水。

例題4。將20%的鹽水與5%的鹽水混合，配成15%的鹽水600克，需要20%的鹽水和5%

的鹽水各多少克？

【思路導航】根據題意，將20%的鹽水與5%的鹽水混合配成15%的鹽水，說明混合前兩種

鹽水中鹽的質量和與混合后鹽水中鹽的質量是相等的。可根據這一數量間的相等關系列方程

解答。

解:設20%的鹽水需x克，則5%的鹽水為600—x克，那么

20%x+(600-x)x5%=600x15%

X=400

600-400=200(克)

答：需要20%的鹽水400克，5%的鹽水200克。

例題5。甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20克、30克水。把某種質量分數的鹽水10

克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中?，F(xiàn)在

丙管中的鹽水的質量分數為0.5%。最早倒入甲管中的鹽水質量分數是多少？

【思路導航】混合后甲、乙、丙3個試管中應有的鹽水分別是20克、30克、40克。根據題

意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽的質量。又因為丙管中原來只有30克的水，它的鹽是從10克鹽水

中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30克鹽水中鹽的質量。而乙管里的鹽又是從10克鹽

水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽水中鹽的質量。而甲管里的鹽是某種濃度的

鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質量分數。

丙管中鹽的質量：(30+10)x0.5%=02(克)

倒入乙管后，乙管中鹽的質量：0.2x[(20+10)-10]=0.6(克)

倒入甲管，甲管中鹽的質量：0.6x【(10+10)-10]=1.2(克)

1.2-10=12%

答：最早倒入甲管中的鹽水質量分數是12%。

【熟能生巧】(每題10分)

1、現(xiàn)在有濃度為20%的糖水300克，要把它變成濃度為40%的糖水，需要加糖多少克？

300x(1—20%)+(1—40%)—300=100克

2、有含鹽15%的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20%,需加鹽多少千克？

20x(1-15%)+(1—20%)—20=1.25千克

3、用含氨0.15%的氨水進行油菜追肥?，F(xiàn)有含氨16%的氨水30千克，配置時需加水多少

千克？

30x(16%—0.15%)+0。5%=3170千克

4、倉庫運來含水量為90%的一種水果100千克。一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80%。

現(xiàn)在這批水果的質量是多少千克？

100X(1—90%)+(1-80%)=50千克

5、在100千克濃度為50%的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為5%的硫酸溶液就可以配

制成25%的硫酸溶液？

100X(50%-25%)+(25%—5%)=125千克

6、濃度為70%的酒精溶液500克與濃度為50%的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶

液的濃度是多少？

(500x70%+300x50%)+(500+300)x100%=62.5%

7、兩種鋼分別含鍥5%和40%,要得到140噸含銀30%的鋼，需要含鍥5%的鋼和含銀

40%的鋼各多少噸？

解：設需含鍥5%的鋼x噸，則含鎂40%的鋼140—x噸，

5%x+(140-x)x40%=140x30%

X=40

140-40=100噸

8、甲、乙兩種酒各含酒精75%和55%,要配制含酒精65%的酒3000克，應當從這兩種

酒中各取多少克？

(3000x75%-3000x65%)4-[1x(75%—55%)]=1500克

3000-1500=1500克

9、從裝滿100克80%的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40

克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復三次后，杯中鹽水的濃度是多少？

解法一：100x80%=80克40x80%=32克

(80-32)4-100=48%40x48%=19.2克

(80-32-19.2)+100=28.8%

40x28.8=11.52克

(80-32-19.2-11.52)+100=17.28%

解法二：80x(1-40100)x(1-40100)x(1-40100)-100=17.28%

10、甲容器中又8%的鹽水300克，乙容器中有12.5%的鹽水120克。往甲、乙兩個容器

分別倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的濃度一樣。每個容器應倒入多少克水？

300x8%=24克120x12.5%=15克

解：設每個容器應倒入x克水。

24300+x=15120+x

X=180

平均數

基本公式：①平均數=總數量+總份數

總數量=平均數X總份數

總份數=總數量+平均數

②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和土總份數

基本算法：

①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.

②基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或

者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再

求出這些差的平均數；最后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系

見基本公式②

時鐘問題一快慢表問題

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）;

4、時間是標準表所經過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關系；

時鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為1分格。分針每小時走60分格，即一周;

而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉360/60度，即6°,時針每分鐘轉

360/（12X60）度，即1/2度。

數的整除

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有余數，那么叫

做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號:整除符號不能整除符號"”；因為符號“???”，所以的符號“???”；

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

5.能被7整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

6.能被11整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

7.能被13整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

數列求和

等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用ai表示；

項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；

公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；

數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數列中涉及五個量：ai,an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三

個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=ai+(n—1)d；

通項=首項+(項數一1)X公差；

數列和公式：sn,=(ai+an)Xn4-2；

數列和=(首項+末項)義項數+2；

項數公式：n=(an+ai)4-d+l；

項數=(末項-首項)+公差+1；

—

公差公式：d=(anai))4-(n—1)；

公差=(末項-首項)+(項數-1)；

關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；

完全平方數

完全平方數特征：

1.末位數字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。

2.除以3余0或余1；反之不成立。

3.除以4余0或余1；反之不成立。

4.約數個數為奇數；反之成立。

5.奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。

6.奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。

7.兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。

平方差公式:X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：(X+Y)2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：(X-Y)2=X2-2XY+Y2

循環(huán)小數

一、把循環(huán)小數的小數部分化成分數的規(guī)則

①純循環(huán)小數小數部分化成分數：將一個循環(huán)節(jié)的數字組成的數作為分子，分母的各位都

是9,9的個數與循環(huán)節(jié)的位數相同，最后能約分的再約分。

②混循環(huán)小數小數部分化成分數：分子是第二個循環(huán)節(jié)以前的小數部分的數字組成的數與

不循環(huán)部分的數字所組成的數之差，分母的頭幾位數字是9,9的個數與一個循環(huán)節(jié)的位數

相同，末幾位是0,0的個數與不循環(huán)部分的位數相同。

二、分數轉化成循環(huán)小數的判斷方法：

①一個最簡分數，如果分母中既含有質因數2和5,又含有2和5以外的質因數，那么這個

分數化成的小數必定是混循環(huán)小數。

②一個最簡分數，如果分母中只含有2和5以外的質因數，那么這個分數化成的小數必定

是純循環(huán)小數。

盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產

生一種結果，由于

分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總

-量.

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關

系求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數，另一次不足；

基本公式：總份數=(余數+不足數)?兩次每份數的差

②當兩次都有余數；

基本公式：總份數=(較大余數一較小余數)+兩次每份數的差

③當兩次都不足；

基本公式：總份數=(較大不足數一較小不足數)?兩次每份數的差

基本特點：對象總量和總的組數是不變的。

關鍵問題：確定對象總量和總的組數。

余數、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作a三b(modm),讀

作a同余于b模m0

二、同余的性質：

①自身性：a=a(modm)；

②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),則a+c三b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c=d(modm),則aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),則a"三b"(modm)；

⑦同倍性：若a三b(modm),整數c,則aXc三bXc(modmXc)；

三、關于乘方的預備知識：

①若A=aXb,則M』""(Ma)b

②若B=c+d則

四、被3、9、11除后的余數特征：

①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和，則M三n(mod9)或(mod3)；

②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和,

則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五、費爾馬小定理：如果p是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則E三l(modp)。

余數及其應用

基本概念：對任意自然數a、b、q、r,如果使得a+b=q……r,且O〈r〈b,那么r叫做a除以

b的余數，q叫做a除以b的不完全商。

余數的性質：

①余數小于除數。

②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

@a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b