第12講分組分解與十字相乘

號目標導航

理解分組分解法十字相乘法和的概念，掌握十字相乘法分解二次項系數為1的二次三項式，能

夠用分組分解法分解含有四項以上的多項式.重點能夠靈活運用十字相乘法與分組分解方法進行分

解因式，能夠與前兩種的方法相結合.難點能夠總結歸納這兩種方法所針對的多項式，可以在分解因

式的時候快速確定方法.

隕知識精講

知識點Ol因式分解-分組分解法

1、分組分解法一般是針對四項或四項以上多項式的因式分解，分組有兩個目的，一是分組后能出現公因式,

二是分組后能應用公式.

2、對于常見的四項式，一般的分組分解有兩種形式：①二二分法，②三一分法.

例如：①0r+0y+∕λr+by

=x(a+b)+y(a+h)

=(α÷?)(x+γ)

@2xy-/+1-J

=-(χ2-2xy+)?)+1

=1-(χ-y)2

=(1+x-y)(1-x÷γ)

【知識拓展11(2021秋?十堰期末)下列多項式中，不能在有理數范圍進行因式分解的是()

A.-Λ2+?2B.-a1-h1

C.crt-3a1+2aD.a2-2ah+b1-1

【即學即練1](2021秋?平昌縣期末)下列因式分解錯誤的是()

A.2a-2b=2(Q-b)

B.x2-9=(x+3)(χ-3)

C.a1+4a-4=(〃-2)2

D.x2-2x+l-J=(X-ι+y)(χ-1-y)

【知識拓展2】（2021秋?廣水市期末）分解因式:

9√-a2-2a-1.

【即學即練1】（2021秋?豐澤區(qū)校級期末）因式分解:

α2-?2-6a+9.

【即學即練2】（2021秋?寶山區(qū)期末）分解因式：x3+2x2γ-‰-I8γ.

【即學即練3】（2021秋?普陀區(qū)期末）因式分解：1-o2-4bλ+4ab.

【即學即練4】（2021秋?浦東新區(qū)期末）分解因式：√-χ-∕+l.

知識點02因式分解-十字相乘法等

借助畫十字交叉線分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的

方法，通常叫做十字相乘法.

①f+（p+4）χ+pq型的式子的因式分解.

這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1;常數項是兩個數的積;

可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：

X+（/?+<?）x+pq=（x+p）（x+q）

②Or2+bx+c(αWO)型的式子的因式分解

這種方法的關鍵是把二次項系數a分解成兩個因數ɑι,02的積0?。2，

把常數項C分解成兩個因數Cl,C2的積C1?C2,并使〃IC2+O2C1正好是一

次項兒那么可以直接寫成結果：QA2+ZλT+C=(∏jX+Cl)(〃2%+C2).

【知識拓展1](2021秋?弋江區(qū)期末)分解因式7-5χ-14,正確的結果是()

A.(χ-5)(x-14)B.(χ-2)(χ-7)

C.(χ-2)G+7)D.(X+2)(X-7)

【即學即練1](2021秋?應城市期末)將多項式7-2χ-8分解因式，正確的是()

A.(x+2)(X-4)B.(X-2)(X-4)C.(x+2)(x+4)D.(x-2)(x+4)

【即學即練2](2021?阿榮旗一模)把多項式187-12x+2分解因式的結果是.

【即學即練3】(2021秋?新撫區(qū)期末)分解因式：a2-2a-8=.

【即學即練4】(2021秋?寶山區(qū)期末)分解因式：7+4χ-21=.

【知識拓展2】(2021秋?普蘭店區(qū)期末)若/+αχ-14=(x+2)(χ-7),貝IJa=.

【即學即練1](2021秋?淮陽區(qū)期末)甲乙兩人完成因式分解/+辦+匕時，甲看錯了”的值，分解的結果是

(x+6)(x-2),乙看錯了b的值，分解的結果為(X-8)(x+4),那么x1+ax+b分解因式正確的結果

為.

【即學即練2](2021秋?新泰市期中)提出問題：你能把多項式/+5x+6因式分解嗎？

探究問題：如圖I所示，設a,b為常數，由面積相等可得：(x+a)(x+?)=x1+ax+bx+ab=x1+(α+6)

x+ab,將該式從右到左使用，就可以對形如/+(a+b)x+ab的多項式進行因式分解即x2+(a+b)x+ah

=G+α)(x+b).觀察多項式/+(Λ+?)x+必的特征是二次項系數為1,常數項為兩數之積，一次項為

兩數之和.

解決問題：/+5x+6=/+(2+3)x+2×3=(X+3)(x+2).

運用結論：

(1)基礎運用：把多項式f+4χ-21進行因式分解.

(2)知識遷移：對于多項式4x2-4χ-15進行因式分解還可以這樣思考：

將二次項47分解成如圖2所示中的兩個2%的積，再將常數項-15分解成-5與3的乘積，圖中的對角

線上的乘積的和為-4x,就是47-4χ-15的一次項，所以有47-4x-15=(2χ-5)(2x+3).這種分

解因式的方法叫做“十字相乘法”.

(交叉相乘再相加等于一次項)

圖1圖2

請用十字相乘法進行因式分解：①37-19χ-14；②6/-13Hτ+6層.

Q能力拓展

1.(2021秋?永吉縣期末)閱讀下列材料：

一般地，沒有公因式的多項式，當項數為四項或四項以上時，經常把這些項分成若干組，然后各組運用

提取公因式法或公式法分別進行分解，之后各組之間再運用提取公因式法或公式法進行分解，這種因式

分解的方法叫做分組分解法.如：

因式分解：am+bm+an+bn

=(am+bm)+(an+bn)

=m(fz+?)+n(q+b)

=(tz+?)(m+n).

(I)利用分組分解法分解因式：

①3"？-3y+am-ay；

(^)a1x+a2y+b1x+h2y.

(2)因式分解：cr+2ab+b2-1=(直接寫出結果).

2.(2021秋?微山縣期末)【知識背景】

八年級上冊第121頁“閱讀與思考”中，我們利于因式分解是與整式乘法方向相反的變形這種關系得到：

X2+(.p+q)x+pq=(X+p)(X+g).

【方法探究】

對于多項式/+(p+q)x+pq我們也可這樣分析：它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項Pq

分解成P與q的積，按圖1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數+(p+q).

所以％2+(p+q)x+pq=(x+p)(X+q).

例如，分解因式：/+5x+6.

它的二次項系數1分解成1與1的積；它的常數項6分解成2與3的積，按圖2所示方式排列，然后交

叉相乘的和正好等于一次項系數5.

所以/+5x+6=(x+2)(X+3).

類比探究：當二次項系數不是1時，我們也可仿照上述方式進行因式分解.

例如，分解因式：2√-χ-6.

分析：二次項系數2分解成2與1的積；常數項-6分解成-1與6(或-6與1,-2與3,-3與2)

的積，但只有當-2與3時按如圖3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次項系數-1.所以2?

-X-6=(2x+3)(x-2).

【方法歸納】

一般地，在分解形如關于X的二次三項式以2+bx+c時，二次項系數4分解成田與42的積，分別寫在十

字交叉線的左上角和左下角；常數項C分解成Cl與C2的積，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，把

a?,ai，c?,C2按如圖4所示方式排列，當且僅當“∣c2+α2c1=6(一次項系數)時，Or2+fer+c可分解因式.即

ax1+bx+c-(αιx+c∣)(3+c2).

我們把這種分解因式的方法叫做十字相乘法.

2×(-2)+l×3=-lɑ?×c2÷α2×d=b

圖3圖4

【方法應用】

利用上面的方法將下列各式分解因式:

(1)X2-5x+6;

(2)10?-21；

(3)(x2-4x)2+7Cx2-4x)+12.

3.(2021秋?惠安縣期末)因式分解與整式乘法互為逆運算.如對多項式/-7x+12進行因式分解：

首先，如果一個多項式能進行因式分解，則這個多項式可看作是有兩個較低次多項式相乘得來的.故可

寫成X2-7X+12=(x+α)(x+h),即Λ2-7x+12=/+(a+〃)x+出？(對任意實數X成立)，由此得α+6=-

7,ab-↑2.易得一組解：a--3,b--4,所以x2-7x+12=(X-3)(X-4).像這種能把一?個多項式

進行因式分解的方法，稱為待定系數法.

(1)因式分解：Λ2-15χ-34=.

i2

(2)因式分解：x-3Λ+4=(x+α)(f+?r+c),請寫出一組滿足要求的a,h,c的值：.

(3)請你運用待定系數法，把多項式3/〃2+5〃"?-2∕+,"+9”-4進行因式分解.

Cll分層提分

題組A基礎過關練

選擇題(共10小題)

1.(2021春?吉安縣期末)若加＞-1,貝IJ多項式加5-_祖+］的值為()

A.正數B.負數C.非負數D.非正數

2.(2021秋?十堰期末)下列多項式中，不能在有理數范圍進行因式分解的是()

A.-a2+b2B.-a2-b2

C.1-3^2+2αD.c?-2ab+b2-1

3.(2021秋?平昌縣期末)下列因式分解錯誤的是()

A.2a-2h=2(a-b)

B.7-9=(x+3)(X-3)

C.a2+4tz-4=Ca-2)2

D.?2-2x+l-)2=(?-l+y)(X-I-y)

4.(2021秋?越秀區(qū)期末)若x2+χ-12=(x+p)(x+q),則p,4的值分別為()

A.p=3,q=4B.p=-3,q=4C.p=3,q=-4D.p=-3,q=-4

5.(2021秋?臨沂期末)多項式/-8x+m=(χ-9)(X-〃)，則加，〃的值為()

A.m=9，H=1B.m=9,n=-IC.m=-9,n=-1D.m=-9,n=↑

6.(2021秋?蕪湖期末)下列因式分解結果正確的是()

A.-/+4X=-X(Λ+4)B.4X2-J=(4X+>,)(4X-?)

C.-Λ2-2x-1=-(x+l)2D.X2-5x-6=(X-2)(X-3)

7.(2021秋?博白縣期末)下列因式分解錯誤的是()

A.2a-2b=2(a-b)B.x2-9=(x+3)(X-3)

C."+4α-4=(α-2)2D.-Λ2-x+2=-(X-I)(X+2)

8.(2021秋?監(jiān)利市期末)因式分解/+m-12=(x+p)(x+q),其中機、p、4都為整數，則這樣的小的

最大值是()

A.IB.4C.IlD.12

9.(2021秋?微山縣期末)已知關于X的二次三項式2∕+/W+α分解因式的結果是(x+l)(2χ-3),則代數

式心的值為()

A.-3B.-IC.-?D.A

33

10.(2021秋?弋江區(qū)期末)分解因式7-5χ-14,正確的結果是()

A.(X-5)(χ-14)B.(X-2)(X-7)

C.(X-2)(X+7)D.(x+2)(X-7)

二.填空題(共9小題)

11.(2021春?碑林區(qū)校級月考)分解因式：a2-b1+ab2-a1b=

12.(2021?廣饒縣一模)因式分解：(〃?-〃)/+機)層=.

13.(2021?邵陽模擬)把(a-2b)+(a2-4?2)因式分解的結果是.

14.(2020秋?齊河縣期末)分解因式：/-Λ2-2X-1=.

15.(2021?懷寧縣模擬)因式分解：4X2-y1+2y-1=.

16.(2021?宣城模擬)已知〃?，n,P均為實數，若x-1,x+4均為多項式/+//!/+〃氏+2的因式，則-2〃

-p+86=?

17.(2021秋?普蘭店區(qū)期末)若/+αT-14=(x+2)(X-7),貝IJa=.

18.(2021秋?鞍山期末)觀察下列因式分解中的規(guī)律：

①/+3x+2=(x+l)(X+2)；

②/+7x+10=(x÷2)(x÷5)；

③7-5x+6=(X-2)(X-3)；

④7-2χ-8=(X+2)(X-4)；

利用上述系數特點分解因式/+X-6=.

19.(2021秋?隆昌市校級期末)若多項式/+ox+6可分解為(x+2)(x+?),則α+〃的值為.

≡.解答題(共10小題)

20.(2020秋?廣安期末)分解因式：4(n/-/?)a2+(〃-加)?2.

21.(2021秋?研口區(qū)期末)因式分解:

(1)x2y-4y；

(2)-2x2+8xy,-8y2;

(3)(X-2)(x+3)-6x.

22.(2021秋?荔灣區(qū)期末)分解因式：

(1)xiy-9xy；

(2)X2(X-y)+2x(?-x)-(γ-x).

23.(2021秋?克東縣期末)因式分解:

(1)(α+3)Ca-D+21；

(2)m2(x-y)+〃2(y-χ).

24.(2021秋?廣水市期末)分解因式:

(1)Sa3b2+?2ab3c;

(2)9Λ2-a1-2a-1.

25.(2021秋?豐澤區(qū)校級期末)因式分解:

(I)Zr(X-3)-8；

(2)02-?2-6a+9.

26.(2021秋?永吉縣期末)閱讀下列材料:

一般地，沒有公因式的多項式，當項數為四項或四項以上時，經常把這些項分成若干組，然后各組運用

提取公因式法或公式法分別進行分解，之后各組之間再運用提取公因式法或公式法進行分解，這種因式

分解的方法叫做分組分解法.如：

因式分解：am+bm+an+hn

=(am+bm)+(an+bn)

=ιn(〃+/?)+〃(a+b)

=(a+b)(m+n).

(1)利用分組分解法分解因式：

@3m-3y+am-ay；

(2)a2χ+α2>,+?2x+?2y.

(2)因式分解：a1+2ah+b2-l=(直接寫出結果).

27.(2021秋?方城縣期末)下面是某同學對多項式(/-2χ-1)(x2-2x+3)+4進行因式分解的過程，

解：設/-2x=y

原式=(?-1)(y+3)+4(第一步)

=√+2>+1(第二步)

=(γ+l)2(第三步)

=(Jc2-2X+1)2(第四步)

回答下列問題：

(1)該同學第二步到第三步運用了.

A.提取公因式B.平方差公式

C.兩數和的完全平方公式D.兩數差的完全平方公式

(2)該同學因式分解的結果是否徹底？(填“徹底”或者“不徹底”)

若不徹底.請直接寫出因式分解的最后結果.

(3)請你模仿以上方法嘗試對多項式(Λ2-4X)(Λ-2-4Λ-+8)+16進行因式分解.

28.(2021秋?郵陽區(qū)期末)先閱讀下列材料，再解答下列問題：

材料：因式分解：(x+y)?+2(x+y)+1.

解：將"x+y”看成整體，令x+y=A,則原式=^+24+1=(A+l)2.

再將“A”還原，得原式=(x+y+l)2.

上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數學解題中常用的一種思想方法，請解答下列問題:

(1)因式分解：1+2(2χ-3y)+(2%-3y)2.

(2)因式分解：(α+b)(.a+b-4)+4；

29.(2021秋?江陵縣期末)閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形.

由(x+p)(X+q)=x2+(p+q)x+pq得/+(p+q)x+pq=(x+p)(x+?).利用這個式子可以將某些二次

項系數是1的二次三項式分解因式.例如：將式子/+3x+2分解因式.

分析：這個式子的常數項2=1X2,一次項系數3=1+2.

所以，+3x+2=/+(1+2)x+1×2.

解：/+3x+2=(x+I)(x+2).請仿照上面的方法，解答下列問題：

(1)分解因式：7+5X-24=；

(2)若Λ2+px+6可分解為兩個一次因式的積，則整數P的所有可能值是；

(3)利用上面因式分解方法解方程：√-4χ-2l=0.

題組B能力提升練

一.填空題(共6小題)

1.(2020?浙江自主招生)分解因式：2x2+7肛-15y2-3x+lly-2=.

2.(2020?浙江自主招生)分解因式：X2-2X-2∕+4y-孫=.

3.(2021春?西湖區(qū)校級期中)已知多項式/+如汁〃能分解為(%2+pχ+q)(Λ2+2X-3),則P=，q

4.(2021秋?煙臺期中)多項式7-8x+m=(χ-9)(X-〃)，則加+〃=

5.(2021秋?豐臺區(qū)校級期中)若x2+wx-12=(x+3)(x+〃)，則，〃的值.

6.(2021秋?龍鳳區(qū)期中)兩位同學將同一個二次三項式進行因式分解時，一位同學因看錯了一次項系數而

分解成(X-I)(x-9)；另一位同學因看錯了常數項而分解成(χ-2)(χ-4),則原多項式因式分解的

正確結果是：.

二.解答題(共10小題)

7.(2021秋?新春縣月考)分解因式：

(1)(w+n)2-4m(wι+n)+4∕M2;

(2)6?-ll?+4

8.(2021秋?泰山區(qū)期中)先閱讀下列材料，再解答下列問題：

材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.

解：將"x+y”看成整體，設x+y="z,則原式="P+2,"+l=(∕n+l)2.

再將x+y=∕n代入，得原式I=(x+y+l)2.

上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數學解題中常用的一種思想方法.請你寫出下列因式分

解的結果：

(1)因式分解：1-2(X-y)+(X-y)2=；

(2)因式分解：25(a-1)2-IO(α-1)+1=；

(3)因式分解：(y2-4y)(√-4>+8)+16=.

9.(2021春?平頂山期末)把下列各式因式分解：

(1)x1+2xy+y2-C2；

(2)?2(a-2)+b(2-a).

10.(2021春?商河縣校級期末)觀察“探究性學習”小組甲、乙兩名同學進行的因式分解:

甲：/-孫+4X-4y

=(7-孫)+(4r-4y)(分成兩組)

=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)

=(X-y)(X+4).

乙：α2-Z?2-c1+2bc

=J-(必+/-2歷)(分成兩組)

=/-(…)2(直接運用公式)

=(a+h-c)(Q-HC)(再用平方差公式)

請你在他們解法的啟發(fā)下，把下列各式分解因式：

(1)nr,-2m2,-4∕n+8.

(2)/-2xy+y2,-9.

11.(2019秋?西崗區(qū)期末)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多

項式只用上述方法就無法分解，如7-4y2-2x+4y,我們細心觀察這個式子就會發(fā)現，前兩項符合平方

差公式，后兩項可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會產生公因式，然后提取公因式就可以完成

整個式子的分解因式了.過程為：X1-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(X-2y)=(X-2y)(x+2y-

2).

這種分解因式的方法叫分組分解法.利用這種方法解決下列問題：

(1)分解因式/-2xy+γ2-]6；

(2)LABC三邊a,b,cΓ-ab-ac+hc=Q.判斷aABC的形狀.

12.(2019春?邵東縣期中)觀察下列因式分解的過程:

(I)X2-xy+4x-4y

=(JC2-xy)+(4x-4y)(分成兩組)

=X(χ-y)+4(χ-y)(直接提公因式)

=(X-y)(X+4)

(2)a2-b2-c1+2bc

=/-(廬+￠2-2加?)(分成兩組)

=J-(?-c)2(直接運用公式)

=Ca+h-c)(〃-b+c)

(1)請仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：

①ad-ac-bd+bc

②W-γ2-6x+9

(2)請運用上述分解因式的方法，把多項式?+x+x(l+x)+x(l+x)2+???+x(l+x)〃分解因式.

13.(2021秋?建昌縣期末)閱讀材料：根據多項式乘多項式法則，我們很容易計算：

(x+2)(X+3)=X2+5X+6;(X-1)(x+3)=x2+2x-3.

而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關系可得：

W+5R+6=(X+2)(X+3)；X2+2X-3=(X-I)(X+3).

通過這樣的關系我們可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式.如將式子/+21-3分解因式.這

個式子的二次項系數是1=1X1,常數項-3=(-1)×3,一次項系數2=(-1)+3,可以用下圖十字

相乘的形式表示為：

1、s/z-1-------A

??z、

_______1，'、'3----------A

1×3+1×(-1)=2

先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右

上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數，然后橫向書寫.這樣，我們就可以得到：

JΓ+2X-3=(X-I)(X+3).

利用這種方法，將下列多項式分解因式：

(1)√+7x+10=；

(2)X2-2X-3=；

(3)√-7y+12=；

(4)/+7x78=.

14.(2021?尋烏縣模擬)已知：整式A=X(x+3)+5,整式8=αχ-l.

(1)若A+B=(x+2)2,求”的值；

(2)若A-B可以分解為(X-2)(χ-3),求A+8.

15.(2021春?渠縣校級期末)因式分解：/-2xy+y2-25.

16.(2021秋?惠安縣期末)因式分解與整式乘法互為逆運算.如對多項式/-7x+12進行因式分解：

首先，如果一個多項式能進行因式分解，則這個多項式可看作是有兩個較低次多項式相乘得來的.故可

寫成Λ2-7X+12=(x+α)(X+b),即x2-7X+12=Λ2+(4+/力χ+α6(對任意實數X成立)，由止匕得α+b=-

7,ab=?2.易得一組解：a=-3,b=-4,所以/-7χ+12=(X-3)(χ-4).像這種能把一個多項式

進行因式分解的方法，稱為待定系數法.

(1)因式分解：X2-15χ-34=.

(2)因式分解：/-3Λ2+4=(x+a)(Λ2+?X+C),請寫出一組滿足要求的α,b,C的值：.

(3)請你運用待定系數法，把多項式3〃?2+5〃?”-2〃2+加+9〃-4進行因式分解.

題組C培優(yōu)拔尖練

一.填空題(共2小題)

1.(2020?衡陽縣自主招生)分解因式：X3-3X2-6X+8=.

2.(2021春?歷下區(qū)期中)分解因式：X6-28X3+27=.

二.解答題(共12小題)

3.(2021春?馬鞍山期末)(1)將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.

例如：atn+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)—a(m+n)+b(m+n)=(α+b)(m+n).

①分解因式：ab-a-h+?↑

②若a,b(a>b)都是正整數且滿足ab-a-b-4=0,求a+b的值；

(2)若“，6為實數且滿足而-α-6-4=0,s=a2+3ab+b2+3a-?,求S的最小值.

2

4.閱讀下列文字與例題

將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法

例如:

(1)am-it?anjfbm+bn=(am+bm)÷(an+bn)=m(a+b)+n(tz+?)=(a+b)(fn+n)；

(2)x2-y2-2y-I=x2-(y2+2}H-l)=x2-(y+l)2=(x+γ+l)(x-y-I).

試用上述方法分解因式：

(1)x2+xj-2xz-2yz

(2)x2-4y2-6X-4y+8

(3)ιrr-4mn-3∕W+6H+4∕?2.

5.先閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

例1：1+aχ+aχ(l+0r)=(l+0r)(1+以)

=(l+0r)2；

例2：1+ax+ax(?+ax)+ax(l+0r)2=(i+ax)(l+0r)+ax(1+。工)2

=(l÷<7x)2+ax(l+πx)2

=(l+ατ)2(l+ατ)

=(l+0x)3

(1)分解因式：1+QX+QX(?+ax)+ax(l+0r)2+???+6fΛ(l+0r)"=；

(2)分解因式：χ-l-χ(X-I)+x(X-I)2-X(χ-1)3+???-X(χ-1)2003+x(X-I)2004

(答題要求：請將第(1)問的答案填寫在題中的橫線上)

6.(2021春?永定區(qū)期中)先閱讀，再因式分解：/+4=(X4+4X2+4)-4X2=(X2+2)2-(2x)2=(X2-

2Λ-+2)(/+2X+2),按照這種方法把多項式/+324因式分解.

7.(2019秋?平山縣期末)對于多項式4-5∕+x+10,我們把尸2代入此多項式，發(fā)現x=2能使多項式J

-5∕+x+10的值為0,由此可以斷定多項式/-5』+無+10中有因式(χ-2),(注：把x=α代入多項式，

能使多項式的值為0,則多項式一定含有因式(X-。))，于是我們可以把多項式寫成：X3-5√+x+10=(X

-2)(∕+m+"),分別求出加、〃后再代入/-5X2+Λ+10=(X-2)(7+妙+〃)，就可以把多項式X3-5X2+X+10

因式分解.

(1)求式子中〃?、〃的值；

(2)以上這種因式分解的方法叫“試根法”，用“試根法”分解多項式尸+5X2+8X+4?

8.(2018秋?涿鹿縣期末)閱讀與思考

Λ2+(p+q)x+pq型式子的因式分解

/+(p+q)x+pq型式子是數學學習中常見的一類多項式，如何將這種類型的式子分解因式呢？

我們通過學習，利用多項式的乘法法則可知：(x+p)(x+q)=X2+(p+q)x+pq,因式分解是整式乘法相

反方向的變形，利用這種關系可得/+(p+q)x+pq~(X+p)(x+q).

利用這個結果可以將某些二次項系數是1的二次三項式分解因式，例如，將f-x-6分解因式.這個式

子的二次項系數是I.常數項-6=2×(-3),一次項系數-1=2+(-3),因此這是一個/+(p+q)x+%

型的式子.所以/-χ-6=(Λ+2)(X-3).

上述過程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；

再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系

數，如圖所示.

這樣我們也可以得到/-X-6=(x+2)(x-3).這種分解二次三項式的方法叫“十字相乘法”.

請同學們認真觀察，分析理解后，解答下列問題：

(1)分解因式:y1-2y-24.

(2)若/+3-12(機為常數)可分解為兩個一次因式的積，請直接寫出整數機的所有可能值.

：X-3

l×2+l×(-3)=-l

9.(2019春?岳陽期中)已知二次三項式/+px+q的常數項與(X-I)(X-9)的常數項相同，而它的一次

項與(x-2)(X-4)的一次項相同，試將此多項式因式分解.

10?(2017秋?微山縣期末)【閱讀材料】

對于二次三項式/+2β?+序可以直接分解為(4+6)2的形式，但對于二次三項式“2+2時-8層，就不能直

接用公式了，我們可以在二次三項式J+2帥-汕2中先加上一項ZA使其成為完全平方式，再減去序這

項，(這里也可把-8/拆成+/與-9/的和)，使整個式