專題11圓的綜合問題類型一、切線問題例．如圖，在中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的與CE相切于點D，，點F為OC與的交點．(1)求證：CB是的切線；(2)連接DB與OC交于點G，，，求陰影部分面積．【變式訓練1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，P為AB延長線上一點，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分線交⊙O于點D，交AB于點E，(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若AC＋BC＝2時，求CD的長．【變式訓練2】如圖，線段AB經(jīng)過的圓心O，交圓O于點A，C，，AD為的弦，連接BD，，連接DO并延長交于點E，連接BE交于點M．(1)求證：直線BD是的切線；(2)求線段BM的長．【變式訓練3】如圖，在平行四邊形中，是對角線，，以點為圓心，以的長為半徑作，交邊于點，交于點，連接．(1)求證：與相切；(2)若，，求的長．【變式訓練4】如圖，四邊形ABCO是菱形，點D在邊AB上，以O為圓心、OD為半徑的圓切AB于點D．(1)試判斷直線BC與的位置關系，并說明理由；(2)若，且點D是AB的中點，求圖中陰影部分的面積．類型二、圓的面積問題例．已知，在半圓中，直徑，點，在半圓上運動，(點，可以與，兩點重合)，弦．(1)如圖1，當時，直接寫出圖中標注頂點的所有全等三角形；(2)如圖2，若時，求圖中陰影部分(弦AD、直徑AB、弧BD圍成的(圖形)的面積；(3)如圖3，取CD的中點，點從點開始運動到點與點重合時結束，在整個運動過程中：①點M到AB的距離的最小值是______；②直接寫出點M的運動路徑長______．【變式訓練1】如圖，AB為的直徑，點E在弦AC的延長線上，過點E作，ED與相切于點D．(1)求證：AD平分．(2)若，，求CE和DE的長．【變式訓練2】小穎復習尺規(guī)作圖時，進行如下操作(如圖)：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA于點Q，交BC于點P，再分別以點P，Q為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點H，作射線BH；②以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB于點M，交AC于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點G，作射線AG交射線BH于點O；③作射線CO交AB于點D，且，以點O為圓心，OD為半徑作，交AC于點E，交BC于點F，構成如圖所示的陰影部分．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【變式訓練3】如圖，是的直徑，點C在上，，點D是的中點，連結，交于點E，連結．(1)求的度數(shù)．(2)求證：．(3)若，求的面積．專題11圓的綜合問題類型一、切線問題例．如圖，在中，點A是邊BE上一點，以AB為直徑的與CE相切于點D，，點F為OC與的交點．(1)求證：CB是的切線；(2)連接DB與OC交于點G，，，求陰影部分面積．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】(1)連接OD，則OD=OA，∴∠DAO=∠ADO，，，，∵在△COD和△COB中，，，∴∠CBO=∠CDO，∵CD是切線，∴OD⊥CD，∴∠CBO=∠CDO=90°，∴CB是的切線；(2)∵CD、CB都是圓O的切線，∴CD=CB，OC垂直平分DB，設圓O的半徑為r，則OD=r，OG=OF-FG=r-2，∵OD2=OG2+DG2，∴，解得r=4，∴OG=2，∴∠ODG=30°，∴∠COD=60°，∠DOB=2∠COD=120°，∵，∴，∴，∵S四邊形CDOB，S扇形DOB，∴S陰影=S四邊形CDOB-S扇形DOB=．【變式訓練1】如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，P為AB延長線上一點，∠BCP＝∠BAC，∠ACB的平分線交⊙O于點D，交AB于點E，(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)若AC＋BC＝2時，求CD的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】(1)連接OC，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∵∠BCP＝∠BAC，∴∠BCP=∠ACO∴∠BCP+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切線；(2)連接BD，作，垂足為M，N，∵CD平分，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形為矩形，∵，∴矩形為正方形，∴，∵，∴，∵，∴．【變式訓練2】如圖，線段AB經(jīng)過的圓心O，交圓O于點A，C，，AD為的弦，連接BD，，連接DO并延長交于點E，連接BE交于點M．(1)求證：直線BD是的切線；(2)求線段BM的長．【答案】(1)見解析；(2)【解析】(1)證明：∵∠BOD=2∠BAD，∴，

又∵，∴，即，又∵為的半徑，∴直線BD是的切線；(2)解：如圖，連接DM，Rt△BOD中，，∴，

又，，∴，∴，∵的直徑，∴，，在Rt△BDE中，，∵，∴，在Rt△BDM中，．【變式訓練3】如圖，在平行四邊形中，是對角線，，以點為圓心，以的長為半徑作，交邊于點，交于點，連接．(1)求證：與相切；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)．【解析】(1)解：連接AE，∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∵AE是的半徑，∴與相切；(2)連接EF，作EG⊥AC，由(1)可知，∴，∵，，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∵EG⊥AC，∴，∴，∴，

在中，．【變式訓練4】如圖，四邊形ABCO是菱形，點D在邊AB上，以O為圓心、OD為半徑的圓切AB于點D．(1)試判斷直線BC與的位置關系，并說明理由；(2)若，且點D是AB的中點，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)與相切，理由見解析(2)【解析】(1)解：直線BC與⊙O相切．理由是：如圖，過點O作OE⊥BC，垂足為點E．∵⊙O與邊AB相切于點D，∴OD⊥AB．∴∠ODA=∠OEC=90°，∵四邊形ABCO是菱形，∴∠A=∠C，OA=OC，∴△OAD≌△OCE(AAS)，∴OD=OE，∴OE是⊙O的半徑．∴直線BC與⊙O相切．(2)解：如圖：標出四邊形與圓的交點，由已知可得，在Rt△OAD中，OA=AB=2，AD=，∴由勾股定理可得OD=，∴，∵AD=，∴∠AOD=30°，∴∠A=60°，∠AOC=120°，∴，∴陰影部分的面積=．類型二、圓的面積問題例．已知，在半圓中，直徑，點，在半圓上運動，(點，可以與，兩點重合)，弦．(1)如圖1，當時，直接寫出圖中標注頂點的所有全等三角形；(2)如圖2，若時，求圖中陰影部分(弦AD、直徑AB、弧BD圍成的(圖形)的面積；(3)如圖3，取CD的中點，點從點開始運動到點與點重合時結束，在整個運動過程中：①點M到AB的距離的最小值是______；②直接寫出點M的運動路徑長______．【答案】(1)；；(2)；(3)①，②【解析】(1)證明：∵，∴∠CAD=∠DBC，∵∠DAB=∠CBA，∴AC=BD，∠CAD+∠DAB=∠DBC+∠CBA，即∠CAB=∠DBA，在△CAB和△DBA中，，∴△CAB≌△DBA(SAS)；∵∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DCB，∠CBA=∠CDA，∴∠CDA=∠DCB，在△CAD和△DBC中，，∴△CAD≌△DBC(AAS)；(2)解：過作于，如圖：∵半圓O中，直徑，∴，∵，∴，∴，∴，，，∴；答：陰影部分面積是；(3)①，②，解：①連接OC、OD、OM，過M作ME⊥AB于E，如圖：∵直徑AB=6，弦CD=3，∴OC=OD=CD=3，∴△COD是等邊三角形，∵M是CD的中點，∴CM=，OM⊥CD，∴OM=，∴ME=，∴當OE最大時，ME最小，而當C與A重合(或D與B重合)時，OE最大，如圖：∵△COD是等邊三角形，M是CD的中點，∴∠MOC=30°，∴ME=，即點M到AB的距離的最小值是，故答案為：；②如圖，由①知：OM，M的軌跡是以O為圓心，為半徑的弧，當C與A重合時，∠AOM=30°，同理，當D與B重合時，∠BOM'=30°，∴∠MOM'=120°，∴點M的運動路徑長為，故答案為：．【變式訓練1】如圖，AB為的直徑，點E在弦AC的延長線上，過點E作，ED與相切于點D．(1)求證：AD平分．(2)若，，求CE和DE的長．【答案】(1)見解析；(2)，【解析】(1)證明：如圖，連接OD．∵ED與相切于點D，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴，即AD平分．(2)如圖，連接BC交OD于點G．∵AB為的直徑，∴．又∵，∴，∴，∴G為BC的中點，∴．∵，，∴，∵點O點G分別為AB、BC的中點，∴，，∴，∵，，，∴四邊形CEDG是矩形，∴，．【變式訓練2】小穎復習尺規(guī)作圖時，進行如下操作(如圖)：①以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，交BA于點Q，交BC于點P，再分別以點P，Q為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點H，作射線BH；②以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AB于點M，交AC于點N，再分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點G，作射線AG交射線BH于點O；③作射線CO交AB于點D，且，以點O為圓心，OD為半徑作，交AC于點E，交BC于點F，構成如圖所示的陰影部分．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)若，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)證明過程見解析；(2)【解析】(1)證明：由題意尺規(guī)作圖知，、分別是和的角平分線，點是的內(nèi)心，平分，，，，在和中，，，，是等腰三角形，又，是等腰直角三角形．(2)連接，，如圖所示，由(1)得點是的內(nèi)心，且，是的半徑，為的內(nèi)切圓，，，均與相切，，，且，，，，，四邊形是正方形，，設得半徑為，由(1)知是等腰直角三角形，，，，，，，解得，，又，，圖中陰影部分的面積為．【變式訓練3】如圖，是的直徑，點C在上，，點D是的中點，連結，交于點E，連結．(1)求的度數(shù)．(2)求證：．(3)若，求的面積．【答案】(1)22.5°；(2)證明見解析；(3)【解析】(1)解：如下圖所示，連接OD．∵，∴OC⊥AB．∴∠BOC=90°．∵點D是的中點，∴．∴．∵OA=O