難點特訓（二）和正方形有關的壓軸大題1．（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）已知，點是正方形所在平面上一點，直線與直線相交于點．直線與直線相交于點，且．(1)如圖，當點在正方形內(nèi)部，且時，求證：；(2)如圖，當點在正方形外部，依題意補全圖；用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．2．（2022春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）已知在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．(1)如圖1，若∠BAD＝90°，求證：四邊形ABCD是正方形；(2)在（1）的條件下，延長CB到點H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．(3)如圖2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的長．3．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）已知，四邊形和四邊形都是正方形，點為的中點．(1)連接、．①如圖1，若點在邊上，猜想和的關系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在對角線的延長線上，請你在圖2中補全圖形，猜想和的關系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接．請你直接寫出的取值范圍___________．4．（2022春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）數(shù)學問題：如圖①，正方形ABCD中，點E是對角線AC上任意一點，過點E作，垂足為E，交BC所在直線于點F．探索AF與DE之間的數(shù)量關系，并說明理由．(1)特殊思考：如圖②，當E是對角線AC的中點時，AF與DE之間的數(shù)量關系是______．(2)探究證明：①小明用“平移法”將AF沿AD方向平移得到DG，將原來分散的兩條線段集中到同一個三角形中，如圖③，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為探究DG與DE之間的數(shù)量關系．請你按照他的思路，完成解題過程．②請你用與（2）不同的方法解決“數(shù)學問題”．5．（2022春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展．(1)溫故：如圖1，在中，于點D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點P，N分別在AB，AC上，且．若，，則正方形PQMN的邊長等于______．(2)操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：如圖2，任意畫，在AB上任取一點，畫正方形，使，在BC邊上，在內(nèi)，連結(jié)并延長交AC于點N，畫于點M，交AB于點P，于點Q，得到四邊形PQMN．(3)推理：如圖3，若點E是BN的中點，求證：．(4)拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當時，猜想的度數(shù)，并嘗試證明．請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．6．（2022春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）點E．F分別為正方形ABCD邊AD．AB上的點，連接CE，DF交于點P．(1)如圖1，若DE=AF，則線段DF與CE具有怎樣的數(shù)量和位置關系？說明理由．(2)如圖2，若E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，求證BP=BC．(3)若將正方形ABCD折疊，使得A點的對應點A'落在BC邊上，折痕MN分別交AB，CD于M，N．若正方形的的邊長為6，線段A'B=2，則DN的長為．7．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）已知：在正方形ABCD中，，點E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），，連接AE，過點B作，垂足為G，交AD于點F．(1)如圖1，若．①求BF的長；②求四邊形DEGF的面積．(2)如圖2，過點E作AE的垂線，交AD的延長線于點G，交BC于點H，求的長（用含t的代數(shù)式表示）．8．（2022春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，△GEF是一個等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的兩個端點E、F分別安裝在矩形框架的邊AB、BC上（點E、F可以在邊上滑動），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在觀察△GEF運動的過程中，給出了兩個結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補；②點G到邊AB、BC的距離一定相等．(1)小明給出的兩個結(jié)論是否都正確？若結(jié)論是正確的，請寫出證明過程，若結(jié)論不正確，請說明理由；(2)請思考并解決小明提出的兩個問題：問題1：B、G兩點間距離的最大值為；問題2：過點G分別作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足為點M、N，連接MN，那么MN長度的最小值為多少？9．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州市景范中學校?？计谥校┤鐖D1，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AE，并將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過點G作于點F，于點H．(1)①判斷：四邊形CFGH的形狀為____________；②證明你的結(jié)論；(2)如圖2，連接AG，交DC于I，連接EI，若，，求正方形ABCD的邊長；(3)如圖3，連接BD，與AE、AG交于P、Q兩點，試探索BP、PQ、QD之間的數(shù)量關系，并直接寫出結(jié)論：________________．10．（2022春·江蘇無錫·八年級無錫市太湖格致中學?？计谥校┤鐖D1，點P是矩形ABCD邊CD上的一個動點，連接AP，以AP為邊向外作正方形APEF，連接ED、FD．設DP＝x，，y與x的函數(shù)圖像如圖2所示．(1)AB＝______，BC＝______；(2)試問是否發(fā)生改變？如果改變，請求出W關于x的函數(shù)表達式；若不改變，請求出W的值；(3)當△DEF為等腰三角形時，求出x的值．11．（2022春·江蘇泰州·八年級泰州市第二中學附屬初中?？计谥校┮阎叫?，E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點．(1)如圖1，當點E在邊上時，，且B，C，F(xiàn)三點共線．求證：；(2)如圖2，當點E在正方形外部時，，，且E，C，F(xiàn)三點共線．猜想并證明線段，，之間的數(shù)量關系；(3)如圖3，當點E在正方形外部時，，，，且D，F(xiàn)，E三點共線，與交于G點．若，，求正方形的面積．12．（2022春·江蘇南京·八年級校考期中）如圖1，已知正方形BEFG，點C在BE的延長線上，點A在GB的延長線上，且AB＝BC，過點C作AB的平行線，過點A作BC的平行線，兩條平行線相交于點D．(1)證明：四邊形ABCD是正方形；(2)當正方形BEFG繞點B順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，使得點G在射線DB上，連接BD和DF，點Q是線段DF的中點，連接CQ和QE，猜想線段CQ和線段QE的關系，并說明理由；(3)將正方形BEFG繞點B旋轉(zhuǎn)一周時，當∠CGB等于45°時，直線AE交CG于點H，探究線段CH、EG、AH的長度關系．13．（2022春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）問題情境：如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易證：CE＝DF．（不需要寫出證明過程）問題探究：在“問題情境”的基礎上請研究．(1)如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N．判斷線段AE與MN之間的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q，連接EQ，CQ（圖中未連），判斷線段EQ與CQ之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)在（2）的條件下延長EQ交邊AD于點F．則∠AEF=°；(4)拓展提高：如圖3，若該正方形ABCD邊長為8，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對應邊B′C′恰好經(jīng)過點A，過點A作AG⊥MN，垂足分別為G，若AG＝5，請直接寫出AC′的長．14．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，，，點D為直線BC上一動點（（點D不與B，C重合）），以AD為邊的AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．(1)觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為：______．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關系為______；（將結(jié)論直接寫在橫線上）(2)數(shù)學思考：如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸：如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于G，連接GE．若已知，，請直接寫出GE的長．15．（2022春·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖①，已知正方形，把一個直角與正方形疊合，使直角頂點與正方形的一個頂點重合，當直角的一邊與相交于點，另一邊與的延長線相交于點時．（1）證明：；（2）如圖②，作的平分線交于點，連接．證明：．16．（2022春·江蘇揚州·八年級統(tǒng)考期中）在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，AE與BF相交于點G．(1)如圖1，求證：AE⊥BF；(2)如圖2，將△BCF沿BF折疊，得到△BPF，延長FP交BA的延長線于點Q，若AB=4，求QF的值．難點特訓（二）和正方形有關的壓軸大題1．（2022春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）已知，點是正方形所在平面上一點，直線與直線相交于點．直線與直線相交于點，且．(1)如圖，當點在正方形內(nèi)部，且時，求證：；(2)如圖，當點在正方形外部，依題意補全圖；用等式表示線段，，之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②，證明見解析【分析】（1）證出△APD是等邊三角形，得∠PAD＝60°，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DFADa，CECD，DE＝2CE，即可得出結(jié)論；（2）①依題意補全圖形即可；②DE﹣CE＝DF，過D作DH⊥AP交BC于點H，先證△ADF≌△DCH（AAS），得DF＝CH，再證ED＝EH，即可得出結(jié)論．（1）證明：設AB＝a．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝a．∵DA＝DP，∠ADP＝60°，∴△APD是等邊三角形．∴∠PAD＝60°，在Rt△ADF中，∠AFD＝30°，∴DFADa，在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴CECD，DE＝2CE，∴DE+CE＝DF；（2）①依題意補全圖形，如圖2所示：②DE﹣CE＝DF，證明如下：過D作DH⊥AP交BC于點H，如圖3所示：∵DH⊥AF，∴∠HDC+∠AFD＝90°，∵∠HDC+∠DHC＝90°，∴∠AFD＝∠DHC，在△ADF和△DCH中，，∴△ADF≌△DCH（AAS），∴DF＝CH，∵DA＝DP，∴∠ADH＝∠EDH，∵ADBC，∴∠ADH＝∠EHD，∴∠EDH＝∠EHD，∴ED＝EH，∴DE﹣CE＝DF．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．2．（2022春·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）已知在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．(1)如圖1，若∠BAD＝90°，求證：四邊形ABCD是正方形；(2)在（1）的條件下，延長CB到點H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．(3)如圖2，若AB=AD，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的長．【答案】(1)見解析(2)△AHF是等腰三角形，理由見解析(3)DE＝8【分析】（1）先證明四邊形ABCD是矩形，證明△ADE≌△BAF（AAS），可得AD＝BA，即可證明四邊形ABCD是正方形：（2）證明AB⊥BC，即AB垂直平分FH，即可證明△AHF是等腰三角形；（3）延長CB到點H，使得BH＝AE，連接AH，證明△DAE≌△ABH（SAS），得到△AHF是等邊三角形，即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∠DAE＝∠ABF＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∵DE⊥AF，∴∠AGD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝BA，∴四邊形ABCD是正方形：（2）解：△AHF是等腰三角形，理由如下：由（1）得：△ADE≌△BAF，∴AE＝BF，∵BH＝AE，∴BF＝BH，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，即AB垂直平分FH，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形．（3）延長CB到點H，使得BH＝AE，連接AH，如圖2所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABH＝∠BAD．∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH（SAS），∴DE＝AH，∠AHB＝∠DEA＝60°，∵DE＝AF，∴AH＝AF，∴△AHF是等邊三角形，∴AH＝HF＝BH+BF＝AE+BF＝6+2＝8，∴DE＝AH＝8．【點睛】本題考查了特殊四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上性質(zhì)定理是解題的關鍵．3．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）已知，四邊形和四邊形都是正方形，點為的中點．(1)連接、．①如圖1，若點在邊上，猜想和的關系，并給予證明：②若將圖1中的正方形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，使點落在對角線的延長線上，請你在圖2中補全圖形，猜想和的關系，并給予證明．(2)如圖3，若，，將正方形繞點旋轉(zhuǎn)，連接．請你直接寫出的取值范圍___________．【答案】(1)①；②證明見解析(2)【分析】（1）①連接，證明，，證明是等腰直角三角形，即可得證；②延長交于點，連接，證明，，得出，根據(jù)等邊對等角，設，，根據(jù)外角的性質(zhì)得出，即可證明；（2）連接，根據(jù)，當在上時，最大，，當在上時，最小，，即可求解．【詳解】（1）①如圖，連接，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴,，∴，∵為的中點，∴，則，在中，，∴，∴，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②，證明：如圖，延長交于點，連接，∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，∵落在對角線的延長線上，∴，∴，∴在的延長線上，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，∵，為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，在中，,∴，∴，，∴，∵，，∴，設，，∴，，∵，∴，即，∴；（2）如圖，連接，∵∴當在上時，如圖，此時最大，，由（1）可知是等腰直角三角形，∵，，∴，，∴∴，∴當在上時，最小，同理可得是等腰直角三角形，此時，綜上所述，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形三邊關系，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理的應用，綜合運用以上知識是解題的關鍵．4．（2022春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）數(shù)學問題：如圖①，正方形ABCD中，點E是對角線AC上任意一點，過點E作，垂足為E，交BC所在直線于點F．探索AF與DE之間的數(shù)量關系，并說明理由．(1)特殊思考：如圖②，當E是對角線AC的中點時，AF與DE之間的數(shù)量關系是______．(2)探究證明：①小明用“平移法”將AF沿AD方向平移得到DG，將原來分散的兩條線段集中到同一個三角形中，如圖③，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為探究DG與DE之間的數(shù)量關系．請你按照他的思路，完成解題過程．②請你用與（2）不同的方法解決“數(shù)學問題”．【答案】(1)(2)①見解析

②見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理即可解決問題；（2）①延長BC，作，交BC的延長線于點G，連接EG，證明四邊形AFGD為平行四邊形．從而證明，得到△DEG是等腰直角三角形，得到，故可求解；②作，并截取，連接AG，證明△DEG是等腰直角三角形，得到，再證明，，，再得到四邊形AGEF為平行四邊形，則AF＝EG．故可求解．（1），理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，E是對角線AC的中點，∴AC⊥BD，AE＝BE＝CE＝DE，∵AB2＝AE2＋BE2，∴AB2＝2DE2，∵B點與F點重合，∴AF2＝2DE2，∴；故答案為：．（2）①如下圖，延長BC，作，交BC的延長線于點G，連接EG．∵四邊形ABCD是正方形，∴，，．∵，，∴四邊形AFGD為平行四邊形．∴AF＝DG，AD＝FG．∴FG＝CD．∵，AB＝BC，∴．∴∵．∴．∴．∴．∴．∴．∴，．∴．∴△DEG是等腰直角三角形∴，∴．∴．②如圖，作，并截取，連接AG、GE．∵四邊形ABCD是正方形，∴，CD＝AD．∴同理，．∵，∴．又∵DG＝DE，∴△DEG是等腰直角三角形∴，∴．∵，∴．∴．∴，AG＝EC．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴∴四邊形AGEF為平行四邊形．∴AF＝EG．∴．【點睛】此題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，生活中的平移現(xiàn)象，關鍵是根據(jù)正方形與平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．5．（2022春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）小波在復習時，遇到一個課本上的問題，溫故后進行了操作、推理與拓展．(1)溫故：如圖1，在中，于點D，正方形PQMN的邊QM在BC上，頂點P，N分別在AB，AC上，且．若，，則正方形PQMN的邊長等于______．(2)操作：能畫出這類正方形嗎？小波按數(shù)學家波利亞在《怎樣解題》中的方法進行操作：如圖2，任意畫，在AB上任取一點，畫正方形，使，在BC邊上，在內(nèi)，連結(jié)并延長交AC于點N，畫于點M，交AB于點P，于點Q，得到四邊形PQMN．(3)推理：如圖3，若點E是BN的中點，求證：．(4)拓展：在（2）的條件下，射線BN上截取，連結(jié)EQ，EM（如圖4）．當時，猜想的度數(shù)，并嘗試證明．請幫助小波解決“溫故”、“推理”、“拓展”中的問題．【答案】(1)(2)能畫出這樣的正方形，理由見解析(3)見解析(4)∠QEM=75°，證明見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得PN=MN，將，代入求解即可；（2）先證明四邊形PQMN是矩形，再證明PN=MN即可；（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，結(jié)合ASA證明△PNE和△EMQ全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證的結(jié)論；（4）先證明△EMN為等邊三角形，得到∠EMN=90°，則∠EMQ=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出答案．（1）解：∵四邊形PQMN是正方形，∴PN=MN，∵，，，∴，解得：，故答案為：；（2）解：能畫出這樣的正方形，理由為：∵于點M，交AB于點P，于點Q，∴∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°，∴四邊形PQMN是矩形，∵四邊形是正方形，∴∴△BN′M′∽△BNM，△BN′P′∽△BNP，∴，，∴，∵P′N′=M′N′，∴PN=MN，∴四邊形PQMN為正方形；（3）解：連接ME，∵點E為BN的中點，∠NMB=90°，∴ME=BE=NE，∴∠EBM=∠EMQ，∵，∴∠EBM=∠PNE，∴∠PNE=∠EMQ，在△PNE和△EMQ中，，∴△PNE≌△EMQ（SAS），∴EP=EQ；（4）解：∠QEM=75°，證明如下：由（2）知，四邊形PQMN是正方形，則∠NMB=90°，NM=MQ，∵∠NMB=90°，∠NBM=30°，∴∠MNB=90°－30°=60°，∵NE=NM，∴△EMN為等邊三角形，∴ME=NM，∠EMN=60°，∴ME=MQ，∠EMQ=30°，∴∠QEM=（180°－30°）=75°．【點睛】本題考查正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，綜合性強，有一定的難度，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用是解答的關鍵．6．（2022春·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）點E．F分別為正方形ABCD邊AD．AB上的點，連接CE，DF交于點P．(1)如圖1，若DE=AF，則線段DF與CE具有怎樣的數(shù)量和位置關系？說明理由．(2)如圖2，若E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，求證BP=BC．(3)若將正方形ABCD折疊，使得A點的對應點A'落在BC邊上，折痕MN分別交AB，CD于M，N．若正方形的的邊長為6，線段A'B=2，則DN的長為．【答案】(1)相等；垂直；理由見解析；(2)見解析；(3)【分析】（1）由四邊形ABCD為正方形，AF=DE，易證得△ADF≌△DCE（SAS），即可證得DF=CE，∠ADF=∠DCE，即可證得DF⊥CE；（2）如圖2，過點B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，先根據(jù)兩組對邊分別平行證明四邊形BFDG是平行四邊形，由三角形中位線定理的推論可得PH=CH，得BH是PC的垂直平分線，可解答；（3）過點M作MG⊥CD于G，連接DE交MN于P，由折疊可知，DE⊥MN，證明△MNG≌△A'AB（ASA），則MG=A'B=2，設A'M=x，由勾股定理列方程可得x的長，可求得DN的長．（1）解：DF=CE，DF⊥CE，理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠A=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF=CE，∠ADF=∠DCE，∵∠ADF+∠CDP=90°，∴∠DCE+∠CDP=90°，∴∠CPD=90°，∴DF⊥CE；（2）證明：如圖2，過點B作BG∥DF，交CD于G，交CE于H，∵E為AD中點，F(xiàn)為AB中點，∴DE=AF=AD，由（1）同理得：DF⊥CE，∴BG∥DF，∵BF∥DG，∴四邊形BFDG是平行四邊形，∴DG=BF=CD，∵GH∥DP，∴CH=PH，∴BH是PC的垂直平分線，∴BP=BC；（3）如圖3，過點N作NG⊥AB于G，連接AA'交MN于P，由折疊可知，AA'⊥MN，∵∠AOG=∠PON，∠AGO=∠NPO=90°，∴∠BAA'=∠MNG，在△A'AB和△MNG中，∴△A'AB≌△MNG（ASA），∴MG=A'B=2，設A'M=x，則AM=x，BM=6-x，由勾股定理得：A'M2=BM2+A'B2，∴x2=（6-x）2+22，∴x=，∴DN=AG=-2=．故答案為：．【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及三角形中位線的定理的運用．注意作輔助線構(gòu)建三角形全等，掌握三角形中位線定理是關鍵．7．（2022春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期中）已知：在正方形ABCD中，，點E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），，連接AE，過點B作，垂足為G，交AD于點F．(1)如圖1，若．①求BF的長；②求四邊形DEGF的面積．(2)如圖2，過點E作AE的垂線，交AD的延長線于點G，交BC于點H，求的長（用含t的代數(shù)式表示）．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①由“ASA”證明△BAF≌△EAD，得出AF＝DE＝3，再由勾股定理即可求出BF的長；②利用等積法求出AG的長度，由勾股定理得出BG的長度，再由S四邊形DEGF＝S△ABG，即可求出四邊形DEGF的面積；（2）先證明四邊形四邊形BHGF是平行四邊形，得出FG＝BH，由BC＝BH＋CH，AD＝AF＋FD，得出FD＋DG＋CH＝AF＋FD，即可得出DG＋CH＝AF＝t．（1）解：①∵在正方形ABCD中，∴，，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，在Rt△ABF中，，∴；②由①知，∴＝，∵，，，∴，即，∴，∴，∵在中，，，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴四邊形FBHM為平行四邊形，∴，而，∴，∴，∵，∴，由（1）知，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵．8．（2022春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考期中）如圖1，△GEF是一個等腰直角三角形零件（其中EG=FG，∠EGF=90°），它的兩個端點E、F分別安裝在矩形框架的邊AB、BC上（點E、F可以在邊上滑動），且EF=AB=1.5，AD=2．小明在觀察△GEF運動的過程中，給出了兩個結(jié)論：①∠GEB與∠GFB一定互補；②點G到邊AB、BC的距離一定相等．(1)小明給出的兩個結(jié)論是否都正確？若結(jié)論是正確的，請寫出證明過程，若結(jié)論不正確，請說明理由；(2)請思考并解決小明提出的兩個問題：問題1：B、G兩點間距離的最大值為；問題2：過點G分別作GM⊥BC，GN⊥CD，垂足為點M、N，連接MN，那么MN長度的最小值為多少？【答案】(1)①②都正確，證明見解析(2)問題1：1.5；問題2：【分析】（1）由四邊形ABCD是矩形，∠EGF＝90°，即得∠GEB＋∠GFB＝180°，故①正確；過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，證明△GER≌△GFT（AAS），可得GR＝GT，即點G到邊AB、BC的距離一定相等，故②正確；（2）問題1：連接BG，過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，由（1）可知GR＝GT，可證四邊形RBTG是正方形，有∠GBF＝45°，即得BG＝GT，進而可得當點T、F重合，R、E重合時，GT最大，此時BG最大，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BG最大值；問題2：延長NG交AB于P，由點G到邊AB、BC的距離一定相等可知，GP＝GM，設PG＝GM＝a，則GN＝2?a，根據(jù)勾股定理得GN2＋GM2＝（2?a）2＋a2＝MN2，求出MN2＝2a2?4a＋4＝2（a?1）2＋2，進而可得MN的最小值為．（1）解：①②都正確，證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，又∵∠EGF＝90°，四邊形內(nèi)角和是360°，∴∠GEB＋∠GFB＝180°，即∠GEB與∠GFB一定互補，故①正確；過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如圖：∵GE＝GF，且∠EGF＝90°，∴∠GEF＝∠GFE＝45°，又∵∠B＝90°，∴∠BEF＋∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°?∠EFB，∵∠GER＝180°?∠BEF?∠GEF＝180°?45°?（90°?∠EFB）＝45°＋∠EFB，∠GFT＝∠EFB＋∠GFE＝∠EFB＋45°，∴∠GER＝∠GFT，在△GER和△GFT中，，∴△GER≌△GFT（AAS），∴GR＝GT，即點G到邊AB、BC的距離一定相等，故②正確；（2）問題1：連接BG，過G作GR⊥AB于R，GT⊥BC于T，如圖：由（1）可知，GR＝GT，又∵∠GRB＝∠RBT＝∠BTG＝90°∴四邊形RBTG是正方形，∴∠GBF＝45°，∴BG＝GT，∴當GT最大時，BG最大，在Rt△GFT中，GF≥GT，∴當點T、F重合，R、E重合時，GT最大，此時BG最大，如圖：∵四邊形RBTG是正方形，∴BG＝RT＝EF＝1.5，∴BG最大值為1.5，故答案為：1.5；問題2：如圖，延長NG交AB于P，∵ABCD，GN⊥CD，∴GP⊥AB，由點G到邊AB、BC的距離一定相等可知，GP＝GM，設PG＝GM＝a，則GN＝2?a，根據(jù)勾股定理可知，GN2＋GM2＝（2?a）2＋a2＝MN2，∴MN2＝2a2?4a＋4＝2（a?1）2＋2，∵2（a?1）2≥0，∴MN2有最小值2，∴MN的最小值為．【點睛】本題考查四邊形綜合應用，涉及矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及完全平方式的應用等知識，解題的關鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州市景范中學校校考期中）如圖1，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，連接AE，并將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到EG，過點G作于點F，于點H．(1)①判斷：四邊形CFGH的形狀為____________；②證明你的結(jié)論；(2)如圖2，連接AG，交DC于I，連接EI，若，，求正方形ABCD的邊長；(3)如圖3，連接BD，與AE、AG交于P、Q兩點，試探索BP、PQ、QD之間的數(shù)量關系，并直接寫出結(jié)論：________________．【答案】(1)①正方形；②證明見解析(2)12(3)PQ2=PB2+DQ2；證明見解析【分析】（1）①結(jié)論：四邊形CFGH是正方形；②證明△ABE≌△EFG（AAS），結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形證明即可；（2）如圖，把繞A順時針旋轉(zhuǎn)得到，可得三點共線，證明可得設正方形ABCD的邊長為x，則再利用勾股定理建立方程，解方程即可解決問題；（3）結(jié)論：PQ2=PB2+DQ2．將△AQD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABT，則AQ=AT，∠DQ=BT，ADQ=∠ABT=45°，證明∠TBP=90°，PQ=PT，可得結(jié)論．(1)解：①結(jié)論：四邊形CFGH是正方形．故答案為：正方形．②理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，∵GF⊥BC，GH⊥CD，∴∠F=∠GHC=∠HCF=90°，∴四邊形CFGH是矩形，∵∠ABE=∠AEG=∠F=90°，∴∠AEB+∠GEF=90°，∠GEF+∠EGF=90°，∴∠AEB=∠EGF，在△ABE和△EFG中，，∴△ABE≌△EFG（AAS），∴AB=EF，BE=FG，∴BC=EF，∴BE=CF，∴FG=FC，∴四邊形CFGH是正方形；(2)正方形ABCD，正方形HCFG，如圖，把繞A順時針旋轉(zhuǎn)得到，則由，可得三點共線，結(jié)合旋轉(zhuǎn)可得：而設正方形ABCD的邊長為x，而∴x=12，∴正方形ABCD是邊長為12；(3)如圖，結(jié)論：PQ2=PB2+DQ2．理由：將△AQD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABT，則AQ=AT，DQ=BT，∠ADQ=∠ABT=45°，∵∠ABD=45°，∴∠TBP=90°，∴PT2=BT2+PB2=DQ2+PB2，由（2）得：∠EAG=45°，而∠QAT=90°，∴∠PAT=∠PAQ=45°，∵AP=AP，AT=AQ，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PT=PQ，∴PQ2=PB2+DQ2．故答案為：PQ2=PB2+DQ2．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的應用等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2022春·江蘇無錫·八年級無錫市太湖格致中學?？计谥校┤鐖D1，點P是矩形ABCD邊CD上的一個動點，連接AP，以AP為邊向外作正方形APEF，連接ED、FD．設DP＝x，，y與x的函數(shù)圖像如圖2所示．(1)AB＝______，BC＝______；(2)試問是否發(fā)生改變？如果改變，請求出W關于x的函數(shù)表達式；若不改變，請求出W的值；(3)當△DEF為等腰三角形時，求出x的值．【答案】(1)5；2(2)不改變；(3)1或2或4【分析】（1）根據(jù)y與x的函數(shù)圖像可知AB；由，代入即可求BC；（2），過點F作交AD的延長線與點G，則，證即可求證；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分、、三種情況進行討論求解即可；（1）解：根據(jù)y與x的函數(shù)圖像可知AB＝5；y與x的函數(shù)表達式為：；∵當時，；∴BC＝AD=2；（2）如圖，過點F作交AD的延長線與點G，則，∴，∵四邊形APEF是正方形，∴∴，∵四邊形ABCD是矩形，∴，∴∴∴∴三角形ADF的面積不發(fā)生改變；（3）①如圖，當時，則，∴∴②如圖，當時，作，同（1）理可得，∴，，∵，∴，∴③如圖，當時，作，同（1）理可得，∴，，∵，∴，∴∴綜上，x的值為1或2或4．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、三角形的全等證明、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)題意，正確作輔助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關鍵．11．（2022春·江蘇泰州·八年級泰州市第二中學附屬初中校考期中）已知正方形，E，F(xiàn)為平面內(nèi)兩點．(1)如圖1，當點E在邊上時，，且B，C，F(xiàn)三點共線．求證：；(2)如圖2，當點E在正方形外部時，，，且E，C，F(xiàn)三點共線．猜想并證明線段，，之間的數(shù)量關系；(3)如圖3，當點E在正方形外部時，，，，且D，F(xiàn)，E三點共線，與交于G點．若，，求正方形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)17【分析】(1)證明△EAD≌△FCD即可．(2)證明△EAD≌△FCD，得到DE=DF，AE=CF，由勾股定理證明即可．（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，運用四點共圓，先求得EC=，根據(jù)勾股定理求得，運用正方形的面積等于計算即可．（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，∵∠EDF=90°，∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，∴△EAD≌△FCD，∴AE=CF．（2），，之間的數(shù)量關系為．理由如下：如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠EAD=∠FCD=∠BCD=∠ADC=90°，∵∠EDF=90°，∴∠EDA=90°-∠CDE=∠FCD，∵∠EDF=90°，∠AEF=90°，∴∠AED=90°-∠DEF=∠CFD，∴△EAD≌△FCD，∴AE=CF，DE=DF，∴△EDF是等腰直角三角形，∴故．（3）連接AC，根據(jù)題意，得∠AEC=∠ADC=90°，∴A、E、C、D都在以AC為直徑的圓上，∵∠ABC=90°，∴點B也在同一個圓上，∴∠DEA=∠DCA=45°，∵∠EAF=90°，∴∠AFE=45°，∴AE=AF=，EF=AE=2，∴DE=DF+EF=3+2=5，根據(jù)（2）得，∴，∴，∴，∵∠AEC=90°，∴，∴正方形的面積等于．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，四點共圓，熟練掌握正方形的性質(zhì)，四點共圓，勾股定理是解題的關鍵．12．（2022春·江蘇南京·八年級校考期中）如圖1，已知正方形BEFG，點C在BE的延長線上，點A在GB的延長線上，且AB＝BC，過點C作AB的平行線，過點A作BC的平行線，兩條平行線相交于點D．(1)證明：四邊形ABCD是正方形；(2)當正方形BEFG繞點B順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖2，使得點G在射線DB上，連接BD和DF，點Q是線段DF的中點，連接CQ和QE，猜想線段CQ和線段QE的關系，并說明理由；(3)將正方形BEFG繞點B旋轉(zhuǎn)一周時，當∠CGB等于45°時，直線AE交CG于點H，探究線段CH、EG、AH的長度關系．【答案】(1)見解析；(2)CQ⊥QE，CQ=QE．證明見解析；(3)如圖3-1中，當∠CGB=45°時，結(jié)論：CH+EG=AH．如圖3-2中，當∠CGB=45°時，結(jié)論：CH=EG+AH．證明見解析．【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等有一個角是直角的平行四邊形是正方形證明即可．（2）結(jié)論：CQ⊥QE，CQ=QE．如圖2中，延長EQ交BD于P，連接CP=CE．證明△CPE是等腰直角三角形，可得結(jié)論．（3）分兩種情形：如圖3-1中，當∠CGB=45°時，C，E，G共線，此時E，H重合．結(jié)論：CH+EG=AH．如圖3-2中，當∠CGB=45°時，A，E，G共線，此時G，H重合．結(jié)論：CH=EG+AH．【詳解】（1）證明：∵四邊形BEFG是正方形，∴∠EBG=90°，即∠ABC=90°，∵CD∥AB，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形．（2）解：結(jié)論：CQ⊥QE，CQ=QE．理由：如圖2中，延長EQ交BD于P，連接CP=CE．∵四邊形BEFG是正方形，∴EF∥BG，即EF∥DG，∠EBG=90°，即∠DBE=90°，BE=EF，∴∠PDQ=∠EFQ，∵Q是DF的中點，∴DQ=FQ，∵∠DQP=∠FQE，∴△DPQ≌△FEQ（SAS），∴PQ=QE，DP=FE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠CDP=∠CBD=45°，CD=CB，∴∠CBE=∠DBE-CBD=45°，即∠CDP=∠CBE=45°，∵CD=CB，DP=EF=BE，∴△CDP≌△CBE（SAS），∴CP=CE，∠DCP=∠BCE，∴∠DCP+∠PCB=∠BCE+∠PCB，即∠PCE=∠BCD=90°，∵CP=CE，∴△CPE是等腰直角三角形，∴PQ=QE，∴CQ⊥QE，CQ=QE．（3）如圖3-1中，當∠CGB=45°時，C，E，G共線，此時E，H重合．結(jié)論：CH+EG=AH．理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABH=∠CBG，∵BA=BC，BH=BG，∴△ABH≌△CBG（SAS），∴AH=CG，∵CG=CH+EG，∴CH+EG=AH．如圖3-2中，當∠CGB=45°時，A，E，G共線，此時G，H重合．結(jié)論：CH=EG+AH．理由：∵∠ABC=∠EBG=90°，∴∠ABH=∠CBG，∵BA=BC，BH=BG，∴△ABE≌△CBG（SAS），∴AE=CG，∵AE=AH+EG，∴CH=EG+AH．【點睛】考查了四邊形綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形．13．（2022春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期中）問題情境：如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF．易證：CE＝DF．（不需要寫出證明過程）問題探究：在“問題情境”的基礎上請研究．(1)如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點（不與點B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點M、P、N．判斷線段AE與MN之間的數(shù)量關系，并說明理由．(2)如圖2，若垂足P恰好為AE的中點，連接BD，交MN于點Q，連接EQ，CQ（圖中未連），判斷線段EQ與CQ之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)在（2）的條件下延長EQ交邊AD于點F．則∠AEF=°；(4)拓展提高：如圖3，若該正方形ABCD邊長為8，將正方形沿著直線MN翻折，使得BC的對應邊B′C′恰好經(jīng)過點A，過點A作AG⊥MN，垂足分別為G，若AG＝5，請直接寫出AC′的長．【答案】(1)AE＝MN，理由見解析；(2)EQ＝CQ，理由見解析；(3)45；(4)2.【分析】（1）過點B作BF//MN交CD于點F，則四邊形MBFN為平行四邊形，得出MN=BF，BF⊥AE，由ASA證得△ABE≌△BCF，得出AE=BF，即可得出結(jié)論；（2）在圖2中，連接AQ、CQ，易證△ABQ≌△CBQ，所以AQ＝CQ，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到AQ＝EQ，所以可得EQ＝CQ（3）連接AQ，過點Q作HI//AB，分別交AD，BC于點H、I，則四邊形ABIH為矩形，得出HI⊥AD，HI⊥BC，HI=AB=AD，證△DHQ是等腰直角三角形，得HD=HQ，AH=QI，由HL證得Rt△AHQ≌Rt△QIE，得∠AQH=∠QEI，證∠AQE=90°，得△AQE是等腰直角三角形，即可得出結(jié)果；(4)延長AG交BC于E，則EG=AG=5，得AE=10，由勾股定理得：BE，則CE=BC-BE，由折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果．（1）（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC，AB∥CD，過點B作BF∥MN交CD于點F，如圖1所示：∴四邊形MBFN為平行四邊形，∴MN＝BF，BF⊥AE，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∵∠ABF+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF，∴AE＝MN；（2）解：在圖2中，連接AQ、CQ，在△ABQ和△CBQ中，，∴△ABQ≌△CBQ，∴AQ＝CQ，∵MN⊥AE于F，F(xiàn)為AE中點，∴AQ＝EQ，∴EQ＝CQ（3）解：連接AQ，過點Q作HI//AB，分別交AD．BC于點H、I，如圖3所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABIH為矩形，∴HI⊥AD，HI⊥．BC，HI=AB=AD，∵BD是正方形ABCD的對角線，∴∠BDA=45°，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD=HQ，AH=QI，∵MN是AE的垂直平分線，AQ=QE，在Rt△AHQ和Rt△QIE中，∵AQ=QE，AH=QI，∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL)，∴∠AQH=∠QEI，∠AQH＋∠EQI=90°，△AQE是等腰直角三角形，∠EAQ=∠AEQ=45°，即∠AEF=45°故答案為：∠AEF=45°；（4）解：拓展提高：由(3)延長AG交BC于E，如圖4所示：則EG=AG=5，∴AE=10，在Rt△ABE中，BE=CE=BC-BE=8-6=2，由折疊的性質(zhì)得：AC'=CE=2，故答案為：AC′=2.【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．14．（2022春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，，，點D為直線BC上一動點（（點D不與B，C重合）），以AD為邊的AD右側(cè)作正方形ADEF，連接CF．(1)觀察猜想：如圖1，當點D在線段BC上時，①BC與CF的位置關系為：______．②BC，CD，CF之間的數(shù)量關系為______；（將結(jié)論直接寫在橫線上）(2)數(shù)學思考：如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．(3)拓展延伸：如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于G，連接GE．若已知，，請直接寫出GE的長．【答案】(1)①垂直；②BC=CD＋CF(2)成立，證明見詳解；(3)【分析】（1）由邊角邊對應相等得出△ABD≌△ACF，從而CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，進而得出結(jié)論①②；（2）由（1）解答得出△ABD≌△ACF，從而CF=BD，∠ACF=∠ABD=135°，進而得出結(jié)論；（3）過A作AM⊥BD于M，過E作EN⊥BD延長線于N，由△AMD≌△DNE，得到DN=2，EN=3；設B為坐標原點，由中點坐標公式可得F點坐標，結(jié)合坐標特征求出G點坐標，即可計算GE的長；（1）解：△ABC中，，，則△ABC等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，則AD=AF，∠DAF=90°，∠BAC=∠BAD＋∠DAC=90°，∠