第一章平面向量及其應(yīng)用（湘教版）1.5向量的數(shù)量積1.5.1向量的數(shù)量積的定義及計(jì)算【復(fù)習(xí)回顧】問題1：我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？問題2：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算.其運(yùn)算結(jié)果還是向量向量除了線性運(yùn)算，還有其它運(yùn)算嗎？?jī)蓚€(gè)非零向量夾角的概念（4）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的.范圍0

≤

≤180

已知非零向量a與ｂ，作＝a，

＝ｂ，則∠ＡＯＢ叫a與ｂ的夾角.∠ＡＯＢ=θ（0≤θ≤π）（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，a與ｂ反向；（3）當(dāng)θ＝π/2時(shí)，a與ｂ垂直，記a⊥ｂ；abObaO說明：（1）當(dāng)θ＝0時(shí)，a與ｂ同向；OABabOABab【復(fù)習(xí)回顧】1.5.1數(shù)量積的定義及計(jì)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義.2.掌握平面向量數(shù)量積的定義.3.會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.核心素養(yǎng)：1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)量積的定義；2.邏輯推理：數(shù)量積的性質(zhì)；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求平面向量的數(shù)量積；如圖，一輛小車在拉力F的作用下產(chǎn)生了位移s，若拉力的大小為FN，其方向與小車位移方向的夾角為α，位移s的大小為sm.如何計(jì)算拉力F所做的功W？W=

Fs【問題情境】思考1：若拉力F與位移s方向相同，如何計(jì)算拉力F做的功W？思考2：若拉力F與位移s方向垂直，如何計(jì)算拉力F做的功W？W=0如圖，一輛小車在拉力F的作用下產(chǎn)生了位移s，若拉力的大小為FN，其方向與小車位移方向的夾角為α，位移s的大小為sm.如何計(jì)算拉力F所做的功W？【問題情境】思考3：當(dāng)拉力F方向與小車位移方向的夾角為α?xí)r，如何計(jì)算拉力F所做的功W？思考4：當(dāng)拉力F方向與位移s的夾角為0<α<時(shí)，W=

.思考5：當(dāng)拉力F方向與位移s的夾角為<α<π時(shí)，W=

.【問題情境】【合作探究】思考6：功的計(jì)算公式用文字語(yǔ)言來描述？結(jié)果是兩個(gè)向量的模及其夾角余弦的乘積。功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；

【合作探究】思考6：如果我們將上述公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果該如何表述？為此，我們引入向量“數(shù)量積”的概念。1.數(shù)量積的定義：思考8：若其中一個(gè)向量是零向量，數(shù)量積是多少？【概念形成】

設(shè),是任意兩個(gè)向量，〈a，b〉是它們的夾角，則定義

為a與b的數(shù)量積.（內(nèi)積或點(diǎn)積）思考7：數(shù)量積是數(shù)量還是向量？①記法“a·b”中間的“

·

”不可以省略，也不能用×代替.思考9：若兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，這兩個(gè)向量有什么關(guān)系？

【合作探究】【新知運(yùn)用】

2、重要性質(zhì)用于判斷垂直用于求向量的模用于求向量的夾角【合作探究】已知向量a=ae，b=be，e為單位向量，求數(shù)量積a·b.

此例說明:對(duì)于共線的兩個(gè)向量，將其寫成同一個(gè)單位向量的實(shí)數(shù)倍后，這兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的乘積.例1【例題講解】二數(shù)量積的定義已知|a|=12，|b|=9，a·b=－.求a與b的夾角.

例2返回目錄【例題講解】【跟蹤練習(xí)】

1.已知|a|＝5，|b|＝4，當(dāng)a與b滿足下列條件時(shí)，分別求a·b：

(1)a與b的夾角為

；(2)a⊥b；

(3)a與b的夾角為

；(4)a∥b.

2.已知a·b，|a||b|的值，求a與b的夾角大小.

(1)a·b=4，|a||b|=8；

(2)

a·b=－8，|a||b|=16；

(3)a·b=－36，|a||b|=36；

(4)a·b=33，|a||b|=6.練習(xí)【課堂練習(xí)】小結(jié)重要性質(zhì)公式變形對(duì)功W=|F||s|cos

結(jié)構(gòu)分析抽象平面向量數(shù)量積的定義特殊化重要性質(zhì)1、數(shù)量積的定義：【課堂小結(jié)】

2、數(shù)量積的性質(zhì)：【課后作業(yè)】1、P35練習(xí)第1，2題2、P39習(xí)題1.5練第1題2、預(yù)習(xí)1.5第二課時(shí)1.5.1數(shù)量積的定義及計(jì)算1.數(shù)量積的定義：【復(fù)習(xí)回顧】

設(shè),是任意兩個(gè)向量，〈a，b〉是它們的夾角，則定義

為a與b的數(shù)量積.（內(nèi)積或點(diǎn)積）注意：數(shù)量積是向量2.夾角公式：3.數(shù)量積的性質(zhì)：3、投影ABOab

ABOab

→→→→→→→

→→→→→【新知探究】AabθBB1OBAθbB1aOθBb(B1)AaO1.向量b在a方向上的投影:|b|cosθ2.幾何意義數(shù)量積

a·b等于

a的長(zhǎng)度

|a|與

b在a的方向上的投影

|b|cosθ的乘積.問題1：向量b在a方向上的投影一定為正數(shù)嗎？問題2：能否根據(jù)投影的定義概括得到平面向量數(shù)量積的幾何意義？3.投影：思考：根據(jù)投影的概念，數(shù)量積a·b=︱a|︱b︱cosθ的幾何意義是什么？一般地，a與b的數(shù)量積等于a的長(zhǎng)度｜a｜與b在a方向上的投影｜b｜c(diǎn)os

α的乘積，或b的長(zhǎng)度｜b｜與a在b方向上的投影｜a｜c(diǎn)osα的乘積.【概念形成】新知探究|三、投影→→

→【新知探究】

→→→→→→

4、數(shù)量積的運(yùn)算律設(shè)a,b,c是任意向量，λ是任意實(shí)數(shù)，則如下運(yùn)算律成立:（1）交換律：a·b=b·a（2）與數(shù)乘的結(jié)合律：a·(λb)=λ(a·b)（3）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c【新知探究】求證：菱形的兩條對(duì)角線互相垂直。新知探究|練一練ABDC證明：記a=AB,b=AD,則對(duì)角線AC=a+b,DB=a-b.因?yàn)锳C·DB=(a+b)·(a-b)=a·a+b·a-a·b-b·b=|a|2-|b|2=|AB|2-|AD|2=0所以AC⊥DB.→→→→→→→→【例題講解】練習(xí)鞏固已知|a|＝8，|b|＝4，當(dāng)〈a,b〉＝120°，則向量b在a方向上的投影為

．當(dāng)〈a,b〉＝45°，則向量a在b方向上的投影為

．當(dāng)〈a,b〉＝90°，則向量a在b方向上的投影為

．

已知|a|＝3，|b|＝1，向量a與向量b的夾角為120°，求a在b上的投影向量.解∵|b|＝1，∴b為單位向量.4、投影向量的計(jì)算四數(shù)量積的運(yùn)算律

練習(xí)返回目錄【課堂練習(xí)】七、小結(jié)重要性質(zhì)公式變形對(duì)功W=|F||s|cos

結(jié)構(gòu)分析抽象平面向量數(shù)量積的定義特殊化三條重要性質(zhì)幾何意義運(yùn)算律課后延伸

6投影向量的求法(1)向量a在向量

b上的投影向量為|a|cosθ

e

(其中e為與b同向的單位向量)

，它是一個(gè)向量，且與b共線，其方向由向量a和b的夾角θ的余弦值決定.(2)向量

b在向量

a上的投影向量為|

b|cosθe

(其中e為與a同向的單位向量)=例4.已知|a|＝5，|b|＝4，當(dāng)a與b滿足下列條件時(shí)，分別求a·b：

(1)a⊥b；

(2)a∥b；

（3）當(dāng)a·b=4，求a在b上的投影.ABCDE六、課堂小結(jié)1.本節(jié)課，我們是如何開展對(duì)向量的數(shù)量積進(jìn)行研究的?2.什么是向量的數(shù)量積?其幾何意義是怎樣的？物理背景定義理解應(yīng)用例題講解

4返回目錄課堂練習(xí)（1）本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？（2）平面向量的數(shù)量積有哪些應(yīng)用？（3）本節(jié)課主要采用了什么研究方法？（4）類比向量的線性運(yùn)算，我們還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？

5【例題精講】例1.已知|a|＝5，|b|＝4，當(dāng)a與b滿足下列條件時(shí)，分別求a·b：

(1)a與b的夾角為

；(2)a⊥b；

(3)a與b的夾角為