2023-2024學年上海市普陀區(qū)高二下冊期中數(shù)學模擬試題

一、填空題

1.拋物線Y=4y的準線方程是

【正確答案】y=τ

【分析】先根據(jù)拋物線的標準方程得到焦點在y軸上以及2。=4,再直接代入即可求出其準

線方程.

【詳解】因為拋物線的標準方程為Y=4），,焦點在y軸上，

所以：2。=4,即p=2,所以］=1,

所以準線方程為：y=-ι,

故答案是?y=7

該題考查的是有關拋物線的幾何性質(zhì)，涉及到的知識點是已知拋物線的標準方程求其準線方

程，屬于簡單題目.

2.已知用"=8x7x6,則H=.

【正確答案】3

【分析】根據(jù)排列數(shù)公式求解即可.

【詳解】因為咸=8x7x6,所以機=3.

故3

3.若3%+4y=1,3Λ2+4%=1,且N≠Z,則經(jīng)過Aa,凹）、以芻,必）的直線/的一般方程為

【正確答案】3x+4y-l=0

【分析】根據(jù)A（N，X）、B（Λ2,%）都在同一直線上,結(jié)合兩點確定一條直線可知直線的唯一

性,即得直線方程.

【詳解】若3歷+4%=1,3々+4%=1,

則點Aa,y）在直線3x+4y-l=0上，

點8（Λ2,%）在直線3x+4y-l=O上

即Aa,X)、B(W,%)都在同一直線3x+4y—1=0上

因為兩點確定一條直線,所以由A(XI,X)、8伍,力)確定的直線即為3x+4y-l=0

故答案為：3x+4y-l=0

4.函數(shù)y=∕(x),其中/(x)=2χ2,函數(shù)/(x)在區(qū)間μυrΛ0+Δx］上的平均變化率為K，在

［?-ΔxΛ0］上的平均變化率為k1,則?1與k2的大小關系是

【正確答案】k?>h

【分析】根據(jù)平均變化率公式求出勺與再比較大小即可；

【詳解】依題意kl=2(2=)一二2次=4x<a+2A√=4x0+2ΔΛ>

x0+Ar-x0Ar

2

,2xθ-2(?-ΔΛ-)^4xn?x-2?x,

*2=Jλ5--------=4?-2?X,

XO-(XO-A?)Ar

所以勺一&2=4?，而Ax>0,所以人>的.

故K>&

5.2名老師和6名學生站成一排，則2名老師恰好不相鄰的排法數(shù)為

【正確答案】30240

【分析】不相鄰的排法使用插空法計算即可.

【詳解】先將6名學生排成一排有A：=720種，再將2名老師插入到7個空位中有

A；=7X6=42,所以滿足條件的排法共有720x42=30240種排法.

故30240.

6.己知函數(shù)y=∕(x),滿足/(x)=In(2-3x),則它的導函數(shù)y'=(請注明定義

域).

32

【正確答案】—(x<-)

【分析】根據(jù)復合函數(shù)的導數(shù)運算法則求解.

【詳解】由題可知，函數(shù)/(x)=ln(2-3x)的定義域為卜oo,?∣

r(χ)=—!—×(2-3x)=---

2-3x`73x-2

32

故答案為：

3x-23

7.6本不同的書全部分給5個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為

【正確答案】1800

【分析】先把6本書取出兩本看做一個元素，這一元素和其他的4個元素分給5個同學，相

當于在5個位置全排列，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可得出結(jié)果.

【詳解】從6本書中取出兩本看做一個元素共有Cl=15種不同的取法，

這一元素與其他4個元素分給5個同學共有A；=120種不同的分法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有C>A；=1800種不同的分法.

故答案為:1800.

8.設廠為拋物線V=8x的焦點，AB、C為該拋物線上三點,若尸為43C的重心，則

∣E4∣+∣FB∣+∣FC∣=

【正確答案】12

【分析】根據(jù)三角形重心坐標公式以及拋物線的定義求解.

【詳解】設三角形的三個頂點兇）,8?,為），Ca3,力），

由條件可知，且p=4,F（2,0）,

根據(jù)三角形的重心坐標公式，可得X+,+々=2,所以％+%+鼻=6,

根據(jù)拋物線的定義，可得∣E4∣=x∣+5,∣Eβ∣=%2+],∣FC∣=X3+5,

所以|硒+FM+∣EC∣=玉+超+χ3+當=12,

故12.

9.設片,馬分別為橢圓Γ?1+y2=l的左、右焦點，點A8在橢圓「上，且不是橢圓的頂點.若

FlA+ΛF2B=O,且2>0,則實數(shù)/1的值為.

【正確答案】1

【分析】由已知向量條件結(jié)合橢圓的對稱性推出四邊形片AgB一定為平行四邊形，可得

FtA=BF2,即/1=1.

【詳解】因為6A+∕IE3=O,所以6A=Zβ∕ζ,所以耳4//8巴，

XA>O,且AB不是橢圓的頂點.

根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形F1AF2B一定為平行四邊形,

如圖:

所以EA=E8,

所以4A=B?，即4=1,

故1.

關鍵點點睛：根據(jù)橢圓的對稱性求解是解題關鍵.

10.若關于X的方程仄，一日+4Z-3=0有且只有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)%的取值

范圍是.

【正確答案】扇幺5N3*

【分析】分析可知直線/：y=z(x-4)+3與曲線y="7二7有兩個公共點，作出圖形，求出

當直線/與曲線y=”二7相切時實數(shù)%的值，以及直線/過原點時Z的值，數(shù)形結(jié)合可得

出實數(shù)人的取值范圍.

【詳解】由"XT?_依+4"3=0可得"<_丁2=MX-4)+3,

則直線/：y=Mx—4)+3與曲線y=瓦二7有兩個公共點，如下圖所示：

由y=j4x-χ220可得周=4x-x2,即（X-2）?+9=4,

所以，曲線y="*--表示圓(x-2y+∕=4的上半圓,

直線/是過點P(4,3)且斜率為左的直線，當直線/與圓相切時，則?瓷=2,解得々=三，

√?2+112

當直線/過原點時，k=V3，

4

由圖可知，當時，直線/：y=M*—4)+3與曲線y=α∑7有兩個公共點.

?53

因此，實數(shù)攵的取值范圍是

?53

故答案為?就不

11.《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設4A是正六

棱柱的一條側(cè)棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點，以AA為底面矩形的一邊，則

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)分析可得.

【詳解】如圖所示：

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知，

當另一條邊取B用時，頂點可取Z)或R或E或4共4種情況,

當另一條邊取C0,EEl,FK時，頂點也各有4種情況，

因此這樣的陽馬的個數(shù)是4x4=16種.

故16

本題考查了分類計數(shù)原理，考查了正六邊形的性質(zhì)，屬于基礎題.

12.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯用不同的平面截同一圓錐，得到了三種圓錐曲線，其中的一

種如圖所示.用過M點且垂直于圓錐底面的平面截兩個全等的對頂圓錐得到雙曲線的一部

分，已知高IPa=2,底面圓的半徑為4,M為母線心的中點，平面與底面的交線LAB,

則雙曲線兩漸近線所夾銳角的余弦值為

3

【正確答案】j/0.6

【分析】以過M點且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點，平行于圓錐的軸為X軸建立坐

標系，求出M,E坐標代入雙曲線方程，進而求得漸近線方程，先求出兩漸近線所夾銳角的

正切值，再求余弦值即可.

【詳解】設EF交OB于N,

以過“點且垂直于圓錐底面的平面的中心為原點，平行于圓錐的軸為X軸建立如圖所示坐

標系，

因為圓錐的高IPa=IO'N∣=2,M是PB中點，且截面垂直于底面，

所以IMM=JPOI=1,所以"(1,0),

又因為底面圓半徑|。即=4,

所以IoM=Jo8∣=2,?EN?=yj?0E^-?ON^=2√3,所以42,26卜

22a=?

設雙曲線方程為左=1,將M(1,O),e(2,2√3),代入解得

b=2'

則雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2χ=2x,

a

2x24

由對稱性可知兩條漸近線所夾銳角的正切值為—=-,

I-Z7j

I1-3

所以雙曲線兩漸近線所夾銳角的余弦值為k4j+1^5,

遼3

故W

二、單選題

13.將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有()

A.5?種B.3，種C.A；種D.C；種

【正確答案】B

【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可.

【詳解】將5封信投入3個郵筒，每封信有3種選擇，

故共有3x3x3x3x3=35種不同的投法.

故選：B.

14.已知方程χ2+y2-2χ+∕*y+"z=0表示圓，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(2,+∞)B.(-∞,2)

C.[2,+∞)D.(-∞,2)(2,÷∞)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的要求可直接構(gòu)造不等式求解.

【詳解】方程表示圓，：.(-2)2+加一4m>0,BP(m-2)2>0,解得：m≠2,

,實數(shù)機的取值范圍是(-8,2)(2,+8).

故選：D.

15.設α,6,c,"eR,若函數(shù)y=加+蘇+次+〃的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是

()

A.∕?>O,c>OB.?>O,c<O

C.b<O,c>OD,h<O,c<O

【正確答案】A

【分析】根據(jù)函數(shù)的導數(shù)與極值的關系求解.

【詳解】由圖可知，函數(shù)y=0√+62+3+4的極小值點為為<0,極大值點z>0,

且由圖可知天>一玉，即辦+工2>。

且函數(shù)N="'+法+以+”在(-∞,%)單調(diào)遞減，

(布工2)單調(diào)遞增，(Λ2,4∞)單調(diào)遞減，

y'=3ax2+2bx+c,

所以當xe(→≈,x∣)時，y'<0,當Xea,赴)時，/>0,當X∈(Λ2,+∞)時，y'<0,

3a<0

所以，x∣+々=-?>0,解得b>O,c>O,

故選:A.

16.若存在實常數(shù)k和b,使得函數(shù)尸(X)和G(X)對其公共定義域上的任意實數(shù)X都滿足：

F(X)≥kx+b^WG(X)≤履+b恒成立，則稱此直線y=丘+。為F(X)和G(X)的“隔離直線”，已

知函數(shù)f(x)=d(XeR)，g(x)=L(x<0),力(X)=2eInx(x>0),有下列兩個命題：

X

命題a：.f(x)和∕2(x)之間存在唯一的“隔離直線"y=2j嬴-e；

命題4:F(X)和g(x)之間存在“隔離直線”,且6的最小值為T.

則下列說法正確的是()

A.命題a、命題尸都是真命題B.命題a為真命題，命題僅是假命題

C.命題α為假命題，命題/是真命題D.命題a、命題夕都是假命題

【正確答案】B

【分析】對命題a：/(x)和MX)有公共點(五，e),故隔離直線過該公共點，設為

y-e=%(x-瓦)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)分類討論研究/(x)≥丘-A√≡+e(x>0)恒成立

得k=2捉,則直線為y=2√^x-e,再用導數(shù)法證〃(X)≤2八x-e恒成立即可；

X2-kx-h≥O

對命題尸：設隔離直線為N=履+。，則有對任意XVO恒成立,結(jié)合二次函數(shù)

kx2+bx-?≤O

性質(zhì)對參數(shù)分類討論即可

【詳解】(1)對命題夕：

XiNkX+b(χ2-kx-b≥0

設/(x),g(x)的隔離直線為了=履+方，則1,,對任意x<0恒成立，即〈，2,,^λ

-<kx+hH^+?x-l≤0

對任意。恒成立，若記)，=小+云_2則二次函數(shù)有兩個不同

XV4>0,1,Δ=?+4?>0,

零點，記為百，工2，由玉工2=-!<0，不妨設王<工2，解不等式y(tǒng)=丘2+?γ-l≥0可知，

K

即與日對任意恒成立矛盾，故

X∈(→Λ,XI]∪[Λ2,+∞),2+bχT≤oXVOk≤0,

若k=o,則〃=0符合題意，

若上<0,由V-依一匕≥0對任意X都成立，注意至Uy=X2-h-6的對稱軸為X=；氏<0,從

2

而4=∕+4∕7≤O,^k≤-4b,所以b≤0,又y=A√+?x-i的對稱軸為χ=-4≤0,

2

ΛΔ2=?+4?≤0,即4-4%,.1K416^4-64人,故T≤Z<0,同理可得，

?4≤16?2≤-64?,即T≤Z><0,匕的最小值為T,故命題/為假命題；

(2)對命題a：

注意到函數(shù)〃X)和〃(X)均經(jīng)過(C,e),若存在“X)和MX)的隔離直線，那么該直線過這

個公共點，設隔離直線的斜率鼠則隔離直線方程y-e=Mx-A),^y=kχ-ky∕i+e,

由f(x)≥Ax-A?∕^+e(x>O)恒成立，即f2fcr-%?7^+e,整理得：

X2-e-k^x-?[e^=(x+>∕e—?/ej≥0對于VX>0均成立.

若五-%=-五，則上述不等式轉(zhuǎn)化成(X-五y≥0,顯然對于Tx>0恒成立；

若正-Z≠-√L記"X)=(X-五)(χ+血-%),則該二次函數(shù)有兩個不同零點且至少一個正

零點：X=/，W=&-正，此時h(x)是開口向上的二次函數(shù),必有X軸以下的部分，即〃(X)≥O

對于VX>0無法成立.故Z=2&,此時直線y=2?∕ex-e,

下面證明MX)≤2√^x-e,

令G(X)=2八x-e-%(x),則G，(X)=三處二2^1，于是當0<x<五時，G'(x)<0,函數(shù)

單調(diào)遞減；當x>6時，G(X)>(),函數(shù)單調(diào)遞增，故當X=6時，函數(shù)取得極小值0,也

是最小值，所以G(x)≥0,故MX)V2通-e,所以〃x)和MX)存在唯一的隔離直線

y=2??∕1x-e,故命題α為真命題.

故選：B

三、解答題

17.已知圓C:f+(y-i)2=5,直線/:〃氏一y+l-〃7=0

(1)求證：對"z∈R,直線/與圓C總有兩個不同的交點；

(2)設/與圓C交于AB兩點，若∣A8∣=g,求/的傾斜角

【正確答案】(1)證明見解析；(2)日或4

J?

【分析】(I)直線過定點(1,1),(1,1)在圓內(nèi)，故得到證明.

(2)先根據(jù)屋=/J網(wǎng)］計算得到［=在，再利用點到直線的距離公式得到

I2J2

m=±^3,計算得到答案.

【詳解】(1)Γ.mx-y+l-m=0W(X-I)-V+1=。過定點0』)

I2+(1-1)2=1<5在圓內(nèi)，故直線/與圓C總有兩個不同的交點.

(2)∣AB∣=√Γ7,r=√5，則一(四］=>.?.d=昱

242

d==—.?.m=±y∣3:.tana=±6α=工或<z=二

J'"233

本題考查了直線和圓的位置關系，傾斜角的計算，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

18.已知拋物線Γ?y2=2px(p>0).

(1)若「上一點M(Ij)到其焦點的距離為4,求r的方程;

(2)若p=2,斜率為2的直線/交「于A、B兩點，交X軸的正半軸于點M,O為坐標原點,

OA-08=0，求點例的坐標.

【正確答案】(I)V=12x；

(2)(4,0).

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用拋物線定義列式求解作答.

(2)設出直線/的方程，與拋物線方程聯(lián)立，再利用數(shù)量積的坐標表示求解作答.

【詳解】⑴拋物線-V=2px(p>0)的準線方程為X=',依題意，M=1+勺4,

解得P=6,

所以「的方程為V=12x.

(2)設M(加,θ),∕n>(),A(x∣,y),3(w,y2),則直線/：y=2(x-m),而拋物線Γ?y2=4x,

由W'X-Zn)消去。得:x1-(2m+l)x+m2=0,則卜十?U"+∣,

[/=4x'、/[x1x2=m~

2

OAOB=xix2+yiy2=XlX2÷4(x1-m)(x2-∕τι)=5x1x2-4m(x1+x2)÷4n?

22

=5nr-4m(2∕n+l)+4∕∕z=∕n-4m=O9而∣∏>O,解得加=4,

所以點M坐標為(4,0).

19.某科學考察隊在某地考察時，在距離。點20千米處的西側(cè)、東側(cè)分別設立了站點A、B

現(xiàn)以。為坐標系原點，。的東側(cè)為X軸正方向，。的北側(cè)為y軸正方向建立平面直角坐標系.

（1）若考察發(fā)現(xiàn)一點P滿足∣E4∣TPBl=20（千米），據(jù)此寫出「所在的曲線方程；若進一步觀察

到，P在。的北偏東60。方向處，求P點的坐標；

（2）若考察發(fā)現(xiàn)一點。滿足I。AHQ臼=30（千米）.為進一步得到Q位置，該考察隊在距離。點

15千米處的南側(cè)、北側(cè)分別設立了站點c、D,且IQCHQq=1°（千米），求。。的距離（精

確到1米）和點Q相對于O的方向（精確到1。）.

22I5√25√6"

【正確答案】(1)￡-E=I(X≥10),

IOO300v,2'丁

7

（2）∣C>α=19,點。在東偏北24。

【分析】（1）由己知結(jié)合雙曲線的定義，即可得出戶所在的曲線方程.易知OP方程為

y=Bχ,代入雙曲線方程，即可得出P點的坐標；

3

（2）根據(jù)已知即可推得點。所在的兩條雙曲線方程，且點。為雙曲線K和G在第一象限的

交點.聯(lián)立兩個雙曲線的方程，即可得出點。的坐標，進而得出點。相對于O的方向.

由題意知，∣Λ4∣-∣PB∣=20<∣AB∣=40,

所以，點P在以48為焦點的雙曲線上.

22

由已知可設,雙曲線方程為?1(6z>0,Z?>0),

由已知可得2a=20,2c=40,

所以Q=I0,C=20,所以=/—/=300.

又∣∕?A∣PB∣,所以尸為雙曲線右支上的一點,

?>?>

故雙曲線的方程為工-工=I(X≥10).

因為NPOB=30。，則OP方程為y=

22

代入雙曲線方程工-工=I(X≥10),

解得X="也，y=偵，

22

bπ-115&5⑹

即尸點坐標為一-1,三一.

\/

(2)由題意知，I例—∣Q同=30<|明=40,

所以，點。在以48為焦點的雙曲線用上.

22

由已知可設，雙曲線方程為S-方=1(4>0,4>0),

由已知可得2q=30,2q=40,

所以％=15,e?=20,所以邛=q2-d=175.

又IQAl>|。卻，所以Q為雙曲線右支上的一點，

故雙曲線4的方程為工-￡=1(x215).

由題意知，|。1一|因=1。<13=30,

所以，點。在以c。為焦點的雙曲線馬上.

22

2v

由已知可設，雙曲線方程為T-TΓ=1(%>0,4>0),

a2b2

由已知可得26?=10,2c2=30,

所以々=5,C2=15,所以以=5-W=200.

又∣Qq>∣Q",所以。為雙曲線上支上的一點，

故雙曲線旦的方程為N-E=l(y≥5)?

25200v'

所以，點。為雙曲線片和4在第一象限的交點，如圖2

±____2L

225175

聯(lián)立雙曲線4和G的方程

片廠

25200

則|。Ql=J^≈19（米）.

設NQA8=，，

5√5593

則3*3=粵'則。"24。.

47

所以IOa=I9,點。在東偏北24。.

20.已知函數(shù)g(x)=ae*-2x-4e-*.

⑴若α=2,求曲線y=g(x)在點(0,g(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)y=g(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍；

(3)設函數(shù)MX)=ae',若在R上至少存在一點陽，使得g(xJ>M%)成立，求實數(shù)。的取值

范圍.

【正確答案】(l)y=2x

⑵a∈(-∞,0MI,+(?)

2

(3)?<-

【分析】(1)根據(jù)題意，由導數(shù)的幾何意義代入計算即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為α≥1二77=e(x),由基本不等式可得G(X)厘，即可得到。的取值

范圍;

(3)根據(jù)題意，分離參數(shù)可得“<-2x∣?e'?即可轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(x)=-2x?e”的最大值問題，

然后求導，得極值，從而得到最值即可.

【詳解】(1)當α=2時，g(x)=2ev-2x-2e^v,則g'(x)=2ev-2+2ex,且g(O)=O,g'(。)=2,

所以在在點(0,g(0))處的切線斜率為k=2,

且切線過原點，則切線方程為y=2x.

(2)若遞增g'(x)=α(e*+eτ)-2≥0對一切XeR恒成立，即“≥；*=姒乃，

變量M=e”+ei"≥2√?V7=2(X=O時等號成立)，得“C[2,+8),

即Q(X)∈(0,l],所以只要α≥e(x)AaX=1,即4∈[l,+∞)時，有/(x)≥0,

函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；同理，當α≤0時，顯然g'(x)<O,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減；

綜上可得，^∈(-∞,θ]o[l,-+<o)

xxx

(3)由題意可得g(xj>∕I(X1),BPae'-2xl-ae^'>ae',所以2x∣+α?ef<0

即可得a<-2%?e",令/(x)=-2x?e",所以。/(力,儂，

因為f'(X)=—2e*(x+l),令r(χ)=0,可得a—1,

且當x<-1時，/^x)>0,則函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當x>T時，∕,(x)<0,則函數(shù)F(X)單調(diào)遞減;

當A—1時，f(X)有極大值，即最大值"Ma="-1)=；,

所以Y2

e

21.17世紀荷蘭數(shù)學家舒騰設計了多種圓錐曲線規(guī)，其中的一種如圖1所示.四根等長的桿

用較鏈首尾鏈接，構(gòu)成菱形“iKQ.帶槽桿Q耳長為2&,點《，F(xiàn)2間的距離為2,轉(zhuǎn)動桿。耳

一周的過程中始終有IQEI=IE用.點M在線段耳K的延長線上，且IMEI=L

F1________F?r

"^~O'x

F1F2M

圖1圖2

(1)建立如圖2所示的平面直角坐標系，求出點E的軌跡「的方程；

⑵過點工的直線《與「交于A8兩點.記直線MA,Λ∕B的斜率為匕的，證明：K+%為定值；

(3)過點M作直線4垂直于直線斗巴，在《上任取一點N,對于(2)中的AB兩點，試證明:

直線NA,NF2,NB的斜率成等差數(shù)列.

2

【正確答案】(I)、r+/=1

(2)證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)已知可得忸制+|%|=20>2,即可得出軌跡為橢圓.根據(jù)已知求出a,b,c,

即可得出答案；

(2)(i)當直線4斜率存在時，設4：丁=%(尤-1).聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理

得出坐標關系，表示出匕,網(wǎng),整理化簡，即可得出勺+%2=。；(ii)當直線4斜率不存在時,

根據(jù)對稱性也可求出K+%2=0,即可得出證明；

(3)設點N坐標為(2j),kNF2=t.(i)當直線《斜率存在時，表示出鐮,即8,根據(jù)韋達定

理化簡整理可得kNA+?wfl=2/=2kfllh；(ii)當直線/,斜率不存在時，求出AB的坐標，即可

得出答案.

【詳解】(1)由已知可得，∣%∣+∣%