絕密★啟用前

榆林市2022~2023年度第三次模擬考試

數(shù)學(xué)試題（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分，共150分。考試時(shí)間120分鐘。

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上。

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。

第I卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知復(fù)數(shù)Z=Wi,則（）

(A)z2=2(B)z2=-4(C)Z4=2(D)z4=4

2.已知集合A={x∣0VχV16},β≈{y∣-4<4>?<16},則AUB=()

(A)(-l,16)(B)(0,4)(C)(-l,4)(D)(-4,16)

3.一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)之和為12,第4項(xiàng)為0,則第6項(xiàng)為（）

(A)-2(B)-4(C)I(D)2

4.已知兩個(gè)非零向量Q=（1,x）,Z>=（χ2,4x）,則“優(yōu)|=2”是ua∕∕bn的（）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

5.實(shí)軸在y軸上的雙曲線的離心率為√而，則該雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為（）

（A需（BR（C）需（D）?

6.某省將從5個(gè)A類科技項(xiàng)目、6個(gè)B類科技項(xiàng)目、4個(gè)C類科技項(xiàng)目中選4個(gè)項(xiàng)目重點(diǎn)

發(fā)展，其中這3類項(xiàng)目都要有，且A類項(xiàng)目中有1個(gè)項(xiàng)目已經(jīng)被選定.則滿足條件的不同

選法共有（）

（A）96(B)144種(C)192種(D)206種

7.如圖，正三棱柱ABC—48∣Cl的底面邊長(zhǎng)是2,側(cè)棱長(zhǎng)是2小，M為AlG的中點(diǎn)，N是

側(cè)面8CC∣B∣上一點(diǎn)，且MN〃平面ABc則線段MN的最大值為()

(A)2(B)4(C)6(D)8

/Qa/

I.=0?bW"∣

…IA=AI2I

/g/

［結(jié)束］

9.定義在(0,+8)上的函數(shù)y(χ),g(χ)的導(dǎo)函數(shù)都存在，/。應(yīng)(；0+/(》)80)<1,且70)=2,

g(l)=l,則/(x)g(x)<x+l的解集為()

(A)(l,2)(B)(2,+∞)(C)(0,1)(D)(l)+∞)

10.現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，測(cè)試它們一日可行的路程.已知第

i(i=l,2,…，16)匹馬的日行路程是第i+1匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行

路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為(取L05∣7=2.292)()

(A)7750里(B)7752里(C)7754里(D)7756里

11.已知α=log3?43.5+l啥s3.4,b—log???,6+?og?,e?.5,C=IOglt3.7,貝!∣()

(A)Λ>?>C(B)b>a>c(C)a>c>b(D)b>c>a

12.已知三棱錐A-BCO中，ABLBC9BC-LCDfCD=2AB=2BC=49二面角A-BC一。

為60°,則三棱錐A-BC。外接球的表面積為()

(A)16π(B)24π(C)18π(D)20π

第∏卷

二、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.己知奇函數(shù)<X)=X3+(4-5)x2+αv(χCR),則川)=▲.

14.若不等式ox?—6χ+3>0對(duì)χ∈R恒成立，則」的取值范圍是▲,a+弋9的最

小值為▲.(本題第一空3分，第二空2分)

15.已知函數(shù)段)=tan2x與g(x)=sin(χ-令的圖象在區(qū)間L兀，兀］上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為，*，直線

x+y=2與At)的圖象在區(qū)間［0,汨上的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為〃，則〃?+”=▲.

16.已知直線y=xf與橢圓C：%2+裊1于A,B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度

為▲.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題~第21題為

必考題，每個(gè)考題考生必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

如圖，底面為矩形A8C。的四棱錐尸一ABCD中，PAL底面A8CD

(1)證明：平面PAoj_平面PCD

(2)若PA=Ao=3,AB=↑,E在棱Ao上，若AO=3AE,求PE與平面PB。所成角的

正弦值.

18.（12分）

已知a,b,C分別為AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，A^?λζ=4,HatsinB=SsinA.

⑴求A；

⑵求SinAsinBsinC的取值范圍.

19.（12分）

已知1個(gè)不透明的袋子中裝有6個(gè)白球和4個(gè)黃球(這些球除顏色外無其他差異).甲從

袋中摸出1球，若摸出的是白球，則除將摸出的白球放回袋子中外，再將袋子中的1個(gè)黃球

拿出，放入1個(gè)白球；若摸出的是黃球，則除將摸出的黃球放回袋子中外，再將袋子中的1

個(gè)白球拿出，放入1個(gè)黃球.再充分?jǐn)嚢杈鶆蚝螅M(jìn)行第二次摸球，依此類推，直到袋中全

部是同一種顏色的球，已知甲進(jìn)行了4次摸球，記袋子中白球的個(gè)數(shù)為X.

(1)求袋子中球的顏色只有一種的概率；

(2)求X的分布列和期望.

20.(12分)

已知拋物線C：j2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡A是C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P(l,1)不在C上，且

IAFl+1APl的最小值為2.

(1)求C的方程；

(2)若直線A尸與C交于另一點(diǎn)與直線/交于點(diǎn)Q,設(shè)或=2/，Q^=μ^PS,且4

+“=4,求直線/的方程.

21.(2023年榆林市三模)(12分)

已知函數(shù)7(x)=xlmr.

(1)若直線y=2r+m與曲線y=∕(x)相切，求〃?的值；

1旦

(2)證明：-IW∕U)<訝參考數(shù)據(jù)：e4>54).

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂

黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.［選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系XO)，中，曲線M的方程為y=√1EZ,曲線N的方程為孫=9.以坐

標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.

(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程；

(2)若射線/：θ=θo(p^O,0V%<)與曲線M交于點(diǎn)A(均異于極點(diǎn))，與曲線N交于點(diǎn)

B,且|。AHoBl=12,求仇.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)√(x)=∣x—a—1|+四一2"∣.

(1)證明：存在a∈(0,+8),使得兀v)》l恒成立；

(2)當(dāng)x∈［2a,4］時(shí)，火x)Wx+a,求a的取值范圍.

絕密★啟用前

榆林市2022?2023年度第三次模擬考試

數(shù)學(xué)試題解析(理科)

1.【答案】D

【解析】z-y∣2i,Z2=-2,z4=4,故選①).

2.【答案】A

【解析】因?yàn)锳={x∣0Vx<16},B={>>∣-l<y<4},所以AUB=(-1,16),故選(A).

3.【答案】B

【解析】S3=3S=12,α2=4,而〃4=0，故”6=-4,故選(B).

4.【答案】C

【解析】非零向量。=(1，x)，?=(JC2,4x),“〃力=x2=4oLXI=2,故選(C).

5.【答案】A

【解析】因?yàn)閷?shí)軸在y軸上，所以e2=1+5=10,Z:=tana=；,Sina=W晅，故選(A).

K?IU

6.【答案】C

【解析】滿足條件的不同選法共有CCC+cc+CC=I92,故選(C).

7.【答案】A

【解析】取BIC|、BBl的中點(diǎn)。、E,則平面MDE〃平面ABG,所以N在線段。E,MN的

最大值為不序=2√Σ故選(A).

8.【答案】B

【解析】執(zhí)行程序框圖，可得下表:

a_32

~3~2

?24結(jié)束

故選(B).

9.【答案】D

【解析】令夕(X)=Λx)g(x)—X—1，則P'(x)=∕'(x)g(x)+f(x)g'(x)—1<0,所以磯X)在(O,+∞)

上遞減，而。⑴=0,因?yàn)?(x)g(x)<x+l,所以夕(x)<p(l),解得：x>l,故選(D).

10.【答案】B

315

【解析】因?yàn)榈?6匹馬的日行路程為315里，所以第17匹馬的日行路程為慌=300里，

300(1—10517)

則這17匹馬的日行路程之和為一7≈7752里，故選(B).

1—1.0?

11.【答案】A

【解析】令e(x)=x+=則o(X)在(1,+8)上遞增，因?yàn)閘og3.43.5—Iog3s3.6=博裝=

lg23.5-Ig3.41g3.6Ig3.4+lg3.6.Ig343.6。....

e2i22er

1°34??35~，Ig3?41g3.6<(^~~寸—)=(^^----)<lg3.5,所以Iog3.43.5>log3.53.6

>1,a="(log3.43.5)>b=磯log3.53.6)>夕(1)=2,C=IOg)t3.7<2,所以a>b>c,故選(A).

12.【答案】D

【解析】解法1：作正方形A8CE,則NOCE=60°,因?yàn)镃C=2AB=2BC=4,所以。E_L

EC,故3。為三棱錐A—8C。外接球的直徑，即87)2=4總=20,所以球。的表面積是4πK

=20兀，故選①).

13.【答案】6

【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)y(x)=?r3+(α-5)/+Or(XeR),所以o=5,BP：/1)=6.

14.【答案】(3,+∞),7

【解析】因?yàn)椴坏仁絆r2—6χ+3>0對(duì)XGR恒成立，所以錯(cuò)誤!，解得：”>3,〃+錯(cuò)誤!=

9

a-l+—r+l≥7,當(dāng)且僅當(dāng)。=4時(shí)取等號(hào).

a-?

15.【答案】7

【解析】由圖像可得：機(jī)=4,〃=3,則機(jī)+〃=7.

16.【答案】不適

【解析】解法1：因?yàn)槁腗AB=-2,所以3p=-2,而尸的軌跡經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)0,故中點(diǎn)尸

的軌跡所在的直線方程為y=一匆,聯(lián)立錯(cuò)誤!可得:X=±錯(cuò)誤!,故中點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為錯(cuò)誤!

醇（普尸攀

解法2：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的乎倍，則在新的坐標(biāo)系中，可得下表:

中點(diǎn)尸的軌跡中點(diǎn)P的軌跡

項(xiàng)目方程直線AB的斜率

所在直線斜率長(zhǎng)度

y2

變換前X2+]=11-2I

迫

變換后x2+y2=↑~√22

2

則向：瑞2邛

17.【解析】（1）因?yàn)镻AJ_底面ABC￡）,所以PAJ_CO,又因?yàn)镃￡>1_A￡>,ADQPA=A,所

以CoJ_平面力￡>,又因?yàn)镃L>5平面PC￡）,所以平面PA￡>_L平面PC￡>；

(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則8(1,0,0),0(0,3,0),P(0,0,

3),￡(0,1,O),Q=(—1,0,3),9=(0,—3,3),港=(0,1,—3),設(shè)平面PBD

小課=0-x÷3y=0?..?

的法向量為力=(X，y,z),由可得:-3y+3z=0,令?y=∣'則rfN=(3,1，1)，

√7?DP=0

cos<Pi,m>=多衛(wèi)=—繆，故PE與平面PBO所成角的正弦值為嬰.

?^PE??n?

18.【解析】⑴因?yàn)椤癱sinB=8sinA,所以由正弦定理可得：abc=8a,即：bc—S,而3?正

=Z?CCOSA=8cosA=4,故COSA=/A=]；

⑵解法1：SinASinBSinC=坐SinBSinC=W[cos(8-C)-CoScB+C)]=坐(CoS(28—爺)+；],

因?yàn)?∈(0,?,所以23一—∈(一),?),故SinASinBsinC∈(0,耳X

JJJJO

19.【解析】分別記第i次摸到白球和黃球?yàn)槭录嗀”Bi,

(1)記“4次摸球后，袋子中球的顏色只有一種”為事件M,則P(M=P(A?乂34)=得乂￡乂

89

Iδ×iδ=0?3024s

(2)X的可能取值為2,4,6,8,10.

P(X=2)=P(B&&&)=VXXV=O.084；

63454

P(X=4)=P(4B2B3B4)+P(BIA2B384)+P(B∣B2A3B4)+P(B∣B2B3A4)=]^×75×^×f5+^×

54545454563

io×io×iδ÷io×io×io×io÷io×io×io×iδ=01525

P(X=S)=P(B∣A2A3A4)+P(AiB2A3A4)+P(A∣A2B3A4)+P(A∣A2A3B4)=?×?×?×?+?×

?×?×?+?×?×?×?+?×?×?×?=0-252s

P(X=Io)=O.3024；

P(X=6)=1—0.084—0.136—0.252—0.3024=0.2096；

X的分布列為:

X2466810

P0.0840.1520.20960.1520.2520.3024

EX=2×0.084+4×0.152+6×0.2096+8×0.252+10×0.3024=7.0736.

20.【解析】(1)當(dāng)P在C的外部時(shí)，O<p<g,?AF?+?AP?^?PF?,此時(shí)IPFl<2,不成立;

當(dāng)尸在C的內(nèi)部時(shí)，設(shè)A在C的準(zhǔn)線上的投影為M,HR+HPI=IAM+1AP61+多當(dāng)且

僅當(dāng)A、P、M共線時(shí)取等號(hào)，則1+§=2,解得：p=2,故C的方程為y2=4x;

(2)設(shè)AaI,y?)tB(X2,”)，Q(X，y)，直線A尸的斜率不為0,設(shè)AP的方程為：x=my+l-

聯(lián)立方程錯(cuò)誤!可得：y2—4/2+4S-4=0,則y+y2=4w,y∣y2=4m-4,因?yàn)殄e(cuò)誤!=2

承，兩麗所以“聲+方=2+旨+W=2+柒群貂=2-

4〃?(1-y)—2+2y

=4,ER：2m(y-i)=y+2而X=My+1—小，所以2%—y—4=0.

3f

21.【解析】(1)因?yàn)镵x)=xlnx,所以八九)=InX+1,令/(x)=2可得：x=e,∕e)=e,