第11招構(gòu)造平行四邊形解題的應(yīng)用類型冀教版八年級(jí)下

例典例剖析如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，且∠ADC＝2∠ABC.求證：AB＝AD＋CD.【解題秘方】證明線段的和差關(guān)系，常用的方法是通過作輔助線將“線段的和差關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“線段的相等關(guān)系”來解決．證明：如圖，過D點(diǎn)作DE∥BC，交AB于點(diǎn)E，則∠ABC＝∠1.∵AB∥CD，DE∥BC，∴四邊形DEBC是平行四邊形．∴∠ABC＝∠CDE，CD＝BE.又∵∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∠ADC＝2∠ABC＝2∠CDE，∴∠ADE＝∠CDE＝∠ABC＝∠1.∴AD＝AE.∴AB＝AE＋EB＝AD＋CD.類型1證兩線段相等分類訓(xùn)練1[2023·自貢]如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上，且AM＝CN.求證：DM＝BN.【證明】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵AM＝CN，∴AB－AM＝CD－CN，即BM＝DN.又∵BM∥DN，∴四邊形MBND是平行四邊形．∴DM＝BN.2如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，DN＝BM.求證：EF與MN互相平分．類型2

證兩線段互相平分【證明】如圖，連接MF，F(xiàn)N，NE，EM.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠D.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD.又∵CF⊥AD，∴AE∥CF.又∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形．∴AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE，又∵BM＝DN，∠B＝∠D，∴△BEM≌△DFN.∴EM＝FN.同理可得MF＝EN.∴四邊形MENF是平行四邊形．∴MN與EF互相平分．3如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF.求證：AC∥DF.類型3證兩線段平行【證明】如圖，連接AD.∵AB∥DE，AB＝DE，∴四邊形ABED是平行四邊形．∴AD∥BE，AD＝BE.∵BE＝CF，∴AD＝CF.又∵AD∥CF，∴四邊形ACFD是平行四邊形．∴AC∥DF.4如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD為△ABC的中線，則AD的取值范圍是____________．1＜AD＜7類型4

求線段的取值范圍【點(diǎn)撥】如圖，延長(zhǎng)AD到E，使ED＝AD，連接BE，CE.∵AD為△ABC的中線，∴DC＝BD.又∵ED＝AD，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴AC＝BE＝6.