沖刺2023年新高考數學押題卷(二)

(原卷+答案)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.已知集合/={x|V=2x},集合8={xGZ[-2<%<2},貝IJ4U6=()

A.[0.2}B.{-1,0,1,2}

C.(x|0W水2}D.{x|-2<xW2}

2.已知復數z滿足|z|z=3+4],則|z|=()

A.1B.3C.而D.5

3.“一5<K0”是“函數y=x?—的值恒為正值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知sin巴=遮，則cos(。一")=()

24

5.已知單位向量a和b滿足a-=\/3|a+6],則a與6的夾角為()

6.已知直線x+y—Sa=0與圓G(x+l)2+(y-l)z=2a2—2a+l相交于點B,若

△46。是正三角形，則實數a=()

A.12B.2C.—D.~

22

7.

河圖是上古時代神話傳說中伏羲通過黃河中浮出龍馬身上的圖案，與自己的觀察，畫出

的“八卦”，而龍馬身上的圖案就叫做“河圖”.把一到十分成五組，如圖，其口訣：一六

共宗，為水居北；二七同道，為火居南；三八為朋，為木居東；四九為友，為金居西；五十

同途，為土居中.“河圖”將一到十分成五行屬性分別為金、木、水、火、土的五組，在五

行的五種屬性中，五行相克的規(guī)律為：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相

生的規(guī)律為：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.現從這十個數中隨機抽取3個數,

則這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字的概率為()

8.已知函數y=f(x)的定義域為R,f(x)>0且f(x)+xf(x)>0,則有()

A./'(x)可能是奇函數，也可能是偶函數B.A-1)>AD

cos2x

C.時，/(sinx)<e2Acosx)D./,(0)

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.下列說法中正確的是()

1O

A.已知隨機變量才服從二項分布「8(4,-),則〃(心=°

39

B.已知隨機變量/服從正態(tài)分布M3,d)且P(朕5)=,則尸(1<辰3)=

C.已知隨機變量才的方差為〃(%,則，(2X—3)=4。(心一3

D.以模型y=ce**(c>0)去擬合一組數據時，設z=lny,將其變換后得到回歸直線方程

z=2x—1,則c=-

e

10.已知正數外。滿足4+^=1,則（）

A.a+b的最大值是啦B.數的最大值是,

2

C.a-6的最小值是一1D.△—的最小值為一也

b-23

11.已知橢圓二+二=1的左、右焦點分別為￡,￡,過點￡的直線/交橢圓于46兩

43

點，則下列說法正確的是（）

A.△/%的周長為6B.橢圓的長軸長為2

C.|4川+|6￡|的最大值為5D.班面積最大值為3

12.在四棱錐人/比》中，底面48切是正方形，勿，平面被辦點6是棱ZT的中點，

PD=AB,則（）

A.ACLPB

B.直線/￡與平面為8所成角的正弦值是坨

6

C.異面直線4）與陽所成的角是三

4

D.四棱錐。-465的體積與其外接球的體積的比值是獨

9n

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知雙曲線C的一條漸近線方程為［：y=2x,且其實軸長小于4,則。的一個標準

方程可以為

14.在（、5—；x）"的展開式中，第3項和第6項的二項式系數相等，則展開式中f的系

數為.

15.在菱形4m9中，NBAD=60°,將△46〃沿6〃折疊，使平面力即_L平面磨9,則4。

與平面48C所成角的正弦值為

16.已知三棱錐。-ABC,。是平面48C內任意一點，數列｛斗｝共9項，&=1,4十%

=2憑且滿足蘇=（a.-a,i）2近-3a“宓+3（a,-+D^（2W〃W9,〃GN*）,滿足上述條件的數

列共有個.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知等差數列｛4｝的公差為正實數，滿足句=4,且句，生，a$+4成等比數

列.

（1）求數列｛&｝的通項公式；

（2）設數列｛4｝的前〃項和為￡，若4=1，且，求數列｛a?4｝的前〃項和為

&以下有三個條件：①￡=2"—1,〃eN*；②￡=22一1,〃WN'；③￡+,=2￡—1,從

中選一個合適的條件，填入上面橫線處，使得數列｛0｝為等比數列，并根據題意解決問題.

18.（12分）已知△4況的內角4B,C的對邊分別為a,b,c,且asinC=3csin

B±C

2

（1）求角力的大小；

JI

⑵若點。在邊比'上，且如=3劭=3,NBAg一,求△/a1的面積.

6

19.

（12分）如圖，在直四棱柱4a?-〃中，底面4質為菱形，且/國片60°,E為

的中點，尸為比;與5c的交點.

（1）求證：平面協(xié)工平面。加￡；

(2)若DD、=AD,求二面角〃-DE-6的余弦值.

20.(12分)食品安全問題越來越受到人們的重視.某超市在進某種蔬菜前，要求食品

安檢部門對每箱蔬菜進行三輪各項指標的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，該種蔬菜才能在

該超市銷售.已知每箱這種蔬菜第一輪檢測不合格的概率為L第二輪檢測不合格的概率為打

34

第三輪檢測不合格的概率為L每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測互不影響.

5

(1)求每箱這種蔬菜能在該超市銷售的概率：

(2)若這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利200元，若不能在該超市銷售，則每箱

虧損100元，現有3箱這種蔬菜，求這3箱蔬菜總收益X的分布列和數學期望.

21.(12分)已知。(1,2)在拋物線C：/=2px上.

(1)求拋物線。的方程；

(2)/1,8是拋物線C上的兩個動點，如果直線處的斜率與直線外的斜率之和為2,證

明：直線46過定點.

22.(12分)已知函數/1(*)=x-,sinx--Inx+1.

22

(1)當初=2時，試判斷函數/'(x)在(允，+8)上的單調性；

(2)存在為，x2e(0,+8),xx^x2,F(x)=￡(&)，求證：X\X，ni.

參考答案

1.解析：易知[={x|x=0或x=2},—0,1},AVJB={-1,0,1,2}.故選

B.

答案：B

2.解析：將等式|z|z=3+4i兩邊同時取模，有||z|z|=|3+4i1=132+42=5,

即I|Z|Z|=|Z|2=5,所以|Z|=3.故選B.

答案：B

3.解析：函數y=V—Ax—A的值恒為正值，

則A〈0=爐+4內0=—4<內0,

V(-4,0)(—5,0),

.?.“一5CK0”是“函數y=f—〃x一%的值恒為正值”的必要不充分條件.故選B.

答案：B

,G5

4.解析：cos(<7—JT)=—cosct=2sin!---1=一三故選D.

28

答案：D

5.解析:由題設，Ia—，=31a+b1則a—2a?b+N=3(a+2a?b+方?)，

.,?才+4&?6+b2=0,又a和8為單位向量，

Acos(a,6〉又〈a,b)e[0,n],

2

/.{a,6〉故選B.

3

答案：B

6.解析：設圓C的半徑為八由2才-2d+1=21—J+l>0可得，1=。2?一2&+1.

2

因為△/回是正三角形，所以點。(-1,1)到直線力8的距離為苗，

2

即1+1/射=加后罰,

V22

兩邊平方得”=細才-2"+1),a=-.故選D.

242

答案：D

7.解析：由題意得數字4,9屬性為金，3,8屬性為木，1,6屬性為水，

2,7屬性為火，5,10屬性為土，

從這十個數中隨機抽取3個數，這3個數字的屬性互不相克，

包含的基本事件個數(C；C；+C；C：)=20,

這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字包含的基本事件個數為：

m=C'2(C：C；+C；C；)=8,

...這3個數字的屬性互不相克的條件下，取到屬性為土的數字的概率—州=8=2.故

〃205

選C.

答案：C

8.解析：若/'(x)是奇函數，則f(-x)=-f(x),

又因為F(x)>0,與1'(—x)=—f(x)矛盾，

所以函數y=Mx)不可能是奇函數，故A錯誤；

令g(x)=e2f(X)，

X2X2X2

則g‘(x)=肥2F(x)+e2/(x)=e2(xF(x)+廣'(x))，

*

因為e2>0，f(x)+xF(x)>0,

所以/(x)>0,所以函數以x)為增函數，

11

所以g(—l)〈g(l),即e2f(—1)12〃1),

所以F(—1)<F(1),故B錯誤；

因為三<點三~,所以0〈cosX—,—<sinXL

4222

所以sin%>cosx,

sin2xcos%

故g(sinx)>g(cosx)fBPe?Asinx)>e2Acosx),

cos々一sinzxcos2x

所以f(sinx)>e2Acosx)=e2Acosx),故C錯誤；

有g(0)〈g(l),即/wgd),故D正確.故選D.

答案：D

9.解析：對于A,由隨機變量I服從二項分布h6(4,-),

3

11O

得〃(乃=4X-X(1--)=-，故A正確；

339

對于B,因為隨機變量X服從正態(tài)分布M3,/),則對稱軸為才=3,

又尸(后5)=,所以尸(底1)=,

所以P(1CTW3)=一2(收1)=,故B錯誤；

對于3因為隨機變量才的方差為〃(乃，則〃(2萬-3)=4〃(心，故C錯誤；

對于D,模型y=ce**(c>0),則Iny=lnc+kx9

又因z=lny,z=2x—1,

所以4=2,Inc=-1,所以。=L故D正確.故選AD.

e

答案：AD

10.解析：由(史也)?^?土匕得a+bW/，當且僅當a=b=也時取等，A正確；

222

由劫W又上^得助當且僅當廣仁也時取等，B正確；

222

由正數a,。及才+4=1知0<水1,0</?<1,可得一1〈一伙0,故一1<“一慶1,C錯誤；

令△-=k,則@="(6—2),兩邊同時平方得〃(6—2)2=.=1—況整理得(如+1)^

b-2

一4發(fā)6+4左-1=0,又存在a,6使」一=4，故/=(一4萬)2—4々+1)(4發(fā)-1)=-12產

b-2

+4N0,解得一也WkW也,D正確.故選ABD.

33

答案：ABD

11.

解析：如圖，由題可知，在橢圓'+】=1中，a—2,b—y/3,c—1,

43

△4%的周長為|/￡|+M￡|+班|+|8川=4a=8,故A項錯誤；

橢圓的長軸長為2a=4,故B項錯誤；

因為|他|+|即|=8一|仍，當且僅當力牡￡后時，

|四|最小,

代入X=-1,解得y=土-，故|/8|=3,所以|相|+|班|的最大值為5,故C項正確；

2

根據橢圓的性質可得，當且僅當48，￡月時，△/班面積最大，

故S=4/8|?|￡￡|=3,故D項正確.故選CD.

2

答案：CD

12.解析：如圖，連接做因為底面力時是正方形，所以加，4a

因為陽_L平面所以如_L4C,又BDCPD=D,

所以4cL平面如〃，則4CL陽，故A正確.

由題意易證4〃，CD,外兩兩垂直，建立如圖所示的空間坐標系〃一xyz.

設45=2,則/(2,0,0),5(2,2,0),〃0,0,0),月0,1,1),川,0,2),

從而^=(—2,0,0),荔=(0,2,0),癥=(-2,1,1),PB=(2,2,—2).

n?AB=2y=0

設平面為夕的法向量77=3%z),則0?溝=2x+2y—2z=0,

令X=l,得77=(1，0,1).設直線力夕與平面必8所成的角為九

則sin°=cos(AE,n)，故B正確.

設異面直線力〃與必所成的角為。,

則a(AD,Pff)

cos=IcosI2X^2I從而ar三，故C錯誤.

34

o

四棱錐尸-4?劈的體積(=-,

3

由題意可知四棱錐戶-/靦外接球的半徑/?=T=3，

則其體積V2--nnX(m)3=43”，

33

從而四棱錐P-力版的體積與其外接球的體積的比值是匕=4豈故D正確.

V29Jr

答案：ABD

2

13.解析：可設雙曲線的方程為V一匕=%（4W0）,

4

22

即工一工=1（兒會0）,

A4A

當4〉0時，雙曲線的實軸為2c,

則2yl<4,所以0〈乂4,

可取才=1,

則C的一個標準方程可以為f-匕=1.

4

2

答案：/一二=1（答案不唯一）

4

14.解析：因為二項式的第3項和第6項的二項式系數相等，

所以C：=C：,所以〃=7,

1117+

則二項式（4一%）7展開式的通項為。+尸C：（3）"J（—3）*=（―/?（：：￡7

令74工-k=5,則4=3,

2

所以展開式中義的系數為f；

35

8

田生35

答案：一

8

15.解析：如圖，取切中點0,連接10、C0,

因為/以。=60°,所以△口切為等邊三角形，

因為。為劭中點，

所以40工即,COLBD.

因為平面484L平面比且平面4劭D平面比7）=劭，4（7C平面

所以力。，平面BCD,

又OG平面比。，

所以40J_0C,AOI.OD.

以。為原點，OC、OD、OA為x,y,z軸正方向建系，如圖所示，

設菱形1靦的邊長為2,

則力（0,0,他），8（0,-1,0）,。（m，0,0）,〃（0,1,0）,

所以46=（0,-11一m），AC—0,—m）,AD^（0,1,一氈）,

設平面力弘的法向量〃=（x,y,z）,

〃?祛=0|_/_\姮=0

則,，即，「「,

n?AC=0\/3z=0

令x=l,則尸=—氈，z—1,即〃=（1,-#,1）,

設力。與平面46C所成角為e,

n,M）

|n|?\~AD_叵

J5

所以4〃與平面/優(yōu)1所成角的正弦值為芯.

5

答案：涯

5

16.解析：因為戶是平面4成'內任意一點，

所以只A,B,C四點共面，

因為婷(當一a1)?而一3a“勵+3(品一+1)龍(2W〃<9,,

所以(a“一3a”+3(a0_]+l)—1,即(a?—a,^,)J—3(a?—a?_))+2=0,

解得a“一ai=l或a,—a?-l—2,

當a?—a^-1=1時,

則數列｛備｝是以1為首項，1為公差的等差數列，

所以a?—n,

則向+包=10=22，符合題意；

當a,,一ai=2時，數列｛a｝是以1為首項，2為公差的等差數列，

所以a?=2n—l,

則a,+33=18=235，符合題意，

所以滿足上述條件的數列共有2個.

答案：2

17.解析：(1)設等差數列｛aj的公差為460,

因為名,恁+4成等比數列，

所以a：=a,(a5+4),即(4+2oT=4(4d+8),

解得d=±2(負值舍去)，所以d=2,

所以a?=2n+2.

(2)選①，由￡=2"-1,neN\

當2時，仇=&一S-=2"T,

當〃=1時等式也成立，

所以a=2^,又.?.數列｛”｝為以1為首項2為公比的等比數列.

b1\

則a??b=(2〃+2)?2"-'=(A+1)?2".

所以7；,=2X2+3X22+4X23H----F/??2,,-'+(/?+1)-2",

則27；=2X22+3X23+4X24H---\-n?2"+5+1)2小,

兩式相減得一0=4+22+23+2'+…+2"—(〃+1)?2/'

4—917+1

=4+———(〃+1)?2"'

1—2

=2〃"一(〃+1)?2'中

=-/??2n+1.

所以T=n-2^'.

選②，由S,=22-1,

當〃》2時，b=S-S^=2b-2b^,

所以a=2,

b?-x

所以數列｛0｝為以1為首項2為公比的等比數列，

所以a=2'i,

則ajb=(2/7+2)-2"，

以下步驟同選①.

選③，由S,+i=2￡—1，nSN*.

當n—\時,

4+a=2向一1,

...4=0,

二數列｛“｝不是等比數列，

.?.不能選條件③.

18.解析：(1)由已知及正弦定理得：sinAsinC=45sinCsin等:又…

-A,

.B+C_nA

>?9又sin今0,

222

Asin/=mcos則2sin-cos-=^/3cos而0<-<—,

222222

AiAV3,,An2n

Acos-WO,則sin,故一=一,得力=---.

222233

,..2nJI.JI

(2)由N為仁一,ZBAD=—,則N%S=—.

362

BDr

法一：在△力劭中，r=--------，①

sm—sinABDA

6

CDb

在中，7=---------,②

sin-sin/ADC

2

9：ZADB+ZADC=n,

AsinZBDA=sin/ADC,③

由①②③得：竺又CD=3BD=3,得BD=1,

CDb

不妨設c=2mb=3m,

b39

在△4加中，由余弦定理可得，42=(2勿)2+(3%)2—2X2/X3Rcos"，得/=嶼,

319

所以同儂sinZBAO^-'X2mX3/wX—=24^.

22219

1JI

-c?ADsin/BADcsin——

S&BAR=26c

法二:

S/\L1JI2Z?

-b?ADsinACADbsin一

22

???△胡〃的邊BD與AADC的邊〃。上的高相等,

?叢叫劭=I(21c2

=由此得一=-,即-=-,不妨設c=2m,b=3m,

,?S：D晨3’2b3b3

2it欠，/16

在△4%中，由余弦定理可得，42=(2ZZ?)2+(3Z?)2-2X2/?X3/7/COS——，得必,

319

所以sinZBAC--X2mX3mX——

22219

19.解析：(1)證明：如圖，連接做

在菱形48徵中，NBAD=60°,所以△/!劭為正三角形，

因為6為A9的中點，所以DEUB.

因為四〃G9,所以〃ELW.

因為叫1.平面ABCD,DEU平面ABCD,所以如】_LDE,

而DD、CDC=D,所以〃，平面CDDG.又因為O￡U平面DEF,所以平面田。平面CDD￡、.

(2)設。4=/。=2,以〃為原點，以直線加DC,勿分別為x,y,z軸建立如圖所示

的空間直角坐標系，則。(0,0,0),￡(氈，0,0),尸(J1,1),C(0,2,0),所以應'=(氈,

0,0),DF—(—,1).

22

成x=0,

n?DE=G,哂+2=。,…，得

設刀=(x,y,z)為平面妍的法向量，由，_

n?DF=b,

n=(0,2,—3).

由(1)〃C_L%DC1DD、,DECDD尸D,則〃CL平面〃"即應'=(0,2,0)為平面。龍1

一n,DC4

的一個法向量，所以cos<n,DO=-------=-—=92A電/H，由圖可知二面角如-

\n\\DC\@3X213

尸為銳角，所以二面角4-DE-6的余弦值為空

13

20.解析：(1)設每箱這種蔬菜能在該超市銷售為事件4

1112

則P(A)=(1--)x(1--)X(1--)=-,

3455

即每箱這種蔬菜能在該超市銷售的概率為42.

5

(2)一的所有可能取值為600,300,0,-300.

因為尸(>=600)=(2尸=且，尸(才=300)=C：(-)2X-=—,

512555125

〃(乃=0)=C；X-X(-)2=—,p(才=—300)=(9尸=包,

551255125

所以彳的分布列為

X6003000-300

8365427

p

125125125125

O36

所以￡(心=600義上葉300X300X——=60.

125125125

21.解析：(1)2點坐標代入拋物線方程得4=2夕，

:?p=2,

，拋物線方程為產=4x.

(2)證明：設48：x=/ny+t9將48的方程與/=4x聯立得/—4/〃y—41=0,

設力(用,必)，BQ,y2)?

則必+力=4勿，%必=-4b

所以/>0=16序+16方>0=幫+方>0,

—9必―244

心=—v=7—=小，同理：3士，

X[—12J__IZi+2必+2

4

44

由題意:=2,

%+2