第26講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?河北邯鄲?二模）函數(shù)〃x）=sin（2x+1）在上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,1]B.——,0

（G-

C.—D.[—1,1]

2.（2022?湖北?模擬預(yù)測）已知〃x）=sin（2x+,則（）

A./（2）＜/（1）＜/（0）B.42）＜〃0）＜〃1）

C.〃0）＜〃2）＜/（1）D./⑴＜〃2）＜/（O）

3.（2022?湖南?長沙市南雅中學(xué)高三階段練習(xí)）在下列區(qū)間中，函數(shù)〃x）=2022cos（x-總單調(diào)遞增的區(qū)

間是（）

4.（2022?廣東深圳?高三階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）=|tan?x-0）|?＞O）的最小正周期為4,則下列區(qū)間中

/（X）單調(diào)遞增的是（）

兒卜用B.層）C.住3）D,（3,4）

5.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)f（x）=cos2x-sin2x,則（）

A.3）在1-卞-￡|上單調(diào)遞減B.?。┰诓飞蠁握{(diào)遞增

C.f（x）在（0?）上單調(diào)遞減D./（%）在]?,蔣）上單調(diào)遞增

6.（2022?全國?高考真題）記函數(shù)/（x）=sin（s+￡|+6（0＞O）的最小正周期為T.若笄＜丁＜萬，且

y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)仔2）中心對稱，則/圖=（）A.1B.|C.|D.3

7.（2022?山東濟(jì)南?三模）已知函數(shù)f（x）=sinx+sin2x在（0,a）上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的最大值為

)

48

A.-7tB.2兀C.-nD.3兀

33

8.（2022?廣東?佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線和8=與是曲線

/（x）=2sin（6yx+9）（-7t<x4兀）的兩條對稱軸，且函數(shù)/5）在上單調(diào)遞減，則。的值是（）

7171

A.—B.0C.—D.兀

22

9.（多選）（2022?廣東?潮州市瓷都中學(xué)三模）設(shè)函數(shù)〃x）=sin（2x+g],則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)弓,0卜寸稱B.y=/（x）的圖象關(guān)于直線X=對稱

c.“X）在卜,外上單調(diào)遞減D.“X）在1-go]上的最小值為0

L3」L6_

10.（多選）（2022?全國?高考真題）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+e）（0<9<7t）的圖像關(guān)于點(diǎn)（爭0）中心對稱，

則（）

A.Ax）在區(qū)間（0噂）單調(diào)遞減

B.f（x）在區(qū)間（-當(dāng)詈j有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.直線X=:7兀是曲線y=/（x）的對稱軸

6

D.直線y=等-x是曲線丫=/（》）的切線

11.（2022?湖北?襄陽四中模擬預(yù)測）寫出一個(gè)最小正周期為3的偶函數(shù)/（x）=.

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=3sin（0x+7）,（@>O）在（0,?）上單調(diào)遞增，則”的最大值

為.

13.（2022?全國?高考真題（理））記函數(shù)〃x）=cos（0x+e）（3>O,O<e<兀）的最小正周期為T,若

八7）=1,苫=^為/*）的零點(diǎn)，則。的最小值為.14.（2022?北京?人大附中三模）已知

函數(shù)/"）=乎,X€卜2萬,0）。（0,2句，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①〃x）是偶函數(shù)；

②/（x）有4個(gè)零點(diǎn);

③“X）的最小值為一：;

④的解集為卜卜，-*卜卜（|萬,2乃]

其中，所有正確結(jié)論的序號為.

15.（2021?浙江?高考真題）設(shè)函數(shù)/（x）=sinx+cosx（xcR）.

（1）求函數(shù)y=[/[x+]J的最小正周期；

（2）求函數(shù)y=在0,|上的最大值.

16.（2022?浙江?湖州模擬預(yù)測）己知函數(shù)/3=血（2》+今+儂（2尸1）

63

⑴求/（愛）的值；

⑵求函數(shù)f*+自在io,g上的增區(qū)間和值域.

17.（2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（》）=（sinx+Gcosx）（cosx-Gsinx）.

⑴求函數(shù)在[0,句上的單調(diào)增區(qū)間；

6jr

（2）若/（%）=（,%w0,—,求cos2x（）的值.

18.（2022?海南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=sin（ox+*>0,|同<9,再從條件①、條件②、條件

③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使f（x）的解析式唯一確定.

⑴求“X）的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=〃x）+dx+￡],求g（x）在區(qū)間0,?上的最大值.

條件①：/（X）的最小正周期為;r；

條件②："0）=0；

條件③：/（X）圖象的一條對稱軸為x=（.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【素養(yǎng)提升】

1.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）已知％,ywR,則表達(dá)式cos?"cos?），-cos（不，）（)

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，無最小值

C.無最大值，有最小值D.既無最大值，也無最小值

2.(2022?天津?一模)已知函數(shù)/(x)=-sinx-2卜山乂，關(guān)于x的方程/(x)+G/(x)-l=0有以下結(jié)論

①當(dāng)時(shí)，方程/(x)+&f(x)-1=0在［0,2句最多有3個(gè)不等實(shí)根：

②當(dāng)04"3時(shí)，方程r(x)+&〃x)-l=0在［0,2句內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根；

③若方程尸(x)+-1=0在［0,6句內(nèi)根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為15萬；

④若方程/(x)+&〃力-1=0在［0,6句內(nèi)根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為36萬.

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.B.②④C.①④D.①②③

3.(多選)(2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院三模)已知函數(shù)f(x)=sin"用(?>0)圖像的一條對稱

軸和一個(gè)對稱中心的最小距離為r3jr，則()

4

A.函數(shù)f(x)的最小正周期為37t

B.將函數(shù)/*)的圖像向左平移二個(gè)單位長度后所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

C.函數(shù)/*)在兀［兀上為增函數(shù)

D.設(shè)g(x)=eR/gx+則g(x)在(-10兀,10兀)內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)

4.(多選)(2022?湖北?襄陽四中模擬預(yù)測)若/(x)』sinx+ecosx|+|有sinx-cosx|,則下列說法正確的

是()

A.“X)的最小正周期是］

B.“X)的對稱軸方程為犬=與-專，(keZ)C.存在實(shí)數(shù)。，使得對任意的xeR,都存在

玉，馬€_能。且滿足(x)了-1(x)f(玉)+1=0,(*=1,2)

D.若函數(shù)g(x)=2〃x)+8,xe0,等,"是實(shí)常數(shù))，有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)不孫…,知，三+"〃wN),則

50萬

3+2（々+工3+…+*2"）+巧"1

—

5.(多選)(2022?江蘇常州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(幻=|0也回85乂工￡1^,則(）

A.函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?

22

B.函數(shù)/（x）是一個(gè)偶函數(shù)，也是一個(gè)周期函數(shù)

3乃

C.直線x是函數(shù)/W的一條對稱軸

D.方程/（x）=log/有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

6.（2022?遼寧葫蘆島?二模）設(shè)函數(shù)/（x）=cos?x+e）（。＞0且時(shí)＜5）滿足以下條件：①WxeR,滿

足〃力士/倩）；②加，使得?。?/（%）=0；③飛蘭哈則〃x）=.關(guān)于x的不

等式?。?（嗯的最小正整數(shù)解為.

7.（2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=sin仁-2x1-2sin（x-口cos（x+引.

⑴解不等式

⑵若xe，且打力-如⑺-可以-］）的最小值是V求實(shí)數(shù)兀的值.

8.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知常數(shù)。＜0,定義在R上的函數(shù)/（x）=cos2x+asinx.

（1）當(dāng)a=T時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)所有x的值;

(2)當(dāng)。=-2時(shí)，設(shè)集合4=卜|?4苫4整［,B={xj/(x)>/nsinx+2/M-l},若Au8=8,求實(shí)數(shù)〃?的

取值范圍；

（3）已知常數(shù)〃eN,n＞l,且函數(shù)y=f（x）在（0,〃萬））內(nèi)恰有2021個(gè)零點(diǎn)，求常數(shù)〃及〃的值.

第26講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

【基礎(chǔ)鞏固】

1.（2022?河北邯鄲?二模）函數(shù)〃x）=sin（2x+$在1衿）上的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0,1]B.——,0

（G-

C.——,1D.[-1,1]

【答案】C

【解析】當(dāng)無w（-時(shí)，21+^￡（-*兀],當(dāng)2x+g=5時(shí)，即工=合時(shí)，/（x）=sin（2x+g）取最大值

I,當(dāng)2X+?T，即X=時(shí)，〃x）=sin（2x+§取最小值大于-半，故值域?yàn)椋?乎」

ODDD乙I乙

故選：c

2.（2022?湖北?模擬預(yù)測）已知〃x）=sin（2x+,則（）

A./（2）＜/（1）＜/（0）B.〃2）＜〃0）＜〃1）

C./（0）＜/（2）＜/（1）D./（1）＜/（2）＜/（0）

【答案】B

【解析】因?yàn)椤▁）在仁彳卜二單調(diào)遞減，又〃0）=/用，所以?＜1＜。＜2＜/，

所以〃1）＞/圖=/（0）＞〃2），即〃2）＜/（0）＜〃1）.

故選：B.

3.（2022?湖南?長沙市南雅中學(xué)高三階段練習(xí)）在下列區(qū)間中，函數(shù)”x）=2022cos（x暇）單調(diào)遞增的區(qū)

間是（）

【答案】D【解析】解：因?yàn)?（x）=2022cos（x-總，令-1+2版?4》一言42氏/eZ,解得

-2+2k萬4x43+24T,k€Z,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-當(dāng)+2%肛占+24左，AeZ,當(dāng)％=1時(shí)可

得函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為粵，等，因?yàn)橘?2小等，等，所以函數(shù)在停,21上單調(diào)遞

增；

故選：D

4.（2022?廣東深圳高三階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）=Mn3x-o）|（o>0）的最小正周期為4,則下列區(qū)間中

/（X）單調(diào)遞增的是（）

A.卜,￡|B.（，|）C,停3）D,（3,4）

【答案】C

【解析】作出函數(shù)y=|tan〃|的圖象如下圖所示：

數(shù)yTtan”的最小正周期為開，且其增區(qū)間為（無乃,人乃+5）任eZ）,

對于函數(shù)/（x）,其最小正周期為7=2=4,可得。=?,則f（x）=tan^x-3

由左］<—x<k.7i4—（kGZ）,解得4Z+1<X<4&+3,其中々wZ,

442''

所以，〃力的單調(diào)遞增區(qū)間為（4左+1,4%+3）（左wZ）,

所以，函數(shù)/（力在（-弓）上遞減，在《，句上不單調(diào)，在（，3）上遞增，在（3,4）上遞減.

故選：C

5.（2022?北京?高考真題）已知函數(shù)〃x）=cos2x-sin2x,則（）

A.Ax）在卜多蘭）上單調(diào)遞減B.Ax）在總上單調(diào)遞增

C.f（x）在（0,￡|上單調(diào)遞減D.在［?，葛）上單調(diào)遞增【答案】C

【解析】13=cos?x-sin2x=cos2x.

Jrjr則（）在卜向上單調(diào)遞增，錯(cuò);

對于A選項(xiàng)，當(dāng)-時(shí),-^<2x<-1,fxA

26

對于B選項(xiàng)，當(dāng)-￡<x<3時(shí)，-g<2尤<g,則〃x）在一。白上不單調(diào)，B錯(cuò)；

4122oV4127

對于C選項(xiàng)，當(dāng)0<x<?時(shí)，0<2》<,，則f（x）在（05］上單調(diào)遞減，C對；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，y<2x<^,則f（x）在（李得）上不單調(diào)，D錯(cuò).

故選：C.

6.（2022?全國?高考真題）記函數(shù)f（x）=sin,x+?1+6（0>O）的最小正周期為T.若與<7<%，且

y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)作,2）中心對稱，則/圖=（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【解析】由函數(shù)的最小正周期T滿足〈萬，得與〈紅5解得2<。<3,

33a）

又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)［3,2）對稱，所以與<y+?=A7r,keZ,且6=2,

所以切=_*+：上,上€2,所以0=/W=sinf|x+^+2,

所以/C）=sin1Y）+2=l.

故選：A

7.（2022?山東濟(jì)南?三模）已知函數(shù)/（x）=sinx+sin2x在（0,4）上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的最大值為

()

48

A.一兀B.2兀C.—兀D.3兀

33

【答案】C

【解析】f(x)=sinx+sin2x=sinx+2sinxcosx=sinx(l+2cosx),

令y(x)=0得sinx=0或co即-g,

作出y=sirix和y=cosx的圖象:

故選：c.

8.（2022?廣東?佛山市南海區(qū)藝術(shù)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知直線和是曲線

/（x）=2sin（s+。）（-兀兀）的兩條對稱軸，且函數(shù)/⑶在當(dāng)）上單調(diào)遞減，則處的值是（）

71九

A.—B.0C.—D.兀

22

【答案】A

【解析】由/（x）在O上單調(diào)遞減可知/（爭是最小值

由兩條對稱軸直線個(gè)和x吟可知x=0也是對稱軸且/（0）=-2,為最小值

故sing=-l

TT

又一兀＜夕4兀，解得夕=一,

故選：A

9.（多選）（2022?廣東?潮州市瓷都中學(xué)三模）設(shè)函數(shù)〃x）=sin（2x+g）,則下列結(jié)論中正確的是

（）

A.y=/（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（如卜寸稱B.y=的圖象關(guān)于直線x=T對稱

C.“X）在卜,外上單調(diào)遞減D./（x）在［-白。］上的最小值為0

【答案】ABC

【解析】當(dāng)x=［時(shí)，尼卜sink0,所以y=〃x）的圖象關(guān)于點(diǎn)信0）對稱，A正確；

當(dāng)*寸，=所以y=/（x）的圖象關(guān)于直線x=*對稱，B正確；當(dāng)

,2712兀4兀\+27兒r47r

時(shí)，u=2x+—e可，7，/(〃)=sm〃在—-,y上單調(diào)遞減，故C正確;

33

_2K與1上的最小值為中，D錯(cuò)誤.

當(dāng)y,。時(shí),M=2x+——epy，f(a)=sin〃在y

32

故選：ABC

10.(多選)(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)=sin(2x+e)(0<9<兀)的圖像關(guān)于點(diǎn)(g,0)

中心對稱,

則)

在區(qū)間(0,工)單調(diào)遞減

A.

/(x)在區(qū)間(-三?,詈

B.有兩個(gè)極值點(diǎn)

7兀

C.直線x=9是曲線y=/(x)的對稱軸

6

y=@—x是曲線y=/(x)的切線

D.直線

2

【答案】AD

2兀.(4兀]??…4兀,，~

【解析】由題意得：f=sinl—+1=0,所以彳+勿二％兀，ZwZ,

3

4兀

即9=_才+伍丘2,

2兀(2兀

又0<e<兀，所以％=2時(shí)，(P=--故/(x)=sin〔2x+

(八5兀、「?2兀2兀3兀,由正弦函數(shù)y=sin〃圖象知y=f(x)在(0,詈)上是單調(diào)遞

對A,當(dāng)工￡(0,r)時(shí)，2x+-^-w

3T'T

減;

{n1InL327rn5TI

對B,當(dāng)xe卜萬，五時(shí)，2x+y€,由正弦函數(shù)y=sin“圖象知y=f(x)只有1個(gè)極值點(diǎn)，由

2'T

2'+§=手，解得》=泮即x=得為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；

D/12.1Z

對C,當(dāng)x=?時(shí)，2x+M=3兀，/(?)=0,直線x=g不是對稱軸;

6366

對D,由y'=2cos(2x+年=-1得：cos(2x+5

解得2犬+2=空+2而或2》+空=色+2%兀,％eZ,

3333

TT

從而得：x=k7i^x=—+k7t,keZ,

處的切線斜率為4=外3=2(^^=-1,切線方程為：丫一且=_*_0)即

所以函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)

32

故選：AD.

11.（2022?湖北?襄陽四中模擬預(yù)測）寫出一個(gè)最小正周期為3的偶函數(shù)/（司=.

【答案】COSyX（答案不唯一）

【解析】由余弦函數(shù)性質(zhì)知：>=cos（丘）為偶函數(shù)且k為常數(shù)，

乂最小正周期為3,則927r=3,即k=2m4，

k3

所以f（x）=cos（胃2萬X）滿足要求.

24

故答案為：COS（3~X）（答案不唯-）

12.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=3sin（s:+?）（o>0）在（0,￡|上單調(diào)遞增，則。的最大值

為.

【答案】1

［解析］/（x）=3sin（ox+"（o>0）對應(yīng)的增區(qū)間應(yīng)滿足

n~—+2k7c-+2k7r

（DXH----￡------F2%），—F2k7T,kwZ、解得xe--------------,kGZ、當(dāng)

422CO（O

i時(shí)，t考闈，要使"吁巾嗚,>。）在恒）上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足，卷哼解得

（0<\,則。的最大值是1

故答案為：1

13.（2022?全國高考真題（理））記函數(shù)/（力=8$（如+。）（。>0,0<。<兀）的最小正周期為7,若

/-（?'）=--x=W為/（X）的零點(diǎn)，則。的最小值為____________

29

【答案】3

【解析】解：因?yàn)椤╔）=8S?X+e）,（CO>0,0<?7<7t）

所以最小正周期T=,因?yàn)?f（T）=cos（<w?&+，=cos（2兀+9）=COSQ=￥,

又0<9<兀，所以e=工即"x）=cos（8+R,又x=［為〃x）的零點(diǎn)，所以=5+

6V079962

解得G=3+9NZCZ,

因?yàn)榍?gt;0,所以當(dāng)k=0時(shí)?min=3;

故答案為：3

14.（2022?北京?人大附中三模）已知函數(shù)〃力=?,工€[-2》,0）5。，2句，給出下列四個(gè)結(jié)論:

①〃x）是偶函數(shù);

②/（X）有4個(gè)零點(diǎn);

③/（%）的最小值為-g;

④/（x）<（的解集為3Mo，[卜（|肛2乃]

其中，所有正確結(jié)論的序號為.

【答案】①②

【解析】對于①：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椴?肛0）U（0,2句，且〃_x）=吧上三LM="X）,所以是

-X-X

偶函數(shù).故①正確；

對于②;在XG[-2肛0）5。，2句,令f（x）=。，解得:x=-24,x=-7T,x=7t,x=2萬.所以/（X）有4

個(gè)零點(diǎn).故②正確;

對于③:因?yàn)椤癤）是偶函數(shù)，所以只需研究x?0,2句的情況.如圖示,作出y=sinx（x?0,2司）和

y=-；x的圖像如圖所示:

]sinY11

在xe((),2;r］上有sinx>《x,所以亨〉即/（x）的最小值大于一5.故

③錯(cuò)誤;

對于④：當(dāng)、?-2巴0）5。，2句時(shí)，/"）〈（可化為：

當(dāng)x>0時(shí)，sinx<g,解得：xe（0,7卜（，町2萬；

當(dāng)x<0時(shí)，sinx>l解得：綜上所述:/（X）〈上的解集為

（一\?肛一（H。,看）2（,肛2乃.故④不正確.

故答案為：①②

15.(2021?浙江?高考真題)設(shè)函數(shù)〃x)=sinx+cosx(%￡R).

(1)求函數(shù)y=[f(x+1)]的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=在0,y上的最大值.

【解】(1)由輔助角公式得/(x)=sinx+cosx=0sin(x+?),

貝ijy=[/(x+^)]=[&sin(x+,)]=2sin2(x+,)=l-cos(2x+/)=l-sin2x,

所以該函數(shù)的最小正周期T=3=萬；

(2)由題意，y==后sin(x+?)夜sinx=2sin[x+?)sinx

=2sinx-——sinxH-----cosx=>/2sin2+V2sinxcosx

22

小-8s2x,6…、.&■…一夜…C-&吟，&

=72-------------1-----sin2x=sin2x-------cos2xH------=sin2x-----4-------，

222224j2

由0,g可得2天一卜一￡岑，

L2J4|_44」

所以當(dāng)2x-f=￡即》=當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值1+變.

4282

16.(2022?浙江?湖州模擬預(yù)測)已知函數(shù)/㈤=sin(2x+》+cos(2x-$

03

⑴求/(葛)的值；

⑵求函數(shù)/(戈+T旨T在[。,T自T上的增區(qū)間和值域.

【解】⑴解：因?yàn)閒(x)=sin(2x+g)+cos(2x-1),

所以/(x)=sin2xcos—+cos2xsin—+cos2xcos—+sin2xsin—

6633

=2sin(2x+-^j,

=sin2x+—cos2x+—cos2x4-sin2x=2sin^x+~cos

2222122

即/(x)=2sin(2x+^J,

~77r1入.(入7萬7t)_.3乃人.4rr

川T以f——2sin2x-----1——2sin——2sin—=J2

7124J1246J44

(2)解：由(1)可得自=2si42(x+回+看=2sin(2x+?J,

因?yàn)?卷,所以2x+?w?與，所以sin(2x+?)e一等』'則/(工+。)工一瘋21,

令+解得04x4高，即函數(shù)在0,-上的單調(diào)遞增區(qū)間為0,-；

17.(2022?河北?石家莊二中模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=kinr+6cos_r)(cosx-6sinA).

⑴求函數(shù)/(x)在［0,句上的單調(diào)增區(qū)間；

6JT

⑵若/(%))=不飛￡，求COS2內(nèi))的值.

【解】⑴解：/(.v)=(sinx+A/3cos^j^cosx-V3siiv:j,

=-2siarcosx4-5/3cos2x--73sin2x,

=-sin2x+5/3cos2x,

=2sin|2x+—

(3

令—%+2kjv<2x+今<+2k7V,keZ,

77r7i

解得----+k7r<x<------+kjr、keZ,

1212

所以“力的單調(diào)增區(qū)間為k兀弋,k兀味,keZ.

令氏=1得區(qū)間為:，普

5冗［［乃

所以“X)在［0,句上的單調(diào)增區(qū)間為—

所以2x<1+ge244

,則COS

~T,7r5

2萬.2,71、2萬._2兀、.2兀

所以cos2y=cos=cos(z27)+—)cos—+sm(z2x+—)sin—

T0

64+36

T-io

18.(2022?海南中學(xué)高三階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(0>O，M<￡|,再從條件①、條件②、條件

③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使/(x)的解析式唯一確定.

⑴求/(x)的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+小+J求g(x)在區(qū)間0,(上的最大值.

條件①："X)的最小正周期為萬；

條件②：/(o)=o；

條件③：/(x)圖象的一條對稱軸為x=(.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【解】(1)選擇條件①②：

2兀

由條件①及已知得T=——=萬，所以。=2.

0)

由條件②f(o)=o,即sine=0,解得e=%r(AeZ).

因?yàn)閨s|<]，所以9=。，

所以〃x)=sin2x,

經(jīng)檢驗(yàn)8=0符合題意.

選擇條件①③：

由條件①及已知得7=2=兀，所以0=2.

co

由條件③得2x；+<p=加+爭處,

解得e=Zcn(Zez),因?yàn)镮rk],

所以夕=0,

所以/(x)=sin2r.若選擇②③：由條件②"0)=0,即sing=0,解得。=%TT(&WZ),

因?yàn)閨同<]，所以8=0,

由條件③得ox；=E+](&eZ),

.?.0=4A+2(AeZ),則/(力的解析式不唯一，不合題意.

⑵由題意得g(X)=sin2x+sin

化簡得g(x)sin2x+sin2xcos—bcos2xsin—

=—sin2xd?—-cos2x=V3sin1<2x4-—^130<x<—,所以工工2工+5工生,

22v6J4663

所以當(dāng)2x+f=W，即x=g時(shí)，g(x)的最大值為百.

626

【素養(yǎng)提升】

1.(2022?上海?華師大二附中模擬預(yù)測)已知x,ywR,則表達(dá)式cos。/cos?y-cos(x)，)()

A.既有最大值，也有最小值B.有最大值，無最小值

C.無最大值，有最小值D.既無最大值，也無最小值

【答案】D

【解析】由cosJ,cosZyepJ,cos(Ay)e[-l,l],易知cos?x+cos。y-cosQy)?[1,3],

同時(shí)，由于打是無理數(shù)，因此當(dāng)cosx=8sy=0時(shí)，cos(xy)11；當(dāng)8s?x=cos2y=1時(shí),cos(xy)'0,故兩端

均不能取得等號.

補(bǔ)充證明：二元表達(dá)式85。+852〉-《?3，)(x,yiR)可以取到任意接近T和3的值，從而該式無最值.

①取x=?r,y=np(”eN*),則cos2x+cos?y-cos3)=2-cos(〃p)

對任意￡>0,由抽屜原理，存在NiN*,使得d=Np-2鱉<e.

再考慮無wN*,使得版(由/的無理性，兩頭都不取等).則〃=利時(shí)，

+1-</<kNp<+'?從而cos(R叩2)?(1,-cos電),cos2x+cos2y-cos(xy)?(2cos劭，3),即證.

②取x=],y=np+^(neN"),則8$。8+cos?y-cos(孫)=-cos^^p7.

對任意￡>0，由抽屜原理，存在NiN?，使得4=：P-2餐<e.

再考慮&€Z,使得〃<-巳<〃+"(不取等的理由同上).

則”=WV時(shí)，2嚼p-d<.p<2嚅P-￡,從而cos鏟：+1吟i(cosW,1),

cos2x+cos2y-cos(孫)？(1cos4?),即證.

故選：D

2.(2022?天津?一模)己知函數(shù)〃x)=-sinx—2binX，關(guān)于x的方程尸(x)+G/(x)-l=0有以下結(jié)論

①當(dāng)”20時(shí)，方程尸(x)+G"x)-1=0在［0,2句最多有3個(gè)不等實(shí)根;

②當(dāng)0?”3時(shí)，方程尸(x)+&/(x)-1=0在［。,2句內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根;

③若方程/2(x)+G〃x)-1=0在［0,6句內(nèi)根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為15萬；

④若方程尸(x)+G/(x)-1=0在［0,6句內(nèi)根的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則所有根之和為36m

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①@B.②④C.①④D.①②③

【答案】A

【解析】依題意，=+：,kwZ,函數(shù)/(幻的值域?yàn)椋?3,0］,

［sinx,2Z乃+7v<x<2KTT+24

由尸(x)+G〃x)_i=o解得：/*)=_而+”,或/(?=叵|［口>()(舍去)，

而.20,令八=一孫史&一1,則方程尸(x)+&/(x)—1=0的根是函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=4

交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

作出函數(shù)y=/(x)在［0,6句的圖象與直線y=力，如圖,

-3sinx,0<x<^

當(dāng)x$[0,2旬R寸，/(x)=,觀察圖象知'

當(dāng)。=0時(shí)，4=-1,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=4有3個(gè)交點(diǎn)，

64

當(dāng)0<。<豆時(shí)，-3<^<-1,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線)，=:有2個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)。=費(fèi)時(shí)，f1=-3,函數(shù)y=,f(x)的圖象與直線丫=吞有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，4<-3,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=4沒有交點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，xe［O,27r］,函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=%的交點(diǎn)可能有3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)、。個(gè)，①正

確，②不正確;

當(dāng)xe[0,6旬時(shí)，函數(shù)y=/(x)在[0,6句的圖象與直線y=4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù),

觀察圖象知,此時(shí)0＜。＜§，-3＜r,＜-1,即直線尸彳與y=f(x)的圖象在[0,乃],[2乃,3m，⑷r,5R上各有

兩個(gè)交點(diǎn)，

它們分別關(guān)于直線x=5,x=與,x=^對稱，這6個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)和即方程6個(gè)根的和為：

2xI+2xT+2xT=157r,③正確，④不正確，

所以所有正確結(jié)論的序號是①③.

故選：A

3.(多選)(2022?山東?德州市教育科學(xué)研究院三模)已知函數(shù)〃x)=sin"-部＞0)圖像的一條對稱

兀

軸和一個(gè)對稱中心的最小距離為三3，則()

4

A.函數(shù)/(%)的最小正周期為3兀

B.將函數(shù)Ax)的圖像向左平移?個(gè)單位長度后所得圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

4

C.函數(shù)/(X)在兀,|兀上為增函數(shù)D.設(shè)g(x)=e?[|x+：)則g(x)在(-10兀,1()兀)內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)

【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意可得工=芷，則7=型=3兀，即0=],A正確；

44co3

f(x)=sin信x-外將函數(shù)f(x)的圖像向左平移；個(gè)單位長度得y==sin|x

136J4|_314)6J3

2

???y=sin：x為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，B正確;

5,.271兀3

.*XG兀，一九貝匕工一片—7U

23O22

???/(幻在?！鲐Ｉ蠟闇p函數(shù)，C錯(cuò)誤；

g(x)=e因Jx+；)=e|v|sinx,則g(—x)=el-A,sin(-x)=-e國sinx=—g(x)

Jg(x)為奇函數(shù)

當(dāng)x20時(shí)，g(x)=exsinx,貝ijg\x)=ex(sinx+cosx)=V2ersin

令，(%)=0,則sin(x+4)=0,即x+=E(攵EN*)

/.x=￡N*)

，

Vxe[O,IO7t),BP0<fat-^<107t(^eN))貝心4k<?(keN*)

%=1,2,3,...,10共10個(gè)

則g(x)在(-10兀,10兀)內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn),D正確;

故選：ABD.

4.(多選)(2022?湖北?襄陽四中模擬預(yù)測)若〃x)[sinx+6cosx|+|Gsinx-cosx|,則下列說法正確的

是()

A.””的最小正周期是]

B.“X)的對稱軸方程為工=等-菅，(ZeZ)

5萬

C.存在實(shí)數(shù)。，使得對任意的xeR,都存在苞,當(dāng)€,0且西二々，滿足

[/(x)]2-qf(x)/(xj+1=0,「=1,2)D.若函數(shù)g(x)=2/(x)+b,xe0,^^,(b是實(shí)常數(shù)),有奇

數(shù)個(gè)零點(diǎn)為,孫…,%,々,+|(〃eN),則西+2(々+$+…+々“)+12用=草

【答案】AD

7T7T

[解析】由題設(shè)/(X)=21sin(x+y)I+21cos(x+y)|,

所以fXx)=4(1+1sin(2x+4)I)=4(1+1cos(2x+g)|),故/(x)=2、1+1cos(2x+勺)|,

36V6

illy=cos2x的最小正周期為萬，則yUcos2x|的最小正周期為￡,

同理丫=2?+(；0$(2%+工)的最小正周期為萬，則的最小正周期為J,A正確：

V62

對于/(X),令2'+看=與，則對稱軸方程為*=今-看且丘Z,B錯(cuò)誤；

對任意x有/⑴?[2,20],BaeR.3x?x2e3,0且x戶吃滿足硝血)=/(x)+為足,述]且

_12」j(X)24

57r

(12),而xe,0的/(x)圖象如下：

yA

所以af(xk)G(2a,\[6a]3(百+D4,2\[ld),則

2a<—(\/3+l)a<—

2或J'

無解,即不存在這樣的a,C錯(cuò)誤:

娓*2缶〉述

44

由g(x)=O可轉(zhuǎn)化為f(x)與y=-1交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而xw0,等卜"(x)圖象如下:

x}+x2_7ix2+x3_5TI曰+%_2)x4+x5_\\n毛+/_7萬x]+x2_VinXy_5/r

2~6'2-a2"T'2一五'2一石'2~~n'2-T

夫+玉_23乃

2~~T29

所以X+2(%十七+...+尤8)+玉=---,D[上確.

故選：AD

5.(多選)(2022?江蘇常州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/。)二|sinx|cosx,xwR,則()

A.函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?1三

22

B.函數(shù)/(x)是一個(gè)偶函數(shù)，也是一個(gè)周期函數(shù)

3乃

C.直線x是函數(shù)/W的一條對稱軸

D.方程f(x)=log/有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】ABD

【解析】顯然,/(-x)Hsin(-x)|cos(-x)=|sinx|cosx=f(x),即函數(shù)/(x)是偶函數(shù),

又/(x+2;r)=|sin(x+2乃)|cos(x+2%)=|sinx|cosx=/(x),函數(shù)是周期函數(shù)，2乃是它的一個(gè)周期，B

正確；

當(dāng)OWxW兀時(shí)，0<2X<2TT,/(x)=sinxcosx=；；sin2x的最小值為,最大值為］,

即當(dāng)OWxW萬時(shí)，f(x)的取值集合是［-!目，因是偶函數(shù)，則當(dāng)-%4x40時(shí)，/(x)的取值集合是

;因此，當(dāng)f4x4萬時(shí)，/(x)的取值集合是［-,而2乃是/(x)的周期，所以xeR,/(?*)的

值域?yàn)?A正確；

因f亨=g，/年)=~，即函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)(衿關(guān)于直線x=今的對稱點(diǎn)年,g)不在此函數(shù)圖

象上，C不正確；

因當(dāng)x>2時(shí)，恒有l(wèi)og’》〉!成立，而了⑶的值域?yàn)榉匠蹋?/p>