專題2-4瓜豆軌最值模型：為什么我們喜歡手拉手（直線與曲線）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【例題1】三種處理策略【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問題【瓜豆圓介紹】題型一軌跡為直線型·構(gòu)造中位線求2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模題型二軌跡為直線型·構(gòu)造手拉手經(jīng)典例題·宿遷中考2023·黑龍江綏化·中考真題2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題2023·西安市交通大學(xué)附屬中學(xué)初三月考題型三軌跡為直線型·將軍飲馬加權(quán)線段和問題題型四軌跡為圓弧型·構(gòu)造中位線2023·山東泰安·中考真題題型五軌跡為圓弧型·構(gòu)造手拉手2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題2022沈陽中考2022·鹽城市一模2023·深圳外國語學(xué)校中考模擬題型六路徑相關(guān)問題2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題2023·海南·統(tǒng)考中考真題題型七當(dāng)線段最小值時(shí)求其它量2022·廣東廣州·中考真題2023·四川·廣元中考真題初中階段如遇求軌跡長度僅有2種類型：“直線型”和“圓弧型”（兩種類型中還會(huì)涉及點(diǎn)往返探究“往返型”），對(duì)于兩大類型該如何斷定，通常老師會(huì)讓學(xué)生畫圖尋找3處以上的點(diǎn)來確定軌跡類型進(jìn)而求出答案，對(duì)于填空選擇題而言不外乎是個(gè)好方法，但如果要進(jìn)行說理很多考生難以解釋清楚一、我們先來解釋一下瓜豆原理：定角定比，主從聯(lián)動(dòng)瓜豆原理：一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)從動(dòng)點(diǎn)（根據(jù)某種約束條件，跟著主動(dòng)點(diǎn)動(dòng)），當(dāng)主動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同．只要滿足：則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡長度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。則兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是相似的，運(yùn)動(dòng)軌跡長度的比和它們到定點(diǎn)的距離比相同。1、兩“動(dòng)”，一“定”2、兩動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線夾角是定角3、兩動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比值是定值【例題1】三種處理策略如圖，D、E是邊長為4的等邊三角形ABC上的中點(diǎn)，P為中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，把線段PC繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到P’，EP’的最小值【分析】結(jié)合這個(gè)例題我們?cè)賮硎煜ひ幌鹿隙鼓Ｐ偷谝粚樱狐c(diǎn)P’運(yùn)動(dòng)的軌跡是直線嗎？答：是直線，可以通過P在A，D時(shí)，即始末位置時(shí)P’對(duì)應(yīng)的位置得到直線軌跡，對(duì)于選填題，可找出從動(dòng)點(diǎn)的始末位置，從而快速定位軌跡，若要說理則需要構(gòu)造手拉手證明.第二層：點(diǎn)P’的運(yùn)動(dòng)長度和點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)長度相同嗎？ 答：因?yàn)辄c(diǎn)P’與點(diǎn)P到定點(diǎn)C的距離相等，則有運(yùn)動(dòng)路徑長度相等，若要說理則同樣需要構(gòu)造手拉手結(jié)構(gòu)，通過全等證明.第三層：手拉手模型怎么構(gòu)造？答：以旋轉(zhuǎn)中心C為頂點(diǎn)進(jìn)行構(gòu)造，其實(shí)只要再找一組對(duì)應(yīng)的主從點(diǎn)即可，簡單來說就是從P點(diǎn)的軌跡即線段AD中再找一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行與P點(diǎn)類似的的旋轉(zhuǎn)，比如把線段AD中的點(diǎn)A繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，即為點(diǎn)B，連接BP’即可得到一組手拉手模型，雖然前面說是任意點(diǎn)，但一般來說我們選擇一個(gè)特殊位置的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)位置也是比較容易確定的，比如說點(diǎn)D進(jìn)行旋轉(zhuǎn)也是比較方便． 第四層：分析∠CAP和∠CBP’ 答：由全等可知∠CAP＝∠CBP’，因?yàn)锽為定點(diǎn)，所以得到P’軌跡為直線BP’第五層：點(diǎn)P和點(diǎn)P’軌跡的夾角和旋轉(zhuǎn)角的關(guān)系答：不難得出本題主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，要注意的是如果旋轉(zhuǎn)角是鈍角，那么主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)軌跡的夾角等于旋轉(zhuǎn)角的補(bǔ)角，這個(gè)在后面的例題中會(huì)出現(xiàn).大氣層：前面提到，如果是選填題，可以通過找從動(dòng)點(diǎn)的始末位置快速定位軌跡線段，或者通過構(gòu)造手拉手，通過全等或相似得出相等角然后得出軌跡，這兩種方法都是先找出從動(dòng)點(diǎn)P’的軌跡，再作垂線段并求出垂線段的長得到最小值，那么還有其他方法嗎？答：還可以對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)來構(gòu)造手拉手模型，從而代換所求線段，構(gòu)造如下．將點(diǎn)EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，構(gòu)造手拉手模型(SAS全等型)，從而得到P’E＝PG，最小值即為點(diǎn)G到AD的距離． 要注意的是因?yàn)橐鷵QP’E，所以E點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)方式應(yīng)該是從P’P，所以是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，求軌跡時(shí)的旋轉(zhuǎn)方式則是PP’，注意區(qū)分.解析策略一：找從動(dòng)點(diǎn)軌跡連接BP’，由旋轉(zhuǎn)可得，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠PCP’，∴△ACP≌△BCP’(SAS)，∴∠CBP’＝∠CAP，∵邊長為4的等邊三角形ABC中，P是對(duì)稱軸AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴∠CAP＝30°，BD＝2，∴∠CBP’＝30°，即點(diǎn)P’的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線BP’，∴當(dāng)DP’⊥BP’時(shí)，EP’最短，此時(shí)，EP’＝EQ\F(1,2)BD+ED＝+2＝3∴EP’的最小值是3策略二：反向旋轉(zhuǎn)關(guān)鍵點(diǎn)構(gòu)造手拉手代換所求線段將點(diǎn)E繞C點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)G，連接PG，CG，EP’由旋轉(zhuǎn)可得EC＝CG，CP＝CP’，∠P’CP＝60°，∠ECG＝60°，∴△ECG是等邊三角形，EG＝2∵∠PCP’＝∠ECG∴∠PCG＝∠ECP’∴△GCP≌△ECP’(SAS)，∴EP’＝GP，過點(diǎn)G作AD的垂線GH垂足為H，GH即為所求．∵∠GEC＝∠ACD∴HE∥DC∵∠GHD＝∠ADC∴HG∥DC故G，E，H三點(diǎn)共線，則有HE∥DC又E是AC中點(diǎn)，分線段成比例可知H是AD中點(diǎn)∴HE＝∴EP’的最小值是3總共提到了3種處理方式：1.找始末，定軌跡2.在軌跡上找一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造手拉手模型，再通過角度相等得到從動(dòng)點(diǎn)軌跡.3.反向旋轉(zhuǎn)相關(guān)定點(diǎn)，構(gòu)造手拉手模型，代換所求線段，即逆向構(gòu)造.【例題2】飲馬類瓜豆與加權(quán)線段和問題已知點(diǎn)，點(diǎn)B是直線y＝－2上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BC.角度1：反向旋轉(zhuǎn)構(gòu)造手拉手（不用求從動(dòng)點(diǎn)軌跡，直接轉(zhuǎn)換為垂線段最短）（1）求OC的最小值【簡析】如圖，構(gòu)造等腰直角△AOE，由旋轉(zhuǎn)相似可知角度2：構(gòu)造手拉手求從動(dòng)點(diǎn)軌跡（2）求的最小值【簡析】，求出C點(diǎn)軌跡，再將軍飲馬，如圖，在B點(diǎn)軌跡上取一點(diǎn)，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似，易知，可知C點(diǎn)軌跡為，作，，補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)三邊之比 角度3：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似求加權(quán)線段和（3）記，①求的最小值；②求的最小值【簡析】①由旋轉(zhuǎn)相似可知，則②，補(bǔ)充：此時(shí)加權(quán)線段和對(duì)應(yīng)相似比【瓜豆圓介紹】如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)。當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？【分析】觀察動(dòng)圖可知點(diǎn)Q軌跡是個(gè)圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點(diǎn)始終為AP中點(diǎn)，連接AO，取AO中點(diǎn)M，則M點(diǎn)即為Q點(diǎn)軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小結(jié)】確定Q點(diǎn)軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點(diǎn)共線，由Q為AP中點(diǎn)可得：AM=AO．Q點(diǎn)軌跡相當(dāng)于是P點(diǎn)軌跡成比例縮放．根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系分析圓心的相對(duì)位置關(guān)系；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系．題型一軌跡為直線型·構(gòu)造中位線求2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模如圖所示，，，以為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形，連接并延長至點(diǎn)P，使，則長的取值范圍為________．題型二軌跡為直線型·構(gòu)造手拉手經(jīng)典例題·宿遷中考如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為．如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，，求的最小值．

【思路點(diǎn)撥】將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，作等邊，根據(jù)手拉手模型可知，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)時(shí)，的值最小，利用勾股定理求解即可求解．（2023·洛陽·二模）如圖，在中，，，對(duì)稱軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，連接，則長的最小值為．

（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，P是的高上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以B點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心把線段逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最小值是．2023·黑龍江綏化·中考真題如圖，是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)為高上的動(dòng)點(diǎn)．連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．連接，，，則周長的最小值是．

（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，把線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是．

2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則．

如圖，在中，，，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，則線段的最小值是．

2023·西安市交通大學(xué)附屬中學(xué)初三月考如圖，矩形中，，，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接和，則的最小值為．

如圖，矩形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，將線段繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接（1）當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，線段的長是；（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的最小值是．如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn),連接DP,將直線DP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使∠1=∠2,且過點(diǎn)D作DG⊥PG,連接CG.則CG最小值為如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則CG的最小值為．【變式訓(xùn)練】雙動(dòng)點(diǎn)如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，連接EF，以EF為底向右側(cè)作等腰直角△EFG，連接CG，則AG的最小值為．題型三軌跡為直線型·將軍飲馬加權(quán)線段和問題如圖，在矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，則的最小值是．如圖，已知∠CAB＝30°，AB＝2，點(diǎn)D在射線AC上，以BD為邊作正方形BDEF，連接AE、BE，則AE＋BE的最小值為___________．CCABDEF如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，P是直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以MP為邊在MP右側(cè)作RtMPQ，且PM＝PQ，連結(jié)AM，AQ，則AMQ周長的最小值為________．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，點(diǎn)E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊向右作直角三角形CEF，使∠CEF＝90°，∠CFE＝30°，連接BE，BF，求BE＋的最小值．AADBCEF20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到AQ，連接OQ，PQ，求＋PQ的最小值．xxyOAPQ題型四軌跡為圓弧型·構(gòu)造中位線（2023·周口·三模）如圖，正方形的邊長是8，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)F是線段上不與點(diǎn)D，E重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)G是線段的中點(diǎn)，則線段的最小值為．

2023·山東泰安·中考真題如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的一條直角邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為；中，，連接，點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接．將以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值是（

）

A．3 B． C． D．2如圖，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，連接，則的最大值為A． B． C． D．如圖，在半徑為4的中，弦，B是上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），D是的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，則的最大值為．

題型五軌跡為圓弧型·構(gòu)造手拉手2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題如圖，是正方形邊的中點(diǎn)，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，線段以為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，，則的最小值為．

2022沈陽中考如圖，在△ABC中，AB＝8，AC＝，將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是_________．DDABC如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，∠APB＝90°，連接DP，將線段DP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DQ，連接AQ，若AB＝2，則線段AQ的最大值為___________．AADBCPQ2022·鹽城市一模如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），以B點(diǎn)為圓心，2長為半徑的圓交軸于C、D兩點(diǎn)，若P是⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，以PA為一直角邊作Rt△PAQ，使得，連接DQ，則DQ的最小值為

2023·深圳外國語學(xué)校中考模擬如圖，已知正方形的邊長為4，以點(diǎn)A為圓心，2為半徑作圓，E是上的任意一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)并縮短到原來的一半，得到線段，連接，則的最小值是．

如圖，，為的中點(diǎn)，的半徑為1，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊的等腰直角三角形（點(diǎn)、、按逆時(shí)針方向排列），則線段的長的取值范圍為．如下圖，在正方形中，，點(diǎn)是以為直徑的圓上的點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最大值與最小值的和．

題型六路徑相關(guān)問題2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O（如圖1），如果繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與邊相交于點(diǎn)E、F（如圖2），連接EF，那么在點(diǎn)E由B到A的過程中，線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是（

）A．線段 B．圓弧 C．折線 D．波浪線2023·海南·統(tǒng)考中考真題如圖，在正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且，點(diǎn)P為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，交射線于點(diǎn)F，則．若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為．

如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，以CE為邊在CE的右側(cè)構(gòu)造正方形CEFG，連接