2021-2022中考數(shù)學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

2（?！獂）>—X—4,

a?l-x

1.如果關于x的分式方程---3=—有負分數(shù)解，且關于x的不等式組<3x+4,的解集為x<-2,那

x+lX+1-----<X+1

I2

么符合條件的所有整數(shù)a的積是（）

A.-3B.0C.3D.9

_5

2.若x=-2是關于x的一兀二次方程X2-]"+"2=0的一個根，則a的值為（）

A.1或4B.-1或一4C.-1或4D.1或一4

3.如圖所示,正方形ABCD的面積為12,△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P,使

PD+PE的和最小，則這個最小值為（）

A.273B.2C.3D.4

1111

gT百存+[中+…+產⑼的整數(shù)部分是（）

A.3B.5C.9D.6

5.若等式x2+or+19=（x-5）2-b成立，則的值為（）

A.16B.-16C.4D.-4

6.如圖是一個由5個相同的正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

需

/

7.如圖，A,B是半徑為1的。。上兩點，且。AJ_。優(yōu)點尸從點A出發(fā)，在。。上以每秒一個單位長度的速度勻速

運動，回到點A運動結束，設運動時間為x（單位：s）,弦的長為y,那么下列圖象中可能表示y與x函數(shù)關系的

是（）

8.下列四個式子中，正確的是（）

A.回=±9B.-J（_6?=6C.（72+>/3）2=5D.j6^=4

9.一、單選題

在某?！拔业闹袊鴫簟毖葜v比賽中，有7名學生參加了決賽，他們決賽的最終成績各不相同.其中的一名學生想要知道

自己能否進入前3名，不僅要了解自己的成績，還要了解這7名學生成績的（）

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

10.如圖，二次函數(shù)丫=2*2+6*的圖象開口向下，且經過第三象限的點P.若點P的橫坐標為-1,則一次函數(shù)

y=（a—b）x+b的圖象大致是（）

11.分解因式：X2y-xy2=,

12.如圖，在正六邊形ABC0E/的上方作正方形AFGH,聯(lián)結GC,那么/GCO的正切值為

x-4>-3

⑶不等式組4x〉2的解集為

14.在平面直角坐標系中，如果點P坐標為（m,n）,向量爐可以用點P的坐標表示為歷=（m,n）,已知：04=

（Xryj,0B=（x2,y2）,如果x/Xz+y/y?：。，那么。5與。至互相垂直，下列四組向量：①。。=（2,1）,OD=

（-1,2）；②9=（cos30°,tan45°）,赤=（-1,sin60°）；③（群-戶，-2）,0H=（小他,|）；

?0C=（no,2）,0N=（2,-1）.其中互相垂直的是______（填上所有正確答案的符號）.

15.定義：直線L與％相交于點O,對于平面內任意一點M,點M到直線1],%的距離分別為P、q，則稱有序實數(shù)

對（p,q）是點M的“距離坐標”.根據(jù)上述定義，“距離坐標”是（1,2）的點的個數(shù)共有個.

16.如圖，把^ABC繞點C按順時針方向旋轉35°,得到△AB'C,A，B，交AC于點D,若/A，DC=90。，則/A=°

17.在由乙猜甲剛才想的數(shù)字游戲中，把乙猜的數(shù)字記為b且，a,b是0,1,2,3四個數(shù)中的其中某一個，若1a-

b|<l則稱甲乙”心有靈犀”.現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖，已知AB是。O的直徑，點C、D在。O上，點E在。。外，ZEAC=ZD=60°.求NABC的度數(shù);

B

求證：AE是。O的切線；當BC=4時，求劣弧AC的長.\

AE

19.（5分）已知，如圖，8。是NABC的平分線，AB=BC,點P在BD上,PM1AD,PN1CD,垂足分別

是M、N.試說明：PM=PN.

A.

D

20.（8分）（8分）如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，直線AB分別與x軸、y軸交于B和A,與反比例函數(shù)的

圖象交于C、D,CE_Lx軸于點E,tanZABO=l,OB=4,OE=1.

2

（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式；

（1）求^OCD的面積.

21.（10分）如圖所示，在RtZXABC中，NACB=90°,用尺規(guī)在邊BC上求作一點P,使P4=P5；（不寫作法,

保留作圖痕跡）連接AP當NB為多少度時，AP平分NC4B.

22.（10分）如圖，在AABC中，N氏4c=90。，AO,3c于點O,B尸平分NABC交AO于點E,交AC于點尸，求

證：AE=AF.

23.（12分）如圖，AB是半徑為2的。。的直徑，直線，與A3所在直線垂直，垂足為C,OC=3,尸是圓上異于A、

5的動點，直線AP、5尸分別交，于M、N兩點.

（1）當乙4=30。時，MN的長是；

（2）求證：MOCN是定值；

（3）MN是否存在最大或最小值，若存在，請寫出相應的最值，若不存在，請說明理由；

（4）以MN為直徑的一系列圓是否經過一個定點，若是，請確定該定點的位置，若不是，請說明理由.

24.（14分）如圖，半圓0的直徑A5=5cm,點M在A3上且AM=lc/n,點尸是半圓。上的動點，過點〃作BQLPM

交PM（或PM的延長線）于點0.PM=xcm,BQ=yc/?.（當點尸與點A或點8重合時，y的值為0）小石根據(jù)學

習函數(shù)的經驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面是小石的探究過程，請補充完整:

（1）通過取點、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表:

x/cm11.522.533.54

ylem03.7—3.83.32.5—

（2）建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數(shù)的圖象；

（3）結合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當3。與直徑AB所夾的銳角為60。時，PM的長度約為cm.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、D

【解析】

2(a—x)N—x—4(J)

解：｛3x+4/，由①得：xW%+4，由②得：xV-2,由不等式組的解集為x<-2,得到2a+4N-2,即色

-------<x+[②

I2

7

-3,分式方程去分母得：a-3*-3=l-x,把a=-3代入整式方程得：-3x-6=l-x,即》=一爹，符合題意；

把a=-2代入整式方程得：-3x-5=1-X,即x=-3,不合題意；

5

把a=-1代入整式方程得：-3x-4=l-x,即x=-符合題意；

把a=0代入整式方程得：-3x-3=l-x,即x=-2,不合題意；

3

把a=l代入整式方程得：-3x-2=l-x,即x=-],符合題意；

把a=2代入整式方程得：-3x-l=l-x,即x=l,不合題意；

把a=3代入整式方程得：-3x=l-x,即x=-；,符合題意；

把a=4代入整式方程得：-3x+l=l-x,即x=0,不合題意，.?.符合條件的整數(shù)a取值為-3；-1；1；3,之積為1.故

選D.

2、B

【解析】

5

試題分析：把x=-2代入關于x的一元二次方程X2--ax+a2=0

即：4+5a+a2=0

解得：a=-l或-4,

故答案選B.

考點：一元二次方程的解；一元二次方程的解法.

3、A

【解析】

連接BD,交AC于O,

?.?正方形ABCD,

；.OD=OB,AC1BD,

...D和B關于AC對稱，

則BE交于AC的點是P點，此時PD+PE最小，

?.,在AC上取任何一點(如Q點)，QD+QE都大于PD+PE(BE),

此時PD+PE最小，

此:時PD+PE=BE,

:正方形的面積是12,等邊三角形ABE,

.*.BE=AB=g=23

即最小值是2部，

故選A.

D

BC

【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，軸對稱-最短路線問題等知識點的應用，關鍵是找出PD+PE

最小時P點的位置.

4、C

【解析】

脩,??&+亞=&八播一3…曬+師=-炳+師，.?.原式=#-1+/-艱+…-

5/99+VlOO=-1+10=1.故選C.

5、D

【解析】

分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多項式相等的條件求出a與b的值，即可求出a+b的值.

詳解：已知等式整理得：x2+ax+19=(x-5)2-b=x2-10x+25-b,

NJ得a=-10,b=6,

則a+b=-10+6=-4,

故選D.

點睛：此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

6、C

【解析】

根據(jù)俯視圖的概念可知，只需找到從上面看所得到的圖形即可.

【詳解】

解：從上面看易得：有2列小正方形，第1列有2個正方形，第2列有2個正方形，故選C.

【點睛】

考查下三視圖的概念；主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形;

7、D

【解析】

分兩種情形討論當點尸順時針旋轉時，圖象是③，當點P逆時針旋轉時，圖象是①，由此即可解決問題.

【詳解】

分兩種情況討論：①當點P順時針旋轉時，BP的長從JT增加到2,再降到0,再增加到戶，圖象③符合；

②當點尸逆時針旋轉時，BP的長從J萬降到0,再增加到2,再降到"，圖象①符合.

故答案為①或③.

故選D.

【點睛】

本題考查了動點問題函數(shù)圖象、圓的有關知識，解題的關鍵理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常

考題型.

8、D

【解析】

A、褥T表示81的算術平方根；B、先算.6的平方,然后再求-736的值;C、利用完全平方公式計算即可；D、］6：=廓?

【詳解】

A、聞=9,故A錯誤；

B、-^（-6>=-736=-6,故B錯誤；

C、（JT+JT）2=2+2#+3=5+2#,故C錯誤；

D、］6：=>/而=4，故D正確.

故選D.

【點睛】

本題主要考查的是實數(shù)的運算，掌握算術平方根、平方根和二次根式的性質以及完全平方公式是解題的關鍵.

9、C

【解析】

由于其中一名學生想要知道自己能否進入前3名，共有7名選手參加，故應根據(jù)中位數(shù)的意義分析.

【詳解】

由于總共有7個人，且他們的成績各不相同，第4的成績是中位數(shù)，要判斷是否進入前3名，故應知道中位數(shù)的多少.

故選C,

【點睛】

此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義.反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、

中位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當?shù)倪\用.

10、D

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以判斷a、b、a-b的正負情況，從而可以得到一次函數(shù)經過哪幾個象限，觀察各選

項即可得答案.

【詳解】由二次函數(shù)的圖象可知，

a<0,b<0,

當x=-l時，y=a-b<0,

.?.y=（a-b）x+b的圖象經過二、三、四象限，

觀察可得D選項的圖象符合，

故選D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)的圖象與性質，認真識圖，會用函數(shù)的思想、數(shù)形結合

思想解答問題是關鍵.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

11、xy（x-y）

【解析】

原式RJ（X-J）.

故答案為孫（X~J）.

12、6+1

【解析】

延長GF與CD交于點D,過點E作EMDF交DF于點M,設正方形的邊長為。，則CD=GF=DE=a,解直角

三角形可得?？?根據(jù)正切的定義即可求得NGCO的正切值

【詳解】

延長GF與CD交于點D,過點E作EM，交DF于點M,

H

設正方形的邊長為。，則CO=GF=￡?E=a,

AFUCD,

NCDG=ZAFG=90,

ZEDM=120—90=30,

/T

DM=DE-cos30=*-a,

2

DF=2DM=底，

DG=GF+FD=a+邪a=+1X,

GDG+「

tanNGCD=J=-----------=J3+1.

CDa'

故答案為：/+i.

【點睛】

考查正多邊形的性質，銳角三角函數(shù)，構造直角三角形是解題的關鍵.

13、x>l

【解析】

分別解出兩不等式的解集再求其公共解.

【詳解】

x-4>-3①

'4x>2②

由①得：x>l

_1

由②得：x>]

x■—4>-3

?,?不等式組V/。的解集是X>1.

4x>2

【點睛】

求不等式的解集須遵循以下原則：同大取較大，同小取較小.小大大小中間找，大大小小解不了.

14、①③④

【解析】

分析：根據(jù)兩個向量垂直的判定方法一一判斷即可;

詳解：①'"xl-1)+卜2=0,

.?.0C與。力垂直；

②：cos30xl+tan45-sin60_+=J3,

22、

...OE與蘇不垂直.

③...(73-V2)^3+V2)+(-2)xl=0,

與兩垂直.

④：兀ox2+2x(-1)=0,

二次與兩垂直.

故答案為:①③④.

點晴：考查平面向量，解題的關鍵是掌握向量垂直的定義.

15、4

【解析】

根據(jù)“距離坐標”和平面直角坐標系的定義分別寫出各點即可.

【詳解】

距離坐標是(1,2)的點有(12)，(-1,2),(-1,-2),(1,-2)共四個，所以答案填寫4.

【點睛】

本題考查了點的坐標，理解題意中距離坐標是解題的關鍵.

16、55.

【解析】

試題分析：?.?把△ABC繞點C按順時針方向旋轉35。，得到△A，B，C

：./ACA占35。，ZA=ZA\.

VZA,DC=90°,

/A'=55°.

ZA=55°.

考點：1.旋轉的性質；2.直角三角形兩銳角的關系.

5

17、

8

【解析】

m

利用P(A)=-,進行計算概率.

n

【詳解】

從0,1,2,3四個數(shù)中任取兩個則la-b|O的情況有0,0；1,1；2,2；3,3；0,1；1,0；1,2；2,1；2,3；3,

105

2；共10種情況，甲乙出現(xiàn)的結果共有4x4=16,故出他們“心有靈犀”的概率為可二6

1Oo

5

故答案是：6.

O

【點睛】

本題考查了概率的簡單計算能力，是一道列舉法求概率的問題，屬于基礎題，可以直接應用求概率的公式.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

8兀

18、(1)60。;⑵證明略;(3)§

【解析】

(1)根據(jù)/ABC與ND都是劣弧AC所對的圓周角，利用圓周角定理可證出/ABC=/D=60。；

(2)根據(jù)AB是。O的直徑，利用直徑所對的圓周角是直角得到NACB=90。，結合NABC=60。求得/BAC=30。，從而

推出NBAE=90。，即OA_LAE,可得AE是。O的切線；

(3)連結OC,證出△OBC是等邊三角形，算出NBOC=60。且。O的半徑等于4,可得劣弧AC所對的圓心角

ZAOC=120°,再由弧長公式加以計算，可得劣弧AC的長.

【詳解】

(1)ABC與/D都是弧AC所對的圓周角，

.".ZABC=ZD=60°；

(2)AB是AO的直徑,

..ZACB=90°.

/.ZBAC=30°,

ZBAE=ZBAC+ZEAC=30o+60°=90°,

即BA±AE,

；.AE是。O的切線；

(3)如圖，連接OC,

B

VOB=OC,ZABC=60°,

AOBC是等邊三角形，

；.OB=BC=4,ZBOC=60°,

.".ZAOC=120°,

120TI/?12071.4871

劣弧AC的長為180=180=3

【點睛】

本題考查了切線長定理及弧長公式，熟練掌握定理及公式是解題的關鍵.

19、見詳解

【解析】

根據(jù)角平分線的定義可得NABD=/CBD,然后利用“邊角邊”證明△ABD和^CBD全等，根據(jù)全等三角形對應角相等

可得/ADB=NCDB,然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可.

【詳解】

證明：：BD為NABC的平分線，

/.ZABD=ZCBD,

在4ABD和4CBD中,

AB=BC

?NABD=NCBD

BD=BD

..△ABD^ACBD(SAS),

.".ZADB=ZCDB,

.?點P在BD上，PM±AD,PN1CD,

.\PM=PN.

【點睛】

本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，確定出全等三角形并得到

ZADB=ZCDB是解題的關鍵.

1c6

20、(1)y=--x+2,y=-—；(1)2.

2x

【解析】

試題分析：（1）先求出A、B、C點坐標，用待定系數(shù)法求出直線AB和反比例的函數(shù)解析式；

（1）聯(lián)立一次函數(shù)的解析式和反比例的函數(shù)解析式可得交點D的坐標，從而根據(jù)三角形面積公式求解.

AOCE1

試題解析：（1）VOB=4,OE=1,；.BE=l+4=3.；CE_Lx軸于點E,tanZABO=—=—=-,；.OA=1,CE=3,

BOBE2

.?.點A的坐標為（0,1）、點B的坐標為C（4,0）、點C的坐標為（-1,3）,設直線AB的解析式為y=Ax+b,

b—2k=——1m

則,c，解得：\2,故直線AB的解析式為y=-K》+2,設反比例函數(shù)的解析式為y=—（相。0）,

4女+〃=0,.2x

i[o=2

in6

將點C的坐標代入，得3二、，??.m=-3.，該反比例函數(shù)的解析式為y二一一；

-2x

6

y=—―

X

（1）聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式可得J；，可得交點D的坐標為（3,-1）,則ABOD

y=--x+2

[2

的面積=4xl+l=l,△BOD的面積=4x3+l=3,故△OCD的面積為1+3=2.

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

21、（1）詳見解析;（2）30°.

【解析】

（1）根據(jù)線段垂直平分線的作法作出AB的垂直平分線即可；

（2）連接PA,根據(jù)等腰三角形的性質可得/R鉆=/8,由角平分線的定義可得NP46=NPAC,根據(jù)直角三角

形兩銳角互余的性質即可得/B的度數(shù)，可得答案.

【詳解】

_1

（1）如圖所不：分別以A、B為圓心，大于2AB長為半徑圓弧,兩弧相交于點E、F,作直線EF,交BC于點P,

：EF為AB的垂直平分線，

：.PA=PB,

點P即為所求.

以

（2）如圖，連接AP,

?；PA=PB,

ZPAB=ZB,

：AP是角平分線，

NPAB=ZPAC,

NPAB=APAC=ZB,

ZACB=90°,

ZPAC+ZPAB+ZB=90°,

.*.3ZB=90o,

解得:ZB=30°,

當NB=30°時，AP平分ZCAB.

本題考查尺規(guī)作圖，考查了垂直平分線的性質、直角三角形兩銳角互余的性質及等腰三角形的性質，線段垂直平分線

上的點到線段兩端的距離相等；熟練掌握垂直平分線的性質是解題關鍵.

22、見解析

【解析】

根據(jù)角平分線的定義可得NABF=NCBF,由已知條件可得/ABF+NAFB=NCBF+NBED=90。，根據(jù)余角的性質可得

ZAFB=ZBED,即可求得NAFE=NAEF,由等腰三角形的判定即可證得結論.

【詳解】

VBF平分/ABC,

:.ZABF=ZCBF,

VZBAC=90°,AD±BC,

:.ZABF+ZAFB=ZCBF+ZBED=90°,

/.ZAFB=ZBED,

VZAEF=ZBED,

/.ZAFE=ZAEF,

.\AE=AF.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性質，根據(jù)余角的性質證得/AFB=/BED是解題的關鍵.

23、(1)得-；(2)MONC=5；(3)a+)的最小值為2J??；(4)以MN為直徑的一系列圓經過定點￡),此定點。

在直線AB上且CD的長為.

【解析】

(1)由題意得4。=。5=2、0C=3、4c=5、BC=1,根據(jù)MC=ACtan/A=些、CN=—"?，==JT可得答

3tanNBNC

案；

MCAC

(2)證△ACMsaNCB得罰=擊，由此即可求得答案；

oC/VC

(3)設MC=Q、NC=b,由⑵知必=5,由P是圓上異于A、8的動點知Q＞0,可得。=怖(。＞0),根據(jù)反比例函數(shù)的

性質得不存在最大值，當a=/＞時，4+6最小，據(jù)此