渦旋運(yùn)動(dòng)的基本概念和渦量輸運(yùn)方程流體運(yùn)動(dòng)中速度環(huán)量的變化對(duì)于理想正壓流體，體積力有勢(shì)，則沿任一封閉物質(zhì)線的速度環(huán)量和通過(guò)任一物質(zhì)面的渦通量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恒不變，稱此為開爾文(Kelvin)定理渦旋運(yùn)動(dòng)的基本概念和渦量輸運(yùn)方程Kelvin定理的推論(Lagrange渦保持定理)：理想正壓流體，體積力有勢(shì)，如果初始時(shí)刻在某部分流體是無(wú)旋的，則在以前或以后任一時(shí)刻中這部分流體始終無(wú)旋；反之，若初始時(shí)刻該部分流體是有旋的，則在以前或以后任一時(shí)刻中，這部分流體始終有旋。我們稱之為漩渦不生不滅定理。渦面保持定理：理想流體正壓、體積力有勢(shì)時(shí)，則在某時(shí)刻組成渦面的流體質(zhì)點(diǎn)在前一或后一時(shí)刻也永遠(yuǎn)組成渦面。證明：設(shè)初始時(shí)刻t=t0

，流體中有一渦面，在渦面上任取一面積S，則通過(guò)S的渦通量，在以前及以后任一時(shí)刻，組成渦面S流體質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成面S*，根據(jù)Kelvin定理，有。由于S的任意性，有，即在面S*上，，即S*為渦面。同理可證，渦管保持定理：理想流體正壓、體積力有勢(shì)時(shí)，則在某時(shí)刻組成渦管的流體質(zhì)點(diǎn)在前一或后一時(shí)刻也永遠(yuǎn)組成渦管。渦旋運(yùn)動(dòng)的基本概念和渦量輸運(yùn)方程渦線保持定理：理想流體是正壓的，體積力有勢(shì)，則在某時(shí)刻組成渦線的流體質(zhì)點(diǎn)在前一或后一時(shí)刻也永遠(yuǎn)組成渦線。證明：由于渦線可視為兩個(gè)渦面的交線，由渦面保持定理可推出渦線保持定理?？梢姡硐肓黧w正壓、體積力有勢(shì)時(shí)，渦面、渦管、渦線都具有保持性，它們通常稱為亥姆霍茲第一定理。證明：由開爾文(Kelvin)定理：渦管強(qiáng)度即可證渦管的強(qiáng)度在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持不變。亥姆霍茲渦管強(qiáng)度保持定理(亥姆霍茲第二定理)：理想正壓流體，體積力有勢(shì)，則任何渦管的強(qiáng)度在運(yùn)動(dòng)的全部時(shí)間內(nèi)保持不變。渦旋運(yùn)動(dòng)的基本概念和渦量輸運(yùn)方程【例5-4】對(duì)無(wú)粘性密度為常值的流體，在體力有勢(shì)條件下作定常運(yùn)動(dòng)，試證明：(a)若做平面運(yùn)動(dòng)，則沿流線，渦量保持不變；(b)若做的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，則沿流線，保持不變。證明

(a)在平面運(yùn)動(dòng)中，滿足

在流動(dòng)平面(xy平面)上任取一小流管，如圖，并在此流管中作面積為A1微元的渦管(注意現(xiàn)在的渦管是和xy平面垂直的)。由于定常運(yùn)動(dòng)，跡線和流線是一致的，在某一時(shí)刻t，組成流管的微元沿流線運(yùn)動(dòng)到2處，面積為A2，根據(jù)亥姆霍茲渦管強(qiáng)度保持定理，有由于微元和時(shí)間t的任意性，可以推導(dǎo)出沿流線保持不變。其中分別為截面上的渦量，根據(jù)連續(xù)性方程，有渦旋運(yùn)動(dòng)的基本概念和渦量輸運(yùn)方程(b)若做的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，則，于是渦量這說(shuō)明渦的方向是方向，即與子午面(rz平面)是垂直的，在子午面上任取一小流管，如圖，在流管中做截面積為的渦管(是半徑為的環(huán)狀管)，由于定常運(yùn)動(dòng)，此微元渦管隨流體質(zhì)點(diǎn)沿流管運(yùn)動(dòng)，在某一時(shí)刻t，組成流管的微元沿流線運(yùn)動(dòng)到2處，構(gòu)成截面積為的渦管，根據(jù)亥姆霍茲渦管強(qiáng)度保持定理，有其中分別為截面上的渦量，根據(jù)連續(xù)性方程，有由于微元和時(shí)間t的任意性，可以推導(dǎo)出沿流線保持不變。渦旋運(yùn)動(dòng)的基本概念和渦量輸運(yùn)方程(b)若做的軸對(duì)稱運(yùn)動(dòng)，則，于是渦量

(1)在平面運(yùn)動(dòng)中，滿足

作業(yè)5.1求下列流場(chǎng)的渦量場(chǎng)和渦線。(1)