第二講平面向量★知識(shí)梳理一、根本概念：1、向量的概念：既有大小又有方向的量〔注意向量和數(shù)量的區(qū)別〕2、零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作：〔注意零向量的方向是任意的〕3、單位向量：長(zhǎng)度為1的向量提醒：1〕假設(shè)是單位向量，那么2〕與共線的單位向量是)4、相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量〔〕5、平行向量〔也叫共線向量〕：方向相同或相反的非零向量，記作：∥〔規(guī)定：〕提醒：1〕相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；2〕兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量所在直線重合,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；3〕平行向量不滿足傳遞性〔因?yàn)橛?；6、相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量〔〕二、向量的表示：1、幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后〔注意向量不能說(shuō)就是有向線段，有向線段也不能說(shuō)是向量〕2、字母表示：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，，等；3、坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，那么平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。〔如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同〕三、平面向量根本定理：如果和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使基底：任意不共線的兩個(gè)向量稱(chēng)為一組基底〔平面內(nèi)的基底有無(wú)數(shù)組〕四、向量的運(yùn)算：1、幾何運(yùn)算：1〕向量加法：“平行四邊形法那么”：共起點(diǎn)，連對(duì)角線〔只適用于不共線的向量〕“三角形法那么”：尾首相接，連首尾〔設(shè)，那么向量叫做與的和，〕特殊地，假設(shè)，2〕向量減法：“三角形法那么”：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，后到前〔設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同〕3〕向量數(shù)乘：幾何意義：將的長(zhǎng)度擴(kuò)大〔或縮小〕倍，改變〔或不改變〕的方向，就得到了長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，提醒：線性運(yùn)算(加法、減法、數(shù)乘)的結(jié)果還是向量4〕數(shù)量積：①兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，〔當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，〕②在上的投影：〔它是一個(gè)實(shí)數(shù)，不一定大于0〕③平面向量的數(shù)量積〔或內(nèi)積〕：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，那么(規(guī)定：〕〔注意數(shù)量積結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量〕④的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積⑤向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，那么：〔特別地，〕2、坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，那么：①向量的加減法：，②數(shù)乘：③假設(shè)，那么，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。④數(shù)量積：〔坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相乘相加〕3、向量的運(yùn)算律：〔1〕交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；〔3〕分配律：，。4、向量運(yùn)算的常見(jiàn)應(yīng)用：1〕向量的模：或2〕兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè)，那么3〕非零向量，夾角的計(jì)算公式：4〕向量平行(共線)：〔坐標(biāo)交叉相乘相減等于0〕5〕向量垂直：設(shè)兩個(gè)非零向量，，〔坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相乘相加等于0〕提醒：五、向量的一些常用結(jié)論：1、不等關(guān)系：1〕設(shè)兩個(gè)非零向量，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)〔其中=〕2〕如果，那么當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)3〕同向或有反向或有；不共線2、線段的定比分點(diǎn)：1〕定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，那么叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為的定比分點(diǎn)；2〕的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線段PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)<－1；當(dāng)P點(diǎn)在線段PP的延長(zhǎng)線上時(shí)；3〕線段的定比分點(diǎn)公式：①向量表示：假設(shè)P分有向線段所成的比為，點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，那么，②坐標(biāo)表示：設(shè)、，分有向線段所成的比為，那么，〔在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比〕特別地，為線段的中點(diǎn)4〕點(diǎn)為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，假設(shè)該平面內(nèi)三點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.3、三角形四心的表示1〕重心〔三角形三邊上中線的交點(diǎn)〕：把中線分成2:1①向量表示O為△ABC所在平面的一點(diǎn)，O是△ABC的重心②坐標(biāo)表示：在中，假設(shè)，那么其重心的坐標(biāo)2〕垂心〔三角形三條高的交點(diǎn)〕：O為△ABC所在平面的一點(diǎn)，O是△ABC的垂心3〕外心〔三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)〕：O為△ABC所在平面的一點(diǎn)，O是△ABC的外心4〕內(nèi)心〔三角形三條角平分線的交點(diǎn)〕：O為△ABC所在平面的一點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)O滿足：①，②③O是△ABC的內(nèi)心★考點(diǎn)題型及相關(guān)練習(xí)考點(diǎn)1：向量及與向量相關(guān)的根本概念題型1：概念判析【例1】判斷以下各命題是否正確(1)零向量沒(méi)有方向(2)假設(shè)(3)單位向量都相等(4)向量就是有向線段(5)兩相等向量假設(shè)共起點(diǎn),那么終點(diǎn)也相同(6)假設(shè)，，那么；(7)假設(shè)，，那么(8)假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形,那么(9)的充要條件是且；【解題思路】正確理解向量的有關(guān)概念，以概念為判斷依據(jù)，或通過(guò)舉反例說(shuō)明。【解析】(1)不正確，零向量方向任意,(2)不正確，說(shuō)明模相等,還有方向(3)不正確，單位向量的模為1,方向很多(4)不正確，有向線段是向量的一種表示形式(5)正確，〔6〕正確，向量相等有傳遞性〔7〕不正確，因假設(shè)，那么不共線的向量也有，。(8)不正確,如圖〔9〕不正確，當(dāng)，且方向相反時(shí)，即使，也不能得到；【小結(jié)】對(duì)于有關(guān)向量根本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以從通過(guò)舉出反例而排除或否認(rèn)相關(guān)命題?！纠?】〔1〕假設(shè)，那么______〔答：〕；〔2〕以下向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.〔答：B〕；〔3〕中，點(diǎn)在邊上，且，，那么的值是___〔答：0〕〔4〕AD，BE分別是的邊上的中線,且,那么可用向量表示為_(kāi)____〔答：〕；【相關(guān)練習(xí)】1．判斷以下命題是否正確，假設(shè)不正確，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.①向量與是共線向量，那么A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是＝⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件；⑥共線的向量，假設(shè)起點(diǎn)不同，那么終點(diǎn)一定不同.【解析】①不正確.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上.②不正確.單位向量模均相等且為1，但方向并不確定.③不正確.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的.④、⑤正確.⑥與共線，雖起點(diǎn)不同，但其終點(diǎn)卻相同.2．以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，那么ａ與c也共線ａ與ｂ不共線，那么ａ與ｂ都是非零向量【解析】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以?xún)蓚€(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以Ｄ不正確；對(duì)于C，其條件以否認(rèn)形式給出，所以可從其逆否命題來(lái)入手考慮，假假設(shè)ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.3.以下說(shuō)法：〔1〕假設(shè)，那么。〔2〕兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。〔3〕假設(shè)，那么是平行四邊形?！?〕假設(shè)是平行四邊形，那么?！?〕假設(shè)，那么?！?〕假設(shè)，那么。其中正確的選項(xiàng)是_______〔答：〔4〕〔5〕〕考點(diǎn)2：向量的運(yùn)算題型1：考查加、減法運(yùn)算及相關(guān)運(yùn)算律【例1】化簡(jiǎn)解：〔利用〕設(shè)O是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，那么===【小結(jié)】掌握向量加減的定義及向量加法的交換律、結(jié)合律等根底知識(shí)．在求解時(shí)需將雜亂的向量運(yùn)算式有序化處理，必要時(shí)也可化減為加，減低出錯(cuò)率．【例2】〔1〕作用在點(diǎn)的三個(gè)力，那么合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是〔答：〔9,1〕〕〔2〕，，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是?！泊穑骸?,2〕〕〔3〕,向量與相等，求的值?！泊穑簒=0,y=〕〔4〕是坐標(biāo)原點(diǎn)，，且，求的坐標(biāo)。〔答：(-2,5)〕題型2：結(jié)合圖形考查向量加、減法【例3】〔1〕在中，是的中點(diǎn)，請(qǐng)用向量表示〔答案：〕〔2〕在平行四邊形中，，求〔答案：〕【小結(jié)】三角形中兩邊對(duì)應(yīng)向量，可求第三邊所對(duì)應(yīng)的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞錯(cuò)．當(dāng)向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化成代數(shù)式運(yùn)算時(shí)，其運(yùn)算過(guò)程可仿照多項(xiàng)式的加減運(yùn)算進(jìn)行．題型3：向量的數(shù)乘運(yùn)算【例4】〔1〕，那么?！泊鸢福骸?；〔2〕設(shè)，且，，那么C、D的坐標(biāo)分別是__________〔答案：〕；題型4：向量的數(shù)量積運(yùn)算【例5】〔1〕△ABC中，，，，那么_________〔答：－9〕；〔2〕，與的夾角為，那么等于____〔答：1〕；〔3〕，那么向量在向量上的投影為_(kāi)_____〔答：〕〔4〕，且與的夾角為，求〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕?！泊穑?,15，-2,0〕；〔5〕，求〔1〕，〔2〕，〔3〕〔答：〕題型5：向量的運(yùn)算律【例6】以下命題中：①；②；③；④假設(shè)，那么或；⑤假設(shè)那么；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的選項(xiàng)是______〔答：①⑥⑨〕【注意】〔1〕向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；〔2〕向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即【相關(guān)練習(xí)】假設(shè)3ｍ＋2ｎ＝ａ，ｍ－3ｎ＝ｂ，其中ａ，ｂ是向量，求ｍ，ｎ.【解析】記3ｍ＋2ｎ＝ａ①ｍ－３ｎ＝ｂ②3×②得３ｍ－９ｎ＝３ｂ③①－③得11ｎ＝ａ－３ｂ.∴ｎ＝ａ－ｂ④將④代入②有：ｍ＝ｂ＋３ｎ＝ａ＋ｂ2．如圖，在ΔABC中，D、E為邊AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，eq\o(CA,\s\up6(→))=3a，eq\o(CB,\s\up6(→))=2b，求eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))．ABCDE【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AC,\s\up6(→))+eq\o(CB,\s\up6(→))=－3a+2b，ABCDE因D、E為eq\o(AB,\s\up6(→))的兩個(gè)三等分點(diǎn)，故eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))=－a＋b=eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))=3a－a＋b=2a＋b，eq\o(CE,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))=2a＋b－a＋b=a＋b．3.〔1〕化簡(jiǎn)：①___；②____；③_____〔答：①；②；③〕；〔2〕假設(shè)為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿足，設(shè)，那么的值為_(kāi)__〔答：2〕；〔3〕假設(shè)M〔-3，-2〕，N〔6，-1〕，且，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______〔答：〕4.點(diǎn)，假設(shè)，那么當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上〔答：〕；當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第三象限〔答：〕，，那么__________〔答：或〕；6.，，如果與的夾角為鈍角，那么的取值范圍是______〔答：〕；7.是單位向量，其夾角為，假設(shè)求的范圍，假設(shè)？〔〕8.求證：9.(2009)在所在的平面上有一點(diǎn)，滿足，那么與的面積之比是()A．B．C．D．P【解析】由,得,PP即,所以點(diǎn)是邊上的第二個(gè)三等分點(diǎn),PB故．B考點(diǎn)三：向量的幾個(gè)重要應(yīng)用題型1：求向量的模【例1】〔1〕，那么等于____〔答：〕；〔2〕均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____〔答：〕；〔3〕，求〔1〕，〔2〕，〔3〕〔答：〕《二教》P60題型2，P63當(dāng)堂檢測(cè)5題型2：求向量的夾角【例2】〔1〕，，求與的夾角?！泊穑骸场?〕，求與的夾角?！泊穑骸场?〕是兩個(gè)非零向量，且，那么的夾角為_(kāi)___〔答：〕〔4〕，，，求?！泊穑骸场?〕向量，，假設(shè)與的夾角為鈍角，那么的取值范圍是〔A〕....《二教》P47能力提升1，P52例2，P60例3，P61根底穩(wěn)固6，P63題型4，當(dāng)堂檢測(cè)6題型3：向量的平行與垂直問(wèn)題【例3】(1)假設(shè)向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線且方向相同〔答：2〕；〔2〕，，，且，那么x＝______〔答：4〕；〔3〕設(shè)，那么k＝_____時(shí)，A,B,C共線〔答：－2或11〕【例4】，假設(shè)，那么〔答：〕；【例5】1.，，當(dāng)為何值時(shí)，〔1〕？〔2〕？〔答：－1,9〕2