核心考點(diǎn)06復(fù)數(shù)考點(diǎn)精講目錄一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共7小題）二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共9小題）三．純虛數(shù)（共7小題）四．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共10小題）五．復(fù)數(shù)的模（共8小題）六．復(fù)數(shù)的三角表示（共3小題）七．實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理（共3小題）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)【虛數(shù)單位i的概念】i是數(shù)學(xué)中的虛數(shù)單位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我們把a(bǔ)+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，把a(bǔ)＝0且b≠0的數(shù)叫做純虛數(shù)，a≠0，且b＝0叫做實(shí)數(shù)．復(fù)數(shù)的模為．【復(fù)數(shù)的運(yùn)算】①復(fù)數(shù)的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加．②復(fù)數(shù)的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M?N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，與多項(xiàng)式乘法類似，只不過要加上i．【例題解析】例：定義運(yùn)算，則符合條件的復(fù)數(shù)z為．解：根據(jù)定義，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z＝＝＝3﹣i．這個(gè)題很好地反應(yīng)了復(fù)數(shù)的一般考法，也就是考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算能力，其中常常用到復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相除．這個(gè)題的第一步先把復(fù)數(shù)當(dāng)做一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算，第二部相除，思路就是把分母變成實(shí)數(shù)，方法就是乘以它的共軛復(fù)數(shù)（虛數(shù)前面的符號變?yōu)橄喾醇仁牵幚磉@種方法外，有的時(shí)候還需要設(shè)出復(fù)數(shù)的形式為a+bi，然后在求出a和b，這種類型的題一般用待定系數(shù)法．【復(fù)數(shù)的概念】形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量．2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．3、復(fù)數(shù)中的解題策略：（1）證明復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的策略：①z＝a+bi∈R?b＝0（a，b∈R）；②z∈R?＝z．（2）證明復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的策略：①z＝a+bi為純虛數(shù)?a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0時(shí)，z﹣＝2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)?z+＝0且z≠0．三．復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則四．復(fù)數(shù)的模1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：的長度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．五．實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理：n次多項(xiàng)式f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，如果方程：f（x）＝anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0＝0有一根x0＝a0+b0i∈C（復(fù)數(shù)集），其中a0，b0∈R，則＝a0﹣b0i也是方程的根．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù)（共7小題）1．（2022春?虹口區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z，則“z+＝0”是“z為純虛數(shù)”的（）條件A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z，若z+＝0，z不一定為純虛數(shù)，可以為0，若z為純虛數(shù)，則z+＝0，故“z+＝0”是“z為純虛數(shù)”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）3+4i的虛部是4．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合虛部的定義，即可求解．【解答】解：3+4i的虛部是4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z＝10+17i，則Rez＝10．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合實(shí)部的定義，即可求解．【解答】解：z＝10+17i，則Rez＝10．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)部的定義，屬于基礎(chǔ)題．4．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）若i是虛數(shù)單位，當(dāng)n∈N時(shí)，的所有可能的取值組成的集合為{﹣2，0，2}．【分析】分類討論，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可．【解答】解：當(dāng)n＝4k，k∈N時(shí)，1+＝1+1＝2，當(dāng)n＝4k+1，k∈N時(shí)，i+＝i﹣i＝0，當(dāng)n＝4k+2，k∈N時(shí)，i2+＝﹣1﹣1＝﹣2，當(dāng)n＝4k+3，k∈N時(shí)，i3+＝﹣i+i＝0，故當(dāng)n∈N時(shí)，的所有可能的取值組成的集合為{﹣2，0，2}；故答案為：{﹣2，0，2}．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了虛數(shù)單位i的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．5．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)2+i的虛部是1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合虛部的定義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)2+i的虛部為1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022春?松江區(qū)校級期末）設(shè)z、z1、z2∈C，則下列命題中的真命題為（）A．若z1＞z2，則z1+z＞z2+z B．若z+＝0，則z為純虛數(shù) C．若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0 D．若z＝z1z2，則argz＝argz1+argz2【分析】由題意，利用復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)，注意判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：當(dāng)z為虛數(shù)時(shí)，由z1＞z2，不能推出z1+z＞z2+z，例如由2＞1，不能推出2+i＞1+i，故A錯(cuò)誤；若z+＝0，則不能推出z為純虛數(shù)，例如當(dāng)z＝0時(shí)；若z1z2＝0，則z1＝0或z2＝0，正確，即C正確；若z＝z1z2，則argz＝argz1+argz2，錯(cuò)誤，例如1＝（﹣1）×（﹣1），但arg1＝0，arg（﹣1）＝π，arg（﹣1）＝π，不滿足argz＝argz1+argz2，故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的定義和性質(zhì)，通過舉反例，來說明某個(gè)命題不成立，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022春?金山區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ為實(shí)數(shù)），并且z1＝z2，則實(shí)數(shù)m＝．【分析】由復(fù)數(shù)相等的定義得到，從而m＝cos2θ＝＝，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z1＝2+mi，z2＝tanθ+icos2θ（θ為實(shí)數(shù)），并且z1＝z2，∴，∴實(shí)數(shù)m＝cos2θ＝＝＝＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查復(fù)數(shù)相等、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．二．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義（共9小題）8．（2022春?閔行區(qū)校級期末）如果復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1|+|z+1|＝2，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為復(fù)平面x軸上，A（﹣1，0），B（1，0）之間的任意點(diǎn)，故|z﹣1﹣i|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)P（1，1）的距離，所以|z﹣1﹣i|的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．9．（2022春?嘉定區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z1＝5﹣2022i，z2＝2017+2ai（a∈R），若z1+z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，則a＝1011．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：∵z1+z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，∴z1+z2＝5﹣2022i+2017+2ai＝2022+（2a﹣2022）i，∵z1+z2所對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，∴2a﹣2022＝0，解得a＝1011．故答案為：1011．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．10．（2022春?虹口區(qū)校級期末）已知復(fù)平面上有點(diǎn)A和點(diǎn)B，向量與向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為﹣1﹣2i與4﹣i，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣3）．【分析】由向量的運(yùn)算知＝+，從而可得對應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣1﹣2i+4﹣i＝3﹣3i，從而求得．【解答】解：∵＝+，∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣1﹣2i+4﹣i＝3﹣3i，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，﹣3），故答案為：（3，﹣3）．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）求實(shí)數(shù)m的值或取值范圍，使得復(fù)數(shù)z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)Z分別位于：（1）虛軸上；（2）第四象限．【分析】（1）由實(shí)部為0求解一元二次方程可得m值；（2）由實(shí)部大于0且虛部小于0聯(lián)立不等式組求解．【解答】解：（1）∵復(fù)數(shù)z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)Z位于虛軸上，則m2﹣8m+15＝0，即m＝3或m＝5；（2）∵復(fù)數(shù)z＝（m2﹣8m+15）+（m2﹣5m﹣14）i在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)Z位于第四象限，∴，解得﹣2＜m＜3或5＜m＜7．∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣2，3）∪（5，7）．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．（2022春?寶山區(qū)校級期末）復(fù)數(shù)3﹣4i和1+i在復(fù)平面上所對應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得到兩個(gè)向量的坐標(biāo)表示，再利用向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果．【解答】解：依題意得，復(fù)數(shù)3﹣4i所對應(yīng)的向量，復(fù)數(shù)1+i所對應(yīng)的向量，所以，因?yàn)椋?，即所求角大小為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查向量的數(shù)量積公式，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022春?徐匯區(qū)期末）如圖，在復(fù)平面上給定平行四邊形OABC，其中點(diǎn)A與點(diǎn)C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)zA＝﹣1+i與zC＝3+2i，則點(diǎn)B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+3i．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)zA＝﹣1+i與zC＝3+2i，∴A（﹣1，1），C（3，2），設(shè)B（xB，yA），∵四邊形OABC為平行四邊形，∴0+xB＝﹣1+3，0+yB＝1+2，解得xB＝2，yB＝3，∴點(diǎn)B所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+3i．故答案為：2+3i．【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022春?寶山區(qū)校級月考）復(fù)數(shù)z＝（a2﹣2a+3）﹣（a2﹣a+）i（a∈R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限．【分析】通過配方利用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷出實(shí)部與虛部與0的大小關(guān)系即可得出結(jié)論．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z的實(shí)部：a2﹣2a+3＝（a﹣1）2+2＞0，虛部﹣（a2﹣a+）＝﹣﹣＜0．∴復(fù)數(shù)z＝（a2﹣2a+3）﹣（a2﹣a+）i（a∈R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)位于第四象限．故答案為：四．【點(diǎn)評】本題考查了配方法、二次函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部及其幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)a是實(shí)數(shù)，關(guān)于z的方程（z2﹣2z+5）（z2+2az+1）＝0有4個(gè)互不相等的根，它們在復(fù)平面上對應(yīng)的4個(gè)點(diǎn)共圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．【分析】由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，因?yàn)閦2+2az+1＝0有兩個(gè)不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1時(shí)，若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1時(shí)，討論計(jì)算即可．【解答】解：由z2﹣2z+5＝0，得z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，因?yàn)閦2+2az+1＝0有兩個(gè)不同的根，所以Δ＝4（a2﹣1）≠0，故a≠±1，若Δ＝4（a2﹣1）＜0，即﹣1＜a＜1時(shí)，，因?yàn)閦1，z2，z3，z4在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成等腰梯形或者矩形，此時(shí)四點(diǎn)共圓，所以，﹣1＜a＜1滿足條件；若Δ＝4（a2﹣1）＞0，即|a|＞1時(shí)，是實(shí)根，在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上，僅當(dāng)z1、z2對應(yīng)的點(diǎn)在以z3，z4對應(yīng)的點(diǎn)為直徑的圓周上時(shí)，四點(diǎn)共圓，此圓方程為，整理得，即x2+2ax+1+y2＝0，將點(diǎn)（1，±2）代入得a＝﹣3；綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．故答案為：{a|﹣1＜a＜1}∪{﹣3}．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．16．（2022春?閔行區(qū)校級期末）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)A、P所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為πi、cos（2t﹣）+isin（2t﹣）（i為虛數(shù)單位），則當(dāng)t由連續(xù)變到時(shí)，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是．【分析】當(dāng)t＝時(shí)，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（，﹣），當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2（，），當(dāng)直線AP和單位圓相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為M，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是△AP1P2的面積與弓形的面積之和，即向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形P1OP2的面積，從而求得向量所掃過的圖形區(qū)域的面積．【解答】解：由題意可得，點(diǎn)P在單位圓上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，π），如圖：t＝時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（，﹣）；當(dāng)t＝時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P2（，）．向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是△AP1P2的面積與弓形的面積之和，而△AP1P2的面積等于△OP1P2的面積（因?yàn)檫@兩個(gè)三角形同底且等高），故向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形P1OP2的面積．由于∠P1OP2＝2×＝，∴扇形P1OP2的面積為等于××12＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系，扇形的面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．三．純虛數(shù)（共7小題）17．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．﹣2【分析】直接由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于0且虛部不等于0求解a的值．【解答】解：∵z＝（a2﹣a﹣2）+（a2+3a+2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，∴，∴a＝2，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件，是基礎(chǔ)題．18．（2022春?寶山區(qū)校級期中）已知復(fù)數(shù)z＝（a2﹣3a+2）+（a2﹣a﹣2）i（i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝1．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：∵z為純虛數(shù)，∴，解得a＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．19．（2022春?黃浦區(qū)校級期末）已知純虛數(shù)z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B．3 C．1或3 D．0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：純虛數(shù)z＝（1+i）m2﹣（4+i）m+3＝m2﹣4m+3+（m2﹣m）i，則，解得m＝3．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．20．（2022春?寶山區(qū)校級月考）若關(guān)于x的方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）有純虛數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的值為2．【分析】設(shè)方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的純虛數(shù)根為bi（b≠0，b∈R），從而得到，再求出t的值．【解答】解：設(shè)方程x2+（t2﹣2t+2tx）i＝0（t∈R）的純虛數(shù)根為bi（b≠0，b∈R），則（bi）2+（t2﹣2t+2tbi）i＝0，即﹣b2﹣2tb+（t2﹣2t）i＝0，即，解得t＝2，b＝﹣4或t＝0，b＝0（舍去），故實(shí)數(shù)t的值為2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡與運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．21．（2022春?閔行區(qū)校級期末）已知θ為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則z的虛部為﹣1．【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得，求解得θ再代入即可．【解答】解：若復(fù)數(shù)z＝sinθ﹣1+i（cosθ﹣1）是純虛數(shù)，可得，解得θ＝+2kπ，k∈Z，即z＝﹣i，則z的虛部為﹣1，故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．22．（2022春?閔行區(qū)校級月考）（1）當(dāng)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)是：①實(shí)數(shù)；②純虛數(shù)；（2）已知z，ω為復(fù)數(shù)，（1+3i）?z為純虛數(shù)，，且，求復(fù)數(shù)ω．【分析】（1）①當(dāng)z是實(shí)數(shù)時(shí)，列方程組，能求出m；②當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，列方程組，能求出m．（2）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），（1+3i）?z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i為純虛數(shù)，求出，從而＝＝，由|ω|＝5，解得|b|＝5，由此能求出結(jié)果．【解答】解：（1）復(fù)數(shù)，①當(dāng)z是實(shí)數(shù)時(shí)，，解得m＝5；②當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，，解得m＝﹣2或m＝3．（2）設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），（1+3i）?z＝（1+3i）（a+bi）＝a﹣3b+（3a+b）i為純虛數(shù)，∴，∴，＝＝，|ω|＝＝＝5，解得|b|＝5，∴b＝±5，∴ω＝7﹣i或ω＝﹣7+i．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．23．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）設(shè)z為復(fù)數(shù)．（1）若，求|z|的值；（2）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q＝0（p、q∈R）的一個(gè)復(fù)數(shù)根為z，若z為純虛數(shù)，求p+q的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．（2）設(shè)z＝bi（b≠0），結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及一元二次函數(shù)在復(fù)平面中的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，即可求解．【解答】解：（1），故|z|＝|﹣3﹣4i|＝5；（2）設(shè)z＝bi（b≠0），∵一元二次函數(shù)在復(fù)平面中的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，且z為純虛數(shù)，∴，解得，故p+q∈（0，+∞）．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，一元二次函數(shù)在復(fù)平面中的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．四．復(fù)數(shù)的運(yùn)算（共10小題）24．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）i2022+i2021+…+i+1＝（）A．1 B．i+1 C．i D．0【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解．【解答】解：i+i2+i3+i4＝0，i4＝1，則i2022+i2021+…+i+1＝1+i+i2+i3+i4+i4（i+i2+i3+i4）+???+i2021+i2022＝1+i2021+i2022＝1+（i4）505?i+1+（i4）505?i2＝1+i﹣1＝i．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．25．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z滿足（1+2i）z﹣1﹣i＝0，則z的虛部為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解．【解答】解：∵（1+2i）z﹣1﹣i＝0，∴，∴由虛部的定義可得，z的虛部為．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．26．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+bz+c＝0的一根為，則c＝4．【分析】關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+bz+c＝0的一根為，則關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+bz+c＝0的另一根為，然后求解即可．【解答】解：關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+bz+c＝0的一根為，則關(guān)于z的實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+bz+c＝0的另一根為，則c＝，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．27．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）已知z是虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則的最小值是﹣．【分析】設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，由是實(shí)數(shù)，可得a2+b2＝2，則然后用a表示，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．【解答】解：設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，由是實(shí)數(shù)，可得，則，即b＝，又z是虛數(shù)，則b≠0，所以a2+b2＝2，則＝（a﹣bi﹣a﹣bi）2＝﹣4b2+2a＝4a2+2a﹣8＝，又，即當(dāng)a＝﹣時(shí)，取最小值﹣，故答案為：﹣．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，重點(diǎn)考查了二次函數(shù)最值的求法，屬基礎(chǔ)題．28．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）已知虛數(shù)z滿足z3+1＝0．則＝2．【分析】由已知可得z﹣1＝z2，代入，結(jié)合z3＝﹣1求解．【解答】解：∵z3+1＝0，∴（z+1）（z2﹣z+1）＝0，∵z為虛數(shù)，∴z2﹣z+1＝0，即z﹣1＝z2，則＝＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．29．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）設(shè)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的兩個(gè)虛數(shù)根分別為x1、x2，若|x1﹣x2|＝|x1+x2|，則＝2．【分析】由題意，根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對定理，設(shè)x1＝m+ni，x2＝m﹣ni，m、n∈R，利用韋達(dá)定理可得|n|＝|m|．不妨假設(shè)x1＝m+mi，則x2＝m﹣mi，求得m＝﹣，2m2＝，從而求得要求式子的值．【解答】解：設(shè)關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的兩個(gè)虛數(shù)根分別為x1＝m+ni，x2＝m﹣ni，m、n∈R，∴x1+x2＝2m＝﹣，x1?x2＝m2+n2＝．若|x1﹣x2|＝|x1+x2|，則|2n|＝|2m|，即|n|＝|m|．不妨假設(shè)x1＝m+mi，則x2＝m﹣mi，此時(shí)，m＝﹣，2m2＝，即2×＝，即b2＝2ac，∴＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對定理，韋達(dá)定理，復(fù)數(shù)的模的定義，屬于中檔題．30．（2022春?徐匯區(qū)校級期末）已知z為虛數(shù)，且z1＝是實(shí)數(shù)，z2＝也是實(shí)數(shù)，則z3的值為1．【分析】設(shè)z＝x+yi，根據(jù)Z1，Z2為實(shí)數(shù)可得x2+y2＝1，x2+y2＝﹣2x，聯(lián)立求出x，y的值，進(jìn)而得到z＝﹣，再求出z3即可．【解答】解：設(shè)z＝x+yi（其中x，y∈R，且y≠0），則實(shí)數(shù)Z1＝＝＝＝，∴y（1﹣x2﹣y2）＝0（y≠0），∴x2+y2＝1，對于實(shí)數(shù)Z2，同理求得x2+y2＝﹣2x，聯(lián)立解得，∴z＝﹣，∴z3＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．31．（2022春?長寧區(qū)校級期末）關(guān)于x的方程x2+mx+13＝0（m∈R）的兩個(gè)根為x1，x2．（1）若x1＝﹣3+2i，求實(shí)數(shù)m的值；（3）若|x1﹣x2|＝3，求實(shí)數(shù)m的值．【分析】（1）利用韋達(dá)定理化簡即可求解；（2）討論方程有兩實(shí)數(shù)根與有兩虛數(shù)根，然后利用韋達(dá)定理化簡建立方程即可求解．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2+mx+13＝0（m∈R）的兩個(gè)根為x1，x2．所以由韋達(dá)定理可得x1+x2＝﹣m，x1x2＝13，（1）由x1＝﹣3+2i得方程有一對共軛復(fù)數(shù)根，所以x2＝﹣3﹣2i，所以x1+x2＝﹣3+2i+（﹣3﹣2i）＝﹣6＝﹣m，所以m＝6；（2）1°方程有兩實(shí)數(shù)根，則，解得；2°方程有兩虛根，則，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為或．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，涉及到一元二次方程根的性質(zhì)以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．32．（2022春?閔行區(qū)校級期末）已知z為虛數(shù)，若，且﹣1＜ω＜2．（1）求z的實(shí)部的取值范圍；（2）設(shè)，求ω﹣μ2的最小值．【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)復(fù)數(shù)z，代入ω計(jì)算，使其虛部為0，得到a2+b2＝1，求解即可．（2）由a2+b2＝1，得到ω﹣μ2＝2（a+1+）﹣3，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：（1）設(shè)z＝a+bi，a，b∈R，且b≠0，則ω＝z+＝a+bi+＝a++（b﹣）i，若﹣1＜ω＜2，則b﹣＝0，∵b≠0，∴a2+b2＝1，∴﹣1＜ω＝2a＜2，∴﹣＜a＜1，∴z的實(shí)部的取值范圍為（﹣，1）．（2）∵a2+b2＝1，∴＝＝＝＝﹣，∵ω＝2a，﹣＜a＜1，∴a+1＞0，∴ω﹣μ2＝2a+＝2a+＝2a﹣＝2（a+1+）﹣3≥2×2﹣3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a+1＝，即a＝0時(shí)取等號，∴ω﹣μ2的最小值為1．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，基本不等式求最值問題，屬于中檔題．33．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位．（1）若，且z1?z2為實(shí)數(shù)，求θ的值；（2）若，復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng)的向量分別是、，存在θ使等式成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【分析】（1）由題意可得z1z2的表達(dá)式，再由z1z2為實(shí)數(shù)，可得虛部為0，由θ的取值范圍可得θ的值；（2）由題意可得，的坐標(biāo)，由向量的運(yùn)算性質(zhì)可得的變形式，由輔助角公式可得sin（θ﹣）＝，再由θ的范圍，求出其正弦值的范圍，進(jìn)而求出λ的取值范圍．【解答】解：（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)z1＝2sinθ﹣i，z2＝1+（2cosθ）i，所以z1z2＝（2sinθ﹣i）?[1+（2cosθ）i]＝2sinθ+2cosθ）+（4sinθcosθ﹣）i，因?yàn)閦1?z2為實(shí)數(shù)，所以4sinθcosθ﹣＝0，即2sin2θ＝，可得sin2θ＝，而θ∈[0，]，所以2θ∈[0，π]，所以2θ＝或π，可得θ＝或；（2）由題意＝（2sinθ，﹣），＝（1，2cosθ），等式成立，即（2λsinθ﹣1，﹣λ﹣2cosθ）?（2sinθ﹣λ，﹣﹣2λcosθ）＝0，即（2λsinθ﹣1）?（2sinθ﹣λ）+（﹣λ﹣2cosθ）?（﹣﹣2λcosθ）＝0，整理可得：（2cosθ﹣2sinθ）λ2+8λ+（﹣2sinθ+2cosθ）＝0，而﹣2sinθ+2cosθ＝﹣4sin（θ﹣）所以8λ﹣（λ2+1）4sin（θ﹣）＝0，可得sin（θ﹣）＝，因?yàn)棣取蔥，]，所以θ﹣∈[，]，所以sin（θ﹣）∈[，1]，所以≤≤1，即，解得，所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為[2﹣，2+]．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及三角函數(shù)的化簡及其三角函數(shù)的范圍的應(yīng)用，屬于中檔題．五．復(fù)數(shù)的模（共8小題）34．（2022春?長寧區(qū)校級期末）下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）（1）若復(fù)數(shù)z1、z2，且z1?z2＝0，則z1＝0或z2＝0．（2）若復(fù)數(shù)z1、z2，且|z1|＝|z2|，則z1＝±z2．（3）若復(fù)數(shù)z，則|z|2＝z2．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】（1）設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），然后求出z1?z2，根據(jù)已知建立方程求出a，b，c，d的值，由此即可判斷；（2）（3）通過舉反例即可判斷．【解答】解：（1）設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），z1?z2＝（a+bi）（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i＝0，則，所以a＝b＝0或c＝d＝0，即z1，z2中至少有一個(gè)為0，故正確，（2）若z1＝1+2i，z2＝2+i，則|z，但是此時(shí)z1≠±z2，故錯(cuò)誤，（3）若z1＝1+2i，則|z1|2＝5，而z，此時(shí)|z1|，故錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的模，涉及到復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．35．（2022春?黃浦區(qū)校級期末）設(shè)a∈R，復(fù)數(shù)z1＝a+i，z2＝2a+2i，z3＝2a+6i，其中i是虛數(shù)單位．若|z1|，|z2|，|z3|成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是．【分析】由復(fù)數(shù)的模長公式與等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【解答】解：因?yàn)閨z1|，|z2|，|z3|成等比數(shù)列，所以，即，即3a4﹣2a2﹣5＝0，解得或a2＝﹣1（舍）所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．36．（2022春?長寧區(qū)校級期末）若復(fù)數(shù)z1和復(fù)數(shù)z2滿足|z1|＝6，|z2|＝4，|z1+z2|＝8，則|z1﹣z2|＝．【分析】設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），然后利用復(fù)數(shù)模的求解公式分別求出a2+b2＝36，c2+d2＝16，2ac+2bd＝12，進(jìn)而可以求解．【解答】解：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），則|，即a2+b2＝36，|z＝4，所以c2+d2＝16，則|z1+z2|＝|（a+c）+（c+d）i|＝＝8，所以（a+c）2+（c+d）2＝64，即a2+b2+c2+d2+2ac+2bd＝64，所以2ac+2bd＝12，所以|z1﹣z2|＝|（a﹣c）+（b﹣d）i|＝＝＝＝，故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．37．（2022春?黃浦區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z1＝3cosθ+isinθ，，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R．（1）當(dāng)z1、z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個(gè)虛根時(shí)，求實(shí)數(shù)m、n的值；（2）求的值域．【分析】（1）由題意可知，列方程即可求得，從而可求得m、n的值；（2）由復(fù)數(shù)模的定義，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法即可求解．【解答】解；（1）復(fù)數(shù)z1＝3cosθ+isinθ，，z1，z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+mx+n＝0的兩個(gè)虛根，所以，即3cosθ+isinθ＝，所以，所以，，n＝z1?z2＝．（2）＝＝＝＝，∵sin22θ∈[0，1]，∴，即．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，共軛復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．38．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）已知復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a、b∈R），存在實(shí)數(shù)t，使成立．（1）求值：2a+b；（2）若，求|z|的取值范圍．【分析】（1）利用共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的定義列方程，求出a，b，由此能求出結(jié)果．（2）根據(jù)，求出a的取值范圍，再利用復(fù)數(shù)的模，結(jié)合二次函數(shù)求解．【解答】解：（1）復(fù)數(shù)z＝a+bi（其中a、b∈R），存在實(shí)數(shù)t，使成立，∴a﹣bi＝＝，∴a＝，消去t，得2a+b＝3；（2）∵，∴（a+1）2+b2＜2b2，∴（a+1）2＜b2＝（3﹣2a）2，則3a2﹣14a+8＞0，解得a＜或a＞4，且a≠0，∴|z|＝＝＝，∴|z|的取值范圍是（，3）∪（3，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)相等的定義、復(fù)數(shù)運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．39．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）已知虛數(shù)z1＝4cosθ+3sinθ?i，z2＝2﹣3sinθ?i，其中i為虛數(shù)單位，θ∈R，z1、z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+mz+n＝0的兩根．（1）求實(shí)數(shù)m、n的值；（2）若，求|z|的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)z1，z2是實(shí)系數(shù)一元二次方程z2+mz+n＝0的兩根可得，求出cosθ的值，進(jìn)而求出z1，z2，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m，n的值即可；（2）根據(jù)復(fù)平面內(nèi)|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的幾何意義可得z（a，b）在線段z1z2上，進(jìn)而求得|z|的取值范圍即可．【解答】解：（1）由題意z1＝，即4cosθ+3sinθ?i＝2+3sinθ?i，∴cosθ＝，根據(jù)韋達(dá)定理得m＝﹣（z1+z2）＝﹣（2+3sinθ?i+2﹣3sinθ?i）＝﹣4，n＝z1z2＝（2+3sinθ?i）?（2﹣3sinθ?i）＝4+9（1﹣）＝，∴m＝﹣4，n＝．（2）由（1）sinθ＝＝，∴設(shè)，z＝a+bi，a，b∈R，則|z﹣z1|+|z﹣z2|＝3的幾何意義即為復(fù)平面內(nèi)z（a，b）到z1（2，），z2（2，﹣）的距離之和為3，∵z1到z2的距離為，∴z（a，b）在線段z1z2上，∴當(dāng)z（2，0）時(shí)，|z|取得最小值2，當(dāng)z在z1或z2時(shí)，|z|取得最大值＝，∴|z|的取值范圍為[2，]．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．40．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)復(fù)數(shù)數(shù)列{zn}滿足：|z1|＝1，且對任意正整數(shù)n，均有：．若復(fù)數(shù)zi對應(yīng)復(fù)平面的點(diǎn)為Zi，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求△OZ1Z2的面積；（2）求|zn+zn+1|；（3）證明：對任意正整數(shù)m，均有．【分析】（1）把轉(zhuǎn)化為4（）2+2?+1＝0，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式能求出△OZ1Z2的面積；（2）利用|zn+zn+1|＝|zn|?|1+|，能求出結(jié)果．（3）分m為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，能夠證明對任意正整數(shù)m，均有．【解答】解：（1）∵復(fù)數(shù)數(shù)列{zn}滿足：|z1|＝1，且對任意正整數(shù)n，均有：，∴4（）2+2?+1＝0，解得＝，∴＝或＝，∴＝||＝，|zn|＝|z1|?＝，∴|z2|＝，∵＝＝或，∴結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義得∠Z1OZ2＝，∴△OZ1Z2的面積＝．（2）由（1）得|zn+zn+1|＝|zn|?|1+|＝＝．（3）證明：當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，設(shè)m＝2s（s∈N*），利用（2）可得：|z1+z2+???+zm|≤＝＝＝，當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，設(shè)m＝2s+1（s∈N），由（1）（2）可知|z2s+1|＝＝，∴|z1+z2+???+zm|≤|z1+z2|+|z3+z4|+???+|z2s﹣1+z2s|+|z2s+1|＝＜，綜上，對任意正整數(shù)m，均有．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、等比數(shù)列求和公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．41．（2022春?嘉定區(qū)校級期末）已知向量，，，在復(fù)平面坐標(biāo)系中，i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為Z1．（1）求|z1|；（2）若復(fù)數(shù)z滿足（為z1的共軛復(fù)數(shù)），且復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z，求點(diǎn)Z與點(diǎn)Z1之間的最小距離．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運(yùn)算先求出m，再利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算即可得到復(fù)數(shù)z1．（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得曲線是復(fù)平面內(nèi)以Z0（3，1）圓心，半徑為1的圓，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解．【解答】解：（1）?＝（cos2θ，?2）?（1，?sin2θ）＝cos2θ+2sin2θ＝cos2θ?sin2θ+2sin2θ＝cos2θ+sin2θ＝1，所以m＝?+1＝1+1＝2，所以z1＝＝＝﹣i，所以|z1|＝|﹣i|＝；（2）z1＝﹣i，＝+i，即|z﹣（3+i）|＝1，因此曲線是復(fù)平面內(nèi)以Z0（3，1）圓心，半徑為1的圓，故Z0與Z1之間的距離為＝，所以Z與Z1之間的最小距離為﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)幾何意義的理解和應(yīng)用，數(shù)量積運(yùn)算，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題．六．復(fù)數(shù)的三角表示（共3小題）42．（2022春?嘉定區(qū)校級期末）復(fù)數(shù)的三角形式（用輻角主值表示）為cos+isin．【分析】由復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的三角形式可得答案．【解答】解：＝cos（﹣）+isin（﹣）＝cos+isin．故答案為：cos+isin．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的求法，以及三角形式，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．43．（2022春?浦東新區(qū)校級月考）若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則argz＝．【分析】化為復(fù)數(shù)的三角形式即可得出結(jié)論．【解答】解：復(fù)數(shù)＝2（﹣+i）＝2（cos+i），則argz＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的三角形式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．44．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）的三角形式是（）A． B． C． D．【分析】提取復(fù)數(shù)的模，結(jié)合三角函數(shù)的值即可化代數(shù)形式為三角形式．【解答】解：＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查化復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為三角形式，考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題．七．實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式虛根成對定理（共3小題）45．（2022春?普陀區(qū)校級期末）若3+4i是關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的一個(gè)虛數(shù)根，則c＝25．【分析】由已知可得3﹣4i是關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的另一個(gè)虛數(shù)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：∵3+4i是關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的一個(gè)虛數(shù)根，∴3﹣4i是關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0（b∈R，c∈R）的另一個(gè)虛數(shù)根，則c＝（3+4i）（3﹣4i）＝9﹣（4i）2＝25．故答案為：25．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根成對原理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．46．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）若1+2i是實(shí)系數(shù)方程x2+ax+b＝0的一個(gè)根，則a?b＝﹣12．【分析】利用實(shí)系數(shù)方程虛根成對定理，結(jié)合韋達(dá)定理即可求得a、b的值，推出結(jié)果；【解答】解：∵1+2i是方程x2+ax+b＝0的根，則1﹣2i也是方程的根，∴（1+2i）（1﹣2i）＝b，1+2i+1﹣2i＝﹣a，∴a，b的值為a＝﹣2，b＝6．則a?b＝﹣12．故答案為：﹣12．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，突出考查復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．47．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+3＝0有兩個(gè)虛根x1和x2．（1）求k的取值范圍；（2）若|x1﹣x2|＝2，求k的值．【分析】（1）由Δ＝k2﹣12＜0，求解不等式即可得答案；（2）由關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+3＝0的兩個(gè)虛根為，從而即可求解．【解答】（1）解：因?yàn)殛P(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+3＝0有兩個(gè)虛根x1和x2，所以Δ＝k2﹣12＜0，解得，所以k的取值范圍為；（2）解：因?yàn)殛P(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+kx+3＝0的兩個(gè)虛根為，所以，所以，解得k＝±2．【點(diǎn)評】本題考查多項(xiàng)式的根，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022春·上海黃浦·高一上海市向明中學(xué)校考期末）設(shè)是虛數(shù)單位，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】利用的周期性求解，連續(xù)4項(xiàng)的和為0.【詳解】，的取值周期為4，連續(xù)4項(xiàng)的和為0，所以，故選:B.2．（2022春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？计谀┓匠逃幸粋€(gè)根為，求的值為（

）A．5 B．3 C．4 D．2【答案】A【分析】將代入方程，得出的值.【詳解】由可得，.故選：A3．（2020秋·高一單元測試）已知函數(shù)（）的最小值為0，若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)c的值為（

）A．9 B．8 C．6 D．4【答案】D【分析】利用一元二次函數(shù)、一元二次不等式以及韋達(dá)定理進(jìn)行求解.【詳解】∵函數(shù)（）的最小值為0，∴，∴，∴函數(shù)，其圖像的對稱軸為．∵不等式的解集為，∴方程的根為m，，∴，解得，，又∵，∴．故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D．4．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┮阎铝忻}：(1)“為實(shí)數(shù)”的充要條件是“”；(2)若，則；(3)；(4).在復(fù)數(shù)集中，上述命題正確的個(gè)數(shù)是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則判斷正誤.【詳解】對于(1)，設(shè)()，則，為實(shí)數(shù)等價(jià)于，也等價(jià)于，所以“為實(shí)數(shù)”的充要條件是“”，(1)正確；對于(2)，由可得，所以或，當(dāng)時(shí)，易得；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以，，所以，綜上所述，若，則，故(2)正確；對于(3)，當(dāng)，時(shí)，，，不能比較大小，(3)錯(cuò)誤；對于(4)，當(dāng)，時(shí)，，，故(4)錯(cuò)誤.故選：B.二、填空題5．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀┰趶?fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則___________.【答案】【分析】由對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出復(fù)數(shù)，代入算式中化簡.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，.故答案為：6．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）已知復(fù)平面內(nèi)的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是－2＋i，3＋2i，則＝________．【答案】【分析】先利用向量運(yùn)算求出對應(yīng)的復(fù)數(shù)，然后求解模長可得答案.【詳解】∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，故答案為：7．（2022春·上海普陀·高一校考期末）是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則______．【答案】【分析】由復(fù)數(shù)，通過復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，即?故答案為：.8．（2022春·上海長寧·高一上海市第三女子中學(xué)?？计谀┰趶?fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式________．【答案】【分析】將原式配成完全平方式，再根據(jù)，即可得解；【詳解】解：故答案為：9．（2022春·上海浦東新·高一?？计谀__________.【答案】100【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法，除法運(yùn)算法則結(jié)合復(fù)數(shù)的模的公式計(jì)算即可.【詳解】，，，所以，所以，所以，故答案為：100.10．（2022春·上海普陀·高一?？计谀┰O(shè)，則_______.【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡得到，再由復(fù)數(shù)模的定義計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由題意化簡，則，故答案為：11．（2022春·上海松江·高一上海市松江二中?？计谀┰O(shè)為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，（其中i為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則的值為_______.【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解.【詳解】解：∵，∴，∵為純虛數(shù)，∴，解得.故答案為：12．（2021春·上海普陀·高一曹楊二中校考階段練習(xí)）已知z是復(fù)數(shù),均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位）,且復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【分析】由z是復(fù)數(shù),設(shè)出z的一般形式,代入中,使其為實(shí)數(shù),再代入中化簡使其實(shí)部,虛部均大于0,求出a的取值范圍即可.【詳解】解:不妨設(shè),均為實(shí)數(shù),且,,,在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,且,,解得,.故答案為:13．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）負(fù)實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍的平方根是______.【答案】【分析】設(shè)，由，利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】解：設(shè)，則，即，則，解得，所以負(fù)實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)范圍的平方根是，故答案為：14．（2021春·上海徐匯·高一上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程的兩個(gè)虛根為，且，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】/.【分析】由題意得求出的范圍，再設(shè)，則，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合已知條件可求出的.【詳解】因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)虛根為，所以，解得，設(shè)，則，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故答案為?15．（2022春·上海青浦·高一上海市朱家角中學(xué)?？计谀┤魪?fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則______．【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由，，則，故答案為：.16．（2022春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？计谀?fù)數(shù)和在復(fù)平面上所對應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角的大小為__________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.【答案】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得到兩個(gè)向量的坐標(biāo)表示，再利用向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果.【詳解】依題意得，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量，所以，因?yàn)?，所以，即所求角大小?故答案為：.17．（2021春·高一課時(shí)練習(xí)）為求方程的虛根，可以把原方程變形為，由此可得原方程的一個(gè)虛根為______【答案】,中的一個(gè)【詳解】解：，18．（2021春·高一單元測試）______.【答案】【解析】利用，即得解.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的冪指數(shù)運(yùn)算，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.三、解答題19．（2022春·上海普陀·高一校考期末）已知復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，且為純虛數(shù)(是的共軛復(fù)數(shù)).(1)求實(shí)數(shù)的值及復(fù)數(shù)的模；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)