第4講三角形面積公式

1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)設(shè)。>0,函數(shù)/(x)=2|x-a|-a.

⑴求不等式人力。的解集;

⑵若曲線y=/(x)與x軸所圍成的圖形的面積為2,求

2.(2023?全國?模擬預測)己知二ABC的外心為0,M,N為線段AB,AC上的兩點，且0

恰為肱V中點.

⑴證明：I4WWMBH4VWNCI

(2)若|AO|=否，\OM\=1,求沁的最大值.

3.(2023?青海西寧?統(tǒng)考二模)如圖，在A6C中，。是8c邊上的一點，a=ZBAD,

尸=ZDAC.

(2)若O為靠近8的三等分點，AB=2小，AC=2,。=90。,/R4C為鈍角，求三博.

4.(2023?全國?高三專題練習)在R4B中，PA=PB,點、C,。分別在尸3,PA邊上.

TT

(1)若NAP8=§,CD=\,求PCD面積的最大值；

⑵設(shè)四邊形ABCD的外接圓半徑為R,若/APBe且4?.3cCDD4的最大

4

值為求R的值.

5.(2023?全國?高三專題練習)在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

43asinB=2/7cos2'十。.

2

⑴求角A的大小；

(2)若3C邊上的中線AT>=1,求12ylBC面積的最大值.

6.(2023?北京?高三專題練習)如圖，在ABC中，AC=4也，C=：,點。在邊BC上，

6

cosZADB=

3

A

⑴求AD的長；

(2)若△AB。的面積為2亞，求AB的長.

7.(2023春?廣東佛山?高一南海中學校考階段練習)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊

分別為。，b,c,且石(ocosC-6)=csinA.

⑴求角A；

⑵若為邊上中線，AD=^-,AB=5,求△ABC的面積.

2

8.(2023春?高一單元測試)在，ABC中，a,b,c分別是二A6C的內(nèi)角A,B,C所對

>?、_Lnba-c

的邊，且----------=-----------.

sinA+sinCsinB-sinC

(1)求角A的大小；

(2)記:ASC的面積為S,^BM=\MC,求匹［的最小值.

2c

9.(2023?重慶?統(tǒng)考模擬預測)在平面四邊形ASCZ)中,

ZA=90°,ND=60°,AC=6,CD=36.

⑴求..ACD的面積；

93

(2)若cos/AC2=一，求A2+—2C的值；

164

10.(2023春?遼寧本溪?高一校考期中)已知J1BC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,

b,c,且c=26-2acosC.

⑴求角A；

⑵若M為3c的中點，AM=杷,求,ASC面積的最大值.

11.(2023?吉林白山?撫松縣第一中學校考模擬預測)在①

(…)sin(A+3HT)(sinA+s皿②2S=aA-BC；③bcosCw￥csinB；

這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.問題：在.ABC中，角

A、B、C的對邊分別為。，瓦c,且_____.

⑴求角8的大小；

(2)AC邊上的中線3。=2,求ABC的面積的最大值.

12.(2023?江蘇南通?江蘇省如皋中學?？寄M預測)如圖，平面四邊形A5CQ中，AD=5,

CD=3,ZADC=120°.ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且滿足

Q+b_sinA—sinC

csinA-sinB

⑴求四邊形ABC。的外接圓半徑R；

(2)求_ABC內(nèi)切圓半徑廠的取值范圍.

13.(2023春?遼寧沈陽?高一沈陽市第一二O中學?？茧A段練習)在AABC中，

A/3sin^B+^=-cos^B+^.

⑴求B的值；

(2)給出以下三個條件：①/一斤+°2+3°=0；②a=C，b=l；③$小鼠="￥，若

這三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件并回答下面問題：

(i)求sinA的值；

(ii)求/ABC的角平分線2。的長.

14.(2023春?江蘇無錫?高一錫東高中校考期中)在.ASC中，角A,8,C所對的邊分別

為a,b,c,且b,cosA-c—a

2

⑴求角B;

⑵若sABC的面積為26，8c邊上的高AH=1,求6,c的值.

15.(2023春?四川瀘州?高一四川省瀘縣第四中學?？计谀?記J1BC的內(nèi)角A,B,C

的對邊分別為。，b,c.已知sinC=2sinAsinB,點。在邊A3上，且CD_LAB

⑴證明：。=卜；

⑵若/+尸=質(zhì)必，求—ACB.

16.(2023?全國?高一專題練習)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為名瓦。，。=6,

Z?+12cosB=2c.

⑴求A的大??；

(2)M為ABC內(nèi)一點，A"的延長線交3C于點。，,求ABC的面積.

請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使..ABC存在，并解決問題.

①M為ABC的外心，AM=4；

②M為ABC的垂心，MD=6

③V為ABC的內(nèi)心，AD=3回

17.(2020秋.遼寧大連?高三大連八中?？茧A段練習)在11ABe中，角A,B,C的對邊分

別為a,6,c,_1.?-ZJCOSC=A/3CsinB.

⑴求B；

(2)若a=2,且ABC為銳角三角形，求ABC的面積S的取值范圍.

18.(2023春?河南周口?高一周口恒大中學?？茧A段練習)在ABC中，角A,3,C的對

邊分另I」a,b,c,cosCsinA+-sinCsinA-.

⑴求B；

(2)若ASC的周長為4,面積為且，求江

3

19.(2022秋?湖南岳陽?高三?？茧A段練習)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,且〃sinC=V^csin'十°

2

(1)求角A的大??；

71

⑵若點。在邊5。上，且CD=3&)=3,/BAD=—,求△A3C的面積.

6

20.(2023?福建福州?福州三中校考模擬預測)在ABC中，內(nèi)角A,B,。所對的邊分

別為。，b,c,且一=tanB+tanA.

acosB

⑴求A;

(2)若D為BC上一點,且8C=35D=^A3,AD=3,求ABC的面積.

參考答案:

1.（i）（f,3d

⑵2

【分析】(1)分和尤＞。討論即可；

(2)寫出分段函數(shù)，畫出草圖，表達面積解方程即可.

【詳解】(1)若則/(無)=2a-2x-a＜尤，

即3x＞a,解得尤＞三,即

若x＞。廁f（x）=2x-2a-a＜x,

角軍得xV3々，即av%v3a,

綜上，不等式的解集為［

—2x+ax<a

（2）/（%）=9

2x-3a,x>a

畫出了(x)的草圖，則/⑴與X軸圍成ABC,

ABC的高為。4刊，5屋，°｝所以|明=。,

所以5^^=；148因=；"=2,解得。=2.

【分析】(1)設(shè)4^=%,3Af=M，/W=X2，CN=y2，利用余弦定理求得cosNAMO,cosZ.BMO,再根據(jù)

cosZAMO+cosZBMO=0,化簡，可求得再％,同理可求得超為，即可得證；

(2)利用余弦定理求得cosNAOA/,cosZAON,再根據(jù)cosZAQH+cosZAQV=0結(jié)合(1)求得1：+4,

設(shè)〃=/=自，可求得彳+〃，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.

【詳解】(1)證明：設(shè)AM=%,BM=%,4V=%,CN=%,

y^+OM2-BO2

由余弦定理知：cosNAM0='j+一二」。cosZBMO=

2yl-OM

由。是一ABC外心知AO=BO=CO9

而cosZAMO+cosZBMO=0,

,X^+OM2-AO2y^+OM2-BO2

所以'------------+—------------=0n，

“'八2xcOM2yxOM

即(石％+O"-A。"石+%)=0,

而入+乂。0,因止匕MM=4。2—。用2,

同理可知％2%=4。2—。儲，

因此占M=%%，

所以|AM|?|M3R4V|.|NC|；

(2)解：由(1)知石%=/％=2,

rh4口六工用斤口//tea/A.O2+OM2—x3AO"+ON2—Xy

由余弦定理知：cosZAOM=------------------cosZAON=-----------------------j

2AOOM2AOON

2

代入cosZAOM+cosZAON=0得+x2=8,

設(shè)〃=土,/=①，則…/+立=4,

%%22

114

SAM-BMM=

因止匕S..,.ARAC一(〃+1)(2+1)_]+?

"九4

當且僅當〃=2=2時取到等號，

因此沁的最大值為

\ABC9

3.(1)證明見解析.

(2)273.

【分析】（1）在二54。和二皿）中分別用正弦定理表示出BQ。。，相比即可證明結(jié)論；

⑵利用⑴的結(jié)論可求得sina乎,繼而由余弦定理求得5c的長，即可得DC長,從而求得的的長,

即可求得答案.

BDAB八八ABsina

【詳解】（1）證明：在人氏10中,BD=-----------------,

sinZBADsinZBDA----------sinZBDA

DCAC,云ACsin-

在，C4D中,

sinZ￡)AC-sinZCDA…-sinZCDA

由于NBDA+ZCDA=180°,故sinNBDA=sinZ.CDA，

ABsina

所以空=sinABDAAB-sin?

mDC^ACsin/?AC-sinZ?,

sinZCDA

(2)因為力=90。，故A4LAC,由—B4C為鈍角，故=為銳角,

又灰=ACsin/'且〃為罪近8的二等分點，AB=2址,AC=2,

1112近sina幣

故一二--------sma=——，

22sin〃14

故BC2=AB2+AC2-2AB?ACcos(cr+90)=32+8?xsina=32+8，*x立=36,

14

2_____________

故BC=6,:.OC=§x6=4,則AD=，￡>C2—AC?=J16-4=2"

故SArn=-AD-AC=-x2^x2=2^/3.

22

4.(1

⑵:

【分析】(1)利用余弦定理及基本不等式求得PCPD的最大值為1,再利用面積公式即可求解；

(2)由四邊形ABCD存在外接圓，知四邊形ABCD為等腰梯形，連接AC,設(shè)/CBA=6,ZCAB=x,利

用正弦定理，表示AB,BC,C￡>,進而利用基本不等式求解.

TT

【詳解】(1)由已知NZ)PC=/APB=§,

在,PCD中，利用余弦定理知1=CLP=PC2+PD2-2PCPDcosZPDC,

TT

結(jié)合基本不等式有1>2PC-PD-2PC-PDcos-=PCPD,

當且僅當PC=PD=1時，等號成立，即PCPD的最大值為1,

S=-PCPDsin-=—PC-PD<—

RPDCD2344

所以PCD面積的最大值為3

4

(2)四邊形ABC。存在外接圓，二/八鉆+"08=萬

又PA=PB,:.ZDAB=NCBA,:.NCBA+/DCB=兀，

:.ABHCD,所以四邊形ABC。為等腰梯形，

連接AC,設(shè)NCBA=6,ZCAB=x,

在484。中，由正弦定理得，二型二2R,

sin(^--x-c/)sinx

BC=2Rsin%,AB=2Rsin(?—X—6)=2Rsin(6>+x)

同理，在.ACD中，由正弦定理得，CD=2Rsin(^-x),

所以AB?BC-CD-DA=16R4sin2xsin(6-x)sin(6+x)

=16R4sin2x(sin2^cos2x-cos2^sin2xj

=16R4sin2x^sin20(^1-sin2x)-cos2Osin?%]

二16R4sin2x^sin23—sin2%)

JT|7T

NAPBe-,TTL:.Q<X<0<—,/.0<sin2x<sin26^

sin2x+(sin26-sin。x|

/.16R4sin2x^sin2^-sin2x)<16R4----------'-----------------=4R"sin,0,

2

當且僅當sin?%=siY8一sinz%,即sin2x=^-sin20

2

,.-.sin2^^-,當且僅當6=工時，等號成立,

4吟43

⑵百

【分析】（1）通過三角恒等變換和正弦定理化簡即可.

⑵將中線仞=1轉(zhuǎn)化為向量二的模長，從而求出的最大值，即可求出面積的最大值.

DI

【詳解】(1)依題意有瓜sin3=28cos2-------=(1—cosA)。.

2

/.A/3sinAsinB=(1—cosA)sinB,又sin3w0,

/.6sinA=1-cosA,又sin2A+cos2A=1,

解得sinA=^^,cosA=-；，AG(0,7i),

,271

A=—；

3

4DiAT

(2)因為|AO|=|^-|=19\AB+AC\=2,

2

_.___27r--.

所以|+|+2\AB\\AC\COS-=\AB\2+\AC\1-\AB\AC\=4>\AB\\AC\,

??.(IAB||ACI)1mx=4,當且僅當|AB|=|AC|=2時成立，

故，ABC面積的最大值為S=1|AB||AC|sinA=V^.

2

6.⑴AD=3

(2)AB=3

【分析】(1)根據(jù)三角形中鄰補角互補，cosZA￡>B=1,由平方關(guān)系得sin/ADC,再結(jié)合正弦定理即可求

得的長；

(2)由得面積可得sinNA￡>C=sinNAZ>3=2、g,再結(jié)合余弦定理即可求得AB的長.

3

【詳解】(1)因為NAZM+NADC=7t,所以cos/ADC=-cos/AD2=-;

在AWC中，因為/ADCe(O,7i)

所以sinZADC=-cos?NADC=

ADAC

在△ABD中，由正弦定理得,

sinCsinZADC

4A/2X-

AC-sinC

所以AO==_____2.=3

sinZADC-2V2;

3

(2)△ABD的面積為2正，|OB-DAsinZADB=2^

因為ZAD3+ZAZ)C=7i,所以sinNA￡)C=sinNAZ>B=^^

3

又因為AD=3,所以BD=2

在△ABD中，由余弦定理得AB?+

3

所以AB=3.

2兀

7.(Dy

65G

4

【分析】（1）用正弦定理邊化角，再用三角恒等變換即可求解;

（2）利用cosNAD3+cosNAr）C=0,分別在△相￡＞和八ACD運用余弦定理可得

2a2-4&2+158=0,再在△ABC運用余弦定理得〃+25+5。，兩式聯(lián)立即可求得6=13,最后直接用三

角形面積公式即可求解.

【詳解】（1）由正弦定理得目（sinAcosC-sinB）=sinCsinA,

V3sinAcosC-百sinB=sinCsinA,

6sinAcosC-5/3sin(A+C)=sinCsinA,

-^3sinCcosA=sinAsinC，

?sinCW0,??tanA——A/3,

27r

X*?,0<A<7i,A,

(2)由已知得AC=b,BD=DC=~,

2

3-2529+2

在△的中，由余弦定理得"SNA如不翦二號,

2x—x-------

22

2

129a,2

才十7一匕29+〃2_如2

在△ACO中，由余弦定理得COS/A0C=-4—

a<1292A/129?

2x—x-------

22

又cosZADB+cosZADC-0,

2Q2—4匕2+158=0,

在aABC中，由余弦定理得/=〃+25+58,

以上兩式消去標得人2一5。-1（）4=0,解得b=13或萬=—8（舍去）,

貝ijsMC=gbc?sinABAC=.

8.(l)A=j

⑵：出

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理先將邊角化統(tǒng)一，然后由余弦定理即可得到結(jié)果;

12I|2

（2）根據(jù)題意可得，AM=-AC+-ABf然后得到,再由三角形的面積公式可得S,最后結(jié)合基本

不等式即可得到結(jié)果.

bu—csinB-sinCa-c

【詳解】（1）因為即

sinA+sinCsinB-sinCsinA+sinC~~b~

b-ca-c

由正弦定理可得,，化簡可得〃2=/+。2一兒,

a+cb

且由余弦定理可得，a2=b2+c2-2/?ccosA,所以cosA=g,

2

且A?0㈤，所以

所以|阿2=，心］“三時+［時網(wǎng)5+*可=#+#+|歷

且S=—bcsinA=^-bc,

24

Ii2172422］4j21

即丁一一E--刀『一V,

——be——be

44

當且僅當;62

-c,即b=2c時，等號成立.

(\-|2A

\AM\

所以

\7min

9⑴273+27"

(2)8.

【分析】（1）在二ACD中，由余弦定理求得得A￡）,再根據(jù)三角形的面積公式可求得答案;

（2）在［ACD中，由正弦定理求得sin4MC,再由正弦和角公式求得sinB,在4ABe中，根據(jù)正弦定理

求得AB,BC,由此可求得答案.

CD?+A》一心27+A￡>2-36_1

【詳解】（1）解：在ACD中，ZD=60。,AC=6,3有，所以cos。=

~2ADCD2-AD-3y/3

解得3T一舍去）,

所以“D」皿。.sin〃=L3岳3死§氐電=27427s

ACD22228

⑵解：在“8中，〃=6。。,心6。=3G所以簽=/^'即五二嬴2即，解得

2

3

sinZDAC=-

4

又NA=90°,所以cosNCAB=cos-ZDAC=sinZDAC=—,所以sin/CAB=,

44

又cosNACB=J,所以sin/AC8=偵，

1616

所以sin3=sin]萬一(ZACB+ZC4B)]=sin(ZACB+ZCAB)

=sinZACBcosZCAB+cosZACBsinZCAB

=，近+旦3=近,

4164168

ABBC6

ABBC

在《ABC中,,牌5幣一百一3幣，

sinZACB-sinZCABsmB——————

所以AB=§幣x6x—=5,BC=x6x—=4，

163V743<7

33

所以AB+—5C=5+—x4=8.

44

IT

10.⑴A=g

(2)73

【分析】(1)解法一：根據(jù)正弦定理邊化角求解即可；

解法二：利用余弦定理將cosC用邊表示再化簡即可；

(2)解法一：根據(jù)基底向量的方法得AM=；(AB+AC),兩邊平方化簡后可得k+c?=12-根，再結(jié)合基

本不等式與面積公式求面積最大值即可；

解法二：i^BM=MC=m,再分別在二ABN,Z\ACM和ABC中用余弦定理，cosZAMB+cosZAMC=0

可得〃+/=12-兒，再結(jié)合基本不等式與面積公式求面積最大值即可

【詳解】(1)解法一：因為。=2〃-2acosC,

由正弦定理得：sinC=2sinB—2sinAcosC,

所以sinC=2sin(A+C)-2sinAcosC=2sinAcosC+2cosAsinC-2sinAcosC=2cosAsinC,

因為sinCwO,

所以2cosA=1,cosA,

2

為0<4<兀，

所以A=

解法二：因為c=2〃-2acosC,

^272_2

由余弦定理得：c=2b-2a?巴上―

2ab

整理得歷=/+。2一/，

即a2=b2+c2-be，

又由余弦定理得a?=Z?2+c2—2Z?ccosA

所以2cosA=1,cosA,

2

因為0<A<兀,

所以A=*

(2)解法一：因為M為5c的中點,

1

所以AM=e(A3+AC),

21/2.2\

所以AM+2ABAC+ACj,

即3=；卜+b2+2bc.cos?：

即b2+c2=T2-bc，

而廿+0&22歷,

所以12-6c22Z?c即6cW4,當且僅當6=c=2時等號成立

所以ABC的面積為=4csinAV」x4xY^w6.

we222

即；ABC的面積的最大值為6.

解法二：設(shè)BM=MC=m,

在&ABA/中，由余弦定理得C?=3+川一2XA/^XCOSN4WB,①

在△ACM中，由余弦定理得"=3+m2-2x6xcosNAMC,②

因為ZAMB+ZAMC=7t,所以8SZAMB+COS^4MC=0

所以①+②式得廿+C2=6+2).③

在，ABC中，由余弦定理得4M=廿+c2-2x歷cosA，

而A=g,所以4m2=b2+c2-be>④

22

聯(lián)立③④得：2/+2C2—12=/+C2—Z?C，BPb+c=12-bc,

而廿+/226。,

所以12-6c22Z?c,BPZ?c<4,當且僅當匕=c=2時等號成立.

所以「.ABC的面積為S4ABC=g8csinAwgx4x等wg.

即一ABC的面積的最大值為6.

H.(I)個

⑵拽

3

【分析】(1)由誘導公式和正弦定理化簡，由余弦定理求出角8的大小；

(2)利用平面向量的模長以及余弦定理，結(jié)合基本不等式，可得，ABC的面積的最大值.

【詳解】（1）若選①在ABC中，因為sin（A+5）=sin（兀一C）=sinC,

故由（。_。）5皿4+5）=（。_。）卜11124+$1113）可得（0_0）51110=（々_人）（5111y1+51113）

由正弦定理得c(a—C)=(〃—為(〃+8),BPc2+a2-b2=ac.

1TT

則cosB=—,又0<5<兀，故8=}.

23

選②2s=6?BA.BC,acsinB=6accosB，**?tanB=BG(0,K),=y-

選③由6cosc=a-迫csin8及正弦定理.sinBcosC=sinA--sinCsinB.

33

XA=TI-(B+C),所以sinBcosC=sin(5+C)—/sinCsinB.

即5111。858—^^11。5由3=0,因為0<。<兀，sinCwO,所以tan3=g.

3

TT

又0<5<兀，得B=g.

綜上所述：選擇①②③，都有3=m.

16

(2)2BD=BA+BCn4忸葉=c2+a2+2ctzcosB16=c2+a2+ca>3ca=>CQW

T

又S*=*a&W~（當且僅當c=〃=孚時取等）

ABC的面積的最大值為迪

3

12.(1)R=友

3

TT

【分析】（1）利用余弦定理求出AC=7,再利用正弦定理和余弦定理求得8=],進而得到A,B,C,。四

點共圓，利用正弦理即可求解.

'=Jl（"+c-7），然后再利用正弦定理和輔助角公式以及正弦函

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論和正弦定理可得:

數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)在二ACD中，AC2=AD2+￡)C2-2AD-DCcos120°=49,

a+bsinA-sinCa-c

所以AC=7,由正弦定理,，可得/=/+c2—ac，

csinA-sinBa-b

1JT

再由余弦定理，cos8=—,又3e(0,;r),所以B=—.因為NA￡)C=120。，

23

所以ZABC+ZADC=180。，所以A,B,C,。四點共圓，

則四邊形ABCD的外接圓半徑就等于ABC外接圓的半徑.

7_14A/3

p2R=----所以人半

又sinB

(2)由(1)可知：6Z2+c2-ac=49,貝！J(Q+C)?=49+3ac.S鉆。=：acsin5=g(a+b+c)",

則「=近歐=)仁3=jc一7).

27+a+c2<37+a+c2V3

在,ABC中，由正弦定理,

ac_b所以叫Msi”,ciinc,

則

sinAsinCsinB333

a+c=14f(sinA+sinC)=14f[sinA+sin(120°-A)]

14A/3

sinA+—cosA+-sinA

322

7

嗎—A+旦cosA1

=14sinA-=14sin[A+6

3222J

又Ae(0,芝I，所以TO所以

14sinA+^e(7,14],所以re

2兀

13.(DB=y

(2)正確條件為①③，(i)sinA=?也，(ii)BD^—

148

【分析】(1)利用和角正弦公式可得2sin[B+：J=0,結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)即可求8的值；

(2)根據(jù)條件組合判斷出正確條件為①③，(i)應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式求各邊長，最后由正弦定

理求sinA；

JT

(ii)由角平分線性質(zhì)求得ZAB。=§,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及兩角和的正弦公式求出sin/ADB,再根

據(jù)正弦定理求BD的長.

【詳解】(1)由題設(shè)氐小+小“2+"=2$小+小0,

,兀八兀4兀

而一<3+一<——,

333

所以3+尹兀，故於不

(2)若①②正確，則C2+3C+2=(C+1)(C+2)=0,得C=-1或C=-2,

所以①②有一個錯誤條件，則③是正確條件,

若②③正確，則SaBc=L"sinC=可得sinC=?>l,即②為錯誤條件,

△ABC242

綜上，正確條件為①③，

(i)Eij2accosB=a2+c2—b1?則。(3-。)=0,即a=3,

又S人畫=LcsinB="若,可得c=5,

ABC24

ab14

所以9一/+25+15=0，可得Z?=7,貝1—^=-^=F，

sinAsinB，3

故sinA=;

14

(ii)因為sinA=鋌且Aw[o,g],^cosA=71-sin2A=—,

14I3J14

TT

由30平分/ABC得NAB。=§,

sinZA￡>B=sin(ZABD+A)=—x—+-x^=^,

在AABD中,

172142147

53

BDA415

在△A3。中，由，得加”

sinAsinZADB

7

14.(1)B=J

o

(2)6=2"c=2

【分析】(1)利用余弦定理角邊互化，再利用三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角，結(jié)合角的范圍即可求解;

(2)根據(jù)正弦定理及三角形的面積公式，再利用余弦定理即可求解.

【詳解】(1)因為bcosA=c一3°,所以---^L=c一走°

22bc2

所以〃+/—4=2c2—sf^ac，BPc2+a1—b1=#>ac

由余弦定理可得cosB=c~+"i=立,

2ac2

因為8?0,兀)，所以Bq

TT7T

(2)由(1)知，B=~,因為8C邊上的高AW=1,所以NAH3=G，

o2

AH

在工ABH中，由正弦定理可得

sinZAHBsin3

AHsin-

A"sin/AHg

即。=2=2.

sin3.71

sin—

6

因為ABC的面積為2vL

11f-廠

所以5收5也3=5。=2括，解得a=4#.

在，ABC中，由余弦定理，得

222

Z,=a+c-2accosB=48+4-2x2x473x^=28,則6=26.

所以匕的值為26，。的值為2.

15.(1)證明見解析

【分析】(1)在RtZ\C￡)3中由銳角三角函數(shù)，WsinB=——，代入條件sinC=2sinAsin5,由正弦定理角

a

化邊得￡=2?笠，即證；

aa

(2)由三角形等面積法，得Sac=；MinC=gxcxCD,代入CD=；。可得c?=2〃8sinC;將條件

a+b2=而和c1=2absinC同時代入余弦定理c2=a2+廿一2而cosC,化簡后利用輔助角公式得到

sin(c+3=#，即可求解.

CD

【詳解】(1)在△CDB中，因為CDLAB,所以sinB=——，

a

又因為sinCuZsinAsinB,所以吧C=2sinB,即"回=2?幺

sinAsinAa

在，ABC中，根據(jù)正弦定理，得￡=20,故CD=1c.

aa2

(2)在ABC中，S&ABC=ia/?sinC=ixcxC￡),

又由(1)知，CD=\c,所以°?=2"sinC,

2

在,ABC中，根據(jù)余弦定理，得/=/+加一?而?os。，

又由已知，a2+b2=y/6ab,2absinC=y[6ab-2abcosC,

所以sinC+cosC=~~~，則&sin[c+：)=乎，即sin[c+：)=,，

因為Ce(O,?)，則C+所以c+；=]或C+；=g,

所以C=3或C=獸，

1212

又點。在邊A3上，且CD_LAB,CD^-c,

2

7T5左

所以/ACD,/BCD必有一個大于等于f,所以C==.

412

16.(1)A=1

(2)答案見解析

2_辦21

【分析】(1)由余弦定理得6+12.=2c,b2+c2-36=2bccosA,可得cosA=—

2ac2

根據(jù)Ae(0,;r)可得答案；

(2)選①，設(shè)_MC的外接圓半徑為R,由正弦定理得R,/為外心得4M=2有，與AM=4盾，故不能

選①.

選②，M為，ABC的垂心得/3MD=ZACB,由BD=^3tanZACB,

CD=y/3tanZACB，BD+CD^6^tanZABC+tanZACB=2^,利用

tan(/A8C+/ACB)=-tan/8AC=-G，求得NABC=/ACF,可得出ABC為等邊三角形，再由面積公式

可得答案.

1JT

選③，M為.ABC的內(nèi)心，所以/A4D=/C4O=—/B4C=—,

26

由"+和正弦定理可得b+c若，結(jié)合〃+。2-36=瓦，和面積公式可得答案；

【詳解】(1)在ABC中，由余弦定理得cos3=--------------,又因為〃=6,h+12cos5=2。，

lac

^22_r2

所以"12/十。一也=2。,整理得從+，—36=歷.

lac

在《ABC中，由余弦定理得〃+02-36=2)ccosA,所以bc=2Z?ccosA,

1

即cosA=±又因為Ae(O/),所以A=g7r.

23

(2)選①，

Be6

設(shè)ABC的外接圓半徑為R,則在_ABC中，由正弦定理得2"=而］=丁=4括，即尺=2用，因為M為

sm—

3

外心，所以AM=2』，與AM=4盾，故不能選①.

選②，

7171(71)

因為M為ABC的垂心，所以=5-/肘8。=萬一W-/ACB=/ACB,

又MD=6,所以在，MBD中，BD=MD-tanZBMD=tanZACB,

同理可得CD=6tanZABC,

又因為8D+CD=6,所以石tan/ABC+石tan/AC2=6,即

tanZABC+tanNACB=2百，

又因為在，ABC中，tan(ZABC+ZACB)=-tanABAC=一?,

tanZABC+tanZACBr-.,,一c

所以--------------------=73,因止匕tan/ABCtan/ACB=3,

1-tanZABCtanZACB

故tanZABC,tanZACB為方程f—2A+3=0兩本艮，BPtanZABC=ta