2022-2023年研究生入學《數(shù)學二》預測試題(答案解析)

正確答案：D

本題解析：

因為limz'?-J=1且1,所以j―發(fā)散,因為lim(H—I)1?---------—=1且a=20l,所以

第壹卷Ix^x+TxVx+1I(?-1)!77

p_x,e--'dx=j二工％r'dx-

______X_____xdx

因為limx'1且a十】，所以發(fā)散;

r2

J工+1?A/X1+1+1--Jx4-1顯然J：H%r'dx為正常積分，

因為3)34工”獷工，「業(yè)=5(」+1)=%(1+>4

收斂，應選(D).

一.綜合考點題庫(共50題)

1.下列廣義積分收斂的為

2.已知高溫物體置于低溫介質(zhì)中，任一時刻物體溫度對時間的變化率與該時刻物體和介質(zhì)

「dx

AJ.

->的溫差成正比，現(xiàn)將一初始溫度為120℃的物體在20℃的恒溫介質(zhì)中冷卻，30min后，該

尸./__

Jl(x—1)*Jx物體溫度降至30℃,若要物體的溫度繼續(xù)降至21℃,還需要冷卻多長時間？

C」?v7+T?"+1

正確答案：

DJ'

J-co本題解析：

設t時刻物體的溫度為x(t)(t單位：小時)，比例常數(shù)為k(>0),介質(zhì)溫度為m,則dx/dt=k(x

—m),從而x(t)=Cekt+m,x(0)=120,m=20,所以C=100。貝！Jt時刻物體溫度方程為x(t)=

100ekt+20o

取(1/2)=30,0k=-(InlO)/30o團當x=21時，t=60。故還需要冷卻30min。

A.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

〃⑴=

D.見圖D3.千(x)與g(x)的圖像如圖所示，設u(x)=f[g(x)],則

A(a2，q9(X3).

B（6，4一色，小一?！浚?

C（30］a+03，。2一?。?

D（2%,3。3，a］）.

A.見圖A

見圖

正確答案:BB

見圖

本題解析:C.C

D.見圖D

g(l)=3,g<(i)=1^r!

由?，(x)=/[g(x)]?g'Gr),有/(l)=/[g(D]g'(D,其中故

〃'(1)=/(3)?/(正確答案：C

本題解析：

【分析】叫是從的屬于船-1的特征向量，故3al仍是A的屬于船-1的特征向*.a,a是4的屬

租一】的線性無關特征向fit，故。?+%工0，5一《1射。仍是4的屬于船-力--1的線性無

關的特征向?.根據(jù)P中的特征向■排列次序和對角矩陣中元素兒（。j1,2.3）的排列次序一致的要

求，應選C.

4.

4Z?1?

1■

已知P-】AP=-1

是的屬于貓=1的特征向垃

,4A,Q2設娓3階實對稱矩陳，E是新單位矩陳。若A2+A=2E，且|A|=4,則二次型xT/\x的規(guī)范

—15.型為（）。

的屬于入2=入3=_］的線性無關的特征向量，則矩陣口=

A.yi2+y22+Y32的特解。

B.2+y2-y32

yi2(I)求y(x)；

222

C.y1-y2-y3

(II)設平面區(qū)域D={(x,y)|1WXW2,OWyWy(x)},求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體

D--yi2-y22-y32

的體積。

正確答案：

A.見圖A

本題解析：

(團)用一階線性微分方程通解公式，可得

B.見圖B

2

C.見圖Cy-e卜，T+C)

D.見圖D

=”-(cJl#+C)

2

正確答案：cX

=ey(^x+C)

本題解析：由

要求二次型xTftx的規(guī)范型，只需計算矩陣A的特征值得到A的正負慣性指數(shù)即可。由1

A2+A=2E^SA2+A-2=0,所以府特征值只能為1或-2。又因為|A|=4且A是3階X)=&

矩陣，所以A的特征值為1，-2,-2。由A的特征值符號可得正慣性指數(shù)為1,負慣

得c=o,所以

性指數(shù)為2,所以規(guī)范型為力2-丫22-丫32。故選C。

?2

y=y(x)=Vre2

(團)結合(團)中求出的函數(shù)y(x),且0={(x,y)|l<x<2,0<y<y(x)},可得旋轉(zhuǎn)體體積為

、2

V=nJ；(Vxe2):dr=nj'.xerdv

6.設函數(shù)v(x)是微分方程

亨［；=永e，-e)

滿足條件

堿1：)；=V?

T\+22+2勾一工4=1，即片2,且q=4時，方程組有無窮多解，此時

~112-11--112—11

x+pX3+g44=q-3,0123—10123—1

2(A：b)f—?

000-2—400012

7.設線性方程組.Xi+力2+2z3+(q-2)々=q+3.問方程組何時無解,

_00036.,00000.

有唯一解，有無窮多解，有無窮多解時，求出其全部解。

方程組的通解為^(0,—2,l,0)T+(10,—7,0,2)T,

正確答案:

本題解析：

將方程組的增廣矩陣作初等行變換，有

1-

12-11-1128.甲，乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處，圖1中實線表示甲的速

1—1

-2-730-2-4度曲線(單位：虛線表示乙的速度曲線三塊陰影部分面積的

(AIb)=—>v=v1(t)m/s)ov=v2(t),

01

Pqq—301P數(shù)值依次為10、20、3,計時開始后乙追上甲的時刻記為to(單位：S),則()o

,112q~2q+3_,o00

1?

12一11■-112-1

0—1

—?-2-310123

—?

00p—2q—3q—200p—2-2

,0

00q—1g+2__000q-l

當9=1,力任意時,r(A)Vr(A|b),方程組無解.

當qHl少六2時,r(A)=r(A|b)=4,方程組有唯一解.

~2一4

當戶=2,且

9~1q+2

A.t0=10

B.15<t0<20即a+y<2>y=y",于是有

f/=a+y2)y

C.tO=25b<o)=o,y(o)=i

令y，=P,則y”=dP/dx,于是有dP/dx=P(l+p2),變里分離得

D.t0>25

兩邊積分得

x=-ln-^-r+C

正確答案：c21+廣

由P(0)=1得

本題解析：

從。到to時刻，甲乙的位移分別為￡與["⑺"。根據(jù)圖像,to=o時，甲在乙前方“m,

由定積分的幾何意義知，乙追上甲滿足方程：

，卜(。-匕(磯山=1。

而在t0=25時，乙比甲多跑10m,滿足題意，故t0=25。

9.設函數(shù)y(x)具有二階導數(shù)，且曲線I:y=y(x)與直線y=x相切于原點，記a為曲

線I在點(x,y)處切線的傾角，若

10.曲線

da_4V

drdrx=e'udz/

求y(x)的表達式。[y=/ln(2")

在(0,0)處的切線方程為1

正確答案:

本題解析：

dy/dx=tana,兩邊對x求導得

da“正確答案：y=2x

sec-a----y

dr.本題解析：

暫無解析

設D層圖域D={(x,y)iR+fSD在第嗑限的部分，記

4={[(y-.v)dr<hU=l,2,3,4)

12貝”()。

riarcsin

M(I)

A.n2/4

B.n2/8

A.11>0

C.n/4

〔〔D.n/8B.12>0

C.13>0

D.14>0

A.見圖A

正確答案：B

B.見圖B

本題解析:

C.見圖C

方法一：區(qū)域Di，D3均關于直線x=y對稱，H=0,13=0,且

D.見圖Dh=JJ[>'+(-v)]da>0

6

(?.,y+(-x)>0)，且

A=jJ[y+(-x)]da<0

正確答案：A

5

(vy+(-x)<0)。

本題解析:方法二：由極坐標系下二重積分的計算可知

仁]

||G-x)&0V=J(j「dt?j(sin6-cos6)r?dr

=ip.,(sinJ-cos6)de

=2|arcsin/darcsinr=(arcsin=(arcsin1)^

=-；(sin6+co沏

所以11=13=0,l2=2n/3,l4=-2n/30

已知困數(shù)

f2(x-l)x<l14.設A是4階矩陣,A*為A的伴隨矩陣,若線性方程組Ax=O的基礎解系中只有2個向量,

/(*)=f

ilux,X>1

則f(X)的一個原函數(shù)是(則r(A*)=()o

x<l

A.尸(x)=

x(tox-l).x2il

(x-l)：x<\

[x(lnx+l)-1,xNl

RM；a-MX<1A.0

[x(lnx+l)+l,

B.1

皈:::C.2

13.

D.3

正確答案：A

A.見圖A

本題解析：

B.見圖B

伴隨矩陣的秩

C.見圖C

%「(1)=〃

D.見圖DLr{A}-n-\

(0,r(A)<n-l

正確答案：D由于r(A)=n—2<n—1,所以r(A*)=0o故選A。

本題解析:

J2(x-l)dr=(.t-l)2+q,X<1

F(x)=J/(x)=

Jinxdx=x(lnx-l)+c2.XN1

因為f(X)在X=1處連續(xù)，則其原函數(shù)F(x)在X=1處也連續(xù),

即C]=-1+C25令15.設

ci=O>可得C2=l。則

x<la00

F(x)=、

x(lnx-l)-i-LXNlOla0

為f(x)的一個原函數(shù)。001a

I。00L

1

-1

p=

0

O

(I)求|A|;

(II)已知線性方程組Ax=B有無窮多解，求a,并求Ax=B的通解。

正確答案:

A.x

本題解析:

B.y

D.0

(H)若要線性方程組Ax=陪無窮多解，則需r(A)=r(A,g)<n。因為

正確答案：c

本題解析：

可知當要使得原線性方程組有無窮多解，則有l(wèi)-a4=0及-a-a2=0,可知a=-［分析］方程F()?，?")=0兩邊同時對/求偏導數(shù)，得

此時，原線性方程組簿廣矩薛為dz

r1-1001'

01-10-1Fl?(一為+H*~~=°，

001-10

-10010,

進一步化為行最簡形得

rl00-10

01011解得

001-10

、00000,將方程兩邊同時對y求偏導數(shù),得

(0)俏

可知導出組的基礎解系為：，非齊次方程的特解為:，故其通解為T+:。

解得

于是

16.

設函數(shù)z=z(工，”由方程FR,})=0確定，其中F為可微函數(shù)，且」

則z蟲+匹=(17.設A=(a1,a2,a3,a4)是4階矩陣，A*為A的伴隨矩陣。若(1,0,1,0)T

火Jarydy

是方程組Ax=O的一個基礎解系，則A*x=O的基礎解系可為()oA.見圖A

B.見圖B

C.見圖C

A.a1,a3D.見圖D

B.a1,a2

正確答案：B

C.a1,a2,a3

本題解析：

D.a2,a3,a4

取函數(shù)f(X)=2x2-3計算得］：/?方＜0,且此時不茜是A、C、D選項，故選

B。

正確答案：D

本題解析：

因為Ax=O基礎解系含一個線性無關的解向量，所以r(A)=3,于是r(A*)=1,故A*x=O基礎解系

含3個線性無關的解向量。又A*A=|A|E=O且r(A)=3,所以A的列向量組中含A*x=O的基礎解系。

19.設曲線L的方程為y=x2/4-lnx/2(1WxWe)。

因為(1,0,1,0)T是方程組Ax=0的基礎解系，所以al+a3=0,故al,a2,a4或a2,a3,a4線

性無關，顯然a2,a3,a4為A*x=0的一個基礎解系，故選D項。

(I)求L的弧長；

(II)設D是由曲線L,直線x=1,x=e及x軸所圍平面圖形，求D的形心的橫坐標。

正確答案：

18.設二階可導函數(shù)f(x)滿足f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1,且f"(x)>0,

本題解析:

則()。

A.J']/(.r)dr>0

B-￡j(x)dt