2024年廣東省高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章：統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析

I.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200

名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)(滿分100分)，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖).

一般學(xué)校認(rèn)為成績(jī)大于等于80分的學(xué)生為優(yōu)秀.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)；

(2)依據(jù)樣本的頻率分布直方圖，估計(jì)總體成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù).

解(1)由樣本的頻率分布直方圖可知，

在該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)優(yōu)秀的頻率是(0.020+0.008)X10=0.28,

則3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)為3000X0.28=840.

Qf)

(2)由樣本的頻率分布直方圖可知，總體成績(jī)的眾數(shù)為歿型=75,

平均數(shù)為

0.002X10X35+0.006X10X45+0.012X10X55+0.024X10X65+0.028X10X75+

0.020X10X85+0.008X10X95=71.2.

所以總體成績(jī)的眾數(shù)為75,平均數(shù)為71.2.

2.為進(jìn)一步增強(qiáng)疫情防控期間群眾的防控意識(shí)，使廣大群眾充分了解疫情防護(hù)知識(shí)，提高預(yù)

防能力，做到科學(xué)防護(hù).某組織通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行疫情防控科普知識(shí)問(wèn)答.共有100人參加了這

次問(wèn)答,將他們的成績(jī)(滿分100分)分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]

這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中“的值，并估計(jì)這100人問(wèn)答成績(jī)的中位數(shù)和平均數(shù)；(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中

點(diǎn)值代替)

第1頁(yè)共8頁(yè)

(2)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從問(wèn)答成績(jī)?cè)冢?0,80)內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本,

再?gòu)臉颖局腥我獬槿?人，求這2人的問(wèn)答成績(jī)均在［70,80)內(nèi)的概率.

解(1)由圖可知，10X(2X0.005+a+0.02+0.025+0.03)=l,

解得a=0.015.

設(shè)中位數(shù)為X,

則0.05+0.15+0.2+0.03X(*—70)=0.5,

這100人問(wèn)答成績(jī)的平均數(shù)為

45X0.05+55X0.15+65X0.2+75X0.3+85X0.25+95X0.05=72.

(2)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法從問(wèn)答成績(jī)?cè)冢?0,80)內(nèi)的人中抽取一個(gè)容量為5的樣本，

2

則問(wèn)答成績(jī)?cè)冢?0,70)內(nèi)的有車X5=2(人)，分別記為4,B；

3

問(wèn)答成績(jī)?cè)冢?0,80)內(nèi)的有了百X5=3(人)，分別記為a,b,c.

從中任意抽取2人，則試驗(yàn)的樣本空間

Q={(A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)},

共有10個(gè)樣本點(diǎn).

設(shè)事件4為2人的問(wèn)答成績(jī)均在［70,80)內(nèi)，

則A={(〃，b),(a,c),(b,c)},共有3個(gè)樣本點(diǎn)，

3

所以這2人的問(wèn)答成績(jī)均在［70,80)內(nèi)的概率P(A)=而.

3.為弘揚(yáng)勞動(dòng)精神，樹立學(xué)生”勞動(dòng)最美，勞動(dòng)最光榮”的觀念，某校持續(xù)開展“家庭勞動(dòng)

大比拼”活動(dòng).某班統(tǒng)計(jì)了本班同學(xué)1?7月份的人均月勞動(dòng)時(shí)間(單位：小時(shí))，并建立了人

均月勞動(dòng)時(shí)間y關(guān)于月份x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;=￡+4,y與x的原始數(shù)據(jù)如表所示：

月份X1234567

人均月勞動(dòng)時(shí)間y89m12n1922

7

由于某些原因?qū)е虏糠謹(jǐn)?shù)據(jù)丟失，但已知2＞通=452.

/=1

(1)求〃?，〃的值；

(2)求該班6月份人均月勞動(dòng)時(shí)間數(shù)據(jù)的殘差值(殘差即樣本數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)值之差).

第2頁(yè)共8頁(yè)

X-y

AAAA?=1A____A____

參考公式：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=〃x+〃中，b=------------------,a—y—hx.

fr?-?T2

i=\

—1—1

解(1)由表知，x=yX(l+2+3+4+5+6+7)=4,y=yX(8+9+/n+12+/?+19+22)=

70+m+〃

7'

7_

所以編一7x2=l2+22+32+42+52+62+72-7X42=28,

i=\

7_______

7x-y10+m+n

AE452-7X4X---------

所以〃="，

Zx?-7X2

1=1

A

即加+〃=43—7b,①

因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線恒過(guò)點(diǎn)(1,7),

70+/n+〃人?

所以--------=4〃+4,

A

即m+〃=286—42,②

"17

由①②，得b=干m+n—26,③

7

因?yàn)?通=8+18+3，〃+48+5〃+114+154=452,

1-1

所以3根+5n=110,④

由③④，得，”=10,n—16.

"17

(2)由(1)知，經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=*yx+4,

A17130

所以當(dāng)x-6時(shí)，預(yù)測(cè)值y=^X6+4=亍，

1303

此時(shí)殘差為19—

4.為推動(dòng)更多人去閱讀和寫作，聯(lián)合國(guó)教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”，

其設(shè)立目的是希望居住在世界各地的人，無(wú)論你是年老還是年輕，無(wú)論你是貧窮還是富裕，

都能享受閱讀的樂(lè)趣，都能尊重和感謝為人類文明做出過(guò)巨大貢獻(xiàn)的思想大師們，都能保護(hù)

知識(shí)產(chǎn)權(quán).為了解不同年齡段居民的主要閱讀方式，某校興趣小組在全市隨機(jī)調(diào)查了200名

第3頁(yè)共8頁(yè)

居民，這200人中通過(guò)電子閱讀與紙質(zhì)閱讀的人數(shù)之比為3：1.將這200人按年齡(單位：歲)

分組，統(tǒng)計(jì)得到通過(guò)電子閱讀的居民的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求a的值及通過(guò)電子閱讀的居民的平均年齡；

(2)把年齡在［15,45)內(nèi)的居民稱為中青年，年齡在［45,65］內(nèi)的居民稱為中老年，若選出的200

人中通過(guò)紙質(zhì)閱讀的中老年有30人，請(qǐng)完成下面2X2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.025的

獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析閱讀方式是否與年齡有關(guān).

電子閱讀紙質(zhì)閱讀合計(jì)

中青年

中老年

合計(jì)

____n(ad—bc￥____

附：/2=n=a+h+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+J),

a0.150.10.050.0250.01

Xa2.0722.7063.8415.0246.635

解(1)由頻率分布直方圖可得10X(0.01+0.015+0+0.03+0.01)=1,

解得a=O.O35,

所以通過(guò)電子閱讀的居民的平均年齡為

20X10X0.01+30X10X0.015+40X10X0.035+50X10X0.03+60X10X0.01=41.5(歲).

3

(2)這200人中通過(guò)電子閱讀的人數(shù)為200X,=150,

通過(guò)紙質(zhì)閱讀的人數(shù)為200—150=50.

因?yàn)?0.01+0.015+0.035):(0.03+0.01)=3:2,

3

所以通過(guò)電子閱讀的中青年的人數(shù)為150X］石=90,

中老年的人數(shù)為150-90=60.

2X2列聯(lián)表為

電子閱讀紙質(zhì)閱讀合計(jì)

第4頁(yè)共8頁(yè)

中青年9020110

中老年603090

合計(jì)15050200

零假設(shè)為Ho：閱讀方式與年齡無(wú)關(guān).

2

L士上運(yùn)3，0、200X(90X30-20X60),,_

由表中數(shù)據(jù)，付/=1mvonv1;536.061>5.024=%o.o25>

11U入y\J入1，U入JV

所以依據(jù)小概率值a=0.025的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立，即認(rèn)為閱讀方式與年齡有關(guān).

5.2017年9月國(guó)家發(fā)改委制定了煤改氣、煤改電價(jià)格扶植新政策，從而使得煤改氣、煤改

電用戶大幅度增加.圖1所示的條形圖反映了某省某年1?7月份煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量.

y（萬(wàn)戶）

5

4

3

21,021.131.21例瀉禽如

”門口口向nnn

123456

圖1

1.8

1.6

1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

01234567f

圖2

⑴在圖2給定坐標(biāo)系中作出煤改氣、煤改電用戶數(shù)量y隨月份r變化的散點(diǎn)圖，并用散點(diǎn)圖

和樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明y與f之間具有線性相關(guān)性；

（2）建立y關(guān)于/的經(jīng)驗(yàn)回歸方程（系數(shù)精確到0.01）,預(yù)測(cè)該年11月份該省煤改氣、煤改電的

用戶數(shù)量.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（的，V\）,（W2,。2）,…，（?/:,%），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程0=角+。的斜率

“___

Z(W/-U)(Vi—V)2的偽一〃U.V

Ai=[i=\A_A_

和截距的最小二乘估計(jì)公式分另U為4=------------------------=--------------------,a=v—pu.

4%?-U)~V2—2

cZ^u7~nu

i=\

77

參考數(shù)據(jù)：ZM=9.24,z砂產(chǎn)39.75,ZGLyA.0.53,市心2.646.

尸i尸i

第5頁(yè)共8頁(yè)

E(為一X)(y,-y)

/=1

樣本相關(guān)系數(shù)r=

E(Xi-X)2SO',—y)2

i=li=l

解(1)作出散點(diǎn)圖如圖所示.

Z(6-7)(y,-7)=＞通一7=39.75-4X9.24=2.79,

i=l

所以個(gè)0.53X2X2.646「899.

y與，的樣本相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說(shuō)明y與r的線性相關(guān)性相當(dāng)高,

從而可以用線性回歸模型擬合)，與/的關(guān)系.

—924

(2)由y=-y—=1.32,

￡(t,-t)(y(—y)

A尸i27Q

又由(1)得b==28~0.10,

Z(ti~t)2

1=1

A____A____

a=y-htg1.32—0.10X4=0.92,

A

所以)，關(guān)于f的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.92+0.10/.

A

將r=ll代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程得了=0.92+0.10X11=2.02.

所以預(yù)測(cè)該年11月份該省煤改氣、煤改電的用戶數(shù)量達(dá)到2.02萬(wàn)戶.

6.在國(guó)家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)的政策下，我國(guó)新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長(zhǎng).已知某地

區(qū)2015年年底到2022年年底新能源汽車保有量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表如下：

年份(年)20152016201720182019202020212022

年份代碼X12345678

第6頁(yè)共8頁(yè)

保有量y/千輛1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70

y/千輛

35

30

25

20

15

1()

5

012345678x

（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖（如圖），請(qǐng)判斷y=bx+a與哪一個(gè)更適合作為y

關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸模型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并根據(jù)你的判斷結(jié)果建立y關(guān)于x

的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;

⑵假設(shè)每年新能源汽車保有量按⑴中求得的函數(shù)模型增長(zhǎng)，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降

的百分比相同.若2022年年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為500千輛，預(yù)計(jì)到2027年年底

傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%.試估計(jì)到哪一年年底新能源汽車保有量將超過(guò)傳統(tǒng)能源汽

車保有量.

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（〃],V\）f（W2,。2）,（小，Vn）9其經(jīng)驗(yàn)回歸方程。=例/+儀的斜率

y（4-u）（仍一v）z〃創(chuàng)―力u?v

A/=1尸1AA

和截距的最小二乘估計(jì)公式分另U為尸=-----------------=--------------,a=v—pu.

阜-u）-v—2

i=\

__888

參考數(shù)據(jù):y=12.1,t=2.1,l>-?=204,￡t?=613.7,由=924,其中ti=\nyit1g2^0.30,

/=1i=li=\

1g3^0.48,Ige20.43.

解（1）根據(jù)散點(diǎn)圖顯示的該地區(qū)新能源汽車保有量的增長(zhǎng)趨勢(shì)知，應(yīng)選擇的函數(shù)模型是y=

AAA

ecr+J,因?yàn)椋?lny,則E=cx+d,

__1