第1頁（共1頁）2024年河北省石家莊市長安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題(本大題共16個(gè)小題．1-6小題每小題3分，7-16小題每小題3分，共38分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有--項(xiàng)是符合題目要求的)1．（3分）﹣2比2（）A．小2 B．大2 C．小4 D．大42．（3分）一艘輪船在P處向M處的海上巡邏艇呼叫救援，根據(jù)如圖所示，巡邏艇從M處去P處實(shí)施救援，其航行的路線為（）A．沿北偏東40°方向航行 B．沿南偏西50°方向航行 C．沿北偏東40°方向，航行30海里 D．沿南偏西40°方向，航行30海里3．（3分）為紀(jì)念我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青所做的卓越貢獻(xiàn)，國際上將一顆地球2.18億千米的行星命名為“蘇步青星”，將2.18億用科學(xué)記數(shù)法表示為2.18×10n，則n＝（）A．8 B．6 C．4 D．24．（3分）若使用如圖所示的a，b兩根直鐵絲做成一個(gè)三角形框架，需要將其中一根鐵絲折成兩段（）A．a(chǎn)，b都可以 B．a(chǎn)，b都不可以 C．只有a可以 D．只有b可以5．（3分）整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，下列結(jié)論：結(jié)論一：A?x＝B．結(jié)論二：A，B的公因式為x．下列判斷正確的是（）A．結(jié)論一正確，結(jié)論二不正確 B．結(jié)論一不正確，結(jié)論二正確 C．結(jié)論一、結(jié)論二都正確 D．結(jié)論一、結(jié)論二都不正確6．（3分）如圖，將由6個(gè)棱長為1的小正方體組成的幾何體在桌面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，主視圖的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2分）在課堂上老師給出了一道分式化簡題：化簡，以下是甲乙、丙、丁四位同學(xué)的變形過程：甲：原式＝；乙：原式＝；丙：原式＝；丁：原式＝；其中正確的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（2分）如圖，∠1＝70°，∠2＝150°（）A．20° B．30° C．40° D．50°9．（2分）如圖，數(shù)軸上有①，②，③，④四部分，b，c，且a＜0，abc＞0（）A．段① B．段② C．段③ D．段④10．（2分）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)（）A．只與AB、CD的長有關(guān) B．只與AD、BC的長有關(guān) C．只與AC、BD的長有關(guān) D．與四邊形ABCD各邊的長都有關(guān)．11．（2分）班主任邀請(qǐng)甲、乙、丙三位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班主任坐在D座位，三位同學(xué)隨機(jī)坐在A、B、C三個(gè)座位（）A． B． C． D．12．（2分）如圖，在正方形紙片ABCD上進(jìn)行如下操作：第一步：剪去長方形紙條AEFD；第二步：從長方形紙片BCFE上剪去長方形紙條CFGH．若長方形紙條AEFD和CFGH的面積相等，則AB的長度為（）A．30cm B．15cm C．16cm D．90cm13．（2分）劉阿姨早晨從家里出發(fā)去公園鍛煉，勻速走了60min后回到家（中間不休息）．如圖表示她出發(fā)后離家的距離s（km）（min）之間的函數(shù)關(guān)系圖象．則下列圖形中可以大致描述劉阿姨行走路線的是（）A． B． C． D．14．（2分）對(duì)于題目“已知⊙O及圓外一點(diǎn)P，如何過點(diǎn)P作出⊙O的切線？”甲、乙的作法如圖．甲的作法連接OP，作OP的垂直平分線交OP于點(diǎn)G，以點(diǎn)G為圓心，作直線PM．直線PM即為所求．乙的作法連接PO并延長，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，O為圓心，PO，兩弧交于點(diǎn)D，連接OD，作直線PM，直線PM即為所求．下列說法正確的是（）A．甲和乙的作法都正確 B．甲和乙的作法都錯(cuò)誤 C．甲的作法正確，乙的作法錯(cuò)誤 D．乙的作法正確，甲的作法錯(cuò)誤15．（2分）如圖，直線y＝2x+2及反比例函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸之間的陰影部分（不位括邊界）（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)），則k的取值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．516．（2分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，CD，AD上，GF，EC折疊，D恰好都落在點(diǎn)O處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．以下結(jié)論：Ⅰ；若點(diǎn)B′落在EF上，則GF∥EC．Ⅱ：若點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合，則AB＝AD．下判判斷正確的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都正確 B．Ⅰ、Ⅱ都不正確 C．只有Ⅰ正確 D．只有Ⅱ正確二、填空題(本大題有3個(gè)小題,共10分．17小題2分，18~19小題各4分，每空2分)17．（2分）計(jì)算：＝．18．（4分）規(guī)定一種新運(yùn)算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）計(jì)算：（3a）☆5＝；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，則x的值為．19．（4分）圖1是一種拼裝玩具的零件，它可以看作是底面為正六邊形的六棱柱，其內(nèi)部挖去一個(gè)底面為正方形的長方體后得到的幾何體，正方形ABCD的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在正六邊形一組平行的對(duì)邊上，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），點(diǎn)E已知正六邊形的邊長為2，正方形邊長為a．（1）連接EF，EF的長為；（2）a的取值范圍是．三、解答題(本大題有7個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)20．（9分）琪琪準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算：（﹣9）×（■）﹣33．發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字“■”被墨水污染了．（1）琪琪猜測被污染的數(shù)字“■“是，請(qǐng)計(jì)算（﹣9）×（）﹣33；（2）琪琪的媽媽看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果等于﹣9，請(qǐng)通過計(jì)算求出被污染的數(shù)字“■”．21．（9分）某班數(shù)學(xué)小組在研究個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律時(shí)，得到了下列等式：第1個(gè)等式：152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25；第2個(gè)等式：252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25；第3個(gè)等式：352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）填空：752＝75×75＝＝；（2）已知1≤x≤9且n為整數(shù)，猜想第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．22．（9分）魚塘承包戶小李在春天往魚塘投放了2000條魚苗，打算在中秋節(jié)前全部售出，據(jù)統(tǒng)計(jì)，將每條魚稱重后得到的質(zhì)量作為一個(gè)樣本，然后把魚又放回魚塘．統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．（1）求樣本的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）已知這種魚的售價(jià)為25元/kg，利用樣本平均數(shù)，估計(jì)小李售完魚塘里的這種魚的總收入．23．（10分）某中學(xué)舉行校慶活動(dòng)，使用了兩架小型無人機(jī)進(jìn)行現(xiàn)場拍攝，1號(hào)機(jī)所在高度y1（m）與上升時(shí)間x（s）的函數(shù)圖象如圖所示；2號(hào)機(jī)從6m高度，兩架無人機(jī)同時(shí)起飛，設(shè)2號(hào)機(jī)所在離度為y2（m）．（1）求1號(hào)機(jī)所在高度y1與上升時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍），并在圖中畫出2號(hào)機(jī)所在高度y2（m）與上升時(shí)間x（s）的函數(shù)關(guān)系圖象；（2）在某時(shí)刻兩架無人機(jī)能否位于同一高度？如果能，求此時(shí)兩架無人機(jī)的高度；如果不能24．（10分）如圖1，某玩具風(fēng)車的支撐桿OE垂直于桌面MN，點(diǎn)O為風(fēng)車中心，風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心O旋轉(zhuǎn)，葉片端點(diǎn)A，B，C，已知⊙O的半徑為10cm．（1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠AOE＝45°時(shí)，點(diǎn)A在OE左側(cè)，求點(diǎn)A到桌面MN的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)A到桌面的距離不超過21cm時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）；（3）連接CE，當(dāng)CE與⊙O相切時(shí)，求切線長CE的值，C兩點(diǎn)到桌面MN的距離的差．25．（12分）圖1為某游樂場過山車的一部分滑道設(shè)施，為研究過山車沿滑道運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)知識(shí)，小李使用電腦軟件將這部分滑道抽象出如圖2所示的函數(shù)圖象（抽象為點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)．線段AB是一段直滑道，點(diǎn)A在y軸上的一部分，在點(diǎn)C（4，2），點(diǎn)B，D到x軸的距離相等，BG⊥x軸于點(diǎn)G，滑道B﹣C﹣D與滑道D﹣E﹣F可看作形狀相同，點(diǎn)F（12，0）．（1）求拋物線B﹣C﹣D和D﹣E﹣F的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)過山車沿滑道從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過程中，過山車到x軸的距離為1.5時(shí)，求它到出發(fā)點(diǎn)A的水平距離；（3）點(diǎn)M為B﹣C上的一點(diǎn)，求點(diǎn)M到BG和到x軸的距離之和（圖中MH+MN）的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．26．（13分）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)，M在AC上（不與點(diǎn)C重合），在PM的左側(cè)作矩形PMQN．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)N在線段BC上時(shí)，①若AM＝2，求PN的長；②求tan∠PNM的值．（2）如圖2，當(dāng)PN＝PM時(shí)，①若矩形PMQN在△ABC內(nèi)部（包括邊界），設(shè)AM＝x，寫出CQ的長與x的函數(shù)關(guān)系式；②若矩形PMQN的兩個(gè)頂點(diǎn)落在△PCA的同一條邊上，直接寫出AC在矩形PMQN內(nèi)部的線段長．

2024年河北省石家莊市長安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共16個(gè)小題．1-6小題每小題3分，7-16小題每小題3分，共38分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有--項(xiàng)是符合題目要求的)1．（3分）﹣2比2（）A．小2 B．大2 C．小4 D．大4【解答】解：由題意得：2﹣（﹣2）＝2+2＝4，∴﹣8比2小4，故選：C．2．（3分）一艘輪船在P處向M處的海上巡邏艇呼叫救援，根據(jù)如圖所示，巡邏艇從M處去P處實(shí)施救援，其航行的路線為（）A．沿北偏東40°方向航行 B．沿南偏西50°方向航行 C．沿北偏東40°方向，航行30海里 D．沿南偏西40°方向，航行30海里【解答】解：航行的路線為沿南偏西40°方向，航行30海里，故選：D．3．（3分）為紀(jì)念我國著名數(shù)學(xué)家蘇步青所做的卓越貢獻(xiàn)，國際上將一顆地球2.18億千米的行星命名為“蘇步青星”，將2.18億用科學(xué)記數(shù)法表示為2.18×10n，則n＝（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵2.18億＝218000000，2.18億用科學(xué)記數(shù)法表示為7.18×108，∴n＝8．故選：A．4．（3分）若使用如圖所示的a，b兩根直鐵絲做成一個(gè)三角形框架，需要將其中一根鐵絲折成兩段（）A．a(chǎn)，b都可以 B．a(chǎn)，b都不可以 C．只有a可以 D．只有b可以【解答】解：三角形兩邊之和大于第三邊，兩根長度分別為5cm和4cm的細(xì)木條做一個(gè)三角形的框架．理由：5＞4，滿足兩邊之和大于第三邊．故選：C．5．（3分）整式A＝x﹣1，B＝x2﹣x，下列結(jié)論：結(jié)論一：A?x＝B．結(jié)論二：A，B的公因式為x．下列判斷正確的是（）A．結(jié)論一正確，結(jié)論二不正確 B．結(jié)論一不正確，結(jié)論二正確 C．結(jié)論一、結(jié)論二都正確 D．結(jié)論一、結(jié)論二都不正確【解答】解：B＝x2﹣x＝x（x﹣1），則A?x＝B，A，B的公因式是（x﹣6），那么結(jié)論一正確，結(jié)論二不正確，故選：A．6．（3分）如圖，將由6個(gè)棱長為1的小正方體組成的幾何體在桌面上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，主視圖的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：主視圖如圖所示，∵由6個(gè)棱長均為1的正方體組成的幾何體，∴主視圖的面積為2×12＝5，故選：A．7．（2分）在課堂上老師給出了一道分式化簡題：化簡，以下是甲乙、丙、丁四位同學(xué)的變形過程：甲：原式＝；乙：原式＝；丙：原式＝；?。涸剑?；其中正確的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：＝＝?，所以只有選項(xiàng)D符合題意，選項(xiàng)A、選項(xiàng)C都不符合題意．故選：D．8．（2分）如圖，∠1＝70°，∠2＝150°（）A．20° B．30° C．40° D．50°【解答】解：延長AB，CD交于點(diǎn)E∵∠1＝70°，∠2＝150°，∴∠ECA＝180°﹣∠3＝110°，∠EAC＝180°﹣∠2＝30°，∴∠E＝180°﹣（∠ECA+∠EAC）＝180°﹣（110°+30°）＝40°．故選：C．9．（2分）如圖，數(shù)軸上有①，②，③，④四部分，b，c，且a＜0，abc＞0（）A．段① B．段② C．段③ D．段④【解答】解：∵a＜0，∴原點(diǎn)在a的右側(cè)，故段①排除；假設(shè)：當(dāng)原點(diǎn)在段②時(shí)，b＞0，a＜4，故原點(diǎn)不在段②；假設(shè)：當(dāng)原點(diǎn)在段③時(shí)，b＜0，a＜0，故原點(diǎn)在段③；假設(shè)：當(dāng)原點(diǎn)在段④時(shí)，b＜3，a＜0，故原點(diǎn)不在段④；綜上，原點(diǎn)落在段③，故選：C．10．（2分）如圖，四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是線段AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)（）A．只與AB、CD的長有關(guān) B．只與AD、BC的長有關(guān) C．只與AC、BD的長有關(guān) D．與四邊形ABCD各邊的長都有關(guān)．【解答】解：∵點(diǎn)E、F、G、H分別是線段AB、AC，∴四邊形EGFH的周長＝FG+GE+EH+FH＝，故選：B．11．（2分）班主任邀請(qǐng)甲、乙、丙三位同學(xué)參加圓桌會(huì)議．如圖，班主任坐在D座位，三位同學(xué)隨機(jī)坐在A、B、C三個(gè)座位（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中甲，即AB、BC，∴甲、乙兩位同學(xué)座位相鄰的概率為，故選：A．12．（2分）如圖，在正方形紙片ABCD上進(jìn)行如下操作：第一步：剪去長方形紙條AEFD；第二步：從長方形紙片BCFE上剪去長方形紙條CFGH．若長方形紙條AEFD和CFGH的面積相等，則AB的長度為（）A．30cm B．15cm C．16cm D．90cm【解答】解：設(shè)正方形ABCD的邊長為acm，由題意，得5a＝6（a﹣5）．解得a＝30．故選：A．13．（2分）劉阿姨早晨從家里出發(fā)去公園鍛煉，勻速走了60min后回到家（中間不休息）．如圖表示她出發(fā)后離家的距離s（km）（min）之間的函數(shù)關(guān)系圖象．則下列圖形中可以大致描述劉阿姨行走路線的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、行走路線應(yīng)該是閉合的，不符合題意；B、行走路線（中間曲線）與距家距離恒定不變；C、行走路線與圖象信息一致；D、行走路線與距家離中間最短，不符合題意．故選：C．14．（2分）對(duì)于題目“已知⊙O及圓外一點(diǎn)P，如何過點(diǎn)P作出⊙O的切線？”甲、乙的作法如圖．甲的作法連接OP，作OP的垂直平分線交OP于點(diǎn)G，以點(diǎn)G為圓心，作直線PM．直線PM即為所求．乙的作法連接PO并延長，交⊙O于B，C兩點(diǎn)，O為圓心，PO，兩弧交于點(diǎn)D，連接OD，作直線PM，直線PM即為所求．下列說法正確的是（）A．甲和乙的作法都正確 B．甲和乙的作法都錯(cuò)誤 C．甲的作法正確，乙的作法錯(cuò)誤 D．乙的作法正確，甲的作法錯(cuò)誤【解答】解：對(duì)于甲的作法：由作法得AB垂直平分OP，∴OG＝GP，∴點(diǎn)M為以O(shè)P為直徑的圓與⊙O的交點(diǎn)，∴∠PMO＝90°，∴OM⊥PM，∴PM為⊙O的切線，所以甲的作法正確；對(duì)于乙的作法：由作法得PD＝PO，OD＝BC，∵OM＝BC，∴OM＝DM，∴PM⊥OD，∴PM為⊙O的切線，所以乙的作法正確；故選：A．15．（2分）如圖，直線y＝2x+2及反比例函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸之間的陰影部分（不位括邊界）（橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)），則k的取值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：如圖，直線y＝2x+2一定過點(diǎn)（2，（1，把（1，7）代入得，此時(shí)陰影部分（不位括邊界）有（1，（3，（1，（2，（6，5個(gè)整點(diǎn)∴k的取值可能是4，故選：C．16．（2分）如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，CD，AD上，GF，EC折疊，D恰好都落在點(diǎn)O處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處．以下結(jié)論：Ⅰ；若點(diǎn)B′落在EF上，則GF∥EC．Ⅱ：若點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合，則AB＝AD．下判判斷正確的是（）A．Ⅰ、Ⅱ都正確 B．Ⅰ、Ⅱ都不正確 C．只有Ⅰ正確 D．只有Ⅱ正確【解答】解：若點(diǎn)B′落在EF上，由折疊性質(zhì)可得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠OEC＝∠BEC，∴∠FGE＝∠FGO+∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG+∠OEC＝90°，∴∠FGE+∠GEC＝180°，∴GF∥CE，故結(jié)論Ⅰ正確；若點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合，如圖所示，設(shè)AD＝2a，AB＝2b，AE＝OE＝BE＝b，∴CG＝OG+OC＝2a，在Rt△CGE中，CG2＝GE2+CE7，（3a）2＝a5+b2+b2+（7a）2，解得：b＝a，∴AB＝AD；故選：C．二、填空題(本大題有3個(gè)小題,共10分．17小題2分，18~19小題各4分，每空2分)17．（2分）計(jì)算：＝﹣1．【解答】解：原式＝2﹣3＝﹣3．故答案為：﹣1．18．（4分）規(guī)定一種新運(yùn)算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．（1）計(jì)算：（3a）☆5＝18a﹣5；（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，則x的值為1或．【解答】解：（1）由題意得：（3a）☆5＝2a?5+3a﹣6＝15a+3a﹣5＝18a﹣2，故答案為：18a﹣5；（2）∵2☆（2x﹣3）＝3x4﹣2，∴2（5x﹣3）+2﹣（7x﹣3）＝3x7﹣2，整理得：3x8﹣2x﹣1＝2，（x﹣1）（3x+7）＝0，x﹣1＝4或3x+1＝2，x＝1或x＝﹣，故答案為：1或﹣．19．（4分）圖1是一種拼裝玩具的零件，它可以看作是底面為正六邊形的六棱柱，其內(nèi)部挖去一個(gè)底面為正方形的長方體后得到的幾何體，正方形ABCD的兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)A，C分別在正六邊形一組平行的對(duì)邊上，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），點(diǎn)E已知正六邊形的邊長為2，正方形邊長為a．（1）連接EF，EF的長為2；（2）a的取值范圍是≤a≤6﹣2．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)O作OM⊥EF，ON⊥CD，連接OE，則EM＝FM＝EFCD，∵EF是正六邊形的一條對(duì)角線，∴∠EOM＝＝60°，在Rt△EOM中，OE＝2，∴EM＝OE＝，∴EF＝7EM＝2，故答案為：8；（2）如圖①，當(dāng)正方形ABCD的對(duì)角線AC在正六邊形一組平行的對(duì)邊的中點(diǎn)上時(shí)，正方形邊長a的值最小，AC是正方形的對(duì)角線，∴AC＝A′D＝2，∴a＝，如圖②，當(dāng)正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在正六邊形的邊上時(shí)，AC是正方形的對(duì)角線AC，設(shè)A′（t，）時(shí)，∵OB′⊥OA′，∴B′（﹣，t），設(shè)直線MN的解析式為y＝kx+b，M（﹣2，N（﹣1，﹣），∴，∴，∴直線MN的解析式為y＝﹣x﹣2，將B′（﹣，t）代入得t＝3﹣4，此時(shí)，A′B′取最大值，∴a＝＝6﹣2，∴正方形邊長a的取值范圍是：≤a≤6﹣2．故答案為：≤a≤6﹣8．三、解答題(本大題有7個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)20．（9分）琪琪準(zhǔn)備完成題目：計(jì)算：（﹣9）×（■）﹣33．發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字“■”被墨水污染了．（1）琪琪猜測被污染的數(shù)字“■“是，請(qǐng)計(jì)算（﹣9）×（）﹣33；（2）琪琪的媽媽看到該題標(biāo)準(zhǔn)答案的結(jié)果等于﹣9，請(qǐng)通過計(jì)算求出被污染的數(shù)字“■”．【解答】解：（1）原式＝﹣9×（﹣）﹣27＝﹣27＝﹣；（2）﹣[（﹣6+33）÷（﹣6）]＝﹣[（﹣8+27）÷（﹣9）]＝﹣[18÷（﹣9）]＝﹣（﹣2）＝．21．（9分）某班數(shù)學(xué)小組在研究個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方的規(guī)律時(shí)，得到了下列等式：第1個(gè)等式：152＝15×15＝225＝（1×2）×100+25；第2個(gè)等式：252＝25×25＝625＝（2×3）×100+25；第3個(gè)等式：352＝35×35＝1225＝（3×4）×100+25；…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）填空：752＝75×75＝5625＝（7×8）×100+25；（2）已知1≤x≤9且n為整數(shù)，猜想第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．【解答】解：（1）5625；（7×8）×100+25；（2）（10n+2）2＝n（n+1）×100+25，（3≤n≤9證明：（10n+5）4＝100n2+100n+25＝（n2+n）×100+25＝n（n+8）×100+25，∴猜測的算式正確．22．（9分）魚塘承包戶小李在春天往魚塘投放了2000條魚苗，打算在中秋節(jié)前全部售出，據(jù)統(tǒng)計(jì)，將每條魚稱重后得到的質(zhì)量作為一個(gè)樣本，然后把魚又放回魚塘．統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示．（1）求樣本的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）已知這種魚的售價(jià)為25元/kg，利用樣本平均數(shù)，估計(jì)小李售完魚塘里的這種魚的總收入．【解答】解：（1）∵這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是第10、11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、11個(gè)數(shù)據(jù)分別為1.4，∴這20條魚質(zhì)量的中位數(shù)是＝1.7（kg），＝＝3.425（kg）．故這20條魚質(zhì)量的平均數(shù)為1.425kg；（2）25×1.425×2000×90%＝64125（元）．答：估計(jì)小李售完魚塘里的這種魚的總收入64125元．23．（10分）某中學(xué)舉行校慶活動(dòng)，使用了兩架小型無人機(jī)進(jìn)行現(xiàn)場拍攝，1號(hào)機(jī)所在高度y1（m）與上升時(shí)間x（s）的函數(shù)圖象如圖所示；2號(hào)機(jī)從6m高度，兩架無人機(jī)同時(shí)起飛，設(shè)2號(hào)機(jī)所在離度為y2（m）．（1）求1號(hào)機(jī)所在高度y1與上升時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式（不必寫出x的取值范圍），并在圖中畫出2號(hào)機(jī)所在高度y2（m）與上升時(shí)間x（s）的函數(shù)關(guān)系圖象；（2）在某時(shí)刻兩架無人機(jī)能否位于同一高度？如果能，求此時(shí)兩架無人機(jī)的高度；如果不能【解答】解：（1）由圖象知，函數(shù)y1經(jīng)過（0，5），12）兩點(diǎn)．設(shè)y1＝kx+b，將（0，（3，解得，∴y1與上升時(shí)間x之間的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)5＝x+3；由題意得：y2＝2.5x+6，當(dāng)x＝7，y＝9，∴在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)（0，7），9），畫得函數(shù)y2的圖象如圖：（2）在某時(shí)刻兩架無人機(jī)能位于同一高度，理由如下：當(dāng)y8＝y(tǒng)2時(shí)，x+3＝4.5x+6，解得x＝6．∴x+3＝6+6＝9（m）．答：此時(shí)兩架無人機(jī)高度為9m．24．（10分）如圖1，某玩具風(fēng)車的支撐桿OE垂直于桌面MN，點(diǎn)O為風(fēng)車中心，風(fēng)車在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心O旋轉(zhuǎn)，葉片端點(diǎn)A，B，C，已知⊙O的半徑為10cm．（1）風(fēng)車在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，當(dāng)∠AOE＝45°時(shí)，點(diǎn)A在OE左側(cè)，求點(diǎn)A到桌面MN的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）在風(fēng)車轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，求點(diǎn)A到桌面的距離不超過21cm時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長（結(jié)果保留π）；（3）連接CE，當(dāng)CE與⊙O相切時(shí)，求切線長CE的值，C兩點(diǎn)到桌面MN的距離的差．【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥MN于點(diǎn)F，則∠AFE＝∠FEG＝∠AGE＝∠AGO＝90°，∴四邊形AFEG為矩形，∴AF＝GE．在Rt△AOG中，∠AOG＝45°，∴OG＝OA?cos∠AOG＝10?cos45°＝5（cm），∵OE＝26cm，∴AF＝GE＝OE﹣OG＝（26﹣5）cm，答：點(diǎn)A到桌面的距離是．（2）如圖2，點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過程中運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A3，A2的位置時(shí)，點(diǎn)A1，A3到桌面的距離均為21cm．過點(diǎn)A2作A2H⊥MN于H，則A7H＝21cm．作A2D⊥OE于點(diǎn)D．則四邊形DEHA2為矩形．∴DE＝A2H．∵OE＝26cm，∴OD＝OE﹣DE＝26﹣21＝5（cm）．在Rt△A2OD中，OA8＝10cm，∴cos∠A2OD＝＝＝，∴∠A4OD＝60°．由圓的軸對(duì)稱性可知，∠A1OA2＝4∠A2OD＝120°．∴＝＝（cm）．∴符合條件的點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長為．（3）連接AC，如圖5，∵是半圓，∴AC為⊙O的直徑，∵直線l切⊙O于點(diǎn)C，且l經(jīng)過點(diǎn)E，∴OC⊥CE．在Rt△OCE中，OC＝10cm，∴CE＝＝＝24（cm）．答：切線長CE的值為24cm．過點(diǎn)A作AH⊥MN于H，過點(diǎn)C作CK⊥MN于K，則四邊形CLHK是矩形，∴LH＝CK，∵AC是⊙O的直徑，∴∠ALC＝90°，∴∠ALC＝∠OCE，∵OE∥AH，∴∠CAL＝∠EOC，∴△ACL∽△OEC，∴＝，即＝，∴AL＝（cm），即AH﹣CK＝AH﹣LH＝AL＝cm，∴A、C兩點(diǎn)到桌面的距離的差為．25．（12分）圖1為某游樂場過山車的一部分滑道設(shè)施，為研究過山車沿滑道運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)知識(shí)，小李使用電腦軟件將這部分滑道抽象出如圖2所示的函數(shù)圖象（抽象為點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)．線段AB是一段直滑道，點(diǎn)A在y軸上的一部分，在點(diǎn)C（4，2），點(diǎn)B，D到x軸的距離相等，BG⊥x軸于點(diǎn)G，滑道B﹣C﹣D與滑道D﹣E﹣F可看作形狀相同，點(diǎn)F（12，0）．（1）求拋物線B﹣C﹣D和D﹣E﹣F的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)過山車沿滑道從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F的過程中，過山車到x軸的距離為1.5時(shí)，求它到出發(fā)點(diǎn)A的水平距離；（3）點(diǎn)M為B﹣C上的一點(diǎn)，求點(diǎn)M到BG和到x軸的距離之和（圖中MH+MN）的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）滑道B﹣C﹣D；的頂點(diǎn)為點(diǎn)C（4，∴即，∵點(diǎn)B到點(diǎn)A的水平距離為3，∴將x＝2代入，∴點(diǎn)B（2，4）．∵點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝4對(duì)稱，點(diǎn)D（6，4）．∵滑道B﹣C﹣D與滑道D﹣E﹣F是形狀完全相同、開口方向相反的拋物線，∴可設(shè)拋物線D﹣E﹣F的函數(shù)表達(dá)式為．將點(diǎn)F（12，0），3）分別代入得：，解得，∴拋物線D﹣E﹣F的函數(shù)表達(dá)式為．（2）設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b．將B（2，3），5）代入y＝kx+b得：，解得，∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+7．∵點(diǎn)C（4，2）為拋物線B﹣C﹣D的頂點(diǎn)，∴拋物線B﹣C﹣D不存在y＝2.5的點(diǎn)．當(dāng)y＝1.7時(shí)，1.5＝x+6．，解得，根據(jù)圖像可知，綜上所述，y＝1.5時(shí)x＝3.5或；（3）設(shè)，則MH＝x﹣2，，＝，∵點(diǎn)M為B﹣C上一點(diǎn)，∴2≤x≤4，且MH+MN的值隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝2時(shí)，，∴當(dāng)x＝4時(shí)，MH和MN長度之和的最大值為5．此時(shí)M的坐標(biāo)為（4，2）．26．（13分）在△AB