第第頁(yè)第05講古典概型、概率的基本性質(zhì)(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：古典概型題型二：概率基本性質(zhì)的應(yīng)用題型三：古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：古典概型試驗(yàn)具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．知識(shí)點(diǎn)二：古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)是古典概型，樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件包含其中的個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三：概率的性質(zhì)1：概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）性質(zhì)1：對(duì)任意的事件，都有；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件，因?yàn)?，所?2：互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.3：對(duì)立事件的概率（性質(zhì)4）性質(zhì)4：如果事件與事件互為對(duì)立事件，那么，；4：概率的一般加法公式（性質(zhì)6）性質(zhì)6：設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：古典概型典型例題例題1．（2022·江蘇省洪澤中學(xué)高一期中）為培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛(ài)好，豐富學(xué)生的課余生活，某校團(tuán)委開設(shè)了70個(gè)社團(tuán)供學(xué)生自由選擇.現(xiàn)已知甲?乙兩位同學(xué)均準(zhǔn)備從“創(chuàng)客空間”、“春柳文學(xué)社”、“舞龍協(xié)會(huì)”這三個(gè)社團(tuán)中選擇一個(gè)報(bào)名，則這兩位同學(xué)的不同報(bào)名方案種數(shù)為（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】C【詳解】不妨記“創(chuàng)客空間”、“春柳文學(xué)社”、“舞龍協(xié)會(huì)”分別為，則這兩位同學(xué)的報(bào)名方案有，共9種.故選：C.例題2．（2022·上海楊浦·高三期中）同時(shí)擲兩枚般子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】列表得共有36種等可能的結(jié)果，向上的點(diǎn)數(shù)之和是6的情況有5種，擲兩枚般子，向上的點(diǎn)數(shù)之和是6的概率是，故選：D例題3．（2022·廣東·順德一中高二期中）從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出個(gè)不同的數(shù)為，則的概率為___________.【答案】【詳解】從個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出個(gè)數(shù)，則有，，，，，，共種情況；其中滿足的有，，，，共種情況，的概率.故答案為：.例題4．（2022·廣東順德德勝學(xué)校高二期中）天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中每一天下雨的概率均為，用隨機(jī)模擬的方法進(jìn)行試驗(yàn)，由???表示下雨，由?????表示不下雨，利用計(jì)算器中的隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生之間隨機(jī)整數(shù)的組如下：通過(guò)以上隨機(jī)模擬的數(shù)據(jù)可知三天中恰有兩天下雨的概率近似為___________.【答案】0.25##【詳解】解：由數(shù)據(jù)可知，表示恰有兩天下雨的數(shù)據(jù)為共5組，所以三天中恰有兩天下雨的概率近似為.故答案為：.例題5．（2022·浙江·寧波市北侖中學(xué)高二期中）一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張標(biāo)簽，隨機(jī)地選取兩張標(biāo)簽，若標(biāo)簽的選取是無(wú)放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率；若標(biāo)簽的選取是有放回的，求兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率．【答案】無(wú)放回時(shí)，概率為；有放回時(shí)，概率為【詳解】（1）選取是無(wú)放回的，，共有12種方法，其中相鄰的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種，所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為.（2）選取是有放回的，，共有16種方法，其中相鄰的有（1，2），（2，1）（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）共6種，所以兩張標(biāo)簽上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率為.同類題型歸類練1．（2022·新疆·烏魯木齊101中學(xué)高一期末）由于夏季某小區(qū)用電量過(guò)大，據(jù)統(tǒng)計(jì)一般一天停電的概率為0.2，現(xiàn)在用數(shù)據(jù)0，9表示停電；用1、2、3、4、5、6、7、8表示當(dāng)天不停電，（那么使用隨機(jī)模擬方法得到以下30個(gè)數(shù)據(jù)），38

21

79

14

56

74

06

89

53

90

14

57

62

30

9378

63

44

71

28

67

03

53

82

47

63

10

94

29

43那連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為（

）A．0.260 B．0.300 C．0.320 D．0.333【答案】B【詳解】連續(xù)兩天中恰好有一天停電的情況有：79

06

89

30

93

03

10

94

29共9種，所以連續(xù)兩天中恰好有一天停電的概率為，故選：B2．（2022·安徽·太和縣第八中學(xué)高二階段練習(xí)）從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之和是偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】1，2，3，4，5的5張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，由以下情況：，共10種情況，其中抽到的2張卡片的數(shù)字之和是偶數(shù)的有，共4種情況，所以概率為.故選：B3．（2022·浙江浙江·高三期中）從數(shù)字中任意取出兩個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字不是連續(xù)的自然數(shù)的概率是__．【答案】##0.6【詳解】從中任意取出2個(gè)數(shù)共有種結(jié)果，數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的情況有，共6種結(jié)果.所以數(shù)字是不連續(xù)自然數(shù)的概率為.故答案為：.4．（2022·湖北·武漢市第十七中學(xué)高二期中）從至的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取個(gè)不同的數(shù)．(1)寫出所有不同的取法；(2)求取出的個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）從至的個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取個(gè)不同的數(shù)，共有以下種不同的取法，,,,,.（2）兩數(shù)互質(zhì)的取法有：，共11種，故所求概率．5．（2022·北京豐臺(tái)·高二期中）從2名男生（記為,）和2名女生（記為,）這4人中一次性選取2名學(xué)生參加象棋比賽（每人被選到的可能性相同）.(1)請(qǐng)寫出該試驗(yàn)的樣本空間;(2)設(shè)事件為“選到1名男生和1名女生”,求事件發(fā)生的概率;(3)若2名男生,所處年級(jí)分別為高一、高二,2名女生,所處年級(jí)分別為高一、高二,設(shè)事件為“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且至少有1名女生”,求事件發(fā)生的概率.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解:由題知,樣本空間為;（2）由(1)知,所有的可能結(jié)果數(shù)為6個(gè),其中滿足事件得結(jié)果數(shù)有4個(gè),故;（3）由(1)知,所有的可能結(jié)果數(shù)為6個(gè),其中滿足事件得結(jié)果數(shù)有3個(gè),故.題型二：概率基本性質(zhì)的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【詳解】隨機(jī)事件、互斥，、發(fā)生的概率均不等于0，且，，，即，解得，即．故選：D．例題2．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二開學(xué)考試）設(shè)，是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則（

）A． B．C． D．若，則【答案】D【詳解】對(duì)于A：若A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)A、B獨(dú)立時(shí)，，當(dāng)A、B不獨(dú)立時(shí)，則不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，故D正確.故選：D例題3．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表：投資股市：投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%概率購(gòu)買基金：投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%概率(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購(gòu)買基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求的取值范圍．【答案】(1)(2)（1）解∵“購(gòu)買基金”的投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立，∴．又，∴．（2）記事件為“甲投資股市且獲利”，事件為“乙購(gòu)買基金且獲利”，事件為“一年后甲、乙兩人中至少有一人獲利”，則，且，相互獨(dú)立．由題意可知，．∴．∵，∴．又，，∴．∴．例題4．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如下表所示：紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.1a0.350.20.10.03(1)求表中字母的值；(2)求至多遇到5個(gè)紅燈的概率．【答案】(1)(2)(1)由題意可得，解得.(2)設(shè)事件為遇到6個(gè)及6個(gè)以上紅燈，則至多遇到5個(gè)紅燈為事件，則.同類題型歸類練1．（多選）（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體4個(gè)表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件為“第一次向下的數(shù)字為1或2”，事件為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件發(fā)生的概率為B．事件與事件互斥C．事件與事件相互獨(dú)立D．事件發(fā)生的概率為【答案】AC【詳解】由題意可得，故A正確；當(dāng)兩次拋擲的點(diǎn)數(shù)為時(shí)，事件與事件同時(shí)發(fā)生，所以事件與事件不互斥，故B錯(cuò)誤；事件與事件同時(shí)發(fā)生的情況有共4種，所以，又，所以，故事件與事件相互獨(dú)立，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC.2．（2021·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，則（

）A．A與B互斥 B．A與B相互獨(dú)立C． D．【答案】BCD【詳解】根據(jù)題意事件A=“第一枚硬幣正面朝上”，事件B=“第二枚硬幣反面朝上”，可知兩事件互不影響，即A與B相互獨(dú)立，故B正確，A不正確；由，，所以，且，故D正確，C正確.故選：BCD3．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)與相互獨(dú)立，且，，求．【答案】【詳解】因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以．又，，．設(shè)，則，即，解得，即．題型三：古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·江蘇·南京二十七中高二開學(xué)考試）某中學(xué)作為藍(lán)色海洋教育特色學(xué)校，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，進(jìn)行一次海洋知識(shí)測(cè)試，按測(cè)試成績(jī)(假設(shè)考試成績(jī)均在[65，90)內(nèi))分組如下：第一組[65，70)，第二組[70，75)，第三組[75，80)，第四組[80，85)，第五組[85，90)．得到頻率分布直方圖如圖.(1)求測(cè)試成績(jī)?cè)赱80，85)內(nèi)的頻率；(2)從第三、四、五組學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生組成海洋知識(shí)宣講小組，定期在校內(nèi)進(jìn)行義務(wù)宣講，并在這6名學(xué)生中隨機(jī)選取2名參加市組織的藍(lán)色海洋教育義務(wù)宣講隊(duì)，求第四組至少有1名學(xué)生被抽中的概率．【答案】（1）；（2）【詳解】（1）測(cè)試成績(jī)?cè)赱80，85）內(nèi)的頻率為：（2）第三組的人數(shù)等于,第四組的人數(shù)等于，第五組的人數(shù)等于，分組抽樣各組的人數(shù)為第三組3人，第四組2人，第五組1人.設(shè)第三組抽到的３人為，第四組抽到的２人為,第五組抽到的１人為.這6名同學(xué)中隨機(jī)選取2名的可能情況有15種，如下：.設(shè)“第四組2名同學(xué)至少有一名同學(xué)被抽中”為事件,事件包含的事件個(gè)數(shù)有9種，即：,,,,.所以,事件的概率即第四組至少有一名同學(xué)被抽中的概率為．例題2．（2022·貴州·六盤水市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，所得情況如下頻率分布直方圖.（1）圖中縱坐標(biāo)處刻度不清，根據(jù)圖表所提供的數(shù)據(jù)還原；（2）根據(jù)圖表的數(shù)據(jù)按分層抽樣，抽取個(gè)元件，壽命為之間的應(yīng)抽取幾個(gè)；（3）從（2）中抽出的壽命落在之間的元件中任取個(gè)元件，求事件“恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”的概率.【答案】（1）；（2）應(yīng)抽取個(gè)；（3）.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)題意：，即可求得的值；（2）設(shè)在壽命為之間的應(yīng)抽取個(gè)，根據(jù)分層抽樣有：，即可求解壽命為之間的應(yīng)抽取幾個(gè)；（3）記“恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”為事件，由（2）知壽命落在之間的元件有個(gè)分別記，落在之間的元件有個(gè)分別記為：，從中任取個(gè)球，即可利用古典概型求解概率.試題解析：（1）根據(jù)題意：解得（2）設(shè)在壽命為之間的應(yīng)抽取個(gè)，根據(jù)分層抽樣有：解得：所以應(yīng)在壽命為之間的應(yīng)抽取個(gè)（3）記“恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”為事件，由（2）知壽命落在之間的元件有個(gè)分別記，落在之間的元件有個(gè)分別記為：，從中任取個(gè)球，有如下基本事件：，，，共有個(gè)基本事件事件“恰好有一個(gè)壽命為，一個(gè)壽命為”有：，共有個(gè)基本事件答：事件“恰好有一個(gè)壽命為，另一個(gè)壽命為”的概率為.例題3．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））為了調(diào)查某地區(qū)程序員的工資情況，研究人員隨機(jī)抽取了該地區(qū)20名程序員作調(diào)查，所得數(shù)據(jù)的莖葉圖如下所示（單位：元），其中，經(jīng)計(jì)算得，．(1)求被調(diào)查的這20名程序員的平均工資；(2)在（1）的條件下，可以算得，求“，，，”的方差；(3)若從被調(diào)查的這20名程序員中隨機(jī)抽取工資不足6501元的2名程序員，求至少有1名程序員的工資在6000元以下的概率．【答案】(1)被調(diào)查的這20名程序員的平均工資(2)(3)至少有1名程序員的工資在6000元以下的概率為【詳解】（1）解：由莖葉圖可得，由于故被調(diào)查的這20名程序員的平均工資；（2）解：由方差的計(jì)算公式可知，數(shù)據(jù)的方差則所求方差；（3）解：由題意可知，這20名程序員中隨機(jī)抽取工資不足6501元的有6名，其中有3名工資在6000元以下記作，記工資在元之間的3名程序員為則6名程序員任取2人的所有抽取情況如下：，共15種情況；設(shè)至少有1名程序員的工資在6000元以下為事件，則的所有抽取情況如下：，共12種情況；則所以至少有1名程序員的工資在6000元以下的概率為.例題4．（2022·甘肅·蘭化一中高三期中（文））2022年國(guó)際籃聯(lián)女籃世界杯在澳大利亞悉尼落下帷幕，中國(guó)女籃團(tuán)結(jié)一心?頑強(qiáng)拼搏獲得亞軍.這屆世界杯，中國(guó)女籃為國(guó)人留下了許多精彩瞬間和美好回憶，尤其是半決賽絕殺東道主澳大利亞堪稱經(jīng)典一幕.為了了解喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，某體育臺(tái)隨機(jī)抽取100名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表.男女合計(jì)喜愛(ài)3040不喜愛(ài)40合計(jì)100(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)？(2)在不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，按性別分別用分層抽樣的方式抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人參加一臺(tái)訪談節(jié)目，求這2人至少有一位男性的概率.附：，其中.【答案】(1)答案見解析；(2).【詳解】（1）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，得到列聯(lián)表如下：男女合計(jì)喜愛(ài)301040不喜愛(ài)204060合計(jì)5050100計(jì)算所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān).（2）不喜愛(ài)籃球運(yùn)動(dòng)的觀眾中，有男觀眾20人，女觀眾40人，按照分層抽樣的方式抽取6人，有男觀眾2人，記為a、b，女觀眾4人，記為1、2、3、4.從6人中抽取2人，有：，共15個(gè).記“所抽2人至少有一位男性”為事件A,包含：，共9個(gè).所以.例題5．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高二期中）某商店為了更好地規(guī)劃某種產(chǎn)品的進(jìn)貨量，該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取了組數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象，如表（噸）為該商品的進(jìn)貨量，（天）為銷售天數(shù)：/噸/天(1)根據(jù)上述提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)進(jìn)貨量為時(shí)的銷售天數(shù)；（結(jié)果四舍五入）；(2)在該商品進(jìn)貨量不超過(guò)噸的前提下任取個(gè)值，求該商品進(jìn)貨量恰好有個(gè)值不超過(guò)噸的概率.參考數(shù)據(jù)和公式：，，，.【答案】(1)回歸直線方程為，預(yù)測(cè)進(jìn)貨量為時(shí)的銷售天數(shù)約為天(2)【詳解】（1）解：，，所以，，所以，，所以回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，，預(yù)測(cè)進(jìn)貨量為時(shí)的銷售天數(shù)為天.（2）解：進(jìn)貨量不超過(guò)噸有、、、、，共個(gè)，任取個(gè)的基本事件有：、、、、、、、、、，共種結(jié)果，恰好有次不超過(guò)噸的基本事件有：、、、、、，共種結(jié)果，所以所求的概率為.同類題型歸類練1．（2022·福建·福州黎明中學(xué)高一期末）甲乙兩人玩卡片游戲：他們手里都拿著分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片，各自從自己的卡片中隨機(jī)抽出1張，規(guī)定兩人誰(shuí)抽出的卡片上的數(shù)字大，誰(shuí)就獲勝，數(shù)字相同則為平局.(1)求甲獲勝的概率.(2)現(xiàn)已知他們都抽出了標(biāo)有數(shù)字6的卡片，為了分出勝負(fù)，他們決定從手里剩下的卡片中再各自隨機(jī)抽出1張，若他們這次抽出的卡片上數(shù)字之和為偶數(shù)，則甲獲勝，否則乙獲勝.請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)規(guī)則公平嗎，為什么？【答案】（1）；（2）見解析詳解：(1)兩人各自從自己的卡片中隨機(jī)抽出一張，所有可能的結(jié)果為：，，，共36種，其中事件“甲獲勝”包含的結(jié)果為：，有15種.所以甲獲勝的概率為.(2)兩人各自從于里剩下的卡片中隨機(jī)抽出一張，所有可能的結(jié)果為：，共25種.其中卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果為：，共13種.根據(jù)規(guī)則，甲獲勝的概率為，則乙獲勝的概率為，所以這個(gè)規(guī)則不公平.2．（2022·湖南·衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）為了解某校今年高一年級(jí)女生的身體素質(zhì)狀況，從該校高一年級(jí)女生中抽取了一部分學(xué)生進(jìn)行“擲鉛球”的項(xiàng)目測(cè)試，成績(jī)低于5米為不合格，成績(jī)?cè)?至7米（含5米不含7米）的為及格，成績(jī)?cè)?米至11米（含7米和11米，假定該校高一女生擲鉛球均不超過(guò)11米）為優(yōu)秀．把獲得的所有數(shù)據(jù)，分成五組，畫出的頻率分布直方圖如圖所示．已知有4名學(xué)生的成績(jī)?cè)?米到11米之間．(1)求實(shí)數(shù)的值及參加“擲鉛球”項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù)；(2)若從此次測(cè)試成績(jī)最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生再進(jìn)行其它項(xiàng)目的測(cè)試，求所抽取的2名學(xué)生自不同組的概率．【答案】（1）0.05，40；（2）試題解析：（Ⅰ）由題意可知解得所以此次測(cè)試總?cè)藬?shù)為．答：此次參加“擲鉛球”的項(xiàng)目測(cè)試的人數(shù)為40人．(Ⅱ)設(shè)從此次測(cè)試成績(jī)最好和最差的兩組中隨機(jī)抽取2名學(xué)生自不同組的事件為A：由已知，測(cè)試成績(jī)?cè)谟?人，記為；在有4人，記為．從這6人中隨機(jī)抽取2人有，共15種情況．事件A包括共8種情況．所以．答：隨機(jī)抽取的2名學(xué)生自不同組的概率為．3．（2022·廣西貴港·高三階段練習(xí)（文））2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，航天員翟志剛?王亞平?葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)志著中國(guó)空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿完成.并將進(jìn)入建造階段.某中學(xué)為了激發(fā)學(xué)生對(duì)天文學(xué)的興趣.開展了天文知識(shí)比賽.高一和高二年級(jí)各有10名參賽選手，得分不低于90分的選手可獲獎(jiǎng).各參賽選手比賽得分的莖葉圖如圖所示.(1)從平均分來(lái)看，高一和高二哪個(gè)年級(jí)的得分更高？并說(shuō)明理由.(2)從獲獎(jiǎng)的參賽選手中任選2名參加市區(qū)舉行的天文知識(shí)比賽，求選出的2名參賽選手來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率.【答案】(1)高一年級(jí)的得分更高,理由見解析.(2).【詳解】（1）設(shè)高一高二年級(jí)參賽選手得分的平均分分別為，則，，因?yàn)椋詮钠骄謥?lái)看，高一年級(jí)的得分更高．（2）因?yàn)榈梅植坏陀?0分的選手可獲獎(jiǎng)，所以由莖葉圖可知，高一年級(jí)有4名選手獲獎(jiǎng)，高二年級(jí)有2名選手獲獎(jiǎng)，記高一年級(jí)的4名選手為，高二年級(jí)的2名選手為，從這6名選手中選取2名的所有情況為，，共15種情況，選出的2名選手來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的有共7種情況，設(shè)事件A表示”選出的2名參賽選手來(lái)自同一個(gè)年級(jí)”,所以.4．（2022·上海·高二專題練習(xí)）某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖，其中成績(jī)分組區(qū)間如下：組號(hào)第一組第二組第三組第四組第五組分組[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100](1)求圖中a的值；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分；(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)抽取2名，求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率？【答案】(1)(2)74.5(3)【詳解】（1）由題意得，所以．（2）由直方圖分?jǐn)?shù)在[50，60]的頻率為0.05，的頻率為0.35，的頻率為0.30，的頻率為0.20，的頻率為0.10，所以這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分的估計(jì)值為：（3）由直方圖，得：第3組人數(shù)為人，第4組人數(shù)為人，第5組人數(shù)為人．所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別為：第3組：人，第4組：人，第5組：人．所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人設(shè)第3組的3位同學(xué)為