第第頁(yè)第07講拋物線(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·浙江·湖州中學(xué)高二期中）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由已知可得，且拋物線的開(kāi)口向下，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D2．（2022·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高二期中（文））拋物線的準(zhǔn)線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是.故選：D3．（2022·山西·高二期中）圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線，如圖2，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑米，深度米，信號(hào)處理中心F位于焦點(diǎn)處，以頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則該拋物線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)拋物線方程為，依題意，代入得，所以拋物線方程為.故選：A4．（2022·貴州·高二期中）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可知，，所以.因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)，所以軸，所以故選：D.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線C與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)，則拋物線C的方程是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【詳解】由已知可知雙曲線的焦點(diǎn)為,故設(shè)拋物線方程為，則，故，所以拋物線方程為,故選:D.6．（2022·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高二期中（文））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，于，若，則（

）A．4 B．12 C． D．【答案】B【詳解】由題知拋物線：，開(kāi)口向右，，記準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，根?jù)拋物線定義有：，因?yàn)?，所以為正三角形，所以，所以因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以，故選：B7．（2022·湖南益陽(yáng)·高二期中）黨的十八大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持在發(fā)展中保障和改善民生，不斷實(shí)現(xiàn)人民對(duì)美好生活的向往，為響應(yīng)中央號(hào)召，某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場(chǎng)內(nèi)修建一個(gè)半徑為4m的圓形水池來(lái)規(guī)劃噴泉景觀.設(shè)計(jì)如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面為2m的噴水管（水管半徑忽略不計(jì)），它噴出的水柱呈拋物線型，要求水柱在與水池中心水平距離為處達(dá)到最高，且水柱剛好落在池內(nèi)，則水柱的最大高度為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：取一截面建系如圖，設(shè)拋物線方程為（），記最大高度為，依題意可知，在拋物線上，故，兩式相除有，解得.故選：C8．（2022·貴州·凱里一中高三階段練習(xí)（理））已知為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由于為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，圓心為，半徑，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到軸距離之和最小值可結(jié)合拋物線的定義，到軸距離為到焦點(diǎn)距離減去，則最小值為拋物線的焦點(diǎn)到圓心的距離減去半徑和，故最小值為=.故選：B.二、多選題9．（2022·遼寧大連·高二期末）下列圓錐曲線中，焦點(diǎn)在x軸上的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】解：對(duì)于A，表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，故A正確；對(duì)于B，表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故B不正確；對(duì)于C，表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，故C正確；對(duì)于D，表示焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，故D不正確；故選：AC．10．（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q．下列說(shuō)法正確的是（

）．A．若，則B．若，則C．若，則PB平分D．若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)M，則M，B，Q三點(diǎn)共線【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若，則拋物線,的焦點(diǎn)為,由已知條件得，直線的方程為，可得，，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng),若，則拋物線,的焦點(diǎn)為,由已知條件得，直線的方程為，可得，，選項(xiàng)不正確；對(duì)于選項(xiàng),時(shí)，∵，∴，又∵，∴平分，選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，則拋物線,的焦點(diǎn)為,延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則，由選項(xiàng)可知，則M，B，Q三點(diǎn)共線，故正確；故選：．11．（2022·安徽省泗縣第一中學(xué)高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【詳解】對(duì)：由題意可知，由，可得，故A正確；對(duì)B：當(dāng)時(shí)，，解得，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故D正確；故選：AD.12．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過(guò)焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為B．若，則C．若，則的中點(diǎn)到軸的距離為4D．【答案】ABD【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以解得，所以拋物線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，所以A正確;由拋物線的定義得由,所以.所以B正確;設(shè)，聯(lián)立整理得，由韋達(dá)定理得，所以，解得，，所以C錯(cuò)誤;,由拋物線定義知，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以D正確.故選:ABD.三、填空題13．（2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【詳解】由可得，則其準(zhǔn)線為：，得.故答案為：14．（2022·廣東·深圳市南山外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（集團(tuán)）高級(jí)中學(xué)高二期中）已知拋物線：，的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是______．【答案】5【詳解】拋物線：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則有，所以．故答案為：515．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高三期中）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上不同的三點(diǎn)，若點(diǎn)是的重心，則__________.【答案】6【詳解】因?yàn)闉閽佄锞€的焦點(diǎn)，則，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，如圖所示，因?yàn)闉槿切蔚闹匦?，則重心坐標(biāo)為，即，所以，因?yàn)闉樵搾佄锞€上不同的三點(diǎn)，分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為為，則由拋物線的定義可得，，,，所以.故答案為：616．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)著作，第九章“勾股”講述了勾股定理及一些應(yīng)用，將直角三角形的斜邊稱為“弦”，短直角邊稱為“勾”，長(zhǎng)直角邊稱為“股”，設(shè)點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)．l是該拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線AB，垂足為B，射線AF交準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若的“勾”，“股”，則拋物線的方程為_(kāi)_．【答案】【詳解】由題意可知，，，可得，所以，由拋物線的定義得，所以是等邊三角形，所以，所以拋物線的方程是.故答案為：.四、解答題17．（2022·江蘇·高二單元測(cè)試）①為拋物線上的點(diǎn)，且；②焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1．在這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中并求解．已知拋物線的焦點(diǎn)為，______，若直線與拋物線相交于A、兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)．【答案】．【詳解】若選①：在拋物線上，且，，則p＝1；若選②：∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，∴p＝1；故拋物線的方程為．聯(lián)立，可得，設(shè)，，則，，．18．（2022·江蘇省響水中學(xué)高二期中）已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右頂點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).(1)求拋物線方程；(2)若，且在軸的下方，在軸的上方，求的面積．【答案】(1)(2)6【詳解】（1）由雙曲線的右頂點(diǎn)為，即可得拋物線的焦點(diǎn)，所以拋物線的方程為．（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)，，由，有，即，由，解得，有，，直線的斜率，則直線的方程為，直線與軸相交于點(diǎn)，所以的面積B能力提升19．（2022·遼寧·營(yíng)口開(kāi)發(fā)區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，是拋物線C上的點(diǎn)，且．(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由拋物線的定義知，解得，則拋物線的方程為故：答案為.（2）由線段的中點(diǎn)為知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，，聯(lián)立直線與拋物線方程，有，即，所以有，且，則所以，即所以直線，，點(diǎn)到直線的距離.所以.故：答案為.20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓和拋物線，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓上有一點(diǎn)滿足，拋物線的焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)作兩條互相垂直的直線和，其中直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)8【詳解】（1）由題意可知，拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以橢圓的半焦距，又橢圓有一點(diǎn)滿足，所以橢圓的離心率，所以，，則求得橢圓的方程是．（2）當(dāng)直線的斜率不存在