第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第88頁[基礎(chǔ)梳理]1.數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公一廣數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an=f(n)表示，這個(gè)公式叫作數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和前n項(xiàng)和2。數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖像法把點(diǎn)(n,an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a?和an+1=f(an)或a?,a?和an+1=f(an,an-1)等表示數(shù)列的方法3.an與Sn的關(guān)系若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,4.4.數(shù)列的分類按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類按項(xiàng)數(shù)分類數(shù)列1.與函數(shù)的關(guān)系：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義域?yàn)镹+或其有限子集數(shù)列的圖像是一群孤立的點(diǎn).2.周期性：若an+k=an(n∈N+,k為非零正整數(shù)),則{an}為周期[四基自測(cè)]1.(基礎(chǔ)點(diǎn)：數(shù)列的項(xiàng))已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=9+12n,3.(基礎(chǔ)點(diǎn)：數(shù)列的前n項(xiàng)和)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已答案：5一個(gè)通項(xiàng)公式gn=授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第89頁考點(diǎn)一數(shù)列的項(xiàng)與通項(xiàng)公式挖掘1判斷通項(xiàng)公式/自主練透[例1](1)下列公式可作為數(shù)列{an}:1,2,1,2,1,2,…,的通項(xiàng)公式的是()[答案]C④)錯(cuò)誤!,1,錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,…;[解析]①符號(hào)問題可通過(一1)n或(一1)絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6,故通項(xiàng)公式為an=(-1)(6n-5).∴an=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!。③各項(xiàng)的分母分別為21,22,23,24,…,易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3。因此把第1項(xiàng)變?yōu)橐诲e(cuò)誤!,原數(shù)列可化為一錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,—錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,…,④將數(shù)列統(tǒng)一為錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,…,對(duì)于分子3,5,7,9,…,是序號(hào)的2倍加1,可得分子的通項(xiàng)公式為b,=2n+1,對(duì)于分得分母的通項(xiàng)公式為cn=n2+1,因此可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=錯(cuò)誤!。的是邏輯推理與歸納.化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.由于只給出了部分規(guī)律，符合這幾個(gè)特殊項(xiàng)的通項(xiàng)公式并不唯。(1)分式中分子、分母的特征；(4)對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印?5)對(duì)于正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(一1)*或(-1)+1,k∈N+處理.挖掘2判斷數(shù)列的項(xiàng)/自主練透,則2錯(cuò)誤!是這個(gè)數(shù)列5,錯(cuò)誤!,錯(cuò)誤!,…,據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=錯(cuò)誤!,由錯(cuò)誤!=2錯(cuò)誤!,解得：n=7,即2錯(cuò)誤!是這個(gè)數(shù)列的第7項(xiàng).[答案]B②83是否為該數(shù)列的項(xiàng)，如果是，是數(shù)列的第幾項(xiàng).②如果n2+2n+3=83,即n2+2n-80=0.故83是這個(gè)數(shù)列的第8項(xiàng).考點(diǎn)二已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式挖掘求通項(xiàng)公式/互動(dòng)探究所以an+1—an=|n所以an—a?=|n以上n-1所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(3)設(shè)遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1-t=2(an-t),即an+i=2an-t,解得t=—3,故遞推公式為an+1+3=2(an+3).所以{bn}是以b?=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以b?=4×2n~1=2n+1,即an=2n+1-3.(27·an)+1.的等比數(shù)列.于是，an=錯(cuò)誤!=3錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!—2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!.(6)由題意知an>0,將an+1=a錯(cuò)誤：兩邊取常用對(duì)數(shù)得到lgan+1—2lgJ,所以數(shù)列{lgan}是以lga?=lg3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以lgan=(lg3)[破題技法]常見求通項(xiàng)公式的方法方法轉(zhuǎn)化過程適合題型累加法(f(n)可求和)累乘法錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!×…×錯(cuò)誤!×錯(cuò)誤!—錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=f(n),f(n)可求積構(gòu)造法由an+1=pan+q化為an+1+m=p(an+m),構(gòu)造{an+m}為等比數(shù)列輔助數(shù)列法由gn+n=pan+g1化為錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!+錯(cuò)誤!,放入輔助數(shù)列{bn},bn+1=錯(cuò)誤bn+錯(cuò)誤!,再構(gòu)造數(shù)列取倒數(shù)法an=錯(cuò)誤!取倒數(shù)得錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!·錯(cuò)誤!十錯(cuò)誤!,今bn三錯(cuò)誤取對(duì)數(shù)對(duì)an=pah-1化為p考點(diǎn)三Sn與an的關(guān)系的應(yīng)用挖掘1已知Sn求an/自主練透[解析]a?=S?-S?=(22-1)-(21-1)=2,a?=S?-Ss=(26—1)—(25—1)=2?=32,∴a?·a?=64。[答案]D(2)(2020·廣東化州第二次模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)挖掘2已知Sn與an的關(guān)系/互動(dòng)探究[例2](1)(2018·高考全國卷I)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S,=2gn+1,則S?=.∴數(shù)列{a,}是首項(xiàng)a?為-1,公比q為2的等比數(shù)列，東江門模擬)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若[解析]∵2Sn=an+1,[答案]-1[破題技法]Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化.(1)利用an=Sn—Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn,Sn-1的關(guān)系式，再求求解.1.在例2(2)中，{an}的通項(xiàng)公式an=2.在例1(1)中，可否求通項(xiàng)公式an?a?=1適合an=2n~1,考點(diǎn)四數(shù)列的性質(zhì)以上各式相加得an—a?=n2-n,n≥2,所以an=n2-n+20,n≥2,以錯(cuò)誤!=n十錯(cuò)誤!—1,n∈N+,所以錯(cuò)誤!的最小值為錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!=8,故選C。[破題技法]1。類比周期函數(shù)的概念，我們可以定義：對(duì)于數(shù)列{an},如果存在一個(gè)常數(shù)T(T∈N+),使得對(duì)于任意的正整數(shù)n>no,恒有an+r=an成立，那么稱數(shù)列{an}是從第no項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列.若no=1,則稱數(shù)列{an}為純周期數(shù)列；若no≥2,則稱數(shù)列{an}為混周期數(shù)列.T的最小值稱為最小正周期，簡(jiǎn)稱周期.2.解決數(shù)列周期性問題時(shí)，可先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，當(dāng)出現(xiàn)各項(xiàng)重復(fù)性地出現(xiàn)后，便可由此確定該數(shù)列的最小求得該項(xiàng)的值.3.求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的常見方法解出適合上述不等式組的n值，從而確定數(shù)列的最大項(xiàng).解出適合上述不等式組的n值，便能確定數(shù)列的最小項(xiàng).(2)利用函數(shù)思想①數(shù)列是特殊函數(shù)，具有函數(shù)的一些特性，求數(shù)列項(xiàng)的最值完全可以依據(jù)研究函數(shù)最值的方法解決，但特別要注意數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n只能是正整數(shù).②根據(jù)條件構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，通過配方、作差、作商等方法來確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定數(shù)列的單調(diào)性，再求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).③給出一個(gè)數(shù)列{an},若能夠判斷數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則該數(shù)列具有以下性質(zhì)：反之，若該數(shù)列為遞減數(shù)列，則有a?>a?>…>an>…,故(an)同源異考重在觸類旁通的值為()解析：在數(shù)列{an}中，a?=—所以a?=1一錯(cuò)