第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)§1指數(shù)冪的拓展水平11．0的指數(shù)冪總等于0.()2．指數(shù)冪aeq\s\up6(\f(m,n))中總有a>0.()3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪aeq\s\up6(\f(m,n))可理解為eq\f(m,n)個a相乘．()4．8－eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).()5．(－3)eq\s\up6(\f(2,4))＝(－3)eq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(－3).()【解析】1.提示：×.0的0次冪沒有意義．2．√.3．提示：×.aeq\f(m,n)是根式的一種新的寫法，不表示eq\f(m,n)個a相乘．4．√.5．提示：×.分?jǐn)?shù)指數(shù)eq\f(m,n)不能約分，約分后會改變底數(shù)的取值范圍．·題組一n次方根的概念及應(yīng)用1．下列各式正確的是()A．eq\r(8,a8)＝a B．a(chǎn)0＝1C．eq\r(4,（－4）4)＝－4 D．eq\r(5,（－π）5)＝－π【解析】選D.對于A，eq\r(8,a8)＝a，當(dāng)a為負(fù)數(shù)時等式不成立，故A不正確；對于B，a0＝1，當(dāng)a＝0時無意義，故B不正確；對于C，左邊為正，右邊為負(fù)，故C不正確；對于D，eq\r(5,（－π）5)＝－π，故D正確．2．已知x<1，則eq\r(（x－1）2)＝()A．x－1 B．1－xC．－x－1 D．x＋1【解析】選B.因為x<1，所以x－1<0，所以eq\r(（x－1）2)＝eq\r(（1－x）2)＝1－x.3．計算：eq\r(（π－4）2)＝()A．4－π B．π－4C．－π D．4【解析】選A.因為π<4，所以eq\r(（π－4）2)＝|π－4|＝4－π.4.eq\r(3,（－6）3)＋eq\r(4,（\r(5)－4）4)＋eq\r(3,（\r(5)－4）3)的值為()A．－6 B．2eq\r(5)－2C．2eq\r(5) D．6【解析】選A.eq\r(3,（－6）3)＝－6，eq\r(4,（\r(5)－4）4)＝|eq\r(5)－4|＝4－eq\r(5)，eq\r(3,（\r(5)－4）3)＝eq\r(5)－4，所以原式＝－6＋4－eq\r(5)＋eq\r(5)－4＝－6.5．若x＜3，則eq\r(9－6x＋x2)－|x－6|的值是()A．－3 B．3C．－9 D．9【解析】選A.若x＜3，則x－3＜0，x－6＜0，所以eq\r(9－6x＋x2)－|x－6|＝|x－3|－|x－6|＝3－x＋x－6＝－3.6．把(a－1)eq\r(\f(1,1－a))根號外的(a－1)移到根號內(nèi)等于()A．－eq\r(a－1) B．eq\r(a－1)C．－eq\r(1－a) D．eq\r(1－a)【解析】選C.由eq\f(1,1－a)≥0且1－a≠0得a＜1，則a－1＜0，所以(a－1)eq\r(\f(1,1－a))＝－eq\r(\f(（1－a）2,1－a))＝－eq\r(1－a).7．若eq\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(3,1－3a)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】因為eq\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(6,（1－3a）2)＝|eq\r(3,1－3a)|＝eq\r(3,1－3a)，所以1－3a≥0，所以a≤eq\f(1,3).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))8．化簡(eq\r(4,a－1))4＋eq\r(（1－a）2)＋eq\r(3,（1－a）3)＝________．【解析】由eq\r(4,a－1)有意義，可得a－1≥0，即a≥1，所以(eq\r(4,a－1))4＋eq\r(（1－a）2)＋eq\r(3,（1－a）3)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.答案：a－1·題組二分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計算1．已知b3n＝π9m(m，n∈N＋)，則b＝________．【解析】因為b3n＝π9m(m，n∈N＋)，所以b＝eq\r(3n,π9m)＝πeq\s\up6(\f(9m,3n))＝πeq\s\up6(\f(3m,n))．答案：πeq\s\up6(\f(3m,n))2．計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)))eq\s\up6(\f(3,2))＝________．【解析】令b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)))eq\s\up6(\f(3,2))，則b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)))eq\s\up12(3)＝eq\f(15625,64)，所以b＝eq\f(125,8)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,4)))eq\s\up6(\f(3,2))＝eq\f(125,8).答案：eq\f(125,8)3．計算：(1)4－eq\f(3,2)＝________；(2)64－eq\f(1,3)＝________；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up6(\f(3,2))＝________．【解析】(1)令b＝4－eq\f(3,2)，則b2＝4－3＝eq\f(1,43)＝eq\f(1,64)，所以b＝eq\f(1,8)，所以4－eq\f(3,2)＝eq\f(1,8).(2)令b＝64－eq\f(1,3)，則b3＝64－1＝eq\f(1,64)＝eq\f(1,43)，所以b＝eq\f(1,4).(3)令b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up6(\f(3,2))，則b2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))eq\s\up12(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,64)))eq\s\up12(2)，所以b＝eq\f(1,64).答案：(1)eq\f(1,8)(2)eq\f(1,4)(3)eq\f(1,64)·題組三根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化1．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是()A．－eq\r(x)＝(－x)eq\s\up6(\f(1,2))(x≥0)B．eq\r(6,x2)＝xeq\s\up6(\f(1,3))(x≤0)C．x－eq\f(3,4)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(3))(x>0)D．x－eq\f(1,3)＝－eq\r(3,x)(x≠0)【解析】選C.A.－eq\r(x)＝－xeq\s\up6(\f(1,2))(x≥0)，故錯誤；B．eq\r(6,x2)＝－xeq\s\up6(\f(1,3))(x≤0)，故錯誤；C．x－eq\f(3,4)＝eq\f(1,\r(4,x3))＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(3))(x>0)，故正確；D．x－eq\f(1,3)＝eq\f(1,\r(3,x))(x≠0)，故錯誤．2．下列各等式中成立的是(a>0)()A．a(chǎn)eq\f(3,2)＝eq\r(3,a2) B．a(chǎn)eq\f(2,3)＝eq\r(3,a2)C．a(chǎn)eq\f(2,5)＝±eq\r(5,a2) D．a(chǎn)－eq\f(1,2)＝－eq\r(a)【解析】選B.因為aeq\f(3,2)＝eq\r(a3)，aeq\s\up6(\f(2,3))＝eq\r(3,a2)，aeq\f(2,5)＝eq\r(5,a2)，a－eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(a))，所以成立的是aeq\s\up6(\f(2,3))＝eq\r(3,a2).3．已知x7＝5，用指數(shù)冪的形式表示x＝________．【解析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，x7＝5，則x＝5eq\s\up6(\f(1,7))．答案：5eq\s\up6(\f(1,7))4．用根式的形式表示下列各式(a>0)：(1)aeq\s\up6(\f(1,2))＝________；(2)aeq\s\up6(\f(3,4))＝________；(3)a－eq\f(3,5)＝________；(4)a－eq\f(2,3)＝________．【解析】(1)aeq\s\up6(\f(1,2))＝eq\r(a)；(2)aeq\s\up6(\f(3,4))＝eq\r(4,a3)；(3)a－eq\f(3,5)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(3,5)))＝eq\f(1,\r(5,a3))；(4)a－eq\f(2,3)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(2,3)))＝eq\f(1,\r(3,a2)).答案：(1)eq\r(a)(2)eq\r(4,a3)(3)eq\f(1,\r(5,a3))(4)eq\f(1,\r(3,a2))5．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：(1)eq\r(5,m7)＝________；(2)eq\r(3,（a－b）4)＝________；(3)eq\r(8,（a－b）4)＝________；(4)eq\r(－m3)＝________．【解析】(1)eq\r(5,m7)＝meq\f(7,5)；(2)eq\r(3,（a－b）4)＝(a－b)eq\f(4,3)；(3)當(dāng)a＞b時，a－b＞0，eq\r(8,（a－b）4)＝(a－b)eq\f(4,8)＝(a－b)eq\f(1,2)；當(dāng)a＝b時，a－b＝0，eq\r(8,（a－b）4)＝0；當(dāng)a＜b時，a－b＜0，eq\r(8,（a－b）4)＝(b－a)eq\f(4,8)＝(b－a)eq\f(1,2)，綜上，原式＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－b）\f(1,2)，a＞b,0，a＝b,（b－a）\f(1,2)，a＜b)).(4)因為－m3≥0，所以m≤0.所以eq\r(－m3)＝(－m)eq\s\up6(\f(3,2)).答案：(1)meq\f(7,5)(2)(a－b)eq\f(4,3)(3)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－b）\f(1,2)，a＞b,0，a＝b,（b－a）\f(1,2)，a＜b))(4)(－m)eq\s\up6(\f(3,2)).易錯點一忽視偶次算術(shù)根非負(fù)致錯化簡eq\r(（a－b）2)＋eq\r(5,（b－a）5)的結(jié)果是()A．0B．2(b－a)C．0或2(b－a)D．不確定【解析】選C.eq\r(（a－b）2)＋eq\r(5,（b－a）5)＝|a－b|＋(b－a)，當(dāng)a≥b時，原式＝a－b＋(b－a)＝0，當(dāng)a<b時，原式＝b－a＋(b－a)＝2(b－a).【易錯誤區(qū)】對于eq\r(n,an)，其結(jié)果要根據(jù)n的奇偶決定，若n為奇數(shù)，則eq\r(n,an