PAGEPAGE613.3等腰三角形（習題）一、內容和內容解析1、內容（人民教育出版社八年級上冊）等腰三角形的習題。2、內容解析本節(jié)課是在學生已經(jīng)學習了等腰三角形的概念、性質、判定方法以及等邊三角形相關內容的基礎上，對等腰三角形進行深入研究．主要內容是對教材上的一道典型題（習題13．3第12題）進行橫向拓展和縱向延伸．其中包括兩個環(huán)節(jié)：一是條件不變，發(fā)現(xiàn)更多的結論并證明其中的兩個結論；二是結論不變，弱化條件，將問題“一般化”，或強化條件，將問題“特殊化”．基于以上分析，確定本課的教學重點是：以典型題的研究為載體，探索幾何問題的研究思路和研究方法．二、目標和目標解析1、目標（1）在題目條件不變的前提下，探索并發(fā)現(xiàn)其他隱含結論．（2）在題目結論不變的前提下，探索使其成立的條件．（3）在對題目進行橫向拓展和縱向延伸的過程中，體會分類、轉化、類比、一般化、特殊化等數(shù)學思想和數(shù)學方法，進一步理解數(shù)學內容的本質，提高思維能力．2、目標解析達成目標（1）的標志是：學生在題目條件不變的前提下能從不同的角度發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的結論——相等的線段、相等的角、全等的三角形、特殊角以及特殊位置關系的線段等，并且能對發(fā)現(xiàn)的結論進行分類，從而明確探索幾何問題的研究思路．達成目標（2）的標志是：學生知道使題目結論成立的條件共有兩個——“等邊三角形”和“共線”，并能分別從這兩個條件入手進行探索，即弱化條件，將問題“一般化”或強化條件，將問題“特殊化”，能證明一般化（或特殊化）后的結論．達成目標（3）的標志是：學生對發(fā)現(xiàn)的結論進行分類時，進一步體會分類的作用——使無序變得有序；學生在證明比較復雜的結論時，能夠利用前面發(fā)現(xiàn)的隱含結論，將其作為下一步證明的依據(jù)，體會轉化的作用——使復雜變得簡單；學生對條件進行拓展時，體會一般化的思想，并在拓展后證明相應的結論時，體會類比的作用——思路和方法的遷移，進而加深對數(shù)學內容本質的認識，使思維的廣闊性、深刻性、靈活性等得到鍛煉．三、教學問題診斷分析在第一個環(huán)節(jié)中，盡管有的學生能夠發(fā)現(xiàn)一些結論，但他們所發(fā)現(xiàn)的結論往往是無序的，而且是不全面的；在第二個環(huán)節(jié)中，很多學生不知道應該首先分別從兩個條件入手進行研究．產生以上問題的根本原因是學生沒有真正找到研究幾何問題的切入點，對幾何問題的研究思路和研究方法沒有清晰的認識．本節(jié)課的教學難點是：以典型題的研究為載體，探索幾何問題的研究思路和方法．四、教學支持條件分析利用幾何畫板，動態(tài)演示圖形的變化（形狀的變化以及位置的變化），加深對圖形本質特征的理解．五、教學過程分析引言前面，我們學習了等腰三角形，研究了它的概念、性質和判定，今天我們通過一節(jié)習題課來進一步鞏固等腰三角形的有關知識．題目如圖1，△ABC和△DCE均是等邊三角形，且點B、C、E共線．BD與AE、AC分別相交于點P、M，CD與AE相交于點N．求證：BD=AE．圖1（屏幕顯示題目）圖1師生活動：學生獨立思考后，一名學生口述證明過程，教師板書，其它學生說明每一步的證明根據(jù)．設計意圖：鞏固特殊的等腰三角形——等邊三角形的概念、性質，為后續(xù)深入研究作準備．1、探索并證明題目的隱含結論思考1在不添加任何條件的前提下，你還能得到哪些結論？師生活動：教師提出問題，學生將自己發(fā)現(xiàn)的所有結論都寫在練習本上，教師讓一名學生到黑板上寫出發(fā)現(xiàn)的結論．設計意圖：提出開放性問題，將題目向縱向延伸，讓學生嘗試多角度地發(fā)現(xiàn)結論，鍛煉學生思維的發(fā)散性．追問1：你們也發(fā)現(xiàn)以上的結論了嗎？是否還有補充？師生活動：學生相互補充、糾正．追問2：剛才，我們找到了這么多的結論，你能對它們進行分類嗎？分類的依據(jù)是什么？師生活動：學生獨立思考后進行小組交流，交流重點是：（1）互相補充、糾正結論；（2）對結論進行分類；（3）說明分類的依據(jù)，充分交流后小組派代表進行匯報．當學生回答“將三角形全等的結論放在一起”時，教師指出“全等”就是指圖形的“形狀相同、大小相等”，并板書“形狀、大小”；當學生回答“將線段相等、角相等以及一些角等于60°的結論放在一起”時，教師指出這些其實是特殊的大小關系；當學生回答“將平行的結論放在一起”時，學生自然想到這是位置關系，教師指出平行是位置的特殊關系，并板書“位置”．教師點撥，最初我們發(fā)現(xiàn)結論時有些是無序的，經(jīng)過分類，就將無序變?yōu)橛行蛄耍?，我們不僅要能夠發(fā)現(xiàn)結論，更要知道應該從哪個角度去發(fā)現(xiàn)結論，即從“形狀、大小、位置”三個角度，而“形狀、大小、位置”正是幾何學的研究對象，也是幾何學的研究本質．設計意圖：讓學生對發(fā)散的結論進行梳理，明確發(fā)現(xiàn)結論的角度，體會分類思想，提升對研究內容本質的認識，增強思維的深刻性．追問3：本節(jié)課我們只證明其中的兩個結論“∠APB=60°和CM=CN”，其他結論課后證明．師生活動：學生口述“∠APB=60°”的證明過程，“CM=CN”的證明過程寫在練習本上，最后，一名學生利用實物展臺講解證明思路，并展示證明過程，其他學生對其進行評價．追問4：還有不同的證法嗎?師生活動：學生展示不同的證明方法，并相互補充．教師最后指出，平時做相對復雜的題目，比如證明“CM=CN”，有的學生感覺沒有思路，覺得缺失證明的條件，其原因主要是他們沒有發(fā)現(xiàn)題中的隱含結論（此處教師利用課件依次展示圖形中∠EAC=∠DBC、△BMC與△ANC全等、∠BDC=∠AEC、△MCD與△NCE全等，等等，如圖2、3），其實，一旦發(fā)現(xiàn)了這些結論，并證明其中的重要結論，復雜問題也就迎刃而解了．可見，前面發(fā)現(xiàn)題中的隱含結論有多么重要．有時不是我們做不到，而是想不到．圖3圖3圖2設計意圖：引導學生用多種方法證明結論，體會發(fā)現(xiàn)隱含結論的重要性，進一步感悟轉化思想．2、拓展并推廣題目的前提條件思考2在題目中，結論“BD=AE”是在“等邊”“共線”的條件下得到的，這個結論是否一定需要這么強的條件呢？師生活動：學生獨立思考后小組交流，小組派代表匯報討論結果．預案1：學生認為“點B、C、E可以不共線”．追問1：為什么？學生很容易想到“因為∠ACB=∠DCE,所以∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD即∠BCD=∠ACE,所以△BCD和△ACE全等，從而得到BD=AE”．此時，教師利用課件，動態(tài)展示△DCE繞點C順時針旋轉的過程（如圖4），顯示出學生所說的兩個全等三角形，并用手指著題目證明的板書過程，與學生一起總結出“雖然點B、C、E位置變了，但是結論BD=AE沒有變，而且解題的思路和方法都沒有改變”．追問2：類比順時針的旋轉，你能猜想一下逆時針旋轉的情況嗎？（教師動態(tài)展示△DCE繞點C順時針旋轉的過程，如圖5）．圖4圖5圖4圖5追問3：在以上的探究中∠APB=60°還成立嗎？追問4：剛才得到的其它結論是否成立呢？類比共線時的證明，課后探討．師生活動：教師演示，學生思考，并回答．設計意圖：通過動態(tài)的展示，讓學生進一步感受由“共線”到“不共線”的過程，深刻體會雖然圖形的位置改變了，但是結論不變，證明的思路和方法也不變,其原因是證明全等的關鍵條件沒有改變；由順時針旋轉到逆時針旋轉，體現(xiàn)思維的完整性；對學生的啟發(fā)，由課上到課下，體現(xiàn)思維的延續(xù)性．在整個探究過程中讓學生逐步體會類比、一般化的數(shù)學方法．預案2：學生認為“可以不是等邊三角形，只要是等腰三角形即可”．追問1：你是怎么想到的？師生活動：學生回答“BD=AE的前提是△BCD和△ACE全等”．追問2：全等的條件是什么？師生活動：學生回答“SAS”．追問3：只要“等腰三角形”就行嗎？還需要滿足什么條件？師生活動：學生答“頂角相等”．追問4：必須是頂角相等嗎？此處若學生發(fā)現(xiàn)出“底角相等也可以”．教師要繼續(xù)追問“為什么？”教師點撥，“我們發(fā)現(xiàn)，雖然圖形變了（屏幕展示圖6），但是結論BD=AE沒有變，而且解題的思路和方法（指向板書過程）也都沒有改變”．（屏幕顯示題目：如圖，△ABC和△DCE均是等腰三角形，其中CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE=α，且點B、C、E共線．求證：BD=AE．）圖6圖6圖7設計意圖：讓學生在由“等邊”到“不等邊”的過程中，體會雖然圖形的形狀改變了，但是結論BD=AE沒有改變，證明的思路和方法也沒有改變，其原因是證明全等的關鍵條件沒有改變；由“等邊”到“等腰”，將問題推廣到一般的情況．在此過程中讓學生進一步體會類比、一般化的數(shù)學方法．思考3：剛才我們探討了“不共線”可以，“不等邊”也可以，那么既“不共線”，又“不等邊”可以嗎？（動態(tài)展示△DCE繞點C旋轉的過程，如圖7）師生活動：學生發(fā)現(xiàn)可以，原因同前．學生發(fā)現(xiàn)，原來題目中的條件不必是兩個等邊三角形，只要是兩個頂角相等的等腰三角形就可以了，這個問題就更具有一般性了．教師指出，我們不僅要學會發(fā)現(xiàn)結論，還要抓住圖形的本質特征，嘗試著把問題推廣到一般情況．這也是研究問題的思路和方法．追問1：我們剛才研究問題的思路是將問題“一般化”，還可以怎樣研究呢？師生活動：學生很容易回答出將問題“特殊化”．追問2：特殊的等腰三角形還有什么？師生活動：學生很容易想到等腰直角三角形，（屏幕顯示圖8，然后動態(tài)展示）類比剛才的研究思路和方法，同學們可以課下研究．設計意圖：深化問題的研究，增強學生思維的全面性、深刻性．圖10圖9圖10圖93、小結教師與學生一起回顧本節(jié)課的學習過程，并讓學生回答以下問題：（1）本節(jié)課研究了哪些主要內容？（2）本節(jié)課研究問題的主要思路是什么？（3）在研究過程中體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想和數(shù)學方法？（4）對本節(jié)的研究內容你還有哪些新的想法？師生活動：教師提出問題，學生回答．對于問題（4），學生可能提出“對于原題目，如果連接MN，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？如果連接PC，還能發(fā)現(xiàn)哪些新結論？”等等．設計意圖：前三個問題主要是引導學生從知識內容、學習過程、研究方法等方面總結自己的收獲，并從中體會所運用的數(shù)學思想方法，建立知識之間、方法之間、過程之間、解決問題策略之間的普遍聯(lián)系．第四個問題，主要是拓展學生的思維，使學生不僅能夠分析問題、解決問題，而且還逐漸地學會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，學生由“學會”向“會學”“樂學”轉變．4、作業(yè)（1）證明“思考1”中得到的其它結論．（2）探索“思考2”中一般化和特殊化后的結論，并證明．（3）證明“思考3”中發(fā)現(xiàn)的結論，探索并證明“連接PC”后的其他結論．設計意圖：將問題探索自然延續(xù)到課后，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內容、方法，啟發(fā)學生逐漸體會如何發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題．六、目標檢測設計如圖，△ABC和△DCE均是等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠BCA=∠DCE．（1）求證：BD=AE．（2）若∠BAC=70°，求∠BPE的度數(shù)．設計意圖：考查學生對幾何問題研究方法的掌握程度．課例點評本節(jié)課的主要內容是對一道典型題從縱橫兩個方向進行再思考、再認識、再研究。主要包括兩個環(huán)節(jié)：一是條件不變，發(fā)現(xiàn)更多的結論并證明其中的兩個結論；二是結論不變，弱化條件，將問題一般化，或強化條件，將問題特殊化。綜觀整個過程，主要有以下三個特點：（1）主體性。這節(jié)課，無論是第一環(huán)節(jié)中新結論的發(fā)現(xiàn)過程、提出過程，還是新結論的證明過程，都是學生自己完成的——突出體現(xiàn)了主體性的第一個特征自主性。第二環(huán)節(jié)中，無論是把條件弱化的過程，還是將條件強化的過程，也都是學生積極參與熱烈討論中完成的——突出體現(xiàn)了主體性的第二個特征主動性。學生多角度地發(fā)現(xiàn)結論、多種方法證明結論，多維度地拓展問題——突出體現(xiàn)了主體性的第三個特征創(chuàng)造性。（2）發(fā)展性。第一環(huán)節(jié)