平面向量復(fù)習(xí)導(dǎo)航“平面向量”是高中新課程新增加的內(nèi)容之一，高考每年都考，考查內(nèi)容以向量的概念、運(yùn)算、數(shù)量積和模的運(yùn)算為主．題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識(shí)相結(jié)合在解答題中出現(xiàn)，試題多以中、低檔題為主．一、高考熱點(diǎn)透析綜觀近年來的高考試題，可知命題熱點(diǎn)為：1．向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實(shí)數(shù)與向量的積．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及其幾何意義．3．兩非零向量平行、垂直的充要條件．4．由于向量具有“數(shù)”與“形”雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經(jīng)常與數(shù)列、三角、解析幾何、立體幾何等知識(shí)相結(jié)合，綜合解決三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角形中的有關(guān)問題，處理有關(guān)長(zhǎng)度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等．5．利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標(biāo)運(yùn)算方面轉(zhuǎn)化，向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算等；利用數(shù)形結(jié)合思想將幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題．二、知識(shí)例析解讀1．注意理解向量、有向線段、向量的模、共線向量（平行向量）、相等向量、零向量、單位向量等概念，考題中多在共線向量、零向量等概念上設(shè)計(jì)問題，著重考查學(xué)生對(duì)于概念的深刻理解。例1.（08高考海南寧夏理8）．平面向量a，b共線的充要條件是（）A．a(chǎn)，b方向相同B．a(chǎn)，b兩向量中至少有一個(gè)為零向量C．，D．存在不全為零的實(shí)數(shù)，，解析：本題主要考查向量共線的條件，特別注意零向量和任意向量共線，故答案選D。2．考查向量的幾何運(yùn)算，掌握向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量積、理解用一組基底向量表示其他向量的方法．對(duì)于幾何運(yùn)算主要包括三種：①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，另外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即，此時(shí)，要注意向量的“首尾”相連；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。③數(shù)乘向量：它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，而不是：≠0。注意：數(shù)乘向量是一個(gè)向量，不是實(shí)數(shù)。例2.如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）ABCDA．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))＝eq\o(\s\up8(??),\s\do1(DC))B．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AD))＋eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))＝eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AC))ABCDC．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AB))－eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AD))＝eq\o(\s\up8(??),\s\do1(BD))D．eq\o(\s\up8(??),\s\do1(AD))＋eq\o(\s\up8(??),\s\do1(CB))＝eq\o(\s\up7(→),\s\do1(0))解析：由向量的幾何運(yùn)算易知選C．例3.（08高考全國理3）．在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．解析：由，，；故答案應(yīng)為A.3．考查向量的坐標(biāo)表示及其坐標(biāo)形式的運(yùn)算，提高坐標(biāo)運(yùn)算的能力．主要包括向量的模、夾角、投影、平行、垂直的坐標(biāo)表示方法，注意記準(zhǔn)公式，確保運(yùn)算結(jié)果正確．特別地：在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。例4.（06高考湖南卷）已知向量若時(shí)，∥；時(shí)，，則A．B.C.D.解析：向量若時(shí)，∥，∴；時(shí)，，，選C.例5.已知a＝(－2，1)，b＝(－2，－3)，則a在b方向上的投影是（） A．－eq\f(eq\r(13),13) B．eq\f(eq\r(13),13) C．0 D．1解析：由向量a在b方向上的投影的定義可得，故答案B．4．考查向量數(shù)量積的幾何運(yùn)算的定義與坐標(biāo)運(yùn)算，注意學(xué)會(huì)用幾何法或坐標(biāo)法轉(zhuǎn)化與模、夾角、垂直、最值等問題．向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：①；②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④。注意：數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。例6.（06高考福建卷）已知向量與的夾角為，則等于 （A）5（B）4（C）3（D）1解析：向量與的夾角為，，，∴，則=－1(舍去)或=4，選B.5．考查向量與其他知識(shí)的交匯點(diǎn)，掌握向量方法與向量語言在函數(shù)、數(shù)列、不等式、幾何等數(shù)學(xué)分支中的應(yīng)用．例7.在△ABC中，O為中線AM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OA))×(eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OB))＋eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OC)))的最小值是__________．解析：在△ABC中，設(shè)，則，又由向量加法的平行四邊形法則知，而與方向相反，所以，由二次函數(shù)的知識(shí)知當(dāng)時(shí)取得最小值－2．點(diǎn)評(píng)：本題很好地將向量的幾何運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積和函數(shù)的最值等知識(shí)結(jié)合在一起，立意新穎，考查基本。例8.直角坐標(biāo)平面xOy中，若定點(diǎn)A(1，2)與動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OP))×eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OA))＝4，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________．解析：用坐標(biāo)形式將eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OP))×eq\o(\s\up8(??),\s\do1(OA))＝4表示即得x＋2y－4＝0．點(diǎn)評(píng)：本題中主要體現(xiàn)出向量的工具作用。三、易錯(cuò)點(diǎn)警示1．零向量的方向是任意的。2．平行向量無傳遞性。3．注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。4．向量的運(yùn)算律中注意：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即